Graficul funcțiilor raționale

Q: Ce este o funcție rațională?

Este o funcție dată de câtul a două funcții polinomiale, f(x) = P(x)/Q(x), cu Q nenul. Domeniul ei maxim este format din numerele reale în care numitorul nu se anulează, iar pe acest domeniu funcția este continuă și derivabilă, ca orice cât de polinoame cu numitorul diferit de zero.

Q: Cum se găsesc asimptotele verticale ale unei funcții raționale?

Se rezolvă ecuația Q(x) = 0, iar fiecare soluție devine candidat. În fiecare candidat se calculează cele două limite laterale; dacă măcar una este infinită, dreapta verticală din acel punct este asimptotă. Dacă ambele limite sunt finite, punctul este doar o gaură în grafic, nu o asimptotă.

Q: Cum se calculează asimptota oblică prin împărțire?

Se împarte numărătorul la numitor și se scrie f(x) = mx + n + R(x)/Q(x), cu restul de grad mai mic decât numitorul. Cum fracția rămasă tinde la zero la ±∞, dreapta y = mx+n este asimptota oblică, iar semnul fracției arată dacă graficul stă deasupra sau dedesubtul ei.

Q: Cum se completează tabelul de variație într-un punct exclus din domeniu?

Punctul primește o coloană proprie: pe rândurile lui f' și f'' se scrie bara |, iar pe rândul lui f se trec cele două limite laterale, despărțite de aceeași bară. Se face un singur tabel pentru toată funcția, nu câte unul pe interval, iar în acel punct nu poate exista extrem sau inflexiune.

O firmă care produce piese are un cost fix de $500$ de lei pe zi și încă $20$ de lei pentru fiecare piesă, deci costul mediu pe bucată este $C (q) = \frac{500 + 20 q}{q}$ — o funcție rațională, iar graficul ei spune tot ce interesează un economist. Lecția aceasta, a doua din seria de reprezentări grafice a clasei a 12-a, arată cum se desenează exact astfel de curbe, pas cu pas. O funcție rațională este câtul a două funcții polinomiale, $f (x) = \frac{P ( x )}{Q ( x )}$ ; graficul ei se studiază pe domeniul din care lipsesc zerourile numitorului, are asimptote verticale acolo unde limitele laterale sunt infinite și o asimptotă orizontală sau oblică la infinit, după comparația gradelor.

Spre deosebire de funcțiile polinomiale, cele raționale au două complicații pe care trebuie să le stăpânești: domeniul lor are găuri, iar graficul lor se apropie de drepte. Vestea bună este că amândouă se rezolvă mecanic — găurile vin din zerourile numitorului, iar dreptele se citesc dintr-o comparație de grade și dintr-o împărțire. Restul este schema pe care o știi deja.

Ce vei învăța

Vei ști să determini domeniul unei funcții raționale și să găsești toate asimptotele ei verticale.
Vei ști să decizi, comparând gradele, dacă spre infinit apare o asimptotă orizontală, una oblică sau niciuna.
Vei ști să scoți asimptota oblică prin împărțirea polinoamelor și să stabilești de ce parte a ei stă graficul.
Vei ști să construiești tabelul de variație atunci când domeniul are puncte excluse și să-l traduci în desen.
Vei ști să recunoști cazurile speciale: gaura din grafic, curba care își taie asimptota orizontală, funcțiile fără asimptotă la infinit.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o funcție rațională și de unde îi vin asimptotele?

O funcție rațională este o funcție de forma $f (x) = \frac{P ( x )}{Q ( x )}$ , unde $P$ și $Q$ sunt funcții polinomiale și $Q$ nu este polinomul nul; domeniul ei maxim de definiție este mulțimea numerelor reale în care numitorul nu se anulează, iar graficul ei poate avea atât asimptote verticale, cât și o asimptotă orizontală sau oblică.

Cele două noutăți față de lecția precedentă, graficul funcțiilor polinomiale, vin exact din această definiție:

domeniul are găuri, pentru că zerourile lui $Q$ se scot; el se scrie întotdeauna ca reuniune de intervale;
există candidați la asimptote verticale, și anume chiar aceste zerouri, singurele capete finite deschise ale domeniului.

Pe restul domeniului, o funcție rațională este continuă și derivabilă, ca un cât de funcții polinomiale cu numitorul nenul. Prin urmare pașii $1$ – $3$ din schema fixată la schema completă a reprezentării grafice se execută fără nicio grijă suplimentară, cu o singură excepție: la fiecare punct exclus se calculează ambele limite laterale, pentru că ele pot fi diferite.

2. Cum se găsesc asimptotele verticale ale unei funcții raționale?

Rețeta are doi pași și un pericol.

Pasul întâi: se rezolvă $Q (x) = 0$ . Fiecare soluție este un candidat. Pasul al doilea: în fiecare candidat $a$ se calculează $x \to a x < a lim f (x)$ și $x \to a x > a lim f (x)$ . Dacă măcar una este infinită, dreapta $x = a$ este asimptotă verticală, iar în răspuns se precizează dacă este la stânga, la dreapta sau bilaterală.

