Grupul: definiție și exemple din mulțimile de numere

Ai verificat, în ultimele cincisprezece lecții, aceleași trei lucruri de zeci de ori: dacă legea este asociativă, dacă are element neutru și dacă fiecare element are simetric. Structura care apare atunci când toate trei răspund „da" se numește grup, iar de aici încolo ea este personajul principal al algebrei de clasa a 12-a și al Subiectului al II-lea de la Bacalaureat M1. Grupul este structura în care cele trei verificări reușesc deodată — lege asociativă, element neutru, simetric pentru fiecare element —, iar de aici decurge că ecuația $a\ast x=b$ are exact o soluție.

Motivul pentru care merită un nume separat este economia. Odată ce ai arătat, o singură dată, că o mulțime cu o lege este grup, primești gratis un pachet întreg de consecințe: ecuația $a\ast x=b$ are exact o soluție, poți simplifica, poți muta termeni dintr-un membru în altul. Fără nume, ai fi refăcut aceleași raționamente pentru numere, apoi pentru matrice, apoi pentru permutări, apoi pentru funcții — de patru ori aceeași muncă. Cu nume, o faci o dată și o folosești peste tot. Lecția aceasta construiește definiția, o pune la lucru pe mulțimile de numere pe care le știi de ani de zile și fixează rețeta de verificare pe care o vei repeta în toate lecțiile unității.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția grupului și să spui, fără ezitare, care sunt cele trei axiome plus verificarea prealabilă că legea este bine definită.
• Vei ști să deosebești un grup comutativ de unul oarecare și să citești comutativitatea de pe tabla operației.
• Vei ști care dintre mulțimile $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ formează grup față de adunare și care față de înmulțire, și de ce celelalte nu.
• Vei ști să demonstrezi că elementul neutru și simetricul sunt unice, folosind numai axiomele.
• Vei ști să verifici, în patru pași, dacă o lege dată printr-o formulă definește un grup pe un interval, folosind forma factorizată.
• Vei ști să folosești notația $\mathrm{card}G$ pentru numărul de elemente al unui grup finit.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un grup și care sunt axiomele lui?

Un grup este o pereche formată dintr-o mulțime nevidă $G$ și o lege de compoziție pe $G$ care îndeplinește trei condiții: este asociativă, are element neutru $e$ și fiecare element al lui $G$ are simetric în $G$. Dacă legea este, în plus, comutativă, grupul se numește grup comutativ.

Scriem asta pe rânduri, ca să nu se piardă nimic. Fie $G$ o mulțime nevidă și $\ast$ o lege de compoziție pe $G$, adică o funcție $\ast :G\times G\to G$. Spunem că $(G,\ast )$ este grup dacă:

• G1 (asociativitate): $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ pentru orice $x,y,z\in G$;
• G2 (element neutru): există $e\in G$ astfel încât $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x\in G$;
• G3 (elemente simetrizabile): pentru orice $x\in G$ există $x^{\prime }\in G$ astfel încât $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$.

Dacă, pe deasupra, $x\ast y=y\ast x$ pentru orice $x,y\in G$, atunci $(G,\ast )$ se numește grup comutativ (abelian). Numele reținut, cel pe care îl vei scrie în lucrare, este „grup comutativ".

Observă că în enunț am spus „lege de compoziție pe $G$". Cerința aceasta nu e decorativă: ea înseamnă $x\ast y\in G$ pentru orice $x,y\in G$, adică exact ceea ce ai numit parte stabilă la lecția despre parte stabilă și legea de compoziție indusă. În practică o verifici prima, pentru că dacă rezultatul iese din mulțime nu mai are rost să discuți despre asociativitate. De aceea, în orice problemă, faci patru verificări: (0) legea nu iese din $G$; (1) asociativitate; (2) element neutru; (3) toate elementele au simetric în $G$.

Legătura cu lecțiile anterioare e directă. O mulțime cu lege asociativă este semigrup; un semigrup cu element neutru este monoid; un monoid în care toate elementele sunt simetrizabile este grup. Ierarhia aceasta ai construit-o la semigrupuri și monoizi, unde structura de acum a fost anunțată fără nume. Acum primește numele.

2. Prima verificare completă: de ce $(\mathbb{Z},+)$ este grup

Luăm mulțimea numerelor întregi cu adunarea obișnuită și parcurgem cei patru pași, exact în ordinea în care îi vei scrie mereu.

Pasul 0. Suma a două numere întregi este un număr întreg, deci $+$ este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$.

Pasul 1. Adunarea numerelor este asociativă: $(x+y)+z=x+(y+z)$. Este o proprietate a numerelor, cunoscută din gimnaziu, nu ceva ce demonstrăm aici.

Pasul 2. Numărul $0$ este element neutru: $x+0=0+x=x$ pentru orice $x\in \mathbb{Z}$.

Pasul 3. Pentru orice $x\in \mathbb{Z}$, numărul $-x$ este tot întreg și $x+(-x)=(-x)+x=0$. Deci orice element este simetrizabil.

