Graficul funcțiilor raționale: pe scurt

Domeniul unei funcții raționale se obține scoțând zerourile numitorului și se scrie ca reuniune de intervale; numărul acestor intervale este numărul ramurilor graficului. Un zero al numitorului este doar un candidat la asimptotă verticală: dreapta $x=a$ este asimptotă numai dacă cel puțin una dintre limitele laterale în $a$ este infinită, iar rădăcinile comune cu numărătorul dau găuri, nu asimptote. Comportarea la infinit o decide compararea gradelor: numărător de grad mai mic dă orizontala $y=0$; grade egale dau orizontala raportului coeficienților dominanți; o diferență de $1$ dă o oblică; o diferență de cel puțin $2$ nu dă nicio asimptotă. Împărțirea cu rest scoate asimptota oblică și, în plus, arată prin semnul restului de care parte a dreptei se află graficul pe fiecare interval. Monotonia se formulează întotdeauna pe câte un interval al domeniului, niciodată pe reuniunea lor: între ramuri graficul sare de la $-\infty$ la $+\infty$, deci „descrescătoare pe $(-\infty ,1)$ și pe $(1,+\infty )$” este corect, iar „descrescătoare pe $\mathbb{R}\setminus \{1\}$” nu. La desen, curba nu atinge niciodată asimptota verticală, dar poate tăia liniștit una orizontală sau oblică.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru $f(x)=\frac{x+4}{x-3}$, concluzia corectă de monotonie este:

   • a) strict descrescătoare pe $(-\infty ,3)$ și pe $(3,+\infty )$
   • b) strict descrescătoare pe $\mathbb{R}\setminus \{3\}$
   • c) strict crescătoare pe fiecare interval al domeniului
   • d) constantă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) strict descrescătoare pe $(-\infty ,3)$ și pe $(3,+\infty )$

   Derivata este $f^{\prime }(x)=\frac{(x-3)-(x+4)}{(x-3{)}^2}=\frac{-7}{(x-3{)}^2}<0$ pe tot domeniul, deci funcția scade pe fiecare interval. Concluzia se dă însă pe interval, cu „și”, nu pe reuniune: între cele două ramuri graficul sare, iar $f(2)=-6$ este mai mic decât $f(4)=8$, ceea ce ar contrazice o descreștere globală.

2. Graficul funcției $f(x)=\frac{x^3-2}{x+3}$ are, spre $+\infty$:

   • a) asimptotă oblică
   • b) asimptota orizontală $y=1$
   • c) asimptota $y=x^2$
   • d) nicio asimptotă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) nicio asimptotă

   Diferența de grade este $3-1=2$, deci limita funcției este infinită (nicio orizontală), iar panta $m=\lim \frac{f(x)}{x}$ este tot infinită (nicio oblică). Regula gradelor spune limpede: o diferență de cel puțin $2$ nu produce nicio asimptotă la infinit. Varianta c nu este ecuația unei drepte.

3. Funcția $f(x)=x+2+\frac{3}{x-1}$ are asimptota oblică $y=x+2$. Graficul se află deasupra ei:

   • a) pe $(-\infty ,1)$
   • b) pe $(1,+\infty )$
   • c) pe tot domeniul
   • d) nicăieri
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) pe $(1,+\infty )$

   Poziția se citește din semnul restului: $f(x)-(x+2)=\frac{3}{x-1}$. Pe $(1,+\infty )$ diferența este pozitivă, deci graficul stă deasupra dreptei; pe $(-\infty ,1)$ este negativă, deci graficul stă dedesubt. Aceasta este informația suplimentară pe care o dă împărțirea cu rest, dincolo de ecuația asimptotei.