Pericolul este simplificarea. Pentru $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ , numitorul se anulează în $2$ , dar $f (x) = x + 2$ pentru orice $x \neq = 2$ , deci limita în $2$ este $4$ , finită. Dreapta $x = 2$ nu este asimptotă verticală: graficul este dreapta $y = x + 2$ din care lipsește punctul $(2, 4)$ . Punctul acela se desenează ca un cerculeț gol. Regula scurtă: un zero comun al numărătorului și al numitorului scoate punctul din domeniu, dar nu creează asimptotă.

Semnul limitei se stabilește ca la clasa a XI-a, studiind semnul numitorului de o parte și de alta a candidatului. Procedeul este mecanic: numărătorul are în punctul acela o valoare finită și nenulă, cu semn cunoscut, iar numitorul tinde la zero, așa că singurul lucru de decis este dacă se apropie de zero prin valori pozitive sau negative. Pentru $f (x) = \frac{1}{x - 3}$ , la stânga lui $3$ numitorul este negativ și limita este $- \infty$ , iar la dreapta este pozitiv și limita este $+ \infty$ . Este singurul loc al lecției în care se poate greși semnul, deci merită scris pe hârtie de fiecare dată; o limită laterală cu semnul greșit strică apoi și desenul, pentru că ramura pleacă în direcția opusă. Numele complet al fiecărei drepte găsite se scrie în forma fixată la asimptota verticală, cu precizarea „la stânga", „la dreapta" sau „bilaterală".

3. Ce spune compararea gradelor despre asimptota de la infinit?

Fie $p = grad P$ și $q = grad Q$ . Comportarea la $\pm \infty$ se citește dintr-un singur tabel, iar el se reține pentru toată viața de examen:

Relația dintre grade	Comportarea spre $\pm \infty$	Asimptota
$p < q$	$f (x) \to 0$	orizontala $y = 0$
$p = q$	$f (x) \to \frac{a _{p}}{b _{q}}$	orizontala $y = \frac{a _{p}}{b _{q}}$
$p = q + 1$	$f (x) \to \pm \infty$	o oblică, aceeași spre ambele capete
$p \geq q + 2$	$f (x) \to \pm \infty$	niciuna

Aici $a_{p}$ și $b_{q}$ sunt coeficienții dominanți. Justificarea, în toate cazurile, este aceeași: se dă factor comun forțat $x^{p}$ la numărător și $x^{q}$ la numitor. Două observații obligatorii:

orizontala și oblica se exclud reciproc spre același capăt — este Propoziția de excludere reciprocă demonstrată în asimptota oblică, pe care o citezi, nu o redemonstrezi. Consecința practică: calculezi întâi limita funcției la capătul respectiv și, dacă iese finită, te oprești;
la funcțiile raționale, asimptota orizontală sau cea oblică este aceeași spre $- \infty$ și spre $+ \infty$ , pentru că limita depinde numai de raportul termenilor dominanți. La funcțiile cu radicali, pe care le studiezi în graficul funcțiilor cu radicali, lucrurile stau altfel.

4. Împărțirea care scoate asimptota oblică

Când $p = q + 1$ , panta și termenul liber se pot calcula cu cele două limite din definiție, dar există o cale mai rapidă și mai sigură: împărțirea cu rest. Scriem $P = Q \cdot (m x + n) + R$ , cu $grad R < q$ , deci

$f (x) = m x + n + \frac{R ( x )}{Q ( x )} .$

Cum $\frac{R ( x )}{Q ( x )} \to 0$ la $\pm \infty$ , dreapta $y = m x + n$ este exact asimptota oblică. Este metoda rapidă fixată tot acolo, care înlocuiește procedura în trei pași ori de câte ori funcția este rațională. Metoda are un bonus pe care limitele nu îl dau: semnul restului spune de ce parte a asimptotei stă graficul. Dacă $\frac{R ( x )}{Q ( x )} > 0$ pe un interval, curba este deasupra dreptei acolo; dacă este negativ, dedesubt.

Merită observat că împărțirea nu inventează nimic: ea doar rescrie aceeași funcție într-o formă în care partea care „scapă la infinit" și partea care „se stinge" stau separat. Din acest motiv, forma obținută prin împărțire este cea recomandată în asimptota oblică ori de câte ori numitorul are grad mic.

Aceeași scriere ușurează și derivarea. Pentru $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ , derivata se calculează într-un rând: $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}$ . Este mult mai comod decât regula câtului aplicată pe forma inițială și dă direct o expresie ușor de factorizat.

5. Pasul al nouălea la funcțiile raționale

Desenul se face pe fiecare interval al domeniului separat, niciodată dintr-o singură trăsătură de creion. Ordinea care nu dă greș:

desenezi axele și, punctat, toate asimptotele găsite — verticalele și cea de la infinit;
marchezi intersecțiile cu axele, punctele de extrem și punctele de inflexiune;
desenezi, pe rând, ramura de pe fiecare interval, respectând săgețile din tabel și lipind-o de asimptote acolo unde limitele o cer;
verifici poziția față de asimptota oblică, folosind semnul restului;
scrii sub grafic lista asimptotelor, ca ecuații de drepte: de exemplu „ $x = 1$ (verticală, bilaterală) și $y = x + 1$ (oblică, spre ambele capete)".

