Graficul funcțiilor trigonometrice, al funcțiilor cu modul și al funcțiilor pe ramuri

Un semnal de curent alternativ se repetă de cincizeci de ori pe secundă; un redresor îi întoarce jumătățile negative deasupra axei; un termostat comută între două legi diferite la o temperatură-prag. Toate trei sunt funcții pe care schema de studiu de la clasa a 12-a le tratează la fel de bine ca pe cele raționale, dar fiecare aduce o particularitate de care depinde corectitudinea desenului: periodicitatea, colțul și racordul. Funcțiile trigonometrice, cele cu modul și cele definite pe ramuri au în comun faptul că graficul lor nu se trasează dintr-o singură formulă valabilă peste tot: studiul se face pe o perioadă sau pe fiecare ramură, iar punctele de trecere se cercetează separat.

Cele trei familii din titlu par foarte diferite, însă au un numitor comun: graficul lor nu se poate trasa dintr-o singură formulă valabilă peste tot. La funcțiile trigonometrice, un interval de lungimea unei perioade conține toată informația; la funcțiile cu modul, expresia se schimbă acolo unde se anulează ce este sub modul; la funcțiile pe ramuri, ea se schimbă prin definiție. În toate trei, punctele de trecere sunt locurile în care se pierd cele mai multe puncte la Bacalaureat M1.

Ce vei învăța

• Vei ști să determini perioada principală a unei funcții trigonometrice și să reduci studiul la un singur interval de lungimea ei.
• Vei ști să transformi o funcție cu modul într-o funcție pe ramuri și să găsești punctele unghiulare din capetele ramurilor.
• Vei ști să verifici continuitatea și derivabilitatea în punctul de racord, fie din definiție, fie cu Consecința 3 a teoremei lui Lagrange.
• Vei ști ce se scrie în tabelul de variație atunci când derivata întâi sau derivata a doua nu există într-un punct.
• Vei ști să desenezi corect un colț, o semitangentă verticală și o racordare netedă, deosebindu-le între ele.

Hai să descoperim împreună

1. Trei familii, o singură schemă

Schema în nouă pași de la schema reprezentării grafice rămâne neschimbată. Ce se adaugă sunt trei precizări, câte una pentru fiecare familie, și toate se așază în pasul 1 (domeniul) și în pasul 2 (continuitatea și derivabilitatea).

Perioada principală a unei funcții periodice este cel mai mic număr strict pozitiv $T$ pentru care $f(x+T)=f(x)$ oricare ar fi $x$ din domeniu; existența ei reduce studiul întregului grafic la un singur interval de lungime $T$, restul curbei obținându-se prin translații succesive de-a lungul axei $Ox$, la stânga și la dreapta.

Precizările sunt acestea:

• funcțiile trigonometrice: la pasul 1 se adaugă determinarea perioadei principale, iar studiul se face pe un interval de lungimea ei, ales convenabil ($[0,2\pi ]$, $[0,\pi ]$ sau $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$);
• funcțiile cu modul: la pasul 1 se rezolvă ecuația care anulează expresia de sub modul și funcția se rescrie pe ramuri;
• funcțiile pe ramuri: la pasul 2 se verifică, în fiecare punct de racord, întâi continuitatea și abia apoi derivabilitatea.

2. Ce înseamnă periodicitatea pentru grafic și cum reduce studiul?

Dacă $f$ are perioada principală $T$, atunci graficul întreg este alcătuit din copii identice ale porțiunii de deasupra unui interval de lungime $T$, mutate din $T$ în $T$. Prin urmare tot ce trebuie studiat, calculat și desenat se află pe o singură perioadă; restul se obține prin repetare, iar concluziile despre monotonie, extreme și convexitate se enunță „pe fiecare perioadă".

Perioada se determină din formula funcției, folosind ce știi de la graficele funcțiilor sinus și cosinus și de la funcția cotangentă și periodicitatea:

• $\sin (ax)$ și $\cos (ax)$, cu $a\ne 0$, au perioada principală $\frac{2\pi }{|a|}$;
• $\mathrm{tg}(ax)$ și $\mathrm{ctg}(ax)$ au perioada principală $\frac{\pi }{|a|}$;
• o combinație de funcții cu perioade $T_1$ și $T_2$ are, când există, o perioadă care este un multiplu comun al lor;
• ridicarea la pătrat sau modulul pot micșora perioada: ${\sin }^{2}x$ și $|\sin x|$ au perioada $\pi$, nu $2\pi$.

Ultimul punct este cel mai des greșit. Verificarea se face în două mișcări: se arată că $T$ propus chiar este perioadă și apoi că niciun număr mai mic nu este, de obicei printr-un contraexemplu numeric.

3. Studiu complet pe o perioadă: funcția $\sin x+\cos x$

Aplicăm schema, citând pașii după numărul lor.

Pasul 1. $D=\mathbb{R}$; perioada principală este $2\pi$, deci studiem pe $[0,2\pi ]$. Intersecțiile cu $Ox$: $\sin x=-\cos x$, adică $\mathrm{tg}x=-1$, cu soluțiile $\frac{3\pi }{4}$ și $\frac{7\pi }{4}$ pe intervalul ales; intersecția cu $Oy$: $f(0)=1$. Funcția nu este nici pară, nici impară.

