Graficul funcțiilor exponențiale și logaritmice: pe scurt

La $+\infty$ funcționează o ierarhie de creștere: exponențiala învinge orice putere, iar orice putere învinge logaritmul. Din ea se obțin aproape toate limitele de la capete ale acestor funcții, iar nedeterminările $0\cdot \infty$ se rescriu ca rapoarte, se numește explicit cazul $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$ și abia apoi se aplică regulile lui L'Hôpital. Două capcane sunt clasice. Prima: prezența logaritmului dă doar un candidat la asimptotă verticală, nu și asimptota — se calculează limita laterală în capătul finit deschis, iar dacă ea este finită, graficul nu se lipește de axa $Oy$. A doua: asimptota oblică cere două limite finite, în ordinea $m$, apoi $n$; o pantă finită fără $n$ finit nu produce nicio dreaptă. La derivare, $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$, deci semnul din exponent nu se pierde: $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$; un minus uitat inversează toată monotonia. În sfârșit, exponențiala este strict pozitivă pe tot domeniul, deci un produs care o conține ca factor se anulează numai acolo unde se anulează celălalt factor — ecuația $e^x=0$ nu are soluții.

Exerciții din această mini-lecție

1. Valoarea limitei $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ este:

   • a) $+\infty$
   • b) $0$
   • c) $1$
   • d) limita nu există
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $0$

   Este cazul $\frac{\infty }{\infty }$, iar ierarhia de creștere spune că orice putere a lui $x$, inclusiv $\sqrt{x}=x^{1/2}$, învinge logaritmul. Cu regulile lui L'Hôpital: $\lim \frac{1/x}{1/\left(2\sqrt{x}\right)}=\lim \frac{2}{\sqrt{x}}=0$. Verificarea nedeterminării se scrie înainte de derivare; în afara cazurilor $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$ regula dă rezultate false.

2. Funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3\ln x$, are în origine limita:

   • a) $0$, deci graficul nu are asimptotă verticală
   • b) $-\infty$, deci $x=0$ este asimptotă verticală
   • c) $+\infty$
   • d) limita nu există
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $0$, deci graficul nu are asimptotă verticală

   Este nedeterminarea $0\cdot \infty$; o rescriem ca $\frac{\ln x}{x^{-3}}$, caz $\frac{\infty }{\infty }$, și aplicăm L'Hôpital: $\frac{1/x}{-3x^{-4}}=-\frac{x^3}{3}\to 0$. Prin urmare $0$ este doar un candidat la asimptotă verticală, nu și o asimptotă: graficul nu se lipește de axa $Oy$, ci coboară spre punctul $(0,0)$.

3. Derivata funcției $f(x)=(2x+1)e^{-3x}$ este:

   • a) $(6x+5)e^{-3x}$
   • b) $2e^{-3x}$
   • c) $(2x+1)e^{-3x}$
   • d) $-(6x+1)e^{-3x}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $-(6x+1)e^{-3x}$

   Aplicăm regula produsului și $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$: $f^{\prime }(x)=2e^{-3x}+(2x+1)(-3)e^{-3x}=e^{-3x}(2-6x-3)=-(6x+1)e^{-3x}$. Varianta a apare exact când se uită semnul minus din exponent la derivare, iar varianta b uită al doilea termen al produsului. Un minus pierdut aici inversează toată monotonia din tabel.