Grupul rădăcinilor unității: pe scurt

Rădăcinile de ordinul $n$ ale unității sunt numerele complexe cu $z^n=1$; sunt exact $n$, toate de modul $1$, iar mulțimea lor este $U_n=\left\{{\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}\mid k=0,1,\dots ,n-1\right\}$, cu imaginile geometrice în vârfurile poligonului regulat cu $n$ laturi înscris în cercul de rază $1$.

Perechea $(U_n,\cdot )$ este grup comutativ cu $\mathrm{card}{U}_n=n$. Cele patru verificări: partea stabilă din $(zw{)}^n=z^n{w}^n=1$; asociativitatea și comutativitatea moștenite din $\mathbb{C}$; elementul neutru $1$; iar din $z\cdot z^{n-1}=z^n=1$ rezultă că inversul lui $z$ este $z^{n-1}$, tot din $U_n$.

Toate elementele sunt puterile unei singure rădăcini, $\epsilon ={\epsilon }_1$: $U_n=\{1,\epsilon ,\dots ,{\epsilon }^{n-1}\}$, iar ${\epsilon }^k\cdot {\epsilon }^j={\epsilon }^r$, unde $r$ este restul împărțirii lui $k+j$ la $n$ — înmulțirea înseamnă adunarea exponenților modulo $n$. Inversul se scrie ${\left({\epsilon }^k\right)}^{-1}={\epsilon }^{n-k}$ sau, geometric, $z^{-1}=\bar{z}$.

Mulțimile se cuprind una într-alta după divizibilitate: $U_m\subseteq U_n⟺m\mid n$. Suma tuturor elementelor lui $U_n$ este $0$ pentru $n\ge 2$, iar produsul lor este $(-1{)}^{n+1}$.

⚠️ $U_n$ (cu indice) sunt numere complexe; $U({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ (cu paranteze) sunt clase de resturi inversabile.

Exerciții din această mini-lecție

1. Mulțimea $U_n$, împreună cu înmulțirea numerelor complexe, este:

   • a) monoid în care niciun element nu are simetric
   • b) grup necomutativ cu $n$ elemente
   • c) grup comutativ cu $n$ elemente
   • d) parte stabilă a lui $\mathbb{C}$ în raport cu adunarea
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) grup comutativ cu $n$ elemente

   Din $z^n=w^n=1$ rezultă $(zw{)}^n=1$, deci mulțimea e parte stabilă; asociativitatea și comutativitatea se moștenesc din $\mathbb{C}$; $1\in U_n$ este neutru; iar inversul lui $z$ este $z^{n-1}\in U_n$. Varianta d este chiar greșeala clasică: $1+1=2$ are modulul $2$, deci suma a două rădăcini ale unității iese din mulțime — operația se citește din enunț, nu se presupune.

2. Fie $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$ și $1\le k\le n-1$. Inversul elementului ${\epsilon }^k$ în grupul $U_n$ este:

   • a) ${\epsilon }^{n-k}$
   • b) $-{\epsilon }^k$
   • c) ${\epsilon }^k$
   • d) $n-{\epsilon }^k$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) ${\epsilon }^{n-k}$

   Din ${\epsilon }^k\cdot {\epsilon }^{n-k}={\epsilon }^n=1$ rezultă că inversul este ${\epsilon }^{n-k}$; el coincide cu conjugatul $\overline{{\epsilon }^k}$, fiindcă orice element are modulul $1$ și deci $z\bar{z}=1$. Varianta c ar însemna că fiecare element este propriul invers, ceea ce se întâmplă doar pentru $1$ și, când $n$ e par, pentru $-1$. Variantele b și d nici măcar nu aparțin lui $U_n$ în general.

3. Incluziunea $U_m\subseteq U_n$ are loc dacă și numai dacă:

   • a) $m\le n$
   • b) $n\mid m$
   • c) $m$ și $n$ sunt prime între ele
   • d) $m\mid n$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $m\mid n$

   Dacă $n=mq$ și $z^m=1$, atunci $z^n={\left(z^m\right)}^q=1$, deci $z\in U_n$. Reciproc, rădăcina de argument $\frac{2\pi }{m}$ trebuie să verifice $z^n=1$, ceea ce cere ca $\frac{2\pi n}{m}$ să fie multiplu de $2\pi$, adică $m\mid n$. Varianta a pică pe $U_3$ și $U_4$: deși $3<4$, singurul element comun este $1$.