Tabelul din care copiezi toate aceste informații are formatul fixat la clasa a XI-a în tabelul de variație complet, cu o singură completare: punctele excluse din domeniu primesc bară pe rândurile derivatelor și cele două limite laterale pe rândul funcției. Tabelul rămâne unul singur, oricâte găuri ar avea domeniul; ramurile se despart pe desen, nu în tabel.

Două reguli de desen care se uită des: curba nu atinge niciodată o asimptotă verticală, oricât de aproape ar trece de ea; în schimb, poate să taie o asimptotă orizontală sau oblică, uneori chiar de mai multe ori. Asimptota descrie comportarea la capete, nu o interdicție locală.

6. Ce simetrii și ce verificări scurtează munca?

Paritatea se verifică la pasul $1$ , ca la orice funcție: dacă $f (- x) = f (x)$ , graficul este simetric față de axa $O y$ ; dacă $f (- x) = - f (x)$ , este simetric față de origine. La funcțiile raționale ea apare des, pentru că un cât de două polinoame pare este par, iar un cât de un polinom impar și unul par este impar.

Funcțiile omografice, adică cele de forma $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ cu $c \neq = 0$ , au o simetrie proprie: graficul lor este simetric față de punctul de intersecție al celor două asimptote. Este util la desen, pentru că îți dă centrul figurii înainte de a trasa ceva.

Verificările rapide, la final: numărul ramurilor coincide cu numărul intervalelor din domeniu; fiecare asimptotă verticală are de o parte și de alta câte o ramură care se lipește de ea; valoarea $f (0)$ de pe desen coincide cu calculul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Funcție omografică

Reprezentați grafic funcția $f : R ∖ {1} \to R$ , $f (x) = \frac{x + 2}{x - 1}$ .

Rezolvare. Pașii 1–2: $D = (- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ ; funcție rațională, continuă și derivabilă pe $D$ . Intersecțiile: $f (x) = 0 ⟺ x = - 2$ , deci $(- 2, 0)$ ; cu $O y$ , $(0, - 2)$ . Nu este nici pară, nici impară.

Pasul 3: împărțind, $f (x) = 1 + \frac{3}{x - 1}$ . Atunci $x \to \pm \infty lim f (x) = 1$ , deci $y = 1$ este asimptotă orizontală spre ambele capete. În $1$ : $x \to 1 x < 1 lim f (x) = - \infty$ și $x \to 1 x > 1 lim f (x) = + \infty$ , deci $x = 1$ este asimptotă verticală bilaterală.

Pașii 4–5: $f^{'} (x) = - \frac{3}{( x - 1 ) ^{2}} < 0$ pe tot domeniul, deci nu există puncte critice; $f^{''} (x) = \frac{6}{( x - 1 ) ^{3}}$ , negativă înainte de $1$ , pozitivă după, fără să se anuleze.

$x$	$- \infty$		$1$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$∣$	$-$
$f^{''} (x)$		$-$	$∣$	$+$
$f (x)$	$1$	$↘ \cap$	$- \infty ∣ + \infty$	$↘ \cup$	$1$

Citirea tabelului: $f$ este strict descrescătoare pe $(- \infty, 1)$ și pe $(1, + \infty)$ — niciodată pe reuniunea lor; nu are extreme; este concavă pe prima ramură și convexă pe a doua, fără punct de inflexiune, pentru că $1$ nu aparține domeniului. Imaginea este $R ∖ {1}$ .

Pasul 9: graficul are două ramuri de hiperbolă, simetrice față de punctul $(1, 1)$ , intersecția asimptotelor. Asimptotele: $x = 1$ (verticală, bilaterală) și $y = 1$ (orizontală, spre ambele capete).

Exemplul 2 — Asimptotă oblică, obținută prin împărțire

Reprezentați grafic funcția $f : R ∖ {1} \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ .

Rezolvare. $D = (- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ . Împărțind, $f (x) = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ . Singura intersecție cu axele este originea, unde numărătorul are rădăcină dublă.

Pasul 3: $x \to 1 x < 1 lim f (x) = - \infty$ și $x \to 1 x > 1 lim f (x) = + \infty$ , deci $x = 1$ este asimptotă verticală bilaterală. Gradele fiind $2$ și $1$ , câtul împărțirii dă asimptota oblică: cum $f (x) - (x + 1) = \frac{1}{x - 1} \to 0$ , dreapta $y = x + 1$ este asimptotă spre ambele capete. Limitele funcției la $\pm \infty$ sunt $- \infty$ , respectiv $+ \infty$ .

Pașii 4–6: $f^{'} (x) = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}$ , cu zerourile $0$ și $2$ ; numitorul fiind pătrat, semnul îl dă numărătorul. Apoi $f^{''} (x) = \frac{2}{( x - 1 ) ^{3}}$ , fără zerouri. Valorile: $f (0) = 0$ , $f (2) = 4$ , $f^{''} (0) = - 2$ , $f^{''} (2) = 2$ .