Pasul 2. Sumă de funcții elementare, deci continuă și derivabilă pe $\mathbb{R}$.

Pasul 3. Domeniul de studiu este un interval închis, deci la capete nu se calculează limite, ci valori: $f(0)=f(2\pi )=1$. Funcția fiind periodică și mărginită, nu are nicio asimptotă.

Pașii 4–5. $f^{\prime }(x)=\cos x-\sin x$, care se anulează pentru $\mathrm{tg}x=1$, adică $x=\frac{\pi }{4}$ și $x=\frac{5\pi }{4}$. $f^{\prime \prime }(x)=-\sin x-\cos x=-f(x)$, care se anulează în $\frac{3\pi }{4}$ și $\frac{7\pi }{4}$ — exact în zerourile funcției.

Pasul 6. $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$, $f\left(\frac{5\pi }{4}\right)=-\sqrt{2}$, $f\left(\frac{3\pi }{4}\right)=f\left(\frac{7\pi }{4}\right)=0$; $f^{\prime }\left(\frac{3\pi }{4}\right)=-\sqrt{2}$, $f^{\prime }\left(\frac{7\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$; $f^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=-\sqrt{2}$, $f^{\prime \prime }\left(\frac{5\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$.

Pasul 7.

Pasul 8 — citirea tabelului. Pe o perioadă, $f$ crește pe $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$, scade pe $\left[\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right]$ și crește pe $\left[\frac{5\pi }{4},2\pi \right]$; maximul este $\sqrt{2}$, minimul este $-\sqrt{2}$, deci imaginea funcției este $\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]$; punctele de inflexiune ale graficului sunt $\left(\frac{3\pi }{4},0\right)$ și $\left(\frac{7\pi }{4},0\right)$.

Pasul 9 — trasarea. Se desenează porțiunea de pe $[0,2\pi ]$ și se repetă identic la stânga și la dreapta. Verificarea de control: scriind $f(x)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$, se vede că graficul este sinusoida obișnuită, dilatată de $\sqrt{2}$ pe verticală și mutată cu $\frac{\pi }{4}$ la stânga — exact ce arată tabelul.

4. Cum se desenează graficul unei funcții cu modul?

În două mișcări, dintre care prima este pur algebrică. Se rescrie funcția pe ramuri, folosind definiția modulului de la funcția modul: se rezolvă ecuația care anulează expresia de sub modul, se împarte domeniul în intervale și pe fiecare se scrie expresia fără modul, cu semnul potrivit. Se studiază apoi fiecare ramură separat, exact ca o funcție obișnuită, iar în punctele de trecere se calculează derivatele laterale.

Există și o scurtătură geometrică, foarte utilă pentru controlul desenului: graficul funcției $|u(x)|$ se obține din graficul lui $u$ răsturnând deasupra axei $Ox$ porțiunile aflate sub ea, ca într-o oglindire. Porțiunile de deasupra rămân neatinse. De aici se citește imediat unde apar colțurile: exact în punctele în care graficul lui $u$ taie axa, adică în rădăcinile simple ale lui $u$.

Într-o rădăcină dublă nu apare colț: acolo graficul lui $u$ atinge axa fără să o taie, deci oglindirea nu schimbă nimic în vecinătate. Este deosebirea dintre $|x^2-1|$, care are două colțuri, și $|x^2|=x^2$, care nu are niciunul.

5. Racordul ramurilor: când este funcția derivabilă în punctul de trecere?

Pentru o funcție definită pe ramuri, cu punctul de racord $x_0$, ordinea verificărilor nu se schimbă niciodată, pentru că a doua o presupune pe prima:

1. Continuitatea: cele două limite laterale în $x_0$ trebuie să existe, să fie egale între ele și egale cu $f(x_0)$. Tehnica este cea de la continuitatea funcțiilor pe ramuri.
2. Derivabilitatea: dacă funcția nu este continuă în $x_0$, nu este nici derivabilă — se oprește aici. Dacă este continuă, se compară derivatele laterale $f_s^{\prime }(x_0)$ și $f_d^{\prime }(x_0)$; funcția este derivabilă dacă și numai dacă ele există, sunt finite și egale, așa cum s-a fixat la derivabilitate și continuitate.

Derivatele laterale se pot obține pe două căi. Din definiție, calculând limita raportului incrementar pe fiecare parte — calea sigură, valabilă întotdeauna. Sau, mai rapid, cu Consecința 3 a teoremei lui Lagrange: dacă $f$ este continuă în $x_0$, derivabilă în jurul lui $x_0$ mai puțin eventual în $x_0$, și dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$ există, atunci $f$ are derivată în $x_0$, egală cu această limită. Practic: se derivează fiecare ramură cu formulele obișnuite și se calculează limita derivatei către punctul de racord, dinspre fiecare parte. Enunțul complet se află la consecințele teoremei lui Lagrange.

