Graficul funcțiilor polinomiale

Q: Ce este graficul unei funcții polinomiale?

Este mulțimea punctelor (x, f(x)) cu x ∈ ℝ, desenată într-un sistem de axe. Pentru o funcție polinomială, curba este continuă și netedă peste tot, fără întreruperi și fără colțuri, iar forma ei este dată de rădăcini, de punctele de extrem și de punctele de inflexiune, toate citite din tabelul de variație.

Q: Câte puncte de extrem poate avea o funcție polinomială de gradul n?

Cel mult n-1, pentru că punctele de extrem se caută printre rădăcinile derivatei, iar f' este un polinom de grad n-1. Numărul efectiv poate fi mai mic: la gradul al treilea sunt două, una sau niciuna, după cum discriminantul derivatei este pozitiv, nul sau negativ.

Q: Ce se întâmplă cu graficul într-o rădăcină dublă?

Curba atinge axa Ox și se întoarce, fără să treacă de partea cealaltă; punctul este de extrem, iar tangenta acolo este orizontală. Comparativ, într-o rădăcină simplă curba traversează axa cu tangentă oblică, iar într-una triplă o traversează, dar cu tangentă orizontală.

Când un proiectant desenează profilul unui tobogan de apă, al unei pârtii artificiale sau al unei rampe de acces, nu trage linii la întâmplare: alege o funcție polinomială și îi desenează graficul, pentru că numai el arată dintr-o privire unde se urcă, unde se coboară și unde se schimbă curbura. Lecția aceasta, prima din seria de reprezentări grafice a clasei a 12-a, aplică schema completă de studiu exact pe familia cea mai blândă de funcții: cele polinomiale. Graficul unei funcții polinomiale este curba formată din punctele $(x, f (x))$ cu $x$ număr real; ea este continuă și netedă pe toată axa, nu are nicio asimptotă și își schimbă sensul de variație numai în punctele în care derivata se anulează.

De ce începem cu ele? Pentru că nu au nicio surpriză de domeniu și nicio asimptotă. Sunt definite pe tot $R$ , sunt continue și derivabile peste tot, iar toate informațiile despre grafic vin din trei surse: gradul, rădăcinile și cele două derivate. Odată ce ai desenat corect zece grafice de funcții polinomiale, restul unității nu mai adaugă decât grija pentru domeniu și pentru drepte de care curba se apropie.

Ce vei învăța

Vei ști să parcurgi, pe o funcție polinomială, toți cei nouă pași ai studiului complet, până la desenul propriu-zis.
Vei ști să justifici, în două rânduri, de ce o funcție polinomială de grad cel puțin $2$ nu are nicio asimptotă.
Vei ști să citești din grad și din coeficientul dominant cum arată cele două ramuri de la capete, înainte de orice calcul.
Vei ști ce spune despre grafic o rădăcină simplă, una dublă și una triplă.
Vei ști să folosești paritatea funcției ca să înjumătățești lucrul și să simetrizezi desenul.
Vei ști să verifici singur, cu patru controale rapide, dacă graficul pe care l-ai desenat este corect.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este graficul unei funcții polinomiale și de ce nu are asimptote?

Graficul unei funcții polinomiale de grad cel puțin $2$ este o curbă continuă, nesfărâmată, care pleacă din infinit și se termină în infinit, nu are nicio asimptotă și este complet determinată de rădăcinile funcției, de punctele ei de extrem și de punctele ei de inflexiune. Toate aceste elemente se citesc din tabelul de variație.

Afirmația despre asimptote merită demonstrată, pentru că e prima economie de timp pe care o faci la examen. Fie $f (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ , cu $a_{n} \neq = 0$ și $n \geq 2$ .

Asimptote verticale nu există. Candidații ar fi capetele finite deschise ale domeniului și punctele de discontinuitate, dar domeniul este $R$ , iar funcția este continuă în fiecare punct. Nu rămâne niciun candidat.
Asimptote orizontale nu există. Limitele la $\pm \infty$ sunt infinite, pentru că $f (x) = x^{n} (a_{n} + \frac{a _{n - 1}}{x} + \dots + \frac{a _{0}}{x ^{n}})$ , iar paranteza tinde la $a_{n} \neq = 0$ . O asimptotă orizontală ar cere o limită finită.
Asimptote oblice nu există. Panta ar fi $m = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ , adică limita lui $x^{n - 1}$ înmulțit cu o expresie care tinde la $a_{n}$ ; pentru $n \geq 2$ această limită este infinită, deci $m$ nu este număr real.

Rezultatul se scrie sub fiecare grafic din lecție, exact în forma cerută de regula de citire a asimptotelor funcțiilor uzuale: funcția nu are asimptote. Prima familie la care ele chiar apar este cea a funcțiilor raționale, studiată în lecția următoare, graficul funcțiilor raționale. Nu se sare peste rând, chiar dacă lista este goală — la Bacalaureat M1 corectorul caută concluzia scrisă, nu absența ei.