$x$	$- \infty$		$0$		$1$		$2$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	$∣$	$-$	$0$	$+$
$f^{''} (x)$		$-$	$- 2$	$-$	$∣$	$+$	$2$	$+$
$f (x)$	$- \infty$	$↗ \cap$	$0 M$	$↘ \cap$	$- \infty ∣ + \infty$	$↘ \cup$	$4 m$	$↗ \cup$	$+ \infty$

Citirea tabelului: maximul local este $f (0) = 0$ , minimul local este $f (2) = 4$ ; funcția este concavă pe $(- \infty, 1)$ și convexă pe $(1, + \infty)$ , fără inflexiuni, pentru că $1$ nu aparține domeniului; imaginea este $(- \infty, 0] \cup [4, + \infty)$ . Observă că maximul local este mai mic decât minimul local — lucru imposibil pe un interval, dar perfect firesc aici, unde între cele două ramuri graficul sare de la $- \infty$ la $+ \infty$ .

Pasul 9: poziția față de oblică se citește din semnul restului $\frac{1}{x - 1}$ : pentru $x > 1$ curba este deasupra dreptei $y = x + 1$ , iar pentru $x < 1$ dedesubtul ei. În origine graficul atinge axa $O x$ și se întoarce, comportare tipică unei rădăcini duble. Asimptotele: $x = 1$ (verticală, bilaterală) și $y = x + 1$ (oblică, spre ambele capete).

Exemplul 3 — Două asimptote verticale, funcție pară

Reprezentați grafic funcția $f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 1}$ .

Rezolvare. $D = (- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, + \infty)$ , trei intervale, deci trei ramuri. Funcția este pară. Nu taie $O x$ ; taie $O y$ în $(0, - 1)$ .

Pasul 3: gradul numărătorului este mai mic, deci $y = 0$ este asimptotă orizontală spre ambele capete. În $- 1$ : la stânga numitorul este pozitiv și tinde la $0$ , deci limita este $+ \infty$ ; la dreapta este negativ, deci limita este $- \infty$ . În $1$ , prin simetrie, limitele sunt $- \infty$ la stânga și $+ \infty$ la dreapta. Ambele drepte $x = - 1$ și $x = 1$ sunt asimptote verticale bilaterale.

Pașii 4–6: $f^{'} (x) = \frac{- 2 x}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}}$ , cu unicul zero $0$ ; semnul îl dă $- 2 x$ , pentru că numitorul este pătrat. $f^{''} (x) = \frac{6 x ^{2} + 2}{( x ^{2} - 1 ) ^{3}}$ : numărătorul este mereu pozitiv, deci semnul este dat de $(x^{2} - 1)^{3}$ . Valorile: $f (0) = - 1$ , $f^{''} (0) = - 2$ .

$x$	$- \infty$		$- 1$		$0$		$1$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$∣$	$+$	$0$	$-$	$∣$	$-$
$f^{''} (x)$		$+$	$∣$	$-$	$- 2$	$-$	$∣$	$+$
$f (x)$	$0$	$↗ \cup$	$+ \infty ∣ - \infty$	$↗ \cap$	$- 1 M$	$↘ \cap$	$- \infty ∣ + \infty$	$↘ \cup$	$0$

Citirea tabelului: pe ramurile exterioare funcția este pozitivă și convexă, apropiindu-se de $0$ ; pe ramura din mijloc este negativă și concavă, cu maximul $f (0) = - 1$ . Nu există puncte de inflexiune, pentru că $f^{''}$ își schimbă semnul doar în $- 1$ și $1$ , care nu aparțin domeniului. Imaginea este $(- \infty, - 1] \cup (0, + \infty)$ .

Exemplul 4 — Graficul își taie asimptota orizontală

Reprezentați grafic funcția $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .

Rezolvare. Numitorul nu se anulează niciodată, deci $D = R$ și nu există asimptote verticale. Funcția este impară, deci o studiem pe $[0, + \infty)$ și simetrizăm față de origine. Singura intersecție cu axele este originea.

Pasul 3: gradul numărătorului este mai mic, deci $y = 0$ este asimptotă orizontală spre ambele capete. Aici apare lucrul de reținut: $f (0) = 0$ , adică graficul își taie asimptota orizontală exact în origine.

Pașii 4–6: $f^{'} (x) = \frac{2 ( 1 - x ^{2} )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ , cu zeroul pozitiv $1$ ; $f^{''} (x) = \frac{4 x ( x ^{2} - 3 )}{( x ^{2} + 1 ) ^{3}}$ , cu zerourile $0$ și $3$ pe $[0, + \infty)$ . Valorile: $f (1) = 1$ , $f (3) = \frac{3}{2}$ , $f^{'} (0) = 2$ , $f^{'} (3) = - \frac{1}{4}$ , $f^{''} (1) = - 1$ .

$x$	$0$		$1$		$3$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$	$2$	$+$	$0$	$-$	$- \frac{1}{4}$	$-$
$f^{''} (x)$	$0$	$-$	$- 1$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$0 I$	$↗ \cap$	$1 M$	$↘ \cap$	$\frac{3}{2} I$	$↘ \cup$	$0$

Citirea tabelului: pe $[0, + \infty)$ funcția crește până la maximul $f (1) = 1$ , apoi scade spre $0$ ; este concavă pe $[0, 3]$ și convexă după. Prin simetrie față de origine, funcția are minimul $f (- 1) = - 1$ și a treia inflexiune în $(- 3, - \frac{3}{2})$ ; în origine $f^{''}$ chiar își schimbă semnul, pentru că pe $(- 3, 0)$ este pozitivă, deci originea este punct de inflexiune al graficului întreg. Imaginea este $[- 1, 1]$ .