Prin urmare $(\mathbb{Z},+)$ este grup. Cum, în plus, $x+y=y+x$, este grup comutativ. Aici legea e notată aditiv, așa că simetricul se numește opusul lui $x$ și se scrie $-x$, iar elementul neutru se scrie $0$.

Acum schimbăm o singură literă și totul se prăbușește: $(\mathbb{N},+)$ nu este grup. Pașii 0, 1 și 2 trec fără probleme, dar pasul 3 cade: pentru $x=1$ ar trebui să existe $x^{\prime }\in \mathbb{N}$ cu $1+x^{\prime }=0$, adică $x^{\prime }=-1$, care nu este număr natural. Un singur element fără simetric strică totul — axioma G3 cere toate elementele, nu „aproape toate". $(\mathbb{N},+)$ rămâne monoid, și atât.

3. Când nu este grup o mulțime cu o lege de compoziție?

Contraexemplele se rețin mai bine decât exemplele, pentru că fiecare pică dintr-un alt motiv.

$(\mathbb{Z},\cdot )$ nu este grup. Înmulțirea numerelor întregi este asociativă, are element neutru $1$, dar simetrizabile sunt doar $1$ și $-1$: dacă $x\cdot x^{\prime }=1$ cu $x,x^{\prime }\in \mathbb{Z}$, atunci $x$ divide pe $1$. Scriem, cu notația fixată pentru mulțimea elementelor simetrizabile, $U(\mathbb{Z},\cdot )=\{-1,1\}$. Deci $(\mathbb{Z},\cdot )$ este doar monoid.

$(\mathbb{Q},\cdot )$ nu este grup. De data aceasta motivul e mai subtil și e cel mai frecvent la Bacalaureat M1: toate elementele nenule au invers, dar $0$ nu are. Nu există niciun număr rațional $x^{\prime }$ cu $0\cdot x^{\prime }=1$, pentru că $0\cdot x^{\prime }=0$ oricare ar fi $x^{\prime }$. Soluția e să scoatem elementul vinovat: $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ este grup comutativ, cu elementul neutru $1$ și inversul $x^{-1}=\frac{1}{x}$.

$(\mathbb{R},\ast )$ cu $x\ast y=x-y$ nu este grup. Aici cade prima axiomă. Verificăm pe numere: $(5-3)-2=0$, dar $5-(3-2)=4$. Scăderea nu este asociativă, deci discuția se oprește la pasul 1. Reține tiparul: un singur contraexemplu numeric dărâmă o proprietate, în timp ce o proprietate se dovedește numai în general, cu litere.

4. Care sunt grupurile de numere?

Tabelul următor rezumă situația pe mulțimile de numere pe care le folosești zilnic. Îl vei consulta des în lucrări, pentru că multe subpuncte de la Bacalaureat M1 se rezolvă recunoscând una dintre liniile lui.

Ultimele două linii merită citite cu atenție. Matricele pătratice se adună element cu element, deci se comportă ca numerele: $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),+)$ este grup comutativ, cu elementul neutru $O_2$ și opusul $-A$. La înmulțire, însă, două lucruri se strică deodată: legea nu mai este comutativă, așa cum ai văzut la proprietățile înmulțirii matricelor, și matricele cu determinantul nul nu au inversă. Cum se repară a doua problemă vei vedea în lecția despre grupuri de matrice și grupuri de permutări: se aruncă exact elementele care încurcă, la fel ca la trecerea de la $\mathbb{Q}$ la ${\mathbb{Q}}^{\ast }$.

O observație de limbaj, ca să nu greșești în lucrare: nu se spune „mulțimea $\mathbb{Z}$ este grup", ci „$(\mathbb{Z},+)$ este grup". Structura depinde de pereche, nu de mulțime — aceeași mulțime $\mathbb{Z}$ este grup cu adunarea și nu este grup cu înmulțirea.

5. De ce sunt unice elementul neutru și simetricul?

Cele două afirmații de mai jos se demonstrează în trei rânduri fiecare și sunt folosite tot restul anului, de fiecare dată când scrii „elementul neutru" sau „simetricul", cu articol hotărât.

Propoziția 1. Într-un grup $(G,\ast )$ elementul neutru este unic.

Demonstrație. Presupunem că $e$ și $f$ sunt amândouă elemente neutre. Calculăm compusul $e\ast f$ în două feluri. Fiindcă $f$ este neutru, $e\ast f=e$. Fiindcă $e$ este neutru, $e\ast f=f$. Cele două rezultate sunt egale cu același compus, deci $e=f$. $■$

Propoziția 2. Într-un grup $(G,\ast )$, fiecare element are un singur simetric.

Demonstrație. Fie $x\in G$ și presupunem că $x^{\prime }$ și $x^{\prime \prime }$ sunt amândouă simetrice ale lui $x$, adică $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$ și $x\ast x^{\prime \prime }=x^{\prime \prime }\ast x=e$. Atunci

$$x^{\prime }=x^{\prime }\ast e=x^{\prime }\ast (x\ast x^{\prime \prime })=(x^{\prime }\ast x)\ast x^{\prime \prime }=e\ast x^{\prime \prime }=x^{\prime \prime }.$$

Am folosit, pe rând, definiția lui $e$, simetria lui $x^{\prime \prime }$, asociativitatea și din nou definiția lui $e$. $■$

Atenție la locul în care intervine asociativitatea: fără ea, mutarea parantezei din mijlocul lanțului nu e permisă și demonstrația se oprește. Acesta e motivul pentru care asociativitatea stă prima în listă, deși pare cea mai plictisitoare dintre axiome.

