Grupul rădăcinilor de ordinul n ale unității

Rădăcinile de ordinul $n$ ale unității sunt cele $n$ numere complexe a căror putere a $n$-a este egală cu $1$, iar în clasa a XII-a ele revin cu un rol complet nou. Sunt cel mai simplu grup finit pe care îl poți scrie explicit, element cu element, fără niciun artificiu. Le-ai întâlnit deja la clasa a X-a, când ai desenat vârfurile poligonului regulat înscris în cercul unitate; atunci ne interesa unde stau în plan, acum ne interesează ce se întâmplă când le înmulțești între ele.

Răspunsul este surprinzător de ordonat, și seamănă izbitor cu un cadran de ceas: produsul a două astfel de rădăcini este tot o rădăcină de același ordin, fiecare dintre ele are inversul tot acolo, iar înmulțirea se reduce la o adunare de exponenți făcută cu rest, modulo $n$. Lecția verifică pas cu pas cele trei condiții din definiția pe care ai fixat-o la Grupul: definiție și exemple din mulțimile de numere și scrie tablele complete ale operației pentru $U_3$ și $U_4$, exact în forma cerută de programa de matematică-informatică.

Ce vei învăța

• Vei ști să descrii mulțimea $U_n$ a rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității și să-i scrii toate elementele pentru $n=2,3,4,6,8$.
• Vei ști să demonstrezi că $(U_n,\cdot )$ este grup comutativ, verificând, în ordine, partea stabilă, asociativitatea, elementul neutru și inversul.
• Vei ști să scrii și să citești tabla înmulțirii pe $U_3$ și pe $U_4$, recunoscând pe ea comutativitatea și elementul neutru.
• Vei ști că toate elementele lui $U_n$ sunt puteri ale unui singur element și că înmulțirea lor înseamnă adunarea exponenților modulo $n$.
• Vei ști să calculezi rapid inversul unei rădăcini a unității și puteri cu exponenți foarte mari.
• Vei ști să rezolvi ecuații în $U_n$ și să folosești relațiile $1+\epsilon +\cdots +{\epsilon }^{n-1}=0$ în probleme de tip Bacalaureat M1.

Hai să descoperim împreună

1. Ce sunt rădăcinile de ordinul $n$ ale unității?

Rădăcinile de ordinul $n$ ale unității sunt numerele complexe $z$ care verifică ecuația $z^n=1$; ele sunt exact $n$ la număr, au toate modulul egal cu $1$, se scriu sub forma ${\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}$, cu $k$ luând valorile $0,1,\dots ,n-1$, iar mulțimea lor se notează $U_n$ și are drept imagini geometrice vârfurile poligonului regulat cu $n$ laturi înscris în cercul de rază $1$.

Formal, scriem

$$U_n=\left\{z\in \mathbb{C}|z^n=1\right\}=\left\{{\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}|k=0,1,\dots ,n-1\right\}.$$

Toate acestea le-ai obținut la Rădăcinile unității și poligoanele regulate, pornind de la formula lui Moivre: ridicarea la puterea $n$ înmulțește argumentul cu $n$, deci $z^n=1$ înseamnă modul $1$ și argument multiplu de $\frac{2\pi }{n}$. Cazurile mici, pe care merită să le ai în minte tot timpul:

$$U_1=\{1\},U_2=\{1,-1\},U_3=\left\{1,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\},U_4=\{1,i,-1,-i\}.$$

⚠️ O ciocnire de notație, tranșată acum. În unitatea aceasta întâlnești două simboluri care se scriu cu litera $U$ și înseamnă lucruri diferite: $U_n$, cu indice, este mulțimea rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității, o mulțime de numere complexe; $U({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$, cu paranteze, este mulțimea claselor de resturi inversabile modulo $n$, de la Grupul aditiv și grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo n. Ambele apar în subiectele de Bacalaureat M1, uneori chiar în același enunț, iar parantezele sunt singura deosebire de scriere. Citește-le cu atenție.

2. De ce este $U_n$ grup față de înmulțire?

Reținem că înmulțirea numerelor complexe este operația de lucru, iar $U_n$ este o submulțime a lui ${\mathbb{C}}^{\ast }=\mathbb{C}\setminus \{0\}$ (niciun element al lui $U_n$ nu poate fi $0$, fiindcă $0^n=0\ne 1$). Verificăm, în ordinea din definiție, tot ce trebuie verificat.

(i) $U_n$ este parte stabilă în raport cu înmulțirea. Fie $z,w\in U_n$, adică $z^n=1$ și $w^n=1$. Atunci

$$(zw{)}^n=z^n{w}^n=1\cdot 1=1,$$

unde am folosit faptul că înmulțirea numerelor complexe este comutativă, deci puterea produsului este produsul puterilor. Prin urmare $zw\in U_n$: înmulțirea a două rădăcini de ordinul $n$ ale unității nu părăsește niciodată mulțimea. Așadar înmulțirea induce pe $U_n$ o lege de compoziție.

(ii) Legea indusă este asociativă și comutativă. Nu avem nimic de demonstrat: înmulțirea numerelor complexe este asociativă și comutativă pe tot $\mathbb{C}$, deci cu atât mai mult pe submulțimea $U_n$. Aceasta este cea mai economică observație din toată lecția și o vei folosi de fiecare dată când o mulțime concretă de numere, de matrice sau de funcții moștenește operația dintr-o mulțime mai mare.

(iii) Elementul neutru. Numