Graficul funcțiilor exponențiale și logaritmice

Populația unei culturi de bacterii crește ca $e^t$, dar hrana din vas scade liniar; produsul celor două efecte urcă, atinge un vârf și se prăbușește spre zero. Curba aceasta — creștere rapidă, maxim, coborâre lentă spre o dreaptă de care nu se mai desprinde — este graficul unei funcții exponențiale compuse, iar la clasa a 12-a înveți să o desenezi exact, nu din intuiție. Graficul unei funcții exponențiale sau logaritmice se trasează cu aceeași schemă ca la funcțiile raționale, cu o singură deosebire: limitele de la capetele domeniului se calculează comparând ritmurile de creștere ale exponențialei, ale puterilor și ale logaritmului. Aceeași formă apare la descărcarea unui condensator, la concentrația unui medicament în sânge și la răcirea unui corp.

Exponențiala și logaritmul le cunoști din clasa a X-a, unde le-ai desenat graficele de bază și le-ai citit proprietățile. Ce se adaugă acum este singurul lucru care le lipsea: derivata. Cu ea, o funcție ca $x{e}^{-x}$ sau $x^2\ln x$ încetează să fie o formulă și devine o curbă cu monotonie, extreme, convexitate și asimptote — toate deduse, nu ghicite.

Merită spus de la început de ce aceste funcții au o lecție a lor, separată de cea a funcțiilor raționale. La o funcție rațională, comportarea la infinit se citește comparând gradele numărătorului și ale numitorului; e o socoteală de câteva secunde. Aici gradele nu mai există, iar comparația se face între ritmuri de creștere de naturi diferite. Odată învățată ierarhia acestor ritmuri, toate limitele de la capete devin la fel de rapide ca la funcțiile raționale, iar restul studiului rămâne neschimbat.

Ce vei învăța

• Vei ști să folosești ierarhia de creștere — exponențiala bate orice putere, orice putere bate logaritmul — ca să calculezi rapid limitele de la capete.
• Vei ști să identifici ce asimptote poate avea o funcție cu exponențială sau cu logaritm și, mai ales, pe care nu le poate avea.
• Vei ști să tratezi nedeterminările $0\cdot \infty$ și $\frac{\infty }{\infty }$ care apar la aceste funcții, cu regulile lui L'Hôpital.
• Vei ști să construiești tabelul de variație complet și să treci de la el la graficul desenat, pentru funcții de tipul $x^2{e}^{-x}$, $x^2\ln x$, $\frac{x}{\ln x}$.
• Vei ști să eviți cele două capcane clasice: logaritmul care nu dă asimptotă verticală și panta finită care nu dă asimptotă oblică.

Hai să descoperim împreună

1. De la cele două grafice-etalon la funcțiile compuse

Studiul grafic al unei funcții cu exponențială sau logaritm înseamnă parcurgerea acelorași nouă pași ca la orice altă funcție, cu o singură deosebire: limitele de la capete nu se mai citesc comparând grade de polinoame, ci folosind ierarhia de creștere, care spune cine domină pe cine atunci când argumentul devine foarte mare.

Punctul de plecare rămâne perechea de grafice de bază. La funcția exponențială și graficul ei ai văzut că $x\mapsto a^x$ are domeniul $\mathbb{R}$, imaginea $(0,+\infty )$, trece prin $(0,1)$ și se lipește de axa $Ox$ la unul dintre capete. La funcția logaritmică și proprietățile ei ai văzut simetrica ei față de prima bisectoare: domeniul $(0,+\infty )$, imaginea $\mathbb{R}$, trece prin $(1,0)$ și se lipește de axa $Oy$.

Aceste două lipiri au acum nume, fixate în unitatea de asimptote: axa $Ox$ este asimptotă orizontală a exponențialei, iar axa $Oy$ este asimptotă verticală a logaritmului. Ce urmează în lecția aceasta sunt combinațiile lor cu funcții polinomiale — produse, câturi, sume — la care graficul nu se mai ghicește din memorie.

Deosebirea de fond față de graficele de bază este că acelea erau monotone pe tot domeniul, fără extreme și fără schimbări de curbură. Un simplu produs cu un polinom strică această simplitate: apar maxime, minime, puncte de inflexiune și, uneori, o asimptotă acolo unde nu te aștepți. De aceea, de aici încolo, niciun grafic nu se mai desenează din amintire, ci se deduce, pas cu pas, din tabelul de variație.

2. Cine câștigă la infinit: exponențiala, puterea sau logaritmul?

Răspunsul, într-o singură propoziție de reținut: la $+\infty$, exponențiala învinge orice putere, iar orice putere învinge logaritmul. Scris cu limite, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^n}{e^x}=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^n}=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty .$$

Din ele se obțin, prin substituție sau prin rescriere, limitele care apar cel mai des în probleme:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x}=0,\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }x\ln x=0.$$

Ultima merită privită de două ori: produsul dintre ceva care tinde la $0$ și ceva care tinde la $-\infty$ dă $0$. Ea explică, împreună cu ruda ei $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{x}^2\ln x=0$, de ce funcția $x^2\ln x$ nu are asimptotă verticală în origine, deși conține un logaritm — cazul din Exemplul 2. Cine sare peste calcul și scrie „logaritm, deci asimptotă verticală" pierde punctele din prima linie.

Ierarhia se reține cel mai ușor ca un clasament cu trei locuri: pe primul loc exponențiala, pe al doilea puterile, pe al treilea logaritmul. Într-un raport, câștigătorul stabilește rezultatul: dacă el este sus, raportul crește nemărginit; dacă este jos, raportul se stinge la zero. Aceeași regulă funcționează și la produse, după ce produsul a fost rescris ca raport.