Exemplul 5 — Când nu există asimptotă la infinit

Reprezentați grafic funcția $f : R ∖ {1} \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{3}}{x - 1}$ .

Rezolvare. $D = (- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ . Împărțind, $f (x) = x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ . Singura intersecție cu axele este originea, unde $x^{3}$ are rădăcină triplă.

Pasul 3: gradele sunt $3$ și $1$ , deci diferența este $2$ : nu există nici asimptotă orizontală, nici oblică. Limitele la $\pm \infty$ sunt amândouă $+ \infty$ . În $1$ : limita la stânga este $- \infty$ , cea la dreapta $+ \infty$ , deci $x = 1$ este asimptotă verticală bilaterală — singura asimptotă la graficul funcției.

Pașii 4–6: $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} ( 2 x - 3 )}{( x - 1 ) ^{2}}$ : cele două pătrate nu schimbă semnul, deci semnul îl dă $2 x - 3$ ; zerourile derivatei sunt $0$ (fără schimbare de semn) și $\frac{3}{2}$ . Apoi $f^{''} (x) = 2 + \frac{2}{( x - 1 ) ^{3}}$ , care se anulează numai în $0$ și își schimbă semnul acolo. Valorile: $f (0) = 0$ , $f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4}$ , $f^{''} (\frac{3}{2}) = 18$ .

$x$	$- \infty$		$0$		$1$		$\frac{3}{2}$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$0$	$-$	$∣$	$-$	$0$	$+$
$f^{''} (x)$		$+$	$0$	$-$	$∣$	$+$	$18$	$+$
$f (x)$	$+ \infty$	$↘ \cup$	$0 I$	$↘ \cap$	$- \infty ∣ + \infty$	$↘ \cup$	$\frac{27}{4} m$	$↗ \cup$	$+ \infty$

Citirea tabelului: funcția scade pe $(- \infty, 1)$ și pe $(1, \frac{3}{2}]$ , crește pe $[\frac{3}{2}, + \infty)$ ; singurul extrem este minimul $f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4}$ , iar în origine are un punct de inflexiune cu tangentă orizontală. Imaginea este $R$ .

Pasul 9: deși nu are asimptotă la infinit, graficul se apropie de parabola $y = x^{2} + x + 1$ , pentru că diferența dintre ele este $\frac{1}{x - 1} \to 0$ . Este o observație utilă la desen, dar nu o asimptotă: asimptotele sunt drepte. Lista asimptotelor: $x = 1$ (verticală, bilaterală).

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 1}$ . a) Determinați asimptotele graficului funcției $f$ și intersecțiile lui cu axele. b) Alcătuiți tabelul de variație și reprezentați grafic funcția. c) Arătați că $- 1 \leq f (x) < 1$ pentru orice număr real $x$ și determinați imaginea funcției.

Rezolvare. a) Numitorul nu se anulează niciodată, deci $D = R$ și nu există asimptote verticale. Gradele sunt egale, deci limita la $\pm \infty$ este raportul coeficienților dominanți: $x \to \pm \infty lim f (x) = 1$ , iar $y = 1$ este asimptotă orizontală spre ambele capete. Intersecțiile: $f (x) = 0 ⟺ x = \pm 1$ , deci $(- 1, 0)$ și $(1, 0)$ ; cu $O y$ , punctul $(0, - 1)$ .

b) Rescrierea care ușurează tot calculul este $f (x) = 1 - \frac{2}{x ^{2} + 1}$ . De aici $f^{'} (x) = \frac{4 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ , cu unicul zero $0$ și cu semnul lui $x$ , și $f^{''} (x) = \frac{4 - 12 x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{3}}$ , cu zerourile $\pm \frac{3}{3}$ . Funcția este pară, deci graficul este simetric față de axa $O y$ . Valorile: $f (0) = - 1$ , $f (\pm \frac{3}{3}) = - \frac{1}{2}$ , $f^{'} (\pm \frac{3}{3}) = \pm \frac{3 3}{4}$ , $f^{''} (0) = 4$ .

$x$	$- \infty$		$- \frac{3}{3}$		$0$		$\frac{3}{3}$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$- \frac{3 3}{4}$	$-$	$0$	$+$	$\frac{3 3}{4}$	$+$
$f^{''} (x)$		$-$	$0$	$+$	$4$	$+$	$0$	$-$
$f (x)$	$1$	$↘ \cap$	$- \frac{1}{2} I$	$↘ \cup$	$- 1 m$	$↗ \cup$	$- \frac{1}{2} I$	$↗ \cap$	$1$

Citirea tabelului: $f$ scade pe $(- \infty, 0]$ și crește pe $[0, + \infty)$ , cu minimul global $f (0) = - 1$ ; este concavă în afara intervalului $[- \frac{3}{3}, \frac{3}{3}]$ și convexă înăuntrul lui, cu două puncte de inflexiune, $(\pm \frac{3}{3}, - \frac{1}{2})$ . Graficul este o curbă în formă de cadă, care urcă de ambele părți spre orizontala $y = 1$ fără să o atingă.

c) Din $f (x) = 1 - \frac{2}{x ^{2} + 1}$ : cum $x^{2} + 1 \geq 1$ , avem $0 < \frac{2}{x ^{2} + 1} \leq 2$ , deci $- 1 \leq f (x) < 1$ . Valoarea $- 1$ se atinge doar în $x = 0$ , iar valoarea $1$ nu se atinge niciodată — este limita de la capete. Funcția fiind continuă, imaginea este $Im f = [- 1, 1)$ .

