Grafice trigonometrice, cu modul și pe ramuri: pe scurt

Trei familii de funcții se studiază cu aceeași schemă în nouă pași, fiecare cu o precizare proprie. Perioada principală a unei funcții periodice este cel mai mic număr $T>0$ pentru care $f(x+T)=f(x)$; existența ei reduce tot studiul la un singur interval de lungime $T$, restul graficului obținându-se prin translații succesive. Perioadele de bază: $\frac{2\pi }{|a|}$ pentru $\sin (ax)$ și $\cos (ax)$, $\frac{\pi }{|a|}$ pentru $\mathrm{tg}(ax)$; ridicarea la pătrat și modulul pot înjumătăți perioada, cum se vede la ${\sin }^{2}x$ și la $|\sin x|$, care au perioada $\pi$, nu $2\pi$.

La funcțiile cu modul se rezolvă întâi ecuația care anulează expresia de sub modul și funcția se rescrie pe ramuri. Controlul desenului este regula oglindirii: graficul lui $|u|$ se obține răsturnând deasupra axei $Ox$ porțiunile din graficul lui $u$ aflate sub ea, iar colțurile apar exact în rădăcinile simple ale lui $u$; într-o rădăcină dublă nu apare colț.

Într-un punct de racord ordinea verificărilor nu se schimbă niciodată: întâi continuitatea, apoi derivabilitatea, pentru că a doua o presupune pe prima. Rezultatele posibile sunt trei: racord neted, punct unghiular și punct de întoarcere. În tabelul de variație, simbolul $\nexists$ marchează punctul în care derivatele laterale există dar diferă, atât pe rândul lui $f^{\prime }(x)$, cât și pe rândul lui $f^{\prime \prime }(x)$, iar marcajul $\text{I}$ se pune numai acolo unde funcția este derivabilă și convexitatea se schimbă.

Exerciții din această mini-lecție

1. Perioada principală a funcției $f:D\to \mathbb{R}$, $f(x)=\mathrm{tg}(2x)$, este:

   • a) $\frac{\pi }{2}$
   • b) $\pi$
   • c) $2\pi$
   • d) $\frac{\pi }{4}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{\pi }{2}$

   Funcția $\mathrm{tg}(ax)$ are perioada principală $\frac{\pi }{|a|}$, deci aici $T=\frac{\pi }{2}$. Varianta $\pi$ vine din uitarea coeficientului $a=2$, varianta $2\pi$ din folosirea formulei pentru sinus și cosinus, iar $\frac{\pi }{4}$ dintr-o înjumătățire nejustificată: $\mathrm{tg}\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)\ne \mathrm{tg}(2x)$.

2. Câte colțuri are graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x^3-4x|$?

   • a) două
   • b) trei
   • c) niciunul
   • d) unul
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) trei

   Descompunem $x^3-4x=x(x-2)(x+2)$: expresia de sub modul are trei rădăcini simple, $-2$, $0$ și $2$. Prin regula oglindirii, colțurile apar exact în rădăcinile simple, deci graficul are trei colțuri. Răspunsul „niciunul” apare când se crede că modulul netezește graficul, iar „două” când se uită rădăcina $x=0$.

3. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+3,& x\le 1\\ ax+b,& x>1\end{array}$, cu $a,b$ numere reale. Funcția este derivabilă pe $\mathbb{R}$ pentru:

   • a) $a=1$, $b=3$
   • b) $a=4$, $b=0$
   • c) $a=2$, $b=2$
   • d) $a=2$, $b=4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $a=2$, $b=2$

   Întâi continuitatea în $1$: $1^2+3=a+b$, deci $a+b=4$. Apoi derivabilitatea: $f_s^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$ și $f_d^{\prime }(1)=a$, deci $a=2$ și $b=2$. Perechea $a=2$, $b=4$ folosește derivata corect, dar sare peste continuitate, iar $a=4$, $b=0$ inversează cele două condiții.