Singurul caz care se comportă altfel este gradul $1$ . Pentru $f (x) = a x + b$ cu $a \neq = 0$ , calculul dă $m = a$ și $n = b$ , deci dreapta $y = a x + b$ este, formal, asimptotă oblică pentru propriul ei grafic. Situația este degenerată și nu se cere niciodată; de aceea toate afirmațiile din lecție se referă la gradul cel puțin $2$ .

2. Cum se citește forma graficului din grad și din coeficientul dominant?

Înainte de a calcula orice derivată, poți spune cum arată capetele curbei. Termenul dominant $a_{n} x^{n}$ decide singur ambele limite, iar acestea sunt pasul $3$ din schema studiului.

Gradul $n$	$a_{n} > 0$	$a_{n} < 0$
par	ambele ramuri urcă spre $+ \infty$	ambele ramuri coboară spre $- \infty$
impar	de la $- \infty$ la $+ \infty$	de la $+ \infty$ la $- \infty$

Din grad se citesc și două plafoane utile. Derivata $f^{'}$ este un polinom de grad $n - 1$ , deci are cel mult $n - 1$ rădăcini: o funcție polinomială de grad $n$ are cel mult $n - 1$ puncte de extrem. La fel, $f^{''}$ are gradul $n - 2$ , deci există cel mult $n - 2$ puncte de inflexiune. O funcție de gradul al treilea are, prin urmare, cel mult două extreme și cel mult o inflexiune — iar inflexiunea există întotdeauna, pentru că $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ este de gradul întâi și își schimbă semnul în unica sa rădăcină.

La gradul al patrulea, numărul punctelor de inflexiune este $0$ sau $2$ , niciodată $1$ : $f^{''}$ este un trinom de gradul al doilea, iar dacă are rădăcină dublă nu își schimbă semnul acolo. Este exact capcana din lecția despre punctele de inflexiune, pe care $f (x) = x^{4}$ o ilustrează.

3. Intersecțiile cu axele și ce spune ordinul unei rădăcini

Pasul $1$ al schemei primește, la clasa a XII-a, un subpunct nou: intersecțiile cu axele. Ele sunt punctele pe care le marchezi primele pe desen, pentru că se obțin fără nicio derivată.

Cu axa $O y$ : un singur punct, $(0, f (0))$ , adică termenul liber al polinomului.
Cu axa $O x$ : punctele $(x_{0}, 0)$ cu $f (x_{0}) = 0$ , adică rădăcinile reale ale polinomului. Se caută prin descompunere în factori, cu metodele de la clasa a X-a.

Ordinul rădăcinii se vede pe grafic, iar acesta este cel mai util lucru pe care îl poți învăța despre desen:

rădăcină simplă — curba traversează axa, cu tangentă oblică;
rădăcină dublă — curba atinge axa și se întoarce; punctul este de extrem, iar tangenta este orizontală;
rădăcină triplă — curba traversează axa, dar cu tangentă orizontală, iar punctul este de inflexiune.

Verifică regula pe $f (x) = (x + 1) (x - 2)^{2}$ : în $- 1$ graficul taie axa, în $2$ o atinge și se întoarce în sus. Și pe $f (x) = x^{3} (x - 4)$ : în $0$ curba traversează axa lipindu-se de ea, iar în $4$ o taie normal.

4. Paritatea și simetriile care scurtează studiul

Tot la pasul $1$ se verifică paritatea, pentru că ea taie jumătate din muncă. Un polinom cu toți exponenții pari este funcție pară, iar graficul lui este simetric față de axa $O y$ ; un polinom cu toți exponenții impari este funcție impară, iar graficul este simetric față de origine. În ambele cazuri se studiază funcția numai pe $[0, + \infty)$ , se face tabelul acolo și se simetrizează desenul.

Amestecul strică simetria: $f (x) = x^{3} + x^{2}$ nu este nici pară, nici impară, pentru că $f (- 1) = 0$ și $f (1) = 2$ nu sunt nici egale, nici opuse.

O simetrie mai puțin cunoscută, dar adevărată pentru orice funcție de gradul al treilea: graficul este simetric față de propriul punct de inflexiune. Este motivul pentru care toate cubicele „arată la fel", indiferent de coeficienți, și îți dă un control gratuit al desenului: cele două arcuri, de o parte și de alta a inflexiunii, trebuie să fie copii răsturnate una a celeilalte.

5. Pasul al nouălea: trasarea propriu-zisă a graficului

Cei opt pași ai studiului variației au fost fixați la clasa a XI-a, împreună cu formatul tabelului din tabelul de variație complet, iar unitatea aceasta le-a adăugat al nouălea la schema completă a reprezentării grafice. Pentru funcțiile polinomiale, pasul $9$ se execută astfel:

desenezi axele și alegi scara — nu obligatoriu aceeași pe $O x$ și pe $O y$ ; dacă valorile extreme sunt $- 27$ și $4$ , unitatea de pe $O y$ trebuie să fie mai mică;
marchezi punctele din tabel: intersecțiile cu axele, punctele de extrem $(x_{0}, f (x_{0}))$ și punctele de inflexiune;
desenezi tangentele orizontale cu o linie scurtă, în fiecare punct de extrem — ele te împiedică să faci vârfuri ascuțite acolo unde curba trebuie să fie netedă;
unești punctele respectând tabelul: unde ai $↗$ urci, unde ai $↘$ cobori, unde ai $\cup$ curba ține apa, unde ai $\cap$ o varsă;
prelungești ramurile către limitele de la capete;
scrii sub grafic lista asimptotelor — la funcțiile polinomiale de grad cel puțin $2$ , propoziția este „funcția nu are asimptote".

6. Cum verifici că graficul desenat este corect?

Patru controale, în ordinea aceasta, prind aproape orice greșeală de desen:

numărul de „cocoașe" coincide cu numărul de puncte de extrem din tabel;
fiecare rădăcină din pasul $1$ apare pe desen ca punct în care curba atinge axa $O x$ , cu comportarea potrivită ordinului ei;
curbura se schimbă exact în punctele de inflexiune și nicăieri altundeva;
valoarea $f (0)$ de pe desen coincide cu termenul liber al polinomului.

Un al cincilea control, gratuit: alege un punct oarecare, de exemplu $x = 10$ , calculează $f (10)$ și verifică semnul. Dacă desenul spune „negativ" și calculul spune „pozitiv", greșeala este în desen, nu în calcul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cubică cu rădăcină dublă

Reprezentați grafic funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ .

Rezolvare. Pașii 1–2: $D = R$ ; funcție polinomială, deci continuă și derivabilă pe $R$ . Intersecțiile: $f (x) = x (x - 3)^{2}$ , deci $O x$ în $(0, 0)$ și $(3, 0)$ , iar $O y$ în $(0, 0)$ . Funcția nu este nici pară, nici impară.

Pasul 3: $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ și $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ ; funcția nu are asimptote.

Pasul 4: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x - 1) (x - 3)$ , cu zerourile $1$ și $3$ ; semnul este $+, -, +$ .

Pasul 5: $f^{''} (x) = 6 x - 12$ , cu zeroul $2$ ; semnul este $-$ , apoi $+$ .

Pasul 6: $f (1) = 4$ , $f (2) = 2$ , $f (3) = 0$ ; $f^{'} (2) = - 3$ ; $f^{''} (1) = - 6$ , $f^{''} (3) = 6$ .

Pasul 7:

$x$	$- \infty$		$1$		$2$		$3$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	$- 3$	$-$	$0$	$+$
$f^{''} (x)$		$-$	$- 6$	$-$	$0$	$+$	$6$	$+$
$f (x)$	$- \infty$	$↗ \cap$	$4 M$	$↘ \cap$	$2 I$	$↘ \cup$	$0 m$	$↗ \cup$	$+ \infty$

Pasul 8 — citirea tabelului: $f$ este strict crescătoare pe $(- \infty, 1]$ și pe $[3, + \infty)$ și strict descrescătoare pe $[1, 3]$ ; are maximul local $f (1) = 4$ și minimul local $f (3) = 0$ ; este concavă pe $(- \infty, 2]$ și convexă pe $[2, + \infty)$ , cu punctul de inflexiune $(2, 2)$ ; imaginea funcției este $R$ .

Pasul 9: rădăcina dublă $x = 3$ se vede pe desen: curba coboară până atinge axa în $(3, 0)$ și urcă înapoi, fără să treacă dincolo de ea.

Exemplul 2 — Funcție pară, cu două rădăcini duble

Reprezentați grafic funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (x^{2} - 4)^{2}$ .

Rezolvare. Pașii 1–2: $D = R$ , funcție polinomială de gradul al patrulea, deci continuă și derivabilă. Dezvoltat, $f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16$ : toți exponenții sunt pari, deci $f$ este pară. O studiem pe $[0, + \infty)$ și simetrizăm față de $O y$ . Intersecțiile: $f (x) = 0$ dă $x = \pm 2$ , ambele rădăcini duble; cu $O y$ , punctul $(0, 16)$ .

Pasul 3: $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ , iar prin paritate și $x \to - \infty lim f (x) = + \infty$ ; graficul nu are asimptote.

Pasul 4: $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 16 x = 4 x (x - 2) (x + 2)$ ; pe $[0, + \infty)$ zerourile sunt $0$ și $2$ , cu $f^{'} < 0$ pe $(0, 2)$ și $f^{'} > 0$ pe $(2, + \infty)$ .

Pasul 5: $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 16$ , cu zeroul pozitiv $\frac{2 3}{3}$ ; $f^{''} < 0$ înainte, $f^{''} > 0$ după.

Pasul 6: $f (0) = 16$ , $f (\frac{2 3}{3}) = \frac{64}{9}$ , $f (2) = 0$ ; $f^{'} (\frac{2 3}{3}) = - \frac{64 3}{9}$ ; $f^{''} (0) = - 16$ , $f^{''} (2) = 32$ .

Pasul 7 (pe $[0, + \infty)$ ):

$x$	$0$		$\frac{2 3}{3}$		$2$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$	$0$	$-$	$- \frac{64 3}{9}$	$-$	$0$	$+$
$f^{''} (x)$	$- 16$	$-$	$0$	$+$	$32$	$+$
$f (x)$	$16 M$	$↘ \cap$	$\frac{64}{9} I$	$↘ \cup$	$0 m$	$↗ \cup$	$+ \infty$

Pasul 8: pe $[0, + \infty)$ funcția scade pe $[0, 2]$ și crește pe $[2, + \infty)$ , cu maximul local $f (0) = 16$ și minimul $f (2) = 0$ ; punctul de inflexiune este $(\frac{2 3}{3}, \frac{64}{9})$ . Prin simetrie față de $O y$ , funcția are al doilea minim $f (- 2) = 0$ și a doua inflexiune $(- \frac{2 3}{3}, \frac{64}{9})$ , iar $0$ rămâne maxim local. Imaginea este $[0, + \infty)$ .

Pasul 9: desenul are forma unei litere W netede, cu vârful de sus la înălțimea $16$ și cu cele două gropi așezate exact pe axa $O x$ — pentru că rădăcinile sunt duble, curba atinge axa acolo și se întoarce, fără să treacă niciodată sub ea.

Exemplul 3 — Punct critic care nu este punct de extrem

Reprezentați grafic funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ .

Rezolvare. $D = R$ ; $f (x) = x^{3} (x - 4)$ , deci $O x$ în $(0, 0)$ — rădăcină triplă — și în $(4, 0)$ ; $O y$ în $(0, 0)$ . Limitele la $\pm \infty$ sunt amândouă $+ \infty$ (grad par, coeficient dominant pozitiv), deci funcția nu are asimptote.

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} = 4 x^{2} (x - 3)$ : zerourile sunt $0$ și $3$ , dar factorul $x^{2}$ nu schimbă semnul, deci $f^{'} < 0$ atât pe $(- \infty, 0)$ , cât și pe $(0, 3)$ , și $f^{'} > 0$ pe $(3, + \infty)$ . Punctul $0$ este critic fără a fi extrem.

$f^{''} (x) = 12 x^{2} - 24 x = 12 x (x - 2)$ , cu zerourile $0$ și $2$ , în ambele schimbând semnul. Valorile: $f (0) = 0$ , $f (2) = - 16$ , $f (3) = - 27$ ; $f^{'} (2) = - 16$ ; $f^{''} (3) = 36$ .

$x$	$- \infty$		$0$		$2$		$3$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$0$	$-$	$- 16$	$-$	$0$	$+$
$f^{''} (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$36$	$+$
$f (x)$	$+ \infty$	$↘ \cup$	$0 I$	$↘ \cap$	$- 16 I$	$↘ \cup$	$- 27 m$	$↗ \cup$	$+ \infty$

Citirea tabelului: $f$ scade pe $(- \infty, 3]$ și crește pe $[3, + \infty)$ , cu unicul extrem, minimul global $f (3) = - 27$ ; are două puncte de inflexiune, $(0, 0)$ și $(2, - 16)$ ; imaginea este $[- 27, + \infty)$ . În origine tangenta este orizontală, deși punctul nu este de extrem — exact comportarea prezisă de rădăcina triplă.

Exemplul 4 — Cubică fără puncte de extrem

Reprezentați grafic funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + 3 x$ .

Rezolvare. Toți exponenții sunt impari, deci funcția este impară și graficul este simetric față de origine. $f (x) = x (x^{2} + 3)$ , deci singura intersecție cu axele este originea.

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 3 > 0$ pentru orice $x$ , deci $f$ este strict crescătoare pe $R$ și nu are puncte de extrem. $f^{''} (x) = 6 x$ își schimbă semnul în $0$ : funcția este concavă pe $(- \infty, 0]$ și convexă pe $[0, + \infty)$ , cu punctul de inflexiune $(0, 0)$ . Limitele sunt $- \infty$ și $+ \infty$ , deci imaginea este $R$ și funcția nu are asimptote.

$x$	$- \infty$		$0$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$3$	$+$
$f^{''} (x)$		$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$- \infty$	$↗ \cap$	$0 I$	$↗ \cup$	$+ \infty$

Citirea tabelului: graficul urcă permanent, fără cocoașe, și își schimbă curbura o singură dată, în origine. Cum $f$ este continuă și strict crescătoare de la $- \infty$ la $+ \infty$ , ecuația $x^{3} + 3 x = k$ are exact o soluție reală, oricare ar fi $k$ .

Exemplul 5 — Când $f^{''}$ se anulează fără să existe inflexiune

Reprezentați grafic funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} + 4 x$ .

Rezolvare. $D = R$ ; $f (x) = x (x^{3} + 4)$ , deci intersecțiile cu $O x$ sunt $(0, 0)$ și $(- 34, 0)$ , unde $- 34 \approx - 1, 59$ ; cu $O y$ , originea. Limitele la $\pm \infty$ sunt $+ \infty$ , deci fără asimptote.

$f^{'} (x) = 4 x^{3} + 4 = 4 (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ . Al doilea factor are discriminantul $- 3 < 0$ , deci este mereu pozitiv: semnul lui $f^{'}$ este dat numai de $x + 1$ . Rezultă $f^{'} < 0$ pe $(- \infty, - 1)$ și $f^{'} > 0$ pe $(- 1, + \infty)$ , cu minimul global $f (- 1) = - 3$ .

$f^{''} (x) = 12 x^{2} \geq 0$ , cu zeroul $0$ . Aici este toată învățătura exemplului: $f^{''} (0) = 0$ , dar $f^{''}$ nu își schimbă semnul, deci $0$ nu este punct de inflexiune, iar funcția rămâne convexă pe tot $R$ .

$x$	$- \infty$		$- 1$		$0$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$0$	$+$	$4$	$+$
$f^{''} (x)$		$+$	$12$	$+$	$0$	$+$
$f (x)$	$+ \infty$	$↘ \cup$	$- 3 m$	$↗ \cup$	$0$	$↗ \cup$	$+ \infty$

Citirea tabelului: funcția scade pe $(- \infty, - 1]$ și crește pe $[- 1, + \infty)$ , cu minimul global $f (- 1) = - 3$ ; este convexă pe tot $R$ ; imaginea este $[- 3, + \infty)$ . Graficul are o singură groapă și nicio schimbare de curbură.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ . a) Alcătuiți tabelul de variație complet al funcției $f$ . b) Reprezentați grafic funcția $f$ . c) Arătați că $x^{3} + 4 \geq 3 x^{2}$ pentru orice $x \geq - 1$ .

Rezolvare. a) $D = R$ , funcție continuă și derivabilă. Descompunerea $f (x) = (x + 1) (x - 2)^{2}$ dă rădăcinile: $- 1$ simplă și $2$ dublă. Intersecția cu $O y$ : $(0, 4)$ . Limitele: $- \infty$ și $+ \infty$ , deci fără asimptote.

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ , cu zerourile $0$ și $2$ ; $f^{''} (x) = 6 x - 6$ , cu zeroul $1$ . Valorile: $f (0) = 4$ , $f (1) = 2$ , $f (2) = 0$ ; $f^{'} (1) = - 3$ ; $f^{''} (0) = - 6$ , $f^{''} (2) = 6$ .

$x$	$- \infty$		$0$		$1$		$2$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	$- 3$	$-$	$0$	$+$
$f^{''} (x)$		$-$	$- 6$	$-$	$0$	$+$	$6$	$+$
$f (x)$	$- \infty$	$↗ \cap$	$4 M$	$↘ \cap$	$2 I$	$↘ \cup$	$0 m$	$↗ \cup$	$+ \infty$

Citirea tabelului: $f$ crește pe $(- \infty, 0]$ și pe $[2, + \infty)$ , scade pe $[0, 2]$ ; maximul local este $f (0) = 4$ , minimul local $f (2) = 0$ ; inflexiunea este în $(1, 2)$ ; imaginea este $R$ .

b) Se marchează $(- 1, 0)$ , $(0, 4)$ , $(1, 2)$ și $(2, 0)$ , se trasează tangentele orizontale în $x = 0$ și $x = 2$ , apoi se unesc punctele după săgeți. În $2$ curba atinge axa și se întoarce, pentru că rădăcina este dublă. Sub grafic: funcția nu are asimptote.

c) Inegalitatea cerută se rescrie $f (x) \geq 0$ . Din tabel, pe $[- 1, 2]$ funcția pornește din $f (- 1) = 0$ , urcă la $4$ , apoi coboară la $f (2) = 0$ , deci este pozitivă; pe $[2, + \infty)$ crește de la $0$ , deci rămâne pozitivă. Prin urmare $f (x) \geq 0$ pentru orice $x \geq - 1$ , cu egalitate exact în $x = - 1$ și $x = 2$ .

Să exersăm

1. Determinați domeniul, intersecțiile cu axele și limitele la capete pentru $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ .

2. Pentru funcția de la exercițiul 1, calculați $f^{'}$ și $f^{''}$ și precizați punctele critice și candidații la inflexiune.

3. Alcătuiți tabelul de variație complet pentru $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ și descrieți în cuvinte forma graficului.

4. Arătați că funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + x$ , nu are puncte de extrem și precizați punctul ei de inflexiune.

5. Determinați intersecțiile cu axele pentru funcția bipătrată $f (x) = x^{4} - 17 x^{2} + 16$ .

6. Studiați paritatea funcțiilor $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 1$ , $g (x) = x^{5} - 2 x^{3}$ și $h (x) = x^{3} + x^{2}$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție polinomială de gradul al treilea are două puncte de extrem."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Graficul unei funcții polinomiale de gradul al patrulea poate avea asimptotă orizontală."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{''} (x_{0}) = 0$ , atunci graficul lui $f$ are punct de inflexiune în $x_{0}$ ."

10. Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care funcția $f (x) = x^{3} - 3 m x$ are două puncte de extrem.

11. Reprezentați grafic funcția $f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ , folosind paritatea ei.

12. Arătați că graficul funcției $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ taie axa $O x$ în trei puncte.

13. Determinați imaginea funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ .

14. Câte puncte de inflexiune poate avea graficul unei funcții polinomiale de gradul al patrulea? Justificați.

15. (Problemă aplicată.) Profilul unei pârtii artificiale, măsurat în metri, este dat de $h (x) = \frac{1}{10} (x^{3} - 6 x^{2} + 9 x)$ pentru $x \in [0, 4]$ . Aflați punctul cel mai înalt al pârtiei și punctul în care se schimbă curbura.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ . a) Alcătuiți tabelul de variație. b) Determinați punctul de inflexiune. c) Arătați că $f (x) \leq 2$ pentru orice $x \in [0, 3]$ .

17. Reprezentați grafic funcția $f (x) = - x^{3} + 3 x$ și explicați legătura dintre graficul ei și cel al funcției $g (x) = x^{3} - 3 x$ .

18. (Provocare.) Arătați că graficul oricărei funcții polinomiale de gradul al treilea este simetric față de punctul său de inflexiune.

Răspunsuri și explicații

1. $D = R$ ; $f (x) = x^{2} (x - 3)$ , deci $O x$ în $(0, 0)$ (rădăcină dublă) și $(3, 0)$ , iar $O y$ în $(0, 0)$ ; $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ , $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ .

2. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ , puncte critice $0$ și $2$ ; $f^{''} (x) = 6 x - 6$ , unicul candidat la inflexiune este $1$ , iar el chiar este punct de inflexiune, pentru că $f^{''}$ își schimbă semnul acolo.

3. Maxim local $f (0) = 0$ , minim local $f (2) = - 4$ , inflexiune în $(1, - 2)$ ; funcția crește pe $(- \infty, 0]$ , scade pe $[0, 2]$ , crește pe $[2, + \infty)$ ; este concavă pe $(- \infty, 1]$ și convexă pe $[1, + \infty)$ . Graficul atinge axa în origine și se întoarce, apoi o taie în $(3, 0)$ .

4. $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ pentru orice $x$ , deci $f$ este strict crescătoare și nu are extreme; $f^{''} (x) = 6 x$ schimbă semnul în $0$ , deci punctul de inflexiune este $(0, 0)$ .

5. Cu notația $t = x^{2}$ se obține $t^{2} - 17 t + 16 = 0$ , cu $t \in {1, 16}$ , deci $x \in {- 4, - 1, 1, 4}$ : patru intersecții cu $O x$ . Cu $O y$ : $(0, 16)$ .

6. $f$ este pară (numai exponenți pari), $g$ este impară (numai exponenți impari), iar $h$ nu este nici pară, nici impară, pentru că $h (1) = 2$ și $h (- 1) = 0$ .

7. Fals. $f^{'}$ este de gradul al doilea și poate să nu aibă rădăcini reale; de exemplu $f (x) = x^{3} + 3 x$ are $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 3 > 0$ și niciun extrem. Corect este „cel mult două".

8. Fals. Limitele la $\pm \infty$ sunt infinite, iar o asimptotă orizontală cere limită finită.

9. Fals. Anularea lui $f^{''}$ este doar condiție necesară; trebuie și schimbarea de semn. Contraexemplul standard este $f (x) = x^{4}$ în origine.

10. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 m = 3 (x^{2} - m)$ are două rădăcini reale distincte exact pentru $m > 0$ ; atunci ele sunt $\pm m$ și $f^{'}$ își schimbă semnul în fiecare, deci sunt puncte de extrem. Răspuns: $m \in (0, + \infty)$ .

11. Funcție pară; $f^{'} (x) = 4 x (x^{2} - 2)$ dă pe $[0, + \infty)$ minimul $f (2) = - 4$ și maximul local $f (0) = 0$ ; $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 8$ dă inflexiunea în $x = \frac{6}{3}$ , cu $f (\frac{6}{3}) = - \frac{20}{9}$ . Se simetrizează față de $O y$ : forma este tot de literă W, cu gropi de adâncime $4$ și intersecții cu $O x$ în $- 2$ , $0$ și $2$ .

12. $f (- 2) = - 1 < 0$ , $f (0) = 1 > 0$ , $f (1) = - 1 < 0$ , $f (2) = 3 > 0$ : trei schimbări de semn, deci trei rădăcini reale, câte una în $(- 2, 0)$ , $(0, 1)$ și $(1, 2)$ . Cum gradul este $3$ , nu pot fi mai multe.

13. Din Exemplul 3, minimul global este $f (3) = - 27$ , iar limitele la capete sunt $+ \infty$ ; funcția fiind continuă, imaginea este $[- 27, + \infty)$ .