3. Ce asimptote pot apărea la aceste funcții?

Fiecare capăt al domeniului se cercetează separat, după schema asimptotelor. Pentru funcțiile cu exponențială și logaritm, tabloul posibilităților este scurt și merită memorat:

Regula practică: asimptota verticală se caută numai în capetele finite deschise ale domeniului, adică acolo unde se anulează un numitor sau argumentul unui logaritm, iar prezența logaritmului nu garantează nimic — limita decide. La capetele infinite se calculează întâi limita funcției: dacă este finită, ai orizontală și te oprești, pentru că, potrivit Propoziției de excludere reciprocă, spre același capăt orizontala și oblica nu pot exista amândouă. Detaliile fiecărei noțiuni sunt în lecțiile asimptota orizontală, asimptota oblică și asimptota verticală.

4. Cum se calculează limitele de tip $x{e}^{-x}$ și $\ln x$ supra $x$?

Toate limitele din secțiunea a doua sunt nedeterminări și se tratează în același fel: se aduc la forma unui raport, se numește cazul, apoi se aplică regulile lui L'Hôpital. Ordinea aceasta este cerută și de baremele de la Bacalaureat M1: cine derivează înainte de a verifica nedeterminarea pierde punctul de justificare.

Model complet, scris cum trebuie scris în lucrare:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{e^x}\left[\frac{\infty }{\infty }\right]\stackrel{\text{L’H}}{=}\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{e^x}=0.$$

Pasul cheie este primul: produsul $x\cdot e^{-x}$ este o nedeterminare $0\cdot \infty$, care nu se poate ataca direct; rescrierea $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ o transformă în $\frac{\infty }{\infty }$. La fel se procedează în celălalt sens:

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }x\ln x=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\left[\frac{-\infty }{+\infty }\right]\stackrel{\text{L’H}}{=}\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }(-x)=0.$$

Când numărătorul are grad mai mare, regula se aplică de mai multe ori: pentru $\frac{x^2}{e^x}$ sunt necesare două aplicări, care coboară numărătorul la $2$ și lasă numitorul neschimbat. La fel se calculează și $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{x}^2\ln x=0$, folosită în Exemplul 2. Toate aceste limite au fost calculate deja la limitele funcțiilor exponențială și logaritmică; aici li se dă folosința geometrică.

5. Studiu complet, pas cu pas: funcția $(x+1)e^x$

Aplicăm schema în nouă pași fixată la schema reprezentării grafice, citând pașii după număr.

Pasul 1 — domeniul, intersecțiile, paritatea. $D=\mathbb{R}$. Intersecția cu $Ox$: $(x+1)e^x=0⟺x=-1$, pentru că $e^x>0$ mereu; intersecția cu $Oy$: $f(0)=1$. Funcția nu este nici pară, nici impară.

Pasul 2 — continuitatea și derivabilitatea. Produs de funcții elementare, deci $f$ este continuă și indefinit derivabilă pe $\mathbb{R}$.

Pasul 3 — limitele la capete și asimptotele. Spre $-\infty$ avem nedeterminarea $\infty \cdot 0$:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }(x+1)e^x=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{e^{-x}}\left[\frac{-\infty }{+\infty }\right]\stackrel{\text{L’H}}{=}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{-e^{-x}}=0.$$

Deci dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$, iar apropierea se face pe dedesubt, pentru că $f(x)<0$ pentru $x<-1$. Spre $+\infty$, $f(x)\to +\infty$; verificăm oblica: $\frac{f(x)}{x}=\frac{(x+1)e^x}{x}\to +\infty$, deci nu există asimptotă oblică spre $+\infty$.

Pasul 4 — derivata întâi. $f^{\prime }(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x$. Cum $e^x>0$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x+2$: negativ pe $(-\infty ,-2)$, pozitiv pe $(-2,+\infty )$. Punct critic: $x=-2$.

Pasul 5 — derivata a doua. $f^{\prime \prime }(x)=e^x+(x+2)e^x=(x+3)e^x$, negativă pe $(-\infty ,-3)$ și pozitivă după, deci $x=-3$ este candidat la inflexiune și chiar este, pentru că $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul acolo.

Pasul 6 — valorile. $f(-2)=-e^{-2}=-\frac{1}{e^2}\approx -0,135$; $f(-3)=-2e^{-3}=-\frac{2}{e^3}\approx -0,100$; $f^{\prime }(-3)=-\frac{1}{e^3}$; $f^{\prime \prime }(-2)=\frac{1}{e^2}$.

Pasul 7 — tabelul de variație complet.

Pasul 8 — citirea tabelului. $f$ este strict descrescătoare pe $\left(-\infty ,-2\right]$ și strict crescătoare pe $\left[-2,+\infty \right)$, cu minimul global $f(-2)=-\frac{1}{e^2}$; este concavă pe $(-\infty ,-3]$ și convexă pe $[-3,+\infty )$, cu punctul de inflexiune $\left(-3,-\frac{2}{e^3}\right)$; imaginea funcției este $\left[-\frac{1}{e^2},+\infty \right)$.

Pasul 9 — trasarea graficului. Se desenează întâi asimptota $y=0$ punctat (aici coincide cu axa $Ox$), apoi se marchează punctele $(-1,0)$, $(0,1)$, minimul și inflexiunea, iar curba se unește respectând săgețile: vine dinspre stânga lipită de axă pe dedesubt, coboară până la minim, urcă tăind axa în $-1$ și explodează spre $+\infty$.