Rezultatele posibile, cu numele lor de la clasa a XI-a, sunt trei: racord neted (derivatele laterale egale și finite — graficul are o tangentă unică); punct unghiular (derivate laterale diferite, cel puțin una finită — două semitangente, deci un colț); punct de întoarcere (derivate laterale infinite, de semne contrare — o semitangentă verticală).

6. Ce se scrie în tabel când derivata nu există?

Regula, valabilă de aici încolo în toată clasa a XII-a: în punctul în care derivatele laterale există dar diferă, se scrie $\nexists$ pe rândul respectiv, iar natura punctului se explică în cuvinte, sub tabel. Ea se aplică la ambele rânduri de derivate:

• pe rândul $f^{\prime }(x)$, simbolul $\nexists$ marchează un punct unghiular sau un punct de întoarcere;
• pe rândul $f^{\prime \prime }(x)$, simbolul $\nexists$ marchează un punct în care derivatele laterale de ordinul al doilea diferă. Aceasta se întâmplă la aproape orice racord: două ramuri diferite au, în general, curburi diferite.

Marcajul $\text{I}$ de punct de inflexiune se pune numai dacă funcția este derivabilă în acel punct și convexitatea se schimbă acolo — o precizare față de definiția punctului de inflexiune din clasa a XI-a, care cerea doar continuitatea și schimbarea convexității: acolo toate exemplele erau derivabile, așa că nu se punea problema colțurilor; aici, la funcțiile cu modul, apare și cazul în care convexitatea se schimbă într-un colț, iar el nu primește marcajul — atunci graficul are o tangentă unică pe care o traversează, adică imaginea obișnuită a inflexiunii. Într-un punct unghiular convexitatea se poate schimba și ea, dar graficul are două semitangente, nu una; acolo se scrie în text „punct unghiular", nu se pune $\text{I}$.

7. Trei reflexe pentru desen

1. Colțul se desenează ascuțit, nu rotunjit. Cele două semitangente au pante diferite, iar unghiul dintre ele trebuie să se vadă; un desen care netezește colțul contrazice tabelul.
2. Ramurile se opresc exact la punctul de racord. Nu se prelungește ramura din stânga peste $x_0$ și nu se lasă gol între ele: valoarea $f(x_0)$ aparține uneia dintre ramuri, potrivit definiției.
3. La funcțiile periodice se desenează cel puțin două perioade. O singură perioadă nu arată repetarea, care este proprietatea esențială; capetele se prelungesc punctat, ca să se vadă că modelul continuă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Perioada micșorată: funcția ${\sin }^{2}x$

Determinați perioada principală și reprezentați grafic funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)={\sin }^{2}x$.

Rezolvare. Din formula unghiului dublu, $f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}$, iar $\cos 2x$ are perioada $\pi$; prin urmare $T=\pi$. Că este cea mai mică se vede numeric: $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$, dar $f\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}\right)=f\left(\frac{3\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$ — egale, deci mai verificăm un punct: $f(0)=0$, iar $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1\ne 0$, deci $\frac{\pi }{2}$ nu este perioadă.

Studiem pe $[0,\pi ]$. $f^{\prime }(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$, cu zerourile $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$; $f^{\prime \prime }(x)=2\cos 2x$, cu zerourile $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{3\pi }{4}$, unde $f=\frac{1}{2}$. Funcția este mărginită, deci nu are asimptote.

Citirea tabelului: pe o perioadă, $f$ crește pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ și scade pe $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$; minimul este $0$, maximul este $1$, deci imaginea este $[0,1]$; graficul are punctele de inflexiune $\left(\frac{\pi }{4},\frac{1}{2}\right)$ și $\left(\frac{3\pi }{4},\frac{1}{2}\right)$. ✓

Exemplul 2 — O funcție trigonometrică cu asimptote verticale

Studiați funcția $f:\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\mathrm{tg}x-x$.

Rezolvare. Pașii 1–2: domeniul este dat, iar $f$ este continuă și derivabilă pe el; $f(-x)=-\mathrm{tg}x+x=-f(x)$, deci funcția este impară, iar graficul este simetric față de origine. Singurul zero este $x=0$.

Pasul 3: capetele sunt finite și deschise. $\underset{\begin{array}{c}x\to -\frac{\pi }{2}\\ x>-\frac{\pi }{2}\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to \frac{\pi }{2}\\ x<\frac{\pi }{2}\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$, deci dreptele $x=-\frac{\pi }{2}$ și $x=\frac{\pi }{2}$ sunt asimptote verticale.

Pașii 4–6: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1={\mathrm{tg}}^{2}x\ge 0$, cu egalitate numai în $x=0$; derivata nu își schimbă semnul, deci $f$ este strict crescătoare pe tot domeniul, iar $x=0$ nu este punct de extrem, deși $f^{\prime }(0)=0$. $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}$, negativă pe $\left(-\frac{\pi }{2},0\right)$ și pozitivă pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, deci $(0,0)$ este punct de inflexiune.

Citirea tabelului: $f$ este strict crescătoare, deci bijectivă de la domeniu pe $\mathbb{R}$; imaginea este $\mathbb{R}$; graficul este concav în stânga originii și convex în dreapta, cu inflexiune în origine, și se lipește de cele două asimptote verticale. Capetele fiind finite și deschise, rândurile derivatelor primesc bară. ✓

Exemplul 3 — O funcție cu modul: două colțuri

Reprezentați grafic funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x^2-4x+3|$.