Din unicitate rezultă și notațiile. Într-un grup notat multiplicativ, simetricul lui $x$ se numește inversul și se scrie $x^{-1}$; într-un grup notat aditiv se numește opusul și se scrie $-x$; pentru o lege oarecare $\ast$ îl scriem $x^{\prime }$. Sunt trei haine pentru același obiect.

6. Cum arăți că o lege dată prin formulă definește un grup?

Aici se dau cele mai multe puncte la Subiectul al II-lea. Legea vine sub forma unui polinom în $x$ și $y$, iar mulțimea e un interval. Rețeta pe care ai fixat-o la legi de compoziție pe mulțimi de numere — caută numărul $a$ pentru care $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ — face din patru verificări patru rânduri de calcul.

Luăm $G=(2,+\infty )$ și legea $x\ast y=xy-2x-2y+6$.

Forma factorizată. Grupăm: $xy-2x-2y+6=(x-2)(y-2)+2$, pentru că $(x-2)(y-2)=xy-2x-2y+4$, iar $4+2=6$. Deci $a=2$, exact capătul intervalului — nu e o coincidență, ci regula.

Pasul 0 (parte stabilă). Dacă $x>2$ și $y>2$, atunci $x-2>0$ și $y-2>0$, deci $(x-2)(y-2)>0$ și $x\ast y=(x-2)(y-2)+2>2$. Rezultatul rămâne în $G$.

Pasul 1 (asociativitate). Cu forma factorizată, calculul e mecanic:

$$(x\ast y)\ast z=((x-2)(y-2)+2-2)(z-2)+2=(x-2)(y-2)(z-2)+2,$$

iar prin același calcul $x\ast (y\ast z)=(x-2)(y-2)(z-2)+2$. Expresia finală este simetrică în $x$, $y$, $z$, deci cele două paranteze dau același rezultat.

Pasul 2 (element neutru). Căutăm $e$ cu $x\ast e=x$, adică $(x-2)(e-2)+2=x$, adică $(x-2)(e-2)=x-2$. Cum $x-2\ne 0$, împărțim și obținem $e-2=1$, deci $e=3$. Verificăm: $x\ast 3=(x-2)\cdot 1+2=x$, și la fel $3\ast x=x$. În plus $e=3\in G$, ceea ce trebuie spus explicit.

Pasul 3 (simetricul). Căutăm $x^{\prime }$ cu $x\ast x^{\prime }=3$, adică $(x-2)(x^{\prime }-2)+2=3$, adică $(x-2)(x^{\prime }-2)=1$, de unde $x^{\prime }=2+\frac{1}{x-2}$. Pentru $x>2$ avem $\frac{1}{x-2}>0$, deci $x^{\prime }>2$, adică $x^{\prime }\in G$ — condiția care se uită cel mai des.

Concluzie: $(G,\ast )$ este grup, și încă unul comutativ, pentru că forma factorizată este simetrică în $x$ și $y$.

7. Grupuri finite: cardinalul și citirea tablei

Când $G$ are un număr finit de elemente, spunem că grupul este finit, iar numărul lui de elemente se numește ordinul grupului și se notează $\mathrm{card}G$. Este aceeași notație pe care ai folosit-o pentru $\mathrm{card}{S}_n$ în clasa a XI-a; o păstrăm pentru că bara verticală ar intra în conflict cu determinantul și cu modulul.

Cel mai mic grup interesant are două elemente: $G=\{-1,1\}$ cu înmulțirea obișnuită. Tabla lui se scrie într-o clipă:

Din tablă se citesc, fără niciun calcul, două lucruri. Întâi, elementul neutru: linia lui $1$ reproduce identic capul de tabel, iar coloana lui $1$ reproduce prima coloană — deci $e=1$. Apoi, comutativitatea: tabla este simetrică față de diagonala principală, deci legea este comutativă. Simetricele se citesc căutând $e$ în interiorul tablei: $1$ apare pe poziția $(-1,-1)$, deci $(-1{)}^{\prime }=-1$, și pe poziția $(1,1)$, deci $1^{\prime }=1$. Aici $\mathrm{card}G=2$.

Grupurile finite pe care le vei întâlni în această unitate — cele de permutări, grupul lui Klein, grupurile de clase de resturi — se citesc exact la fel. Tabla este instrumentul lor de bază, iar convenția de scriere este cea fixată la tabla unei legi de compoziție: în celula de la intersecția liniei lui $x$ cu coloana lui $y$ stă compusul $x\ast y$, în această ordine.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Adunare da, înmulțire nu

Arătați că $(\mathbb{Q},+)$ este grup comutativ, iar $(\mathbb{Q},\cdot )$ nu este grup. Ce mulțime trebuie luată ca să obținem grup cu înmulțirea?