6. Când are o funcție cu logaritm asimptotă verticală?

Numai atunci când limita laterală chiar este infinită — iar asta se întâmplă când logaritmul nu este temperat de un factor care tinde la zero, sau când el ajunge la numitor și se anulează. Compară cele două situații din exemplele de mai sus:

• $f(x)=x^2\ln x$ pe $(0,+\infty )$: în $0$ la dreapta limita este $0$, deci dreapta $x=0$ nu este asimptotă; graficul ajunge cuminte în origine, fără să o atingă;
• $f(x)=\frac{x}{\ln x}$: în $0$ la dreapta limita este tot $0$, deci nici acolo nu apare asimptotă — dar în $x=1$, unde se anulează numitorul, limitele laterale sunt $-\infty$ și $+\infty$, deci asimptota verticală există, însă în alt punct decât ai fi bănuit.

Observă că, în amândouă situațiile, cuvântul care decide nu este „logaritm", ci „limită". Prezența logaritmului arată doar unde merită să te uiți: în capetele finite ale domeniului și în punctele în care se anulează un numitor. Verdictul îl dă calculul, de fiecare dată.

A doua capcană privește asimptota oblică și a fost tranșată deja la asimptota oblică, unde sunt numărate cele patru situații în care oblica nu există. Două dintre ele apar tocmai la funcțiile de aici: situația (3), panta nulă, se întâlnește la $\ln x$ și la orice funcție care crește mai încet decât o dreaptă, iar situația (4), termenul liber infinit, are drept exemplu-etalon de acolo funcția $x-\ln x$, cu panta $m=1$ și cu $n=-\infty$. Se aplică, fără abatere, procedura în trei pași: $m$ finit și nenul, apoi $n$ finit, apoi ecuația dreptei — cine se oprește după primul pas scrie o asimptotă care nu există.

7. Ce reține mâna când desenează

Trei reflexe care fac diferența între un desen corect și unul aproximativ:

1. Exponențiala nu taie niciodată axa $Ox$. Într-un produs $P(x)e^x$, zerourile sunt exact zerourile lui $P$; într-un cât cu $e^x$ la numărător, nu există niciun zero.
2. Logaritmul nu există la stânga lui zero. Orice funcție cu $\ln x$ are graficul strict în semiplanul $x>0$, iar dacă apare $\ln u(x)$, domeniul se obține din $u(x)>0$.
3. Coborârea spre o asimptotă orizontală este lentă, dar necurmată. Curba nu se oprește și nu oscilează în jurul dreptei; de aceea desenul trebuie să o apropie vizibil pe ultima treime a figurii, fără să o atingă.

Ultimul reflex, cel mai ușor de uitat, este verificarea semnului funcției. El spune dinspre ce parte se apropie graficul de o asimptotă orizontală: pe deasupra, dacă funcția este pozitivă în vecinătatea capătului, pe dedesubt, dacă este negativă. Un desen care aduce curba din partea greșită rămâne greșit chiar și atunci când tabelul de variație este perfect, iar corectorul îl vede dintr-o privire.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un produs cu exponențială descrescătoare

Studiați și reprezentați grafic funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2{e}^{-x}$.

Rezolvare. Pașii 1–2: $D=\mathbb{R}$; funcția este continuă și derivabilă; se anulează doar în $x=0$ (unde atinge și axa $Oy$); $f(x)\ge 0$ pentru orice $x$.

Pasul 3: $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2{e}^{-x}=+\infty$ (ambii factori cresc). Spre $+\infty$ avem $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2}{e^x}$, nedeterminare $\frac{\infty }{\infty }$; două aplicări ale regulii lui L'Hôpital dau $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x}{e^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{e^x}=0$. Deci $y=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$, cu apropiere pe deasupra.

Pașii 4–5: $f^{\prime }(x)=2x{e}^{-x}-x^2{e}^{-x}=x(2-x)e^{-x}$, cu zerourile $0$ și $2$; $f^{\prime \prime }(x)=(x^2-4x+2)e^{-x}$, cu zerourile $2\pm \sqrt{2}$.

Pasul 6: $f(0)=0$, $f(2)=\frac{4}{e^2}\approx 0,541$, $f(2-\sqrt{2})=(6-4\sqrt{2})e^{\sqrt{2}-2}\approx 0,191$, $f(2+\sqrt{2})=(6+4\sqrt{2})e^{-2-\sqrt{2}}\approx 0,384$.

Citirea tabelului: $f$ scade pe $(-\infty ,0]$, crește pe $[0,2]$ și scade pe $[2,+\infty )$; are minimul global $f(0)=0$ și maximul local $f(2)=\frac{4}{e^2}$; este convexă în afara intervalului $[2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}]$ și concavă înăuntru, cu două puncte de inflexiune; imaginea este $[0,+\infty )$. ✓

Exemplul 2 — Logaritmul care nu dă asimptotă verticală

Studiați variația funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2\ln x$, și trasați graficul.

Rezolvare. Domeniul este dat; $f$ este continuă și derivabilă pe el. Zeroul: $x^2\ln x=0⟺x=1$, pentru că $x^2>0$ pe tot domeniul.

Pasul 3: în $0$ la dreapta avem nedeterminarea $0\cdot \infty$; o rescriem ca raport și obținem $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{x}^2\ln x=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\ln x}{x^{-2}}\left[\frac{-\infty }{+\infty }\right]\stackrel{\text{L’H}}{=}\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{-2x^{-3}}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\left(-\frac{x^2}{2}\right)=0.$$ Limita fiind finită, nu există asimptotă verticală în $0$. Spre $+\infty$, $f(x)\to +\infty$, iar $\frac{f(x)}{x}=x\ln x\to +\infty$, deci nu există nici asimptotă oblică.