Rezolvare. Pasul 1: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$, cu rădăcinile simple $1$ și $3$; trinomul este negativ între ele și pozitiv în afară. Rescriem pe ramuri:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-4x+3,& x\in (-\infty ,1]\cup [3,+\infty )\\ -x^2+4x-3,& x\in (1,3)\end{array}$$

Pasul 2: pe fiecare ramură funcția este polinomială, deci continuă și derivabilă; în $1$ și în $3$ ea este continuă (ambele expresii dau $0$), dar derivatele laterale sunt $f_s^{\prime }(1)=-2$ și $f_d^{\prime }(1)=2$, respectiv $f_s^{\prime }(3)=-2$ și $f_d^{\prime }(3)=2$: puncte unghiulare.

Pașii 3–6: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=+\infty$, fără asimptote. $f^{\prime }(x)=2x-4$ pe ramurile exterioare și $f^{\prime }(x)=-2x+4$ pe cea din mijloc, cu unicul zero $x=2$, unde $f(2)=1$. $f^{\prime \prime }$ este $2$ în afară și $-2$ înăuntru.

Citirea tabelului: funcția are două minime globale, $f(1)=f(3)=0$, și un maxim local $f(2)=1$; imaginea este $[0,+\infty )$. În $1$ și în $3$ convexitatea se schimbă, dar acolo funcția nu este derivabilă: sunt puncte unghiulare, nu puncte de inflexiune, iar graficul are câte două semitangente, de pante $-2$ și $2$. Desenul se poate controla cu regula oglindirii: se trasează parabola $y=x^2-4x+3$ și se răstoarnă deasupra axei arcul dintre $1$ și $3$. ✓

Exemplul 4 — Funcție pe ramuri cu punct unghiular

Studiați funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+1,& x\le 1\\ \sqrt{x}+1,& x>1\end{array}$

Rezolvare. Racordul. $f(1)=2$ din prima ramură, iar limita la dreapta este $\sqrt{1}+1=2$: funcția este continuă în $1$. Derivatele laterale: $f_s^{\prime }(1)=2x{|}_{x=1}=2$ și $f_d^{\prime }(1)=\frac{1}{2\sqrt{x}}{|}_{x=1}=\frac{1}{2}$. Fiind diferite, funcția nu este derivabilă în $1$: punct unghiular.

Restul studiului. Pe $(-\infty ,1]$: $f^{\prime }(x)=2x$, negativă înainte de $0$ și pozitivă după, cu minimul $f(0)=1$; $f^{\prime \prime }(x)=2>0$, deci ramura este convexă. Pe $(1,+\infty )$: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}>0$, deci crește; $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}<0$, deci ramura este concavă. Limitele: $+\infty$ la ambele capete, iar $\frac{f(x)}{x}=\frac{\sqrt{x}+1}{x}\to 0$ spre $+\infty$, deci nu există asimptotă oblică.

Citirea tabelului: minimul global este $f(0)=1$; funcția crește pe $[0,+\infty )$; imaginea este $[1,+\infty )$. În $x=1$ graficul are un colț în care panta scade brusc de la $2$ la $\frac{1}{2}$, iar convexitatea se schimbă din $\cup$ în $\cap$ — de aceea ambele rânduri de derivate primesc $\nexists$. ✓

Exemplul 5 — Racord neted, cu asimptotă orizontală

Studiați funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x,& x\le 0\\ x^2+x+1,& x>0\end{array}$

Rezolvare. Racordul. $f(0)=e^0=1$, iar limita la dreapta este $1$: funcția este continuă. Derivatele laterale: $f_s^{\prime }(0)=e^x{|}_{x=0}=1$ și $f_d^{\prime }(0)=(2x+1){|}_{x=0}=1$. Fiind egale și finite, $f$ este derivabilă în $0$, cu $f^{\prime }(0)=1$: racordul este neted, graficul are o tangentă unică, de pantă $1$.

Restul studiului. Pe $(-\infty ,0]$: $f^{\prime }=e^x>0$ și $f^{\prime \prime }=e^x>0$. Pe $(0,+\infty )$: $f^{\prime }=2x+1>0$ și $f^{\prime \prime }=2>0$. Deci funcția este strict crescătoare și convexă pe tot $\mathbb{R}$. Limitele: $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$, deci $y=0$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$; $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, iar $\frac{f(x)}{x}\to +\infty$, deci nicio asimptotă în dreapta.

Citirea tabelului: $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și convexă pe $\mathbb{R}$; imaginea este $(0,+\infty )$; graficul se lipește pe dedesubt de axa $Ox$ la stânga. Pe rândul lui $f^{\prime \prime }$ apare $\nexists$ în $0$, pentru că derivatele laterale de ordinul al doilea sunt $1$ și $2$; fiind amândouă pozitive, convexitatea nu se schimbă, deci punctul nu este de inflexiune. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+ax+b,& x\le 1\\ \ln x+2,& x>1\end{array}$, cu $a,b$ numere reale. a) Determinați $a$ și $b$ astfel încât $f$ să fie derivabilă pe $\mathbb{R}$. b) Pentru valorile găsite, alcătuiți tabelul de variație și trasați graficul. c) Arătați că punctul $(1,2)$ este punct de inflexiune al graficului și scrieți ecuația tangentei în acest punct.