14. Zero sau două, niciodată una. $f^{''}$ este de gradul al doilea: dacă are două rădăcini distincte, își schimbă semnul în amândouă; dacă are rădăcină dublă sau nicio rădăcină reală, nu își schimbă semnul deloc.

15. $h$ este proporțională cu funcția din Exemplul 1, deci punctul cel mai înalt de pe $[0, 4]$ se atinge acolo unde este maximul, adică în $x = 1$ , cu înălțimea $0, 4$ metri; curbura se schimbă în $x = 2$ , la înălțimea $0, 2$ metri. La capătul $x = 4$ , înălțimea este $0, 4$ metri, egală cu maximul local — pârtia se ridică din nou.

16. a) $f^{'} (x) = 3 x (x - 2)$ : maxim $f (0) = 2$ , minim $f (2) = - 2$ ; $f^{''} (x) = 6 x - 6$ . b) Punctul de inflexiune este $(1, 0)$ . c) Pe $[0, 3]$ funcția scade de la $2$ la $- 2$ , apoi crește până la $f (3) = 2$ ; maximul pe acest interval este $2$ , deci $f (x) \leq 2$ , cu egalitate în $x = 0$ și $x = 3$ .

17. $- x^{3} + 3 x = - (x^{3} - 3 x)$ , deci graficul lui $f$ este simetricul graficului lui $g$ față de axa $O x$ : maximele devin minime și invers, iar concavitatea se schimbă în convexitate.

18. Fie $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ , cu $a \neq = 0$ . Atunci $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ se anulează în $x_{0} = - \frac{b}{3 a}$ , unde își schimbă semnul, deci acolo este inflexiunea. Se calculează $f (x_{0} + t) + f (x_{0} - t)$ : termenii de grad impar în $t$ se reduc, iar rezultatul este $2 f (x_{0})$ pentru orice $t$ . Aceasta înseamnă exact că punctele $(x_{0} + t, f (x_{0} + t))$ și $(x_{0} - t, f (x_{0} - t))$ sunt simetrice față de $(x_{0}, f (x_{0}))$ .

De reținut

Graficul unei funcții polinomiale de grad cel puțin $2$ nu are nicio asimptotă, iar propoziția aceasta se scrie explicit sub fiecare desen, ca parte a pasului al nouălea.
Termenul dominant decide singur cele două ramuri de la capete: gradul par le trimite în aceeași direcție, gradul impar în direcții opuse, iar semnul coeficientului dominant spune care.
O funcție polinomială de gradul $n$ are cel mult $n - 1$ puncte de extrem și cel mult $n - 2$ puncte de inflexiune, iar aceste plafoane se verifică pe desenul terminat.
Ordinul unei rădăcini se vede pe grafic: rădăcina simplă traversează axa, cea dublă o atinge și se întoarce, cea triplă o traversează cu tangentă orizontală.
Paritatea înjumătățește lucrul: la o funcție pară se studiază numai $[0, + \infty)$ și se simetrizează față de axa $O y$ , iar la una impară se simetrizează față de origine.

Greșeli frecvente

Cauți asimptote la o funcție polinomială. Este timp pierdut la Bacalaureat M1: domeniul este $R$ , funcția este continuă, iar limitele la capete sunt infinite. Scrie direct concluzia că nu există asimptote.
Desenezi vârfuri ascuțite în punctele de extrem. O funcție polinomială este derivabilă peste tot, deci în orice punct de extrem tangenta este orizontală și curba se rotunjește; colțurile apar la funcțiile cu modul, nu aici.
Confunzi „ $f^{'} (x_{0}) = 0$ " cu „ $x_{0}$ este punct de extrem". În Exemplul 3, $f^{'} (0) = 0$ , dar funcția scade și înainte, și după; punctul este de inflexiune cu tangentă orizontală.
Declari inflexiune ori de câte ori $f^{''}$ se anulează. În Exemplul 5, $f^{''} (0) = 0$ , dar semnul nu se schimbă și curba rămâne convexă. Verifică întotdeauna schimbarea de semn.
Folosești aceeași scară pe ambele axe când valorile o interzic. Pentru $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ , minimul este $- 27$ : cu scară egală, desenul iese o linie verticală. Alege pe $O y$ o unitate mai mică și scrie-o pe axă.