Să exersăm

1. Determinați domeniul și asimptotele verticale ale funcției $f (x) = \frac{x}{x ^{2} - 4}$ .

2. Precizați asimptota spre $\pm \infty$ pentru fiecare funcție: a) $\frac{3 x - 1}{x + 2}$ ; b) $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{3}}$ ; c) $\frac{x ^{2} - 1}{x}$ .

3. Efectuați împărțirea și scrieți asimptota oblică a funcției $f (x) = \frac{x ^{2} + x + 1}{x}$ .

4. Alcătuiți tabelul de variație complet pentru $f (x) = \frac{x + 2}{x - 1}$ și precizați imaginea funcției.

5. Studiați paritatea funcțiilor $f (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ , $g (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ și $h (x) = \frac{x + 1}{x}$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Graficul unei funcții nu poate intersecta asimptota sa orizontală."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă numitorul se anulează în $a$ , atunci dreapta $x = a$ este asimptotă verticală."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O funcție rațională poate avea, spre $+ \infty$ , și asimptotă orizontală, și asimptotă oblică."

9. Determinați numărul real $a$ pentru care funcția $f (x) = \frac{a x ^{2} + 1}{x ^{2} + 2}$ are asimptota orizontală $y = 3$ .

10. Reprezentați grafic funcția $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ .

11. Determinați toate asimptotele la graficul funcției $f (x) = \frac{x ^{3}}{x ^{2} - 4}$ .

12. Aflați punctele de extrem ale funcției $f (x) = \frac{4 x}{x ^{2} + 4}$ .

13. Determinați imaginea funcției $f : R^{*} \to R$ , $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

14. Găsiți punctele în care graficul funcției $f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ își intersectează asimptota orizontală.

15. (Problemă aplicată.) Costul mediu pe piesă al unei firme este $C (q) = \frac{500 + 20 q}{q}$ lei, pentru $q > 0$ piese pe zi. Determinați asimptotele graficului și explicați ce înseamnă fiecare pentru firmă.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f (x) = \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x - 2}$ . a) Determinați asimptotele graficului. b) Arătați că $f$ este strict crescătoare pe fiecare interval al domeniului. c) Determinați imaginea funcției.

17. Explicați cum se obține graficul funcției $g (x) = \frac{1}{x - 2} + 3$ din graficul funcției $f (x) = \frac{1}{x}$ .

18. (Provocare.) Arătați că graficul funcției omografice $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ , cu $c \neq = 0$ și $a d - b c \neq = 0$ , este simetric față de punctul de intersecție al asimptotelor sale.

Răspunsuri și explicații

1. $D = (- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, + \infty)$ . În $- 2$ și în $2$ numărătorul nu se anulează, iar limitele laterale sunt infinite, deci $x = - 2$ și $x = 2$ sunt asimptote verticale bilaterale.

2. a) grade egale, deci orizontala $y = 3$ ; b) gradul numărătorului este mai mic, deci orizontala $y = 0$ ; c) diferența de grade este $1$ , deci oblica $y = x$ , obținută din $\frac{x ^{2} - 1}{x} = x - \frac{1}{x}$ .

3. $\frac{x ^{2} + x + 1}{x} = x + 1 + \frac{1}{x}$ , deci asimptota oblică este $y = x + 1$ , spre ambele capete.

4. Vezi Exemplul 1: funcție strict descrescătoare pe fiecare interval, fără extreme și fără inflexiuni, cu $Im f = R ∖ {1}$ .

5. $f$ este pară, $g$ este impară, iar $h (x) = 1 + \frac{1}{x}$ nu este nici pară, nici impară.

6. Fals. Asimptota descrie comportarea la capete. Funcția din Exemplul 4 își taie asimptota $y = 0$ chiar în origine.

7. Fals. Dacă numărătorul se anulează în același punct, se poate simplifica: pentru $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ , în $2$ limita este $4$ , iar graficul are doar o gaură, nu asimptotă.

8. Fals. Cele două se exclud reciproc spre același capăt: orizontala cere limită finită, iar oblica cere limită infinită cu $m$ finit și nenul.

9. $x \to \pm \infty lim \frac{a x ^{2} + 1}{x ^{2} + 2} = a$ , deci $a = 3$ .

10. $f (x) = 2 - \frac{3}{x + 1}$ : asimptote $x = - 1$ (verticală, bilaterală) și $y = 2$ (orizontală). $f^{'} (x) = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}} > 0$ , deci funcția crește pe fiecare interval; taie axele în $(\frac{1}{2}, 0)$ și $(0, - 1)$ ; două ramuri de hiperbolă, simetrice față de $(- 1, 2)$ .