Rezolvare. a) Derivabilitatea în $1$ cere mai întâi continuitatea: $1+a+b=\ln 1+2=2$, adică $a+b=1$. Apoi egalitatea derivatelor laterale: $f_s^{\prime }(1)=2\cdot 1+a=2+a$ și $f_d^{\prime }(1)=\frac{1}{x}{|}_{x=1}=1$, deci $2+a=1$, adică $a=-1$ și, din prima relație, $b=2$. Funcția devine $f(x)=x^2-x+2$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=\ln x+2$ pentru $x>1$.

b) Pe $(-\infty ,1]$: $f^{\prime }(x)=2x-1$, negativă înainte de $\frac{1}{2}$ și pozitivă după, cu $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{4}$; $f^{\prime \prime }(x)=2>0$. Pe $(1,+\infty )$: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}>0$ și $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$. Limitele: $+\infty$ la ambele capete; $\frac{f(x)}{x}=\frac{\ln x+2}{x}\to 0$ spre $+\infty$, deci graficul nu are asimptote.

Citirea tabelului: minimul global este $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{4}$; imaginea este $\left[\frac{7}{4},+\infty \right)$; funcția este convexă pe $(-\infty ,1]$ și concavă pe $[1,+\infty )$.

c) În $x=1$ funcția este derivabilă, iar convexitatea trece de la $\cup$ la $\cap$, pentru că $f^{\prime \prime }$ este pozitivă la stânga și negativă la dreapta; prin urmare $x=1$ este punct de inflexiune al funcției, iar $(1,2)$ este punctul de inflexiune al graficului. Observă că $f^{\prime \prime }(1)$ nu există — derivatele laterale de ordinul al doilea sunt $2$ și $-1$ — și totuși inflexiunea este reală: definiția cere schimbarea convexității, nu anularea lui $f^{\prime \prime }$. Tangenta are panta $f^{\prime }(1)=1$, deci ecuația ei este $y-2=1\cdot (x-1)$, adică $y=x+1$. Acesta este un subpunct c) tipic pentru Subiectul al III-lea la Bacalaureat M1. ✓

Să exersăm

1. Determinați perioada principală a funcției $f(x)=\sin 3x$ și intervalul pe care este de ajuns să o studiați.

2. Determinați perioada principală a funcției $f(x)={\cos }^{2}x$ și justificați de ce nu este $2\pi$.

3. Scrieți funcția $f(x)=|x-2|$ pe ramuri și calculați derivatele laterale în $x=2$.

4. Alcătuiți tabelul de variație cu derivata întâi pentru $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2\sin x$, și precizați imaginea funcției.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O funcție cu modul nu este niciodată derivabilă în punctul în care se anulează expresia de sub modul."

6. Determinați asimptotele, monotonia și punctul de inflexiune ale funcției $f:\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\mathrm{tg}x$.

7. Studiați continuitatea și derivabilitatea în $x=0$ pentru $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+1,& x\le 0\\ x^2+1,& x>0\end{array}$

8. Determinați numărul real $a$ pentru care funcția $f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+1,& x\le 2\\ x^2-3,& x>2\end{array}$ este continuă pe $\mathbb{R}$, apoi stabiliți dacă ea este și derivabilă în $2$.

9. Reprezentați grafic funcția $f(x)=|x^2-1|$: rescrierea pe ramuri, colțurile, extremele și imaginea.

10. Alcătuiți tabelul de variație cu derivata întâi al funcției $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\cos 2x+2\cos x$.

11. (Problemă aplicată.) Nivelul apei într-un port este $h(t)=1,5+0,8\sin \left(\frac{\pi t}{6}\right)$ metri, cu $t$ în ore. Determinați perioada, nivelul maxim și cel minim și momentele la care se ating, pe primele $12$ ore.

12. Scrieți funcția $f(x)=x+|x|$ pe ramuri, calculați derivatele laterale în $0$ și trasați graficul.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o funcție definită pe ramuri este continuă în punctul de racord, atunci este și derivabilă acolo."

14. Determinați perioada principală a funcției $f(x)=|\sin x|$ și precizați în ce puncte graficul ei are colțuri.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+ax+b,& x\le 1\\ \frac{1}{x},& x>1\end{array}$ a) Determinați $a$ și $b$ pentru care $f$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$. b) Determinați asimptotele graficului. c) Arătați că $f$ este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$.

16. Arătați că funcția $f(x)=|x-1|+|x+1|$ este constantă pe $[-1,1]$, determinați expresia ei pe celelalte ramuri și trasați graficul.

17. (Problemă aplicată.) Tensiunea de la ieșirea unui redresor este $u(t)=U|\sin (\omega t)|$, cu $U>0$ și $\omega >0$. Determinați perioada semnalului, valoarea maximă și punctele în care graficul are colțuri.