Rezolvare. Pentru $(\mathbb{Q},+)$: suma a două numere raționale este rațională (pasul 0); adunarea e asociativă și comutativă (pasul 1); $0\in \mathbb{Q}$ este element neutru (pasul 2); pentru $x=\frac{p}{q}$ avem $-x=\frac{-p}{q}\in \mathbb{Q}$ și $x+(-x)=0$ (pasul 3). Deci $(\mathbb{Q},+)$ este grup comutativ.

Pentru $(\mathbb{Q},\cdot )$ pașii 0, 1 și 2 trec ($e=1$), dar pasul 3 cade în $x=0$: din $0\cdot x^{\prime }=0\ne 1$ rezultă că $0$ nu are invers. Eliminăm exact acest element: pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$ produsul a două numere nenule este nenul, iar pentru $x\ne 0$ avem $x^{-1}=\frac{1}{x}\in {\mathbb{Q}}^{\ast }$. Deci $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ este grup comutativ.

Exemplul 2 — O lege aditivă deghizată

Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\ast y=x+y+5$. Arătați că $(\mathbb{R},\ast )$ este grup comutativ și determinați simetricul lui $x$.

Rezolvare. Pasul 0: suma a trei numere reale este reală. Pasul 1: $(x\ast y)\ast z=(x+y+5)+z+5=x+y+z+10$ și $x\ast (y\ast z)=x+(y+z+5)+5=x+y+z+10$, deci legea este asociativă. Pasul 2: din $x\ast e=x$ obținem $x+e+5=x$, adică $e=-5$. Verificare: $x\ast (-5)=x-5+5=x$ și, prin comutativitate, la fel în cealaltă ordine. Pasul 3: din $x\ast x^{\prime }=-5$ obținem $x+x^{\prime }+5=-5$, deci $x^{\prime }=-10-x$, care este tot număr real.

Comutativitatea e imediată: $x\ast y=x+y+5=y+x+5=y\ast x$. Așadar $(\mathbb{R},\ast )$ este grup comutativ, cu $e=-5$ și $x^{\prime }=-10-x$.

Exemplul 3 — Grup pe un interval, cu forma factorizată

Se consideră $G=(1,+\infty )$ și legea $x\ast y=2xy-2x-2y+3$. Arătați că $(G,\ast )$ este grup comutativ.

Rezolvare. Căutăm forma factorizată. Avem $2(x-1)(y-1)=2xy-2x-2y+2$, deci $x\ast y=2(x-1)(y-1)+1$.

Pasul 0: pentru $x,y>1$ avem $(x-1)(y-1)>0$, deci $x\ast y>1$, adică $x\ast y\in G$.

Pasul 1: $(x\ast y)\ast z=2(2(x-1)(y-1))(z-1)+1=4(x-1)(y-1)(z-1)+1$, iar $x\ast (y\ast z)=2(x-1)(2(y-1)(z-1))+1=4(x-1)(y-1)(z-1)+1$. Egale, deci legea e asociativă.

Pasul 2: din $2(x-1)(e-1)+1=x$ obținem $2(x-1)(e-1)=x-1$, iar cum $x-1\ne 0$ rezultă $e-1=\frac{1}{2}$, deci $e=\frac{3}{2}\in G$.

Pasul 3: din $2(x-1)(x^{\prime }-1)+1=\frac{3}{2}$ obținem $(x-1)(x^{\prime }-1)=\frac{1}{4}$, deci $x^{\prime }=1+\frac{1}{4(x-1)}>1$, adică $x^{\prime }\in G$.

Forma factorizată fiind simetrică în $x$ și $y$, legea este comutativă. Deci $(G,\ast )$ este grup comutativ.

Exemplul 4 — Un element în plus strică totul

Arătați că $(\{-1,1\},\cdot )$ este grup, dar $(\{-1,0,1\},\cdot )$ nu este.

Rezolvare. Pentru $\{-1,1\}$: tabla scrisă mai sus arată că produsul a două elemente rămâne în mulțime (pasul 0); înmulțirea numerelor este asociativă (pasul 1); $e=1$ (pasul 2); $1\cdot 1=1$ și $(-1)\cdot (-1)=1$, deci fiecare element este propriul simetric (pasul 3). Grupul are $\mathrm{card}G=2$ elemente.

Adăugând $0$, pașii 0, 1 și 2 rămân valabili, dar $0$ nu are invers: $0\cdot t=0\ne 1$ pentru orice $t$ din mulțime. Deci $(\{-1,0,1\},\cdot )$ este doar monoid, nu grup. Morala: într-un grup nu poate exista un element „absorbant", care să înghită totul la compunere.

Exemplul 5 — Ecuații rezolvate cu simetricul

a) Rezolvați ecuația $3\ast x=7$ în grupul $(\mathbb{R},\ast )$, cu $x\ast y=x+y+5$. b) Rezolvați ecuația $4\ast x=5$ în grupul $((2,+\infty ),\ast )$, cu $x\ast y=xy-2x-2y+6$.