11. $\frac{x ^{3}}{x ^{2} - 4} = x + \frac{4 x}{x ^{2} - 4}$ , deci oblica este $y = x$ ; verticalele sunt $x = - 2$ și $x = 2$ .

12. $f^{'} (x) = \frac{4 ( 4 - x ^{2} )}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$ , cu zerourile $\pm 2$ : maxim în $x = 2$ , cu $f (2) = 1$ , și minim în $x = - 2$ , cu $f (- 2) = - 1$ .

13. $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}$ dă maximul local $f (- 1) = - 2$ și minimul local $f (1) = 2$ , iar limitele la capetele celor două intervale sunt infinite; prin urmare imaginea este $(- \infty, - 2] \cup [2, + \infty)$ .

14. Se rezolvă $\frac{2 x}{x ^{2} + 1} = 0$ , deci $x = 0$ : singurul punct de intersecție este originea.

15. $C (q) = 20 + \frac{500}{q}$ . Asimptota verticală $q = 0$ arată că, la producție foarte mică, costul pe piesă explodează, pentru că cei $500$ de lei ficși se împart la prea puține bucăți. Asimptota orizontală $y = 20$ arată că, oricât ar crește producția, costul mediu nu coboară sub $20$ de lei pe piesă, dar se apropie oricât de mult de această valoare.

16. a) Împărțind, $f (x) = (x - 2) - \frac{1}{x - 2}$ , deci $x = 2$ este asimptotă verticală bilaterală, iar $y = x - 2$ este asimptotă oblică spre ambele capete. b) $f^{'} (x) = 1 + \frac{1}{( x - 2 ) ^{2}} > 0$ pe tot domeniul, deci funcția crește strict pe $(- \infty, 2)$ și pe $(2, + \infty)$ , fără puncte de extrem. c) Pe fiecare dintre cele două intervale funcția este continuă, strict crescătoare și are limitele $- \infty$ și $+ \infty$ , deci parcurge tot $R$ : $Im f = R$ .

17. Graficul lui $f$ se translatează cu $2$ unități la dreapta și cu $3$ unități în sus; asimptotele $x = 0$ și $y = 0$ devin $x = 2$ și $y = 3$ , iar centrul de simetrie ajunge în $(2, 3)$ .

18. Împărțind, $f (x) = \frac{a}{c} + \frac{k}{c x + d}$ , unde $k = b - \frac{a d}{c}$ este nenul. Asimptotele sunt $x = - \frac{d}{c}$ și $y = \frac{a}{c}$ , iar punctul lor de intersecție este $S (- \frac{d}{c}, \frac{a}{c})$ . Notând $x = - \frac{d}{c} + t$ , se obține $f (x) = \frac{a}{c} + \frac{k}{c t}$ , expresie impară în $t$ ; prin urmare $f (- \frac{d}{c} + t) + f (- \frac{d}{c} - t) = \frac{2 a}{c}$ pentru orice $t \neq = 0$ , adică punctele corespunzătoare sunt simetrice față de $S$ .

De reținut

Domeniul unei funcții raționale se obține scoțând zerourile numitorului și se scrie ca reuniune de intervale, iar numărul acestor intervale este numărul ramurilor graficului.
Un zero al numitorului este doar un candidat la asimptotă verticală: dreapta $x = a$ este asimptotă numai dacă cel puțin una dintre limitele laterale în $a$ este infinită.
Compararea gradelor decide singură comportarea la infinit: numărător de grad mai mic dă orizontala $y = 0$ , grade egale dau orizontala raportului coeficienților dominanți, o diferență de $1$ dă o oblică, iar o diferență de cel puțin $2$ nu dă nicio asimptotă.
Împărțirea cu rest scoate asimptota oblică și, în plus, arată prin semnul restului de care parte a dreptei se află graficul pe fiecare interval.
Monotonia unei funcții raționale se formulează întotdeauna pe câte un interval al domeniului, niciodată pe reuniunea lor, pentru că între ramuri graficul sare de la $- \infty$ la $+ \infty$ .

Greșeli frecvente

Declari asimptotă verticală în fiecare zero al numitorului. Dacă numărătorul se anulează în același punct, verifică prin simplificare: la $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ apare o gaură în $(2, 4)$ , nu o asimptotă.
Cauți și orizontală, și oblică spre același capăt. Ele se exclud reciproc. Compară întâi gradele și caută doar ce poate exista.
Scrii „ $f$ este descrescătoare pe $R ∖ {1}$ ". Concluzia de monotonie se dă pe un interval; corect este „pe $(- \infty, 1)$ și pe $(1, + \infty)$ ", cu „și", nu cu reuniune.
Declari punct de inflexiune într-un punct exclus. În Exemplul 3, $f^{''}$ își schimbă semnul în $- 1$ și $1$ , dar acolo funcția nici nu este definită, deci nu există inflexiuni.
Desenezi curba atingând asimptota verticală. Ramura se apropie oricât de mult, dar nu o atinge niciodată; în schimb poate să taie liniștit o asimptotă orizontală sau oblică.