18. (Provocare.) Studiați funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|\sin x|+|\cos x|$: perioada principală, valoarea minimă și valoarea maximă.

Răspunsuri și explicații

1. $\sin (ax)$ are perioada $\frac{2\pi }{|a|}$, deci aici $T=\frac{2\pi }{3}$. Este de ajuns studiul pe $\left[0,\frac{2\pi }{3}\right]$, restul graficului obținându-se prin translații de lungime $\frac{2\pi }{3}$.

2. ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$, iar $\cos 2x$ are perioada $\pi$, deci $T=\pi$. Numărul $2\pi$ este perioadă, dar nu este cea mai mică; ridicarea la pătrat șterge deosebirea de semn dintre $\cos x$ și $\cos (x+\pi )=-\cos x$, deci înjumătățește perioada.

3. $f(x)=2-x$ pentru $x\le 2$ și $f(x)=x-2$ pentru $x>2$. Derivatele laterale sunt $f_s^{\prime }(2)=-1$ și $f_d^{\prime }(2)=1$; fiind diferite, $x=2$ este punct unghiular, iar în tabel rândul lui $f^{\prime }$ primește $\nexists$.

4. $f^{\prime }(x)=2\cos x$, cu zerourile $\frac{\pi }{2}$ și $\frac{3\pi }{2}$; valorile: $f(0)=0$, $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2$, $f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=-2$, $f(2\pi )=0$. Funcția crește, scade, apoi crește; imaginea este $[-2,2]$.

5. Fals. Contraexemplu: $f(x)=x|x|$, care se scrie $x^2$ pentru $x\ge 0$ și $-x^2$ pentru $x<0$. Derivatele laterale în $0$ sunt amândouă $0$, deci funcția este derivabilă acolo, cu $f^{\prime }(x)=2|x|$. Colțul apare numai când expresia de sub modul are o rădăcină simplă.

6. Asimptote verticale: $x=-\frac{\pi }{2}$ și $x=\frac{\pi }{2}$, pentru că limitele laterale sunt $-\infty$, respectiv $+\infty$. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}>0$, deci funcția este strict crescătoare; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}$ își schimbă semnul în $0$, deci $(0,0)$ este punct de inflexiune. Imaginea este $\mathbb{R}$.

7. Ambele expresii dau valoarea $1$ în $0$, deci funcția este continuă. Derivatele laterale: $f_s^{\prime }(0)=2$ și $f_d^{\prime }(0)=2x{|}_{x=0}=0$; fiind diferite, funcția nu este derivabilă în $0$, iar graficul are un punct unghiular, cu semitangente de pante $2$ și $0$.

8. Continuitatea cere $2a+1=4-3=1$, deci $a=0$ și $f(x)=1$ pentru $x\le 2$. Derivatele laterale: $f_s^{\prime }(2)=0$ și $f_d^{\prime }(2)=2x{|}_{x=2}=4$; fiind diferite, funcția nu este derivabilă în $2$. Concluzia obișnuită: continuitatea nu atrage derivabilitatea.

9. $f(x)=x^2-1$ pentru $|x|\ge 1$ și $f(x)=1-x^2$ pentru $|x|<1$. Colțurile sunt în $(-1,0)$ și $(1,0)$, cu derivatele laterale $-2$ și $2$ în fiecare. Minimele globale sunt $f(\pm 1)=0$, maximul local este $f(0)=1$, iar imaginea este $[0,+\infty )$. Funcția este pară.

10. $f^{\prime }(x)=-2\sin 2x-2\sin x=-2\sin x(2\cos x+1)$, cu zerourile $0$, $\frac{2\pi }{3}$, $\pi$, $\frac{4\pi }{3}$, $2\pi$. Valorile: $f(0)=f(2\pi )=3$, $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=f\left(\frac{4\pi }{3}\right)=-\frac{3}{2}$, $f(\pi )=-1$. Funcția scade, crește, scade, crește; minimele globale sunt $-\frac{3}{2}$, maximul local interior este $-1$, iar imaginea este $\left[-\frac{3}{2},3\right]$.

11. Perioada este $\frac{2\pi }{\frac{\pi }{6}}=12$ ore. Nivelul maxim $2,3$ m se atinge când $\sin \left(\frac{\pi t}{6}\right)=1$, adică la $t=3$ ore; nivelul minim $0,7$ m se atinge la $t=9$ ore. Între ele funcția este strict monotonă, deci mareea urcă șase ore și coboară șase ore.

12. $f(x)=0$ pentru $x\le 0$ și $f(x)=2x$ pentru $x>0$. Derivatele laterale în $0$ sunt $0$ și $2$, deci originea este punct unghiular. Graficul este semiaxa negativă a lui $Ox$, urmată de semidreapta $y=2x$; funcția este crescătoare și convexă, cu imaginea $[0,+\infty )$.

13. Fals. Contraexemplul canonic este $f(x)=|x|$, continuă în $0$, cu $f_s^{\prime }(0)=-1\ne 1=f_d^{\prime }(0)$. Implicația merge doar în sens invers: derivabilitatea atrage continuitatea, iar contrapoziția ei este unealta de lucru la orice funcție pe ramuri.