Pașii 4–6: $f^{\prime }(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)$, care se anulează pentru $\ln x=-\frac{1}{2}$, adică $x=\frac{1}{\sqrt{e}}$; cum $x>0$, semnul este dat de paranteză: negativ înainte, pozitiv după. $f^{\prime \prime }(x)=2\ln x+3$, cu zeroul $x=e^{-\frac{3}{2}}$ și schimbare de semn. Valorile: $f\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)=-\frac{1}{2e}$, $f\left(e^{-\frac{3}{2}}\right)=-\frac{3}{2e^3}$, $f^{\prime }\left(e^{-\frac{3}{2}}\right)=-\frac{2}{e\sqrt{e}}$, $f^{\prime \prime }\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)=2$.

Citirea tabelului: $f$ scade pe $\left(0,\frac{1}{\sqrt{e}}\right]$ și crește pe $\left[\frac{1}{\sqrt{e}},+\infty \right)$, cu minimul global $-\frac{1}{2e}\approx -0,184$; este concavă pe $\left(0,e^{-\frac{3}{2}}\right]$ și convexă după, cu punctul de inflexiune $\left(e^{-\frac{3}{2}},-\frac{3}{2e^3}\right)$; imaginea este $\left[-\frac{1}{2e},+\infty \right)$. Capătul din stânga primește bară pe rândurile derivatelor — punctul $0$ există pe axă, funcția nu — și limita $0$ pe rândul funcției. ✓

Exemplul 3 — Logaritmul la numitor: asimptota apare în altă parte

Determinați asimptotele și variația funcției $f(x)=\frac{x}{\ln x}$.

Rezolvare. Pasul 1: condițiile $x>0$ și $\ln x\ne 0$ dau $D=(0,1)\cup (1,+\infty )$. Funcția nu se anulează niciodată, pentru că numărătorul este strict pozitiv pe domeniu.

Pasul 3 — asimptotele. În $0$ la dreapta, numărătorul tinde la $0$ și numitorul la $-\infty$, deci limita este $0$: capătul $0$ nu dă asimptotă. În $1$, numitorul se anulează, iar numărătorul tinde la $1$; cum $\ln x<0$ la stânga lui $1$ și $\ln x>0$ la dreapta, obținem $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$, deci dreapta $x=1$ este asimptotă verticală bilaterală la graficul funcției $f$. Spre $+\infty$, $f(x)\to +\infty$, iar $\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{\ln x}\to 0$: panta este nulă, adică situația (3) dintre cele patru în care oblica nu există, deci nu există asimptotă oblică.

Pașii 4–6: $f^{\prime }(x)=\frac{\ln x-1}{{\ln }^{2}x}$, cu numitorul pozitiv, deci semnul este dat de $\ln x-1$: negativ pe $(0,1)$ și pe $(1,e)$, pozitiv pe $(e,+\infty )$; punctul critic este $x=e$. Apoi $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2-\ln x}{x{\ln }^{3}x}$, cu zeroul $x=e^2$. Valorile: $f(e)=e$, $f\left(e^2\right)=\frac{e^2}{2}$, $f^{\prime \prime }(e)=\frac{1}{e}$, $f^{\prime }\left(e^2\right)=\frac{1}{4}$.

Citirea tabelului: pe $(0,1)$ funcția scade de la $0$ la $-\infty$ și este concavă; pe $(1,+\infty )$ scade de la $+\infty$ la $e$, apoi crește spre $+\infty$, cu minimul $f(e)=e$ pe această ramură. Imaginea este $(-\infty ,0)\cup [e,+\infty )$, iar punctul de inflexiune al graficului este $\left(e^2,\frac{e^2}{2}\right)$. Punctul exclus $1$ primește bară pe rândurile derivatelor și cele două limite laterale pe rândul funcției, într-un singur tabel. ✓

Exemplul 4 — Un cât cu exponențială: trei asimptote deodată

Studiați funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x}{x-1}$.

Rezolvare. Pașii 1–3: $D=(-\infty ,1)\cup (1,+\infty )$; funcția nu se anulează niciodată, pentru că $e^x>0$. Limitele: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{e^x}{x-1}=0$ prin valori negative, deci $y=0$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$; $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$, deci $x=1$ este asimptotă verticală bilaterală; $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, iar $\frac{f(x)}{x}=\frac{e^x}{x(x-1)}\to +\infty$, deci nicio asimptotă spre $+\infty$.

Pașii 4–6: $f^{\prime }(x)=\frac{e^x(x-1)-e^x}{(x-1{)}^2}=\frac{e^x(x-2)}{(x-1{)}^2}$, cu semnul dat de $x-2$: negativ pe $(-\infty ,1)$ și pe $(1,2)$, pozitiv pe $(2,+\infty )$; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{e^x(x^2-4x+5)}{(x-1{)}^3}$, iar paranteza $x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1$ este strict pozitivă, deci semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul lui $(x-1{)}^3$. Valorile: $f(2)=e^2$, $f^{\prime \prime }(2)=e^2$.