Rezolvare. a) Scriem ecuația explicit: $3+x+5=7$, deci $x=-1$. Verificare: $3\ast (-1)=3-1+5=7$.

b) Folosim forma factorizată: $(4-2)(x-2)+2=5$, adică $2(x-2)=3$, deci $x-2=\frac{3}{2}$ și $x=\frac{7}{2}$. Soluția aparține intervalului $(2,+\infty )$, ceea ce trebuie precizat. Verificare: $4\ast \frac{7}{2}=2\cdot \frac{3}{2}+2=5$.

Observă tiparul: într-un grup, ecuația $a\ast x=b$ are întotdeauna soluție și aceasta este unică, pentru că poți compune la stânga cu $a^{\prime }$. Consecințele acestui fapt le vei studia sistematic la regulile de calcul într-un grup.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pe mulțimea $G=(4,+\infty )$ se definește legea $x\ast y=xy-4x-4y+20$. a) Arătați că $x\ast y=(x-4)(y-4)+4$ pentru orice $x,y\in G$ și că $G$ este parte stabilă în raport cu legea $\ast$. b) Determinați elementul neutru și simetricul elementului $6$. c) Arătați că $(G,\ast )$ este grup comutativ și rezolvați ecuația $6\ast x=5$.

Rezolvare. a) Desfacem paranteza: $(x-4)(y-4)+4=xy-4x-4y+16+4=xy-4x-4y+20$, deci egalitatea are loc pentru orice numere reale. Dacă $x>4$ și $y>4$, atunci $x-4>0$ și $y-4>0$, deci $(x-4)(y-4)>0$ și $x\ast y>4$. Prin urmare $G$ este parte stabilă.

b) Din $x\ast e=x$ rezultă $(x-4)(e-4)+4=x$, adică $(x-4)(e-4)=x-4$; cum $x\ne 4$, obținem $e-4=1$, deci $e=5\in G$. Pentru simetricul lui $6$: $(6-4)(x^{\prime }-4)=1$, adică $2(x^{\prime }-4)=1$, deci $x^{\prime }=\frac{9}{2}$. Verificare: $6\ast \frac{9}{2}=2\cdot \frac{1}{2}+4=5$.

c) Asociativitatea: ambele paranteze conduc la $(x-4)(y-4)(z-4)+4$, expresie simetrică în cele trei variabile. Elementul neutru este $5$, iar pentru orice $x\in G$ simetricul este $x^{\prime }=4+\frac{1}{x-4}>4$, deci aparține lui $G$. Comutativitatea rezultă din simetria formei factorizate. Deci $(G,\ast )$ este grup comutativ.

Ecuația $6\ast x=5$ cere tocmai simetricul lui $6$, pentru că $5$ este elementul neutru: soluția este $x=\frac{9}{2}$, calculată la punctul b).

Să exersăm

Înainte de fiecare rezolvare, scrie pe foaie cei patru pași și bifează-i pe rând. La pasul 3 verifică întotdeauna și că simetricul rămâne în mulțime — este cel mai des sancționat detaliu din barem.

1. Care dintre structurile $(\mathbb{N},+)$, $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Z},\cdot )$, $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ sunt grupuri? Justifică fiecare răspuns printr-o singură propoziție.

2. Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\ast y=x+y-7$. Determină elementul neutru și simetricul lui $x$.

3. Cu legea $x\ast y=x+y+3$ pe $\mathbb{R}$, rezolvă ecuația $5\ast x=2$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice grup este comutativ."

5. Arată că $(\{1,-1\},\cdot )$ este grup, dar că mulțimea $\{1,-1,2\}$ nu este parte stabilă în raport cu înmulțirea.

6. Reluăm legea studiată pe $\mathbb{R}$ la elemente simetrizabile și simetricul unui element, dar cu altă întrebare: pe $G=(3,+\infty )$ se definește $x\ast y=xy-3x-3y+12$. Scrie forma factorizată, determină $e$ și simetricul lui $5$.

7. Este $(\mathbb{R},\cdot )$ grup? Dar $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$? Explică deosebirea dintre cele două situații.

8. (Problemă aplicată.) Într-un magazin, o reducere de $20\%$ înseamnă înmulțirea prețului cu $0,8$, iar o scumpire de $25\%$ înseamnă înmulțirea cu $1,25$. Arată că mulțimea coeficienților de modificare a prețului, adică $(0,+\infty )$ cu înmulțirea, este grup, și explică de ce cele două operații de mai sus se anulează una pe alta.

9. Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\ast y=x+y-xy$. Arată că legea este asociativă și comutativă, că $e=0$, dar că $(\mathbb{R},\ast )$ nu este grup. Care este singurul element vinovat?

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un grup pot exista două elemente neutre diferite."

11. Rezolvă ecuația $7+x=3$ în $(\mathbb{Z},+)$ și ecuația $7\cdot x=3$ în $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$.

12. Pe $G=(0,+\infty )$ se definește $x\ast y=3xy$. Arată că $(G,\ast )$ este grup comutativ și determină $e$ și $x^{\prime }$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe $G=(5,+\infty )$ se definește $x\ast y=xy-5x-5y+30$. Arată că $x\ast y=(x-5)(y-5)+5$, determină elementul neutru și rezolvă ecuația $7\ast x=6$.