14. $|\sin (x+\pi )|=|-\sin x|=|\sin x|$, deci $\pi$ este perioadă; nu există una mai mică, pentru că pe $[0,\pi ]$ funcția crește și apoi scade o singură dată. Colțurile apar în punctele $x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, adică exact în zerourile simple ale lui $\sin$, unde derivatele laterale sunt $-1$ și $1$.

15. a) Continuitatea în $1$ dă $1+a+b=1$, deci $a+b=0$; derivabilitatea dă $2+a=-\frac{1}{x^2}{|}_{x=1}=-1$, deci $a=-3$ și $b=3$. b) Spre $-\infty$, $f(x)\to +\infty$ și $\frac{f(x)}{x}\to -\infty$, deci nu există asimptotă; spre $+\infty$, $\lim \frac{1}{x}=0$, deci $y=0$ este asimptotă orizontală. Nu există asimptote verticale, domeniul fiind $\mathbb{R}$. c) Pe $(-\infty ,1]$, $f^{\prime }(x)=2x-3<0$ pentru $x\le 1$; pe $(1,+\infty )$, $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$. Fiind continuă și cu derivata negativă pe fiecare dintre cele două intervale care se racordează, $f$ este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$.

16. Pe $[-1,1]$ avem $|x-1|=1-x$ și $|x+1|=x+1$, deci suma este $2$, constantă. Pentru $x>1$, $f(x)=(x-1)+(x+1)=2x$; pentru $x<-1$, $f(x)=(1-x)+(-x-1)=-2x$. Graficul este un segment orizontal la înălțimea $2$, prelungit cu două semidrepte de pante $2$ și $-2$; funcția este pară, iar $\pm 1$ sunt puncte unghiulare.

17. Perioada lui $\sin (\omega t)$ este $\frac{2\pi }{\omega }$, iar modulul o înjumătățește, deci semnalul redresat are perioada $\frac{\pi }{\omega }$ — de aceea redresarea dublă alternanță dublează frecvența. Valoarea maximă este $U$, atinsă când $|\sin (\omega t)|=1$. Colțurile apar în punctele $t=\frac{k\pi }{\omega }$, $k\in \mathbb{Z}$, adică acolo unde tensiunea se anulează.

18. Din $|\sin (x+\frac{\pi }{2})|=|\cos x|$ și $|\cos (x+\frac{\pi }{2})|=|\sin x|$ rezultă că $\frac{\pi }{2}$ este perioadă, iar pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ funcția crește și apoi scade o singură dată, deci este perioada principală. Ridicând la pătrat, $f^2(x)=1+2|\sin x\cos x|=1+|\sin 2x|$, care ia valori între $1$ și $2$; prin urmare valoarea minimă este $1$, atinsă în punctele $x=\frac{k\pi }{2}$, iar valoarea maximă este $\sqrt{2}$, atinsă în punctele $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$.

De reținut

• Perioada principală a unei funcții periodice este cel mai mic număr strict pozitiv $T$ cu $f(x+T)=f(x)$, iar studiul întregului grafic se reduce la un singur interval de lungimea ei.
• Ridicarea la pătrat și modulul pot micșora perioada: ${\sin }^{2}x$ și $|\sin x|$ au perioada $\pi$, nu $2\pi$.
• Graficul funcției $|u(x)|$ se obține răsturnând deasupra axei $Ox$ porțiunile din graficul lui $u$ aflate sub ea, iar colțurile apar exact în rădăcinile simple ale lui $u$.
• Într-un punct de racord se verifică întotdeauna întâi continuitatea și abia apoi derivabilitatea, pentru că o funcție discontinuă nu poate fi derivabilă.
• În tabelul de variație, simbolul $\nexists$ marchează punctul în care derivatele laterale există dar diferă, atât pe rândul lui $f^{\prime }$, cât și pe rândul lui $f^{\prime \prime }$.

Greșeli frecvente

• Se scrie perioada $2\pi$ pentru ${\sin }^{2}x$ sau pentru $|\sin x|$. Corect: amândouă au perioada principală $\pi$, iar afirmația se verifică arătând că niciun număr mai mic nu este perioadă.
• Se verifică derivabilitatea în racord fără să se fi verificat continuitatea. Corect: dacă limitele laterale diferă, funcția nu este continuă, deci nici derivabilă, iar calculul derivatelor laterale nu mai are sens.
• Se scrie $f^{\prime }(x_0)=0$ acolo unde derivata nu există. Corect: într-un punct unghiular se scrie $\nexists$ pe rândul lui $f^{\prime }$, iar natura punctului se explică în text, sub tabel.
• Se marchează $\text{I}$ într-un punct unghiular în care se schimbă convexitatea. Corect: marcajul de inflexiune se pune numai unde funcția este derivabilă, adică unde graficul are o tangentă unică.
• Se rezolvă modulul „scoțând totul cu plus". Corect: se rezolvă ecuația care anulează expresia de sub modul, se stabilește semnul pe fiecare interval și se scriu ramurile cu semnele potrivite.

