Grupul: definiție și exemple: pe scurt

Perechea $(G,\ast )$, formată dintr-o mulțime nevidă și o lege de compoziție pe ea, se numește grup dacă legea satisface trei axiome: G1 asociativitatea, G2 existența elementului neutru $e\in G$, G3 existența simetricului $x^{\prime }\in G$ pentru orice $x\in G$. Dacă legea este și comutativă, grupul se numește grup comutativ (abelian).

Verificarea se face în patru pași, mereu în această ordine: (0) legea nu scoate rezultatul din $G$ — adică $G$ este parte stabilă; (1) asociativitate; (2) element neutru în $G$; (3) simetric în $G$ pentru fiecare element.

Structura ține de pereche, nu de mulțime: $(\mathbb{Z},+)$ este grup, $(\mathbb{Z},\cdot )$ nu (simetrizabile sunt doar $-1$ și $1$); $(\mathbb{Q},\cdot )$ nu este grup, fiindcă $0$ nu are invers, dar $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ este. Tot grupuri comutative sunt $(\mathbb{R},+)$, $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ și $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),+)$.

Din axiome rezultă că elementul neutru este unic și că fiecare element are exact un simetric; a doua demonstrație folosește esențial asociativitatea, prin lanțul $x^{\prime }=x^{\prime }\ast (x\ast x^{\prime \prime })=(x^{\prime }\ast x)\ast x^{\prime \prime }=x^{\prime \prime }$.

Pentru o lege dată prin formulă, forma factorizată $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ dă direct partea stabilă $(a,+\infty )$, neutrul $e=a+1$ și simetricul $x^{\prime }=a+\frac{1}{x-a}$. Numărul de elemente al unui grup finit se scrie $\mathrm{card}G$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre structurile de mai jos nu este grup?

   • a) $(\mathbb{Q},\cdot )$
   • b) $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$
   • c) $(\mathbb{Z},+)$
   • d) $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),+)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $(\mathbb{Q},\cdot )$

   În $(\mathbb{Q},\cdot )$ cade axioma G3: numărul $0$ nu are invers, fiindcă $0\cdot x^{\prime }=0\ne 1$ oricare ar fi $x^{\prime }$. Reparația este scoaterea elementului vinovat, iar $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ este grup comutativ. Celelalte două sunt grupuri comutative: $(\mathbb{Z},+)$ cu $e=0$ și $-x$, respectiv $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),+)$ cu $O_2$ și $-A$.

2. Cei patru pași ai verificării structurii de grup sunt, în ordine:

   • a) asociativitate, element neutru, simetric, parte stabilă
   • b) parte stabilă, asociativitate, element neutru în mulțime, simetric în mulțime
   • c) comutativitate, asociativitate, element neutru, simetric
   • d) element neutru, simetric, asociativitate, parte stabilă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) parte stabilă, asociativitate, element neutru în mulțime, simetric în mulțime

   Pasul $0$ stă primul pentru că, dacă rezultatul iese din mulțime, nu mai are rost să discuți despre restul: nu există structură deloc. Varianta c adaugă comutativitatea, care nu este axiomă a grupului, ci o proprietate suplimentară. Variantele a și d amână sau elimină verificarea părții stabile — greșeala care lasă întreaga rezolvare fără punctaj.

3. Pe $G=(14,+\infty )$ se consideră legea $x\ast y=xy-14x-14y+210$. Elementul neutru și simetricul unui element $x$ sunt:

   • a) $e=14$ și $x^{\prime }=14+\frac{1}{x-14}$
   • b) $e=15$ și $x^{\prime }=15-x$
   • c) $e=15$ și $x^{\prime }=14+\frac{1}{x-14}$
   • d) $e=14$ și $x^{\prime }=28-x$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $e=15$ și $x^{\prime }=14+\frac{1}{x-14}$

   Forma factorizată este $x\ast y=(x-14)(y-14)+14$, deci $e=a+1=15$, iar din $(x-14)(x^{\prime }-14)=1$ rezultă $x^{\prime }=14+\frac{1}{x-14}$, care este mai mare decât $14$ pentru $x>14$ — condiția care se uită cel mai des. Varianta a confundă neutrul cu elementul absorbant $14$, iar b și d folosesc formule de tip aditiv.