Citirea tabelului: pe $(-\infty ,1)$ funcția scade de la $0$ la $-\infty$ și este concavă; pe $(1,+\infty )$ scade de la $+\infty$ la $e^2$, apoi crește spre $+\infty$, fiind convexă. Minimul $f(2)=e^2\approx 7,389$ este minim doar pe ramura din dreapta. Imaginea este $(-\infty ,0)\cup \left[e^2,+\infty \right)$. Nu există punct de inflexiune, pentru că $1$ nu aparține domeniului. ✓

Exemplul 5 — O funcție pară: clopotul $e^{-x^2}$

Reprezentați grafic funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{-x^2}$.

Rezolvare. Pasul 1c — paritatea. $f(-x)=e^{-x^2}=f(x)$, deci funcția este pară: se studiază pe $[0,+\infty )$ și se simetrizează față de axa $Oy$, folosind ce știi despre paritate, imparitate și simetriile graficului. Funcția este strict pozitivă și $f(0)=1$.

Pasul 3: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{e}^{-x^2}=0$, deci $y=0$ este asimptotă orizontală spre amândouă capetele, cu apropiere pe deasupra.

Pașii 4–6: $f^{\prime }(x)=-2x{e}^{-x^2}$, cu unicul zero $x=0$; $f^{\prime \prime }(x)=(4x^2-2)e^{-x^2}$, cu zerourile $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ și $f\left(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{e}}$.

Citirea tabelului: maximul global este $f(0)=1$; funcția este convexă în afara intervalului $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$ și concavă înăuntru, cu punctele de inflexiune $\left(\pm \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{\sqrt{e}}\right)$; imaginea este $(0,1]$. Este curba în formă de clopot folosită în statistică. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2\ln x$. a) Determinați asimptotele graficului funcției $f$. b) Alcătuiți tabelul de variație și trasați graficul. c) Demonstrați că $\ln x\le \frac{x^2-1}{2}$ pentru orice $x>0$.

Rezolvare. a) Capetele domeniului sunt $0$ (finit, deschis) și $+\infty$. În $0$ la dreapta: $x^2\to 0$ și $-2\ln x\to +\infty$, deci $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$ și dreapta $x=0$ este asimptotă verticală la dreapta. Spre $+\infty$: $f(x)\to +\infty$, deci nu există orizontală; $\frac{f(x)}{x}=x-\frac{2\ln x}{x}\to +\infty$, deci nu există nici oblică. Lista asimptotelor: $x=0$.

b) $f^{\prime }(x)=2x-\frac{2}{x}=\frac{2(x^2-1)}{x}=\frac{2(x-1)(x+1)}{x}$; pe $(0,+\infty )$ factorii $x$ și $x+1$ sunt pozitivi, deci semnul este dat de $x-1$. $f^{\prime \prime }(x)=2+\frac{2}{x^2}>0$, deci funcția este convexă pe tot domeniul, fără inflexiuni. Valorile: $f(1)=1$, $f^{\prime \prime }(1)=4$.

Citirea tabelului: minimul global este $f(1)=1$, imaginea este $[1,+\infty )$, graficul nu taie axa $Ox$ și coboară lipindu-se de asimptota verticală $x=0$.

c) Din tabel, $f(x)\ge f(1)=1$ pentru orice $x>0$, adică $x^2-2\ln x\ge 1$. Trecând $2\ln x$ în dreapta și împărțind la $2$, obținem $\ln x\le \frac{x^2-1}{2}$, cu egalitate numai pentru $x=1$. Acesta este tipul de subpunct c) care apare la Subiectul al III-lea la Bacalaureat M1: inegalitatea se demonstrează citind minimul din tabel, nu prin calcule algebrice. ✓

Să exersăm

1. Determinați domeniul maxim de definiție și asimptota verticală a funcției $f(x)=\ln (x-2)$.

2. Arătați că funcția $f(x)=e^{-x}$ are asimptotă orizontală spre $+\infty$ și că nu are asimptotă spre $-\infty$.

3. Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^3}$ și deduceți asimptota orizontală a funcției $f(x)=\frac{\ln x}{x^3}$ spre $+\infty$.

4. Determinați punctul de extrem și valoarea extremă ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$.

5. Arătați că funcția $f(x)=\ln (x^2+1)$ este pară, determinați-i minimul și punctele de inflexiune.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție a cărei expresie conține $\ln x$ are asimptotă verticală $x=0$."

7. Determinați domeniul maxim de definiție și toate asimptotele funcției $f(x)=\ln \frac{x-1}{x+1}$.

8. Studiați funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-e^x$: extremul, limitele la capete și asimptota oblică spre $-\infty$.

9. Arătați că funcția $f(x)=e^x+e^{-x}$ este pară, convexă pe $\mathbb{R}$, și determinați-i minimul.

10. Determinați asimptotele funcției $f:(0,1)\cup (1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{x-1}$, și arătați că $x=1$ nu este asimptotă verticală, deși nu aparține domeniului.

11. (Problemă aplicată.) Un condensator se încarcă după legea $q(t)=Q(1-e^{-\frac{t}{\tau }})$, cu $Q>0$ și $\tau >0$ constante, $t\ge 0$. Arătați că $q$ este strict crescătoare și concavă și determinați asimptota orizontală a graficului.

12. Studiați funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3{e}^{-x}$: arătați că $x=0$ este punct critic fără să fie punct de extrem, determinați maximul și asimptota orizontală.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$, atunci graficul lui $f$ are asimptota oblică $y=x$ spre $+\infty$."

14. Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}$, este impară și strict crescătoare, apoi determinați asimptotele ei orizontale și imaginea.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{x^2}$. a) Determinați asimptotele graficului. b) Alcătuiți tabelul de variație cu derivata întâi. c) Determinați imaginea funcției.

