Graficul funcțiilor polinomiale: pe scurt

Graficul unei funcții polinomiale de grad cel puțin $2$ nu are nicio asimptotă: domeniul este $\mathbb{R}$, funcția este continuă peste tot, iar limitele la capete sunt infinite; propoziția aceasta se scrie explicit, ca parte a pasului al nouălea, în loc să se piardă timp cu calcule. Termenul dominant decide singur cele două ramuri: gradul par le trimite în aceeași direcție, gradul impar în direcții opuse, iar semnul coeficientului dominant spune care. O funcție polinomială de gradul $n$ are cel mult $n-1$ puncte de extrem și cel mult $n-2$ puncte de inflexiune — plafoane care se verifică pe desenul terminat. Ordinul unei rădăcini se citește pe grafic: rădăcina simplă traversează axa, cea dublă o atinge și se întoarce, cea triplă o traversează cu tangentă orizontală. Paritatea înjumătățește lucrul. Două capcane rămân de evitat: $f^{\prime }(x_0)=0$ nu înseamnă punct de extrem, iar $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ nu înseamnă punct de inflexiune — marcajul $\text{I}$ se pune numai acolo unde $f$ este derivabilă și convexitatea își schimbă semnul. Funcția fiind derivabilă peste tot, în orice punct de extrem curba se rotunjește; colțurile apar la funcțiile cu modul.

Exerciții din această mini-lecție

1. Graficul funcției polinomiale $f(x)=-2x^4+3x$ are, la cele două capete:

   • a) ambele ramuri urcătoare spre $+\infty$
   • b) o ramură urcătoare și una coborâtoare
   • c) ambele ramuri coborâtoare spre $-\infty$
   • d) asimptotă orizontală
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) ambele ramuri coborâtoare spre $-\infty$

   Comportarea la capete o decide singur termenul dominant $-2x^4$. Gradul fiind par, cele două ramuri merg în aceeași direcție, iar coeficientul dominant fiind negativ, direcția este $-\infty$. Varianta d este exclusă: o funcție polinomială de grad cel puțin $2$ nu are nicio asimptotă.

2. Rădăcina $x=3$ a funcției $f(x)=(x-3{)}^2(x+2)$ se vede pe grafic astfel:

   • a) graficul traversează axa $Ox$ în $3$
   • b) graficul atinge axa $Ox$ în $3$ și se întoarce
   • c) graficul traversează axa $Ox$ în $3$, cu tangentă orizontală
   • d) graficul nu atinge axa $Ox$ în $3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) graficul atinge axa $Ox$ în $3$ și se întoarce

   Rădăcina are ordinul $2$, deci factorul $(x-3{)}^2$ nu își schimbă semnul: în vecinătatea lui $3$ semnul lui $f$ este dat de $x+2>0$, deci graficul rămâne deasupra axei de ambele părți. O rădăcină simplă ar traversa axa, iar una triplă ar traversa-o cu tangentă orizontală.

3. Câte puncte de extrem poate avea, cel mult, graficul unei funcții polinomiale de gradul al cincilea?

   • a) $5$
   • b) $3$
   • c) $2$
   • d) $4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $4$

   Punctele de extrem se caută printre zerourile lui $f^{\prime }$, iar derivata unui polinom de gradul $5$ are gradul $4$, deci cel mult patru rădăcini reale. Plafonul general este $n-1$ pentru extreme și $n-2$ pentru inflexiuni; el se folosește ca test rapid pe desenul terminat.