Aplică acasă

Cinci grafice într-o pagină. Desenează, pe aceeași foaie, graficele funcțiilor $x^{3}$ , $x^{3} - 3 x$ , $x^{3} + 3 x$ , $x^{4}$ și $x^{4} - 2 x^{2}$ , fiecare cu punctele de extrem și de inflexiune marcate. Așezate alături, ele îți arată dintr-o privire toate formele pe care le poate lua o cubică sau o cuartică.
Din grafic înapoi în formulă. Cere-i unui coleg să deseneze graficul unei funcții polinomiale de gradul al treilea fără să-ți spună formula, marcând doar intersecțiile cu axele. Reconstituie polinomul din rădăcini, verifică cu valoarea în $x = 0$ și comparați rezultatele.
Curba din jurul tău. Fotografiază un obiect al cărui contur seamănă cu o curbă polinomială: un pod, spătarul unui scaun, profilul unui deal. Suprapune peste fotografie un sistem de axe, citește trei-patru puncte și încearcă să găsești o funcție de gradul al treilea al cărei grafic să treacă aproximativ prin ele.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide seria de reprezentări grafice a clasei a XII-a și este, deliberat, cea mai simplă din serie: funcțiile polinomiale nu au restricții de domeniu și nu au asimptote, deci elevul poate să exerseze desenul fără să se lupte simultan cu limite laterale. Ea răspunde direct cerinței din programă de a trasa reprezentarea grafică folosind informațiile din tabelul de variație.

Ce verifică lecția: (1) parcurgerea completă a schemei, inclusiv a subpunctelor noi ale pasului $1$ — intersecțiile cu axele și paritatea; (2) justificarea, nu simpla afirmare, a lipsei asimptotelor; (3) construcția corectă a tabelului de variație complet; (4) traducerea tabelului în desen, cu tangente orizontale în extreme și cu schimbarea curburii exact în inflexiuni; (5) scrierea concluziei despre asimptote sub grafic.

Întrebări bune de control: „Câte extreme poate avea cel mult această funcție și de ce?", „Ce se întâmplă cu graficul într-o rădăcină dublă?", „De ce nu poate exista aici o asimptotă orizontală?", „Unde se schimbă curbura și cum se vede asta pe desen?". Un semn sigur că elevul a înțeles: înainte de a calcula ceva, spune cum arată cele două ramuri de la capete, doar privind gradul și coeficientul dominant.

La BAC, profilul matematică-informatică cere aproape întotdeauna un studiu parțial de funcție în Subiectul al III-lea: monotonie, un extrem, o inegalitate dedusă din el sau numărul soluțiilor unei ecuații. Desenul propriu-zis apare mai rar ca cerință directă, dar elevul care îl poate face rezolvă mult mai repede subpunctele care vin după.

Întrebări frecvente

Ce este graficul unei funcții polinomiale? Este mulțimea punctelor $(x, f (x))$ cu $x \in R$ , desenată într-un sistem de axe. Pentru o funcție polinomială, curba este continuă și netedă peste tot, fără întreruperi și fără colțuri, iar forma ei este dată de rădăcini, de punctele de extrem și de punctele de inflexiune, toate citite din tabelul de variație.

De ce funcțiile polinomiale nu au asimptote? Pentru că nu există candidați. Verticalele ar cere puncte în care funcția nu este definită sau nu este continuă, iar polinoamele sunt continue pe tot $R$ . Orizontalele ar cere limite finite la $\pm \infty$ , dar acestea sunt infinite pentru gradul cel puțin $1$ . Oblicele ar cere ca $f (x) / x$ să aibă limită finită nenulă, ceea ce nu se întâmplă la gradul cel puțin $2$ .

Cum se trasează graficul unei funcții de gradul al treilea? Se calculează derivata, se află cele cel mult două puncte critice și semnul derivatei, apoi se calculează $f^{''}$ și unicul punct de inflexiune. Se marchează pe axe intersecțiile cu $O x$ și cu $O y$ , extremele și inflexiunea, se trasează tangentele orizontale în extreme și se unesc punctele respectând săgețile și simbolurile de convexitate din tabel.

Câte puncte de extrem poate avea o funcție polinomială de gradul $n$ ? Cel mult $n - 1$ , pentru că punctele de extrem se caută printre rădăcinile derivatei, iar $f^{'}$ este un polinom de grad $n - 1$ . Numărul efectiv poate fi mai mic: la gradul al treilea sunt două, una sau niciuna, după cum discriminantul derivatei este pozitiv, nul sau negativ.

Ce se întâmplă cu graficul într-o rădăcină dublă? Curba atinge axa $O x$ și se întoarce, fără să treacă de partea cealaltă; punctul este de extrem, iar tangenta acolo este orizontală. Comparativ, într-o rădăcină simplă curba traversează axa cu tangentă oblică, iar într-una triplă o traversează, dar cu tangentă orizontală.

Cum folosesc paritatea ca să desenez mai repede? Dacă toți exponenții sunt pari, funcția este pară: studiezi numai pe $[0, + \infty)$ , faci tabelul acolo și oglindești desenul față de axa $O y$ . Dacă toți exponenții sunt impari, funcția este impară și oglindești față de origine. Un polinom cu exponenți de ambele feluri nu are niciuna dintre aceste simetrii.

De ce apar aceste grafice în subiectele de Bacalaureat M1? Pentru că un singur studiu de funcție polinomială verifică deodată derivarea, semnul unei expresii factorizate, limitele la infinit, convexitatea și redactarea unui tabel. Subiectul al III-lea cere de obicei doar câteva dintre aceste subpuncte, dar toate se sprijină pe același desen, iar cine îl are în minte rezolvă mai repede.