16. Folosind studiul funcției $f(x)=e^x-x$, demonstrați inegalitatea $e^x\ge x+1$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

17. (Problemă aplicată.) Temperatura unui obiect scos din cuptor este $T(t)=20+60e^{-0,1t}$ grade Celsius, unde $t$ este timpul în minute. Determinați asimptota orizontală a graficului, interpretați-o fizic și arătați că temperatura scade tot mai încet.

18. (Provocare.) Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^x$. Scriind $f(x)=e^{x\ln x}$, determinați $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)$, punctul de minim al funcției și valoarea minimă.

Răspunsuri și explicații

1. Condiția $x-2>0$ dă $D=(2,+\infty )$. În capătul finit deschis: $\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\ln (x-2)=-\infty$, deci $x=2$ este asimptotă verticală la dreapta.

2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{-x}=0$, deci $y=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$. Spre $-\infty$, $e^{-x}\to +\infty$, iar $\frac{e^{-x}}{x}\to -\infty$, deci nu există nici orizontală, nici oblică. Cele două capete se cercetează întotdeauna separat, tocmai pentru că răspunsul poate fi diferit la fiecare dintre ele.

3. Nedeterminare $\frac{\infty }{\infty }$; L'Hôpital dă $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{3x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{3x^3}=0$. Deci $y=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$, cu apropiere pe deasupra (funcția este pozitivă pentru $x>1$).

4. $f^{\prime }(x)=(x+1)e^x$, care se anulează în $x=-1$ și are semn negativ înainte, pozitiv după. Punctul de minim este $x=-1$, iar valoarea minimă este $f(-1)=-\frac{1}{e}\approx -0,368$. Limitele: $0$ spre $-\infty$ și $+\infty$ spre $+\infty$.

5. $f(-x)=\ln (x^2+1)=f(x)$, deci este pară. $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}$, cu unicul zero $x=0$; minimul global este $f(0)=0$. $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1{)}^2}$, cu zerourile $\pm 1$ și schimbare de semn, deci punctele de inflexiune ale graficului sunt $(-1,\ln 2)$ și $(1,\ln 2)$.

6. Fals. Contraexemplul standard este $f(x)=x^2\ln x$, pentru care $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=0$, finită. Prezența logaritmului dă doar un candidat la asimptotă verticală; limita este cea care decide. Ca să respingi o afirmație de acest tip este de ajuns un singur contraexemplu, iar el trebuie scris pe deplin, cu limita calculată, nu doar numit în treacăt.

7. Condiția $\frac{x-1}{x+1}>0$ dă $D=(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$. La stânga lui $-1$, raportul tinde la $+\infty$, deci $f(x)\to +\infty$: dreapta $x=-1$ este asimptotă verticală la stânga. La dreapta lui $1$, raportul tinde la $0$ prin valori pozitive, deci $f(x)\to -\infty$: dreapta $x=1$ este asimptotă verticală la dreapta. La $\pm \infty$ raportul tinde la $1$, deci $f(x)\to \ln 1=0$: dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre amândouă capetele.

8. $f^{\prime }(x)=1-e^x$, pozitivă pentru $x<0$ și negativă pentru $x>0$; maximul global este $f(0)=-1$. Limitele: $-\infty$ la ambele capete. Spre $-\infty$: $m=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-e^x}{x}=1$ și $n=\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }(-e^x)=0$, deci $y=x$ este asimptotă oblică spre $-\infty$. Spre $+\infty$ nu există asimptotă, pentru că $\frac{f(x)}{x}\to -\infty$.

9. $f(-x)=e^{-x}+e^x=f(x)$, deci este pară. $f^{\prime }(x)=e^x-e^{-x}$, cu unicul zero $x=0$; $f^{\prime \prime }(x)=e^x+e^{-x}=f(x)>0$, deci funcția este convexă pe $\mathbb{R}$. Minimul global este $f(0)=2$; imaginea este $[2,+\infty )$. Paritatea scutește de jumătate din muncă: este de ajuns studiul pe semiaxa pozitivă, iar cealaltă jumătate a graficului se obține prin simetrie față de axa verticală.

10. În $0$ la dreapta, numărătorul tinde la $-\infty$ și numitorul la $-1$, deci limita este $+\infty$: dreapta $x=0$ este asimptotă verticală la dreapta. În $1$ apare nedeterminarea $\frac{0}{0}$, iar regula lui L'Hôpital dă $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{1}=1$, limită finită, deci $x=1$ nu este asimptotă verticală — punctul lipsește din domeniu, dar graficul nu fuge la infinit acolo. Spre $+\infty$ limita este $0$, deci $y=0$ este asimptotă orizontală.

11. $q^{\prime }(t)=\frac{Q}{\tau }{e}^{-\frac{t}{\tau }}>0$, deci $q$ este strict crescătoare; $q^{\prime \prime }(t)=-\frac{Q}{{\tau }^2}{e}^{-\frac{t}{\tau }}<0$, deci este concavă („varsă apa"). $\underset{t\to +\infty }{\lim }q(t)=Q$, deci $y=Q$ este asimptotă orizontală: sarcina se apropie oricât de mult de valoarea maximă $Q$, fără să o atingă vreodată.

12. $f^{\prime }(x)=3x^2{e}^{-x}-x^3{e}^{-x}=x^2(3-x)e^{-x}$. În $x=0$ derivata se anulează, dar factorul $x^2$ este pozitiv de ambele părți, deci $f^{\prime }$ nu își schimbă semnul: $0$ este punct critic fără să fie extrem. În $x=3$ derivata trece de la plus la minus, deci acolo este maximul, $f(3)=\frac{27}{e^3}\approx 1,344$. Limitele: $-\infty$ spre $-\infty$ și $0$ prin valori pozitive spre $+\infty$, deci $y=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$.