14. Arată că $(\mathbb{Z},\ast )$, cu $x\ast y=x+y+1$, este grup comutativ. Determină $e$ și $x^{\prime }$ și verifică faptul că amândouă sunt numere întregi.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o lege de compoziție este asociativă și are element neutru, atunci mulțimea este grup."

16. Care dintre structurile $(\mathbb{C},+)$, $(\mathbb{C},\cdot )$, $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),+)$, $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),\cdot )$ sunt grupuri? Pentru cele care nu sunt, indică axioma care cade.

17. Fie mulțimea $\{a,b,c\}$ cu legea dată de tabla de mai jos. Determină elementul neutru și simetricul fiecărui element, apoi spune dacă structura este grup comutativ.

18. (Provocare.) Fie $(G,\ast )$ un grup în care $x\ast x=e$ pentru orice $x\in G$. Arată că grupul este comutativ.

Răspunsuri și explicații

1. Grupuri: $(\mathbb{Z},+)$, cu $e=0$ și opusul $-x$, și $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$, cu $e=1$ și inversul $\frac{1}{x}$. Nu sunt grupuri: $(\mathbb{N},+)$, fiindcă $1$ nu are opus în $\mathbb{N}$, și $(\mathbb{Z},\cdot )$, fiindcă doar $-1$ și $1$ sunt inversabile.

2. Din $x+e-7=x$ rezultă $e=7$. Din $x+x^{\prime }-7=7$ rezultă $x^{\prime }=14-x$. Ambele sunt numere reale, deci structura este grup comutativ.

3. $5+x+3=2$, deci $x=-6$. Verificare: $5\ast (-6)=5-6+3=2$.

4. Fals. Înmulțirea matricelor pătratice nu este comutativă, iar mulțimea matricelor de ordinul al doilea cu determinantul nenul formează grup față de înmulțire — un grup necomutativ, pe care îl vei studia în lecția următoare.

5. Tabla lui $\{1,-1\}$ conține numai elemente din mulțime, $e=1$ și fiecare element este propriul simetric, deci avem grup. Mulțimea $\{1,-1,2\}$ nu este parte stabilă, pentru că $2\cdot 2=4\notin \{1,-1,2\}$; discuția se oprește la pasul 0.

6. $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$. Din $(x-3)(e-3)=x-3$ rezultă $e=4$. Pentru $x=5$: $(5-3)(x^{\prime }-3)=1$, deci $x^{\prime }-3=\frac{1}{2}$ și $x^{\prime }=\frac{7}{2}\in G$. Verificare: $5\ast \frac{7}{2}=2\cdot \frac{1}{2}+3=4$.

7. $(\mathbb{R},\cdot )$ nu este grup, pentru că $0$ nu are invers. $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ este grup comutativ: produsul a două numere nenule este nenul, $e=1$, iar $x^{-1}=\frac{1}{x}$ este tot nenul. Deosebirea stă într-un singur element.

8. Pe $(0,+\infty )$ înmulțirea este lege de compoziție (produsul a două numere pozitive este pozitiv), este asociativă și comutativă, are elementul neutru $1$, iar inversul lui $x>0$ este $\frac{1}{x}>0$. Cum $0,8\cdot 1,25=1$, cei doi coeficienți sunt simetrici unul altuia, deci aplicați succesiv readuc prețul la valoarea inițială. (O reducere de $20\%$ urmată de una de $10\%$ dă coeficientul $0,8\cdot 0,9=0,72$, adică o reducere totală de $28\%$, nu de $30\%$.)

9. Se verifică $x\ast y=1-(1-x)(1-y)$, formă simetrică în $x$ și $y$, deci legea este comutativă; asociativitatea dă în ambele cazuri $1-(1-x)(1-y)(1-z)$. Elementul neutru este $0$. Elementul vinovat este $1$: pentru orice $y$ avem $1\ast y=1+y-y=1$, deci $1$ nu poate da niciodată $0$ și nu are simetric. Pe $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, în schimb, structura este grup, cu $x^{\prime }=\frac{x}{x-1}$.

10. Fals. Dacă $e$ și $f$ sunt neutre, atunci $e\ast f=e$ (fiindcă $f$ e neutru) și $e\ast f=f$ (fiindcă $e$ e neutru), deci $e=f$. Este Propoziția 1 din lecție.

11. În $(\mathbb{Z},+)$: $x=3-7=-4$. În $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$: $x=\frac{3}{7}$. În ambele cazuri se compune cu simetricul lui $7$ — opusul, respectiv inversul.

12. Asociativitatea: $(x\ast y)\ast z=3(3xy)z=9xyz=x\ast (y\ast z)$. Din $3xe=x$ și $x\ne 0$ rezultă $e=\frac{1}{3}$. Din $3x{x}^{\prime }=\frac{1}{3}$ rezultă $x^{\prime }=\frac{1}{9x}>0$. Legea este comutativă, deci $(G,\ast )$ este grup comutativ.

13. $(x-5)(y-5)+5=xy-5x-5y+25+5=xy-5x-5y+30$. Din $(x-5)(e-5)=x-5$ rezultă $e=6$. Ecuația $7\ast x=6$ înseamnă $(7-5)(x-5)+5=6$, adică $2(x-5)=1$, deci $x=\frac{11}{2}\in G$.