Aplică acasă

1. Desenează pe hârtie milimetrică graficul funcției $\sin x+\cos x$ pe două perioade întregi, marcând extremele și punctele de inflexiune. Suprapune apoi, cu altă culoare, sinusoida $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$: cele două trebuie să coincidă perfect.
2. Ia trei trinoame de gradul al doilea cu rădăcini întregi, desenează parabolele lor și apoi, prin oglindire față de axa $Ox$, graficele modulelor. Numără colțurile de fiecare dată și verifică regula rădăcinilor simple.
3. Construiește o funcție pe ramuri care să fie continuă, dar nederivabilă într-un punct ales de tine, și una care să fie derivabilă în același punct. Compară cele două desene: diferența dintre colț și racord neted trebuie să se vadă cu ochiul liber.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei deprinderi distincte, care se evaluează separat: reducerea studiului la o perioadă, transformarea modulului în ramuri și analiza corectă a punctului de racord. Ultima este cea mai valoroasă la examen, pentru că apare și în probleme cu parametri, unde se cere determinarea unor constante.

Întrebări de control: Care este perioada principală a funcției $|\sin x|$ și de ce nu este $2\pi$? Ce se verifică prima dată într-un punct de racord? Ce se scrie în tabel când derivatele laterale diferă?

Recomandarea practică este ca elevul să deseneze de fiecare dată graficul pe hârtie înainte de a-l compara cu un instrument digital. Programul arată forma corectă, dar nu spune de ce apare colțul; motivul se vede numai în calculul derivatelor laterale.

Semne că a înțeles: verifică întâi continuitatea și abia apoi derivabilitatea; nu confundă colțul cu inflexiunea; determină perioada prin calcul, nu din memorie; desenează cel puțin două perioade la funcțiile periodice.

Unde apare la BAC: funcțiile pe ramuri cu parametri de determinat apar constant la Subiectul al III-lea, iar funcțiile cu modul apar și în cerințele de continuitate. Materia continuă în lecția următoare, rezolvarea grafică a ecuației cu parametru, și se sprijină pe graficul funcțiilor exponențiale și logaritmice, studiat imediat înainte.

Întrebări frecvente

Ce este perioada principală a unei funcții?

Perioada principală este cel mai mic număr strict pozitiv $T$ pentru care $f(x+T)=f(x)$ oricare ar fi $x$ din domeniu. Existența ei înseamnă că graficul se repetă identic din $T$ în $T$, deci studiul complet se poate face pe un singur interval de lungime $T$, iar restul curbei se obține prin translații.

Cum se determină perioada unei funcții trigonometrice compuse?

Se pornește de la perioadele de bază: $\frac{2\pi }{|a|}$ pentru $\sin (ax)$ și $\cos (ax)$, respectiv $\frac{\pi }{|a|}$ pentru $\mathrm{tg}(ax)$. Pentru o sumă se caută un multiplu comun al perioadelor termenilor, iar la pătrate sau module se verifică dacă perioada nu cumva se înjumătățește, cum se întâmplă la ${\sin }^{2}x$.

Cum se trasează graficul unei funcții cu modul?

Se rescrie funcția pe ramuri, rezolvând ecuația care anulează expresia de sub modul, și se studiază fiecare ramură separat. Pentru control se folosește regula oglindirii: graficul lui $|u|$ se obține răsturnând deasupra axei porțiunile din graficul lui $u$ aflate sub axă, iar colțurile apar în rădăcinile simple.

Când este derivabilă o funcție în punctul de racord?

Când este continuă acolo și când cele două derivate laterale există, sunt finite și egale între ele. Ordinea contează: dacă funcția nu este continuă, discuția se oprește, pentru că o funcție discontinuă nu poate fi derivabilă. Egalitatea derivatelor laterale se poate verifica din definiție sau cu Consecința 3 a teoremei lui Lagrange.

Ce se scrie în tabelul de variație într-un punct unghiular?

Pe rândul lui $f^{\prime }(x)$ se scrie simbolul $\nexists$, pentru că derivatele laterale există dar diferă, iar sub tabel se explică în cuvinte că punctul este unghiular și se dau pantele celor două semitangente. Dacă și derivatele laterale de ordinul al doilea diferă, tot $\nexists$ se scrie și pe rândul lui $f^{\prime \prime }(x)$.

De ce nu este punct de inflexiune un colț în care se schimbă convexitatea?

Pentru că inflexiunea înseamnă că graficul traversează propria tangentă, iar într-un colț nu există o tangentă unică, ci două semitangente cu pante diferite. De aceea marcajul $\text{I}$ din tabel se rezervă punctelor în care funcția este derivabilă și convexitatea se schimbă, ca în Exemplul 6.

Ce funcții pe ramuri apar la Bacalaureat M1?

Cel mai des apar funcții cu doi parametri de determinat din condiția de derivabilitate, cu o ramură polinomială și una care conține logaritm, exponențială sau radical. Cerințele obișnuite sunt determinarea parametrilor, tabelul de variație, existența unui punct de inflexiune și ecuația tangentei, la Subiectul al III-lea.