13. Fals. Condiția dă doar prima jumătate a definiției, iar jumătatea a doua este cea care hotărăște dacă dreapta există sau nu. Contraexemplu: $f(x)=x+\ln (x^2+1)$, pentru care $m=1$, dar $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln (x^2+1)=+\infty$ nu este finit, deci asimptota oblică nu există. Ordinea „întâi $m$, apoi $n$" nu este o formalitate.

14. Amplificând cu $e^x$, $f(-x)=\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}=\frac{1-e^x}{1+e^x}=-f(x)$, deci funcția este impară. Derivata: $f^{\prime }(x)=\frac{2e^x}{(e^x+1{)}^2}>0$, deci $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. Limitele: $-1$ spre $-\infty$ și $1$ spre $+\infty$, deci dreptele $y=-1$ și $y=1$ sunt asimptote orizontale, câte una la fiecare capăt; imaginea este $(-1,1)$, iar originea este punct de inflexiune.

15. a) În $0$ la dreapta limita este $-\infty$, deci $x=0$ este asimptotă verticală la dreapta; spre $+\infty$ limita este $0$, deci $y=0$ este asimptotă orizontală. b) $f^{\prime }(x)=\frac{1-2\ln x}{x^3}$, pozitivă pe $\left(0,\sqrt{e}\right)$ și negativă după, deci maximul global este $f\left(\sqrt{e}\right)=\frac{1}{2e}$. c) Funcția crește de la $-\infty$ la $\frac{1}{2e}$ și apoi scade spre $0$, deci imaginea este $\left(-\infty ,\frac{1}{2e}\right]$.

16. $f(x)=e^x-x$ are $f^{\prime }(x)=e^x-1$, negativă pentru $x<0$ și pozitivă pentru $x>0$, deci minimul global este $f(0)=1$. Prin urmare $e^x-x\ge 1$ pentru orice $x$ real, adică $e^x\ge x+1$, cu egalitate numai în $x=0$. Este metoda standard prin care se demonstrează o inegalitate cu derivate: se mută totul într-un singur membru, se studiază funcția obținută și se citește minimul din tabel.

17. $\underset{t\to +\infty }{\lim }T(t)=20$, deci $y=20$ este asimptotă orizontală: obiectul se apropie de temperatura camerei fără să o atingă exact. $T^{\prime }(t)=-6e^{-0,1t}<0$, deci temperatura scade; $T^{\prime \prime }(t)=0,6e^{-0,1t}>0$, deci graficul este convex, adică panta negativă se apropie de $0$ — răcirea încetinește.

18. $f(x)=e^{x\ln x}$; cum $x\ln x\to 0$ când $x\to 0$ prin valori pozitive, avem $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{x}^x=e^0=1$. Derivata: $f^{\prime }(x)=e^{x\ln x}(\ln x+1)$, iar exponențiala fiind pozitivă, semnul este cel al lui $\ln x+1$; unicul punct critic este $x=\frac{1}{e}$, cu $f^{\prime }$ negativă înainte și pozitivă după. Valoarea minimă este $f\left(\frac{1}{e}\right)=e^{-\frac{1}{e}}\approx 0,692$.

De reținut

• La $+\infty$, exponențiala învinge orice putere, iar orice putere învinge logaritmul; din această ierarhie se obțin toate limitele de la capete ale funcțiilor din lecția aceasta.
• Nedeterminările $0\cdot \infty$ se rescriu ca rapoarte, se numește cazul $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$ și abia apoi se aplică regulile lui L'Hôpital.
• Prezența logaritmului dă doar un candidat la asimptotă verticală, nu și asimptota: $x^2\ln x$ are limita $0$ în origine, deci graficul ei nu se lipește de axa $Oy$.
• Asimptota oblică cere două limite finite, în ordinea $m$ apoi $n$; funcția $x+\ln (x^2+1)$ are $m=1$, dar $n$ infinit, deci nu are asimptotă oblică.
• Graficul unei funcții care conține $e^x$ ca factor se anulează numai acolo unde se anulează celălalt factor, pentru că exponențiala este strict pozitivă pe tot domeniul ei.

Greșeli frecvente

• Se scrie „asimptotă verticală" doar pentru că apare un logaritm. Corect: se calculează limita laterală în capătul finit deschis; dacă ea este finită, ca la $x^2\ln x$, nu există asimptotă.
• Se declară asimptota oblică după calculul pantei. Corect: după $m$ finit și nenul se calculează obligatoriu $n=\lim (f(x)-mx)$; dacă $n$ nu este finit, asimptota nu există.
• Se aplică L'Hôpital fără a verifica nedeterminarea. Corect: se scrie explicit cazul $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$ înaintea derivării; în afara acestor cazuri regula dă rezultate false.
• Se derivează $e^{-x}$ ca $e^{-x}$. Corect: $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$, deci $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$; semnul minus uitat inversează toată monotonia și strică tabelul.
• Se caută intersecții cu axa $Ox$ rezolvând $e^x=0$. Corect: ecuația nu are soluții, pentru că $e^x>0$ pentru orice $x$ real; într-un produs se rezolvă numai anularea celuilalt factor.

Aplică acasă

1. Alege trei funcții din lecție și verifică-le graficele cu un instrument digital (GeoGebra sau graficul din calculatorul telefonului). Compară poziția minimului și a asimptotelor cu cele obținute de tine în tabel; orice nepotrivire înseamnă o eroare de calcul, nu de desen.
2. Măsoară răcirea unei căni cu ceai: notează temperatura din cinci în cinci minute, timp de o jumătate de oră, apoi desenează punctele pe hârtie milimetrică. Estimează asimptota orizontală (temperatura camerei) și verifică dacă scăderea încetinește, așa cum prezice modelul din exercițiul 17.
3. Scrie pe o fișă cele șase limite fundamentale din secțiunea a doua și, alături, câte un grafic mic desenat de mână. Ține fișa la vedere o săptămână: la Bacalaureat M1 aceste limite se scriu din memorie, fără deducere.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică dacă elevul poate trece de la formulă la desen atunci când în formulă apar exponențiala sau logaritmul. Sunt trei competențe distincte: calculul limitelor de la capete cu ierarhia de creștere, identificarea asimptotelor și trasarea propriu-zisă a curbei din tabelul de variație.

Întrebări de control: Care este limita lui $x{e}^{-x}$ la $+\infty$ și de ce? De ce funcția $x^2\ln x$ nu are asimptotă verticală, deși conține logaritm? Ce mai trebuie calculat după ce ai găsit panta $m=1$?

Recomandarea practică pentru acasă este ca elevul să lucreze întâi cu creionul și abia apoi cu programul de grafice. Instrumentul digital confirmă sau infirmă, dar nu explică; dacă desenul nu se potrivește, greșeala trebuie căutată în tabel, nu corectată din ochi pe ecran.

Semne că a înțeles: scrie cazul de nedeterminare înainte de a aplica L'Hôpital; nu confundă „candidat la asimptotă" cu „asimptotă"; desenează asimptotele punctat înainte de a trasa curba; verifică semnul funcției ca să știe dinspre ce parte se apropie graficul de asimptota orizontală.

Unde apare la BAC: Subiectul al III-lea, problema a doua, cere aproape în fiecare sesiune o funcție cu $e^x$ sau $\ln x$, cu subpuncte despre asimptote, monotonie și o inegalitate dedusă din minim. Materia se leagă direct de tabelul de variație complet, studiat anul trecut, și continuă în lecția următoare, graficul funcțiilor trigonometrice, cu modul și pe ramuri.

Întrebări frecvente

Ce este ierarhia de creștere și cum se folosește la limite?

Ierarhia de creștere spune că, la $+\infty$, exponențiala crește mai repede decât orice putere, iar orice putere crește mai repede decât logaritmul. Practic, într-un raport câștigă cine este mai sus în ierarhie: raportul tinde la infinit dacă numărătorul domină și la zero dacă domină numitorul. Din ea se citesc imediat limitele de la capetele domeniului.

Cum se calculează limita lui $x{e}^{-x}$ la plus infinit?

Se rescrie produsul ca raport: $x{e}^{-x}=\frac{x}{e^x}$, care este nedeterminare $\frac{\infty }{\infty }$. Se aplică regula lui L'Hôpital, derivând separat numărătorul și numitorul, și se obține $\frac{1}{e^x}\to 0$. Rezultatul înseamnă geometric că dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre plus infinit.

Când are graficul unei funcții cu logaritm asimptotă verticală?

Numai când limita laterală într-un capăt finit deschis al domeniului este infinită. Logaritmul singur la numărător, ca în $\frac{\ln x}{x-1}$, dă limita plus infinit în origine, deci asimptota există. Înmulțit cu o putere a lui $x$, ca în $x^2\ln x$, limita devine zero, iar asimptota verticală nu mai există; iar la $\frac{x}{\ln x}$ ea apare în $x=1$, unde se anulează numitorul.

De ce nu are funcția $x+\ln (x^2+1)$ asimptotă oblică, dacă panta este 1?

Pentru că definiția cere două limite finite, calculate în ordine. Panta iese $m=1$, dar ordonata la origine este $n=\lim (f(x)-x)=\lim \ln (x^2+1)=+\infty$, care nu este număr real. Fără $n$ finit nu există dreaptă, deci nu există asimptotă oblică, oricât de mică ar fi diferența relativă.

Care este formula derivatei lui $e^{u(x)}$?

Formula este $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$, iar pentru logaritm $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, ambele din tabelul derivatelor compuse. Cazul cel mai des greșit este $e^{-x}$, a cărui derivată este $-e^{-x}$, cu semn schimbat. Un singur semn uitat aici inversează monotonia și face tot tabelul de variație fals.

Cum se desenează graficul după ce am tabelul de variație?

Se trasează întâi asimptotele, punctat, apoi se marchează punctele cunoscute: intersecțiile cu axele, extremele și punctele de inflexiune. Curba se unește respectând săgețile din tabel și simbolurile de convexitate, iar sub desen se scrie lista asimptotelor cu ecuațiile lor. Acesta este pasul al nouălea al schemei, iar ordinea lui are un rost: asimptotele desenate primele îngrădesc curba și fac imposibile erorile grosolane de traseu.

Ce funcții cu exponențială și logaritm apar la Bacalaureat M1?

Cel mai des apar produse de tipul $P(x)e^x$ sau $P(x)e^{-x}$, câturi ca $\frac{e^x}{x-1}$ și $\frac{x}{\ln x}$, precum și sume ca $x^2-2\ln x$ sau produse ca $x^2\ln x$. Cerințele standard sunt asimptotele, tabelul de variație și o inegalitate dedusă din valoarea extremă, la Subiectul al III-lea.