14. Asociativitatea: ambele paranteze dau $x+y+z+2$. Din $x+e+1=x$ rezultă $e=-1\in \mathbb{Z}$. Din $x+x^{\prime }+1=-1$ rezultă $x^{\prime }=-2-x\in \mathbb{Z}$. Legea e comutativă, deci avem grup comutativ.

15. Fals. $(\mathbb{Z},\cdot )$ are legea asociativă și elementul neutru $1$, dar $2$ nu are invers întreg. Lipsește tocmai axioma G3, iar structura rămâne monoid.

16. Grupuri: $(\mathbb{C},+)$, cu $e=0$ și opusul $-z$, și $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),+)$, cu $e=O_2$ și opusul $-A$. Nu sunt grupuri: $(\mathbb{C},\cdot )$, pentru că $0$ nu are invers (cade G3), și $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),\cdot )$, pentru că matricele cu $\det A=0$ nu au inversă (cade tot G3).

17. Linia lui $a$ reproduce capul de tabel, deci $e=a$. Din $b\ast c=a$ rezultă $b^{\prime }=c$ și $c^{\prime }=b$, iar $a^{\prime }=a$. Tabla este simetrică față de diagonala principală, deci legea este comutativă; se verifică și asociativitatea, așa că structura este grup comutativ cu $\mathrm{card}G=3$.

18. Din $x\ast x=e$ rezultă că fiecare element este propriul simetric, adică $x^{\prime }=x$. Fie $x,y\in G$. Aplicând ipoteza elementului $x\ast y$, avem $(x\ast y)\ast (x\ast y)=e$. Compunem această egalitate la stânga cu $x$ și la dreapta cu $y$:

$$x\ast ((x\ast y)\ast (x\ast y))\ast y=x\ast e\ast y=x\ast y.$$

În membrul stâng grupăm altfel, folosind asociativitatea: $(x\ast x)\ast (y\ast x)\ast (y\ast y)=e\ast (y\ast x)\ast e=y\ast x$. Prin urmare $y\ast x=x\ast y$, deci grupul este comutativ.

De reținut

• Un grup este o mulțime nevidă împreună cu o lege de compoziție asociativă, care are element neutru și în raport cu care toate elementele sunt simetrizabile; când legea este și comutativă, grupul se numește grup comutativ.
• Verificarea unei structuri de grup are patru pași, în această ordine: legea nu iese din mulțime, este asociativă, are element neutru în mulțime și fiecare element are simetric tot în mulțime.
• Structura depinde de perechea mulțime–lege, nu de mulțime: $(\mathbb{Z},+)$ este grup, în timp ce $(\mathbb{Z},\cdot )$ nu este, deși mulțimea este aceeași.
• Într-un grup, elementul neutru este unic și fiecare element are exact un simetric, ambele afirmații rezultând direct din axiome, iar a doua folosind esențial asociativitatea.
• Pentru o lege dată printr-o formulă de tipul $x\ast y=xy-ax-ay+a^2+a$, forma factorizată $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ dă imediat partea stabilă $(a,+\infty )$, elementul neutru $e=a+1$ și simetricul $x^{\prime }=a+\frac{1}{x-a}$.

Greșeli frecvente

• Uitarea pasului 0. Mulți elevi încep direct cu asociativitatea, fără să verifice că $x\ast y$ rămâne în mulțime. Dacă legea scoate rezultatul afară, nu există structură deloc, iar restul rezolvării nu primește puncte.
• Simetricul găsit, dar neverificat că aparține mulțimii. Din $(x-2)(x^{\prime }-2)=1$ rezultă $x^{\prime }=2+\frac{1}{x-2}$; trebuie scris explicit că, pentru $x>2$, acest număr este mai mare decât $2$. Fără propoziția aceasta, punctul rămâne neîncheiat.
• Confuzia dintre „are element neutru" și „este grup". $(\mathbb{Z},\cdot )$ are element neutru și lege asociativă, dar nu este grup. Axioma G3 cere ca toate elementele să fie simetrizabile, nu doar unele.
• Presupunerea că orice grup este comutativ. Comutativitatea este o proprietate în plus, nu o axiomă a grupului; înmulțirea matricelor și compunerea permutărilor dau grupuri necomutative, pe care le vei întâlni imediat.
• Demonstrarea unei proprietăți pe exemple. Ca să arăți că o lege este asociativă nu e suficient să verifici pe câteva numere; trebuie calculate ambele paranteze cu litere. În schimb, ca să arăți că nu este asociativă, un singur contraexemplu numeric este suficient.

Aplică acasă

1. Inventarul grupurilor din caiet. Ia caietul de la unitatea de legi de compoziție și reia trei exerciții rezolvate acolo. Pentru fiecare, notează în dreptul lui dacă structura obținută este grup, monoid sau doar semigrup, și scrie într-un rând motivul. Vei observa că majoritatea problemele de la Bacalaureat M1 se opresc exact la grup.