Aplică acasă

Familia de hiperbole. Desenează pe aceeași foaie graficele funcțiilor $\frac{1}{x}$ , $\frac{1}{x - 2}$ , $\frac{1}{x - 2} + 3$ și $\frac{2 x - 1}{x + 1}$ , marcând de fiecare dată asimptotele punctat. Vei vedea că toate au aceeași formă și că se obțin una din alta prin translații.
Costul mediu al unei mici afaceri. Alege o activitate reală cu un cost fix și unul pe bucată — o imprimantă cu tonerul ei, un stand cu chirie zilnică. Scrie funcția costului mediu, desenează-i graficul pentru $q > 0$ și explică în două propoziții ce înseamnă asimptota orizontală pentru cel care conduce afacerea.
Găsește gaura. Construiește trei funcții raționale în care numărătorul și numitorul au un factor comun, apoi desenează graficele lor și marchează, cu cerculeț gol, punctul care lipsește. Cere-i unui coleg să spună, fără să facă simplificarea, unde este gaura.

Pentru părinți și profesori

Lecția este centrul unității de reprezentări grafice: funcțiile raționale sunt singura familie la care apar simultan toate tipurile de asimptote, iar subiectele de Bacalaureat M1 le folosesc mai des decât pe oricare alta. Ea răspunde cerinței din programă privind determinarea asimptotelor prin studiul limitelor și trasarea graficului pe baza tabelului de variație.

Ce verifică lecția: (1) scrierea domeniului ca reuniune de intervale și calculul ambelor limite laterale în fiecare punct exclus; (2) alegerea corectă a tipului de asimptotă la infinit, prin compararea gradelor; (3) obținerea asimptotei oblice prin împărțire, cu discutarea poziției graficului față de ea; (4) construcția tabelului de variație cu bară la punctele excluse și cele două limite laterale pe rândul funcției; (5) desenul făcut ramură cu ramură, cu asimptotele punctate și lista lor scrisă dedesubt.

Întrebări bune de control: „Câte ramuri are graficul și de ce?", „De ce nu poate exista aici o asimptotă orizontală?", „Ce arată semnul restului împărțirii?", „De ce nu poți spune că funcția este descrescătoare pe tot domeniul?". Semn că elevul a înțeles: la o funcție rațională nouă, scrie mai întâi împărțirea cu rest și abia apoi derivează.

La BAC, profilul matematică-informatică cere de obicei, în Subiectul al III-lea, asimptotele și monotonia unei funcții raționale, iar uneori imaginea sau o inegalitate dedusă din extreme. Desenul propriu-zis apare rar ca cerință, dar elevul care îl are în minte răspunde imediat la subpunctele de tip „determinați imaginea funcției".

Întrebări frecvente

Ce este o funcție rațională? Este o funcție dată de câtul a două funcții polinomiale, $f (x) = \frac{P ( x )}{Q ( x )}$ , cu $Q$ nenul. Domeniul ei maxim este format din numerele reale în care numitorul nu se anulează, iar pe acest domeniu funcția este continuă și derivabilă, ca orice cât de polinoame cu numitorul diferit de zero.

Cum se găsesc asimptotele verticale ale unei funcții raționale? Se rezolvă ecuația $Q (x) = 0$ , iar fiecare soluție devine candidat. În fiecare candidat se calculează cele două limite laterale; dacă măcar una este infinită, dreapta verticală din acel punct este asimptotă. Dacă ambele limite sunt finite, punctul este doar o gaură în grafic, nu o asimptotă.

Cum știu dacă o funcție rațională are asimptotă orizontală sau oblică? Se compară gradul numărătorului cu al numitorului. Grad mai mic dă asimptota orizontală $y = 0$ ; grade egale dau orizontala egală cu raportul coeficienților dominanți; un grad în plus dă o asimptotă oblică; două sau mai multe grade în plus nu dau nicio asimptotă la infinit.

Cum se calculează asimptota oblică prin împărțire? Se împarte numărătorul la numitor și se scrie $f (x) = m x + n + \frac{R ( x )}{Q ( x )}$ , cu restul de grad mai mic decât numitorul. Cum fracția rămasă tinde la zero la $\pm \infty$ , dreapta $y = m x + n$ este asimptota oblică, iar semnul fracției arată dacă graficul stă deasupra sau dedesubtul ei.

Poate graficul să taie o asimptotă? Da, dacă este orizontală sau oblică. Asimptota descrie doar comportarea la capete, deci curba o poate traversa de oricâte ori în zona finită; funcția $\frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ își taie asimptota $y = 0$ în origine. O asimptotă verticală nu poate fi atinsă, pentru că acolo funcția nici nu este definită.

Cum se completează tabelul de variație într-un punct exclus din domeniu? Punctul primește o coloană proprie: pe rândurile lui $f^{'}$ și $f^{''}$ se scrie bara $∣$ , iar pe rândul lui $f$ se trec cele două limite laterale, despărțite de aceeași bară. Se face un singur tabel pentru toată funcția, nu câte unul pe interval, iar în acel punct nu poate exista extrem sau inflexiune.

De ce apar funcțiile raționale în subiectele de Bacalaureat M1? Pentru că o singură funcție rațională verifică deodată domeniul, limitele laterale, toate tipurile de asimptote, derivarea cu regula câtului și redactarea unui tabel cu punct exclus. Subiectul al III-lea cere de obicei două-trei dintre aceste subpuncte, iar Subiectul al II-lea le folosește uneori ca sursă pentru inegalități.