2. Fabrica de legi. Alege un număr $a$ (de exemplu $a=7$) și construiește legea $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$; desfă parantezele ca să obții forma polinomială. Determină apoi, fără să te uiți în lecție, mulțimea pe care se obține grup, elementul neutru și simetricul. Verifică rezultatele înlocuind două valori concrete.

3. Două table de câte patru elemente. Scrie tabla înmulțirii pentru mulțimea $\{1,-1,i,-i\}$ de numere complexe și verifică cei patru pași. Notează elementul neutru, simetricul fiecărui element și răspunde la întrebarea: este tabla simetrică față de diagonala principală?

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce noțiunea centrală a algebrei de clasa a XII-a. Ea nu aduce tehnici de calcul noi — toate calculele au fost exersate la unitatea de legi de compoziție — ci organizează ceea ce elevul știe deja sub o singură definiție. Programa de matematică-informatică cere explicit „grup, exemple remarcabile", iar mulțimile de numere sunt primele exemple din listă.

De verificat în caiet: (1) cei patru pași sunt scriși în ordine, cu pasul 0 prezent; (2) la elementul neutru se scrie și verificarea $x\ast e=e\ast x=x$, nu doar ecuația din care iese $e$; (3) la simetric apare propoziția „și $x^{\prime }\in G$"; (4) formulările sunt despre pereche, nu despre mulțime („$({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ este grup", nu „${\mathbb{R}}^{\ast }$ este grup"). Întrebări de control: „Care sunt cele trei axiome ale grupului?"; „De ce $(\mathbb{N},+)$ nu este grup?"; „Ce se schimbă dacă scoatem $0$ din $\mathbb{Q}$?"; „Cum se citește elementul neutru de pe o tablă?".

La BAC M1, structura de grup apare aproape întotdeauna în Subiectul al II-lea, problema a doua, cu o lege dată printr-un polinom în două variabile. Semn că elevul a înțeles: găsește singur forma factorizată și, din ea, citește dintr-o privire mulțimea, elementul neutru și simetricul, fără să reia calculele de la zero la fiecare subpunct.

Întrebări frecvente

Ce este un grup în matematică? Un grup este o mulțime nevidă înzestrată cu o lege de compoziție care este asociativă, are element neutru și în raport cu care fiecare element are un simetric în aceeași mulțime. Exemplele cele mai simple sunt $(\mathbb{Z},+)$, cu elementul neutru $0$, și $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, cu elementul neutru $1$.

Care sunt cele patru condiții pe care le verific ca să arăt că o mulțime este grup? Se verifică, în ordine: legea nu scoate rezultatul din mulțime, adică mulțimea este parte stabilă; legea este asociativă; există element neutru și el aparține mulțimii; fiecare element are simetric, iar simetricul aparține tot mulțimii. Ultimele două verificări sunt cele mai des punctate în baremele de la Bacalaureat M1.

Ce înseamnă grup comutativ sau abelian? Un grup se numește comutativ atunci când, în plus față de cele trei axiome, legea satisface $x\ast y=y\ast x$ pentru orice două elemente. În lucrări se folosește numele „grup comutativ"; „abelian" este sinonimul folosit în literatura de specialitate. Pe tabla operației, comutativitatea se vede ca simetrie față de diagonala principală.

De ce mulțimea numerelor naturale nu formează grup față de adunare? Pentru că axioma simetricului cade. Adunarea numerelor naturale este asociativă și are elementul neutru $0$, dar pentru $x=1$ nu există niciun număr natural $x^{\prime }$ cu $1+x^{\prime }=0$; opusul ar fi $-1$, care nu este natural. Structura $(\mathbb{N},+)$ rămâne, așadar, doar monoid.

Cum aflu elementul neutru al unei legi date printr-o formulă? Se scrie ecuația $x\ast e=x$, se rezolvă în raport cu $e$ și se verifică apoi și egalitatea $e\ast x=x$, precum și apartenența lui $e$ la mulțime. Pentru legile de forma $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, elementul neutru este întotdeauna $e=a+1$.

Cum se citește elementul neutru de pe tabla operației? Elementul neutru este acela a cărui linie reproduce identic capul de tabel și a cărui coloană reproduce identic prima coloană. Practic, cauți linia care „copiază" antetul. Simetricele se citesc apoi căutând elementul neutru în interiorul tablei: dacă apare la intersecția liniei lui $x$ cu coloana lui $y$, atunci $y$ este simetricul lui $x$.

Ce înseamnă notația $\mathrm{card}G$? Este numărul de elemente al grupului $G$, numit și ordinul grupului. Se folosește $\mathrm{card}G$, și nu bara verticală, pentru că aceasta din urmă este deja rezervată modulului și determinantului. De exemplu, grupul $(\{-1,1\},\cdot )$ are $\mathrm{card}G=2$.

Unde apar grupurile în subiectele de Bacalaureat M1? În Subiectul al II-lea, la problema de algebră, unde se dă o lege de compoziție printr-o formulă și se cere, pe subpuncte, forma factorizată, elementul neutru, simetricul unui element și, la final, demonstrația că structura este grup. Aceleași noțiuni revin și în problemele cu matrice sau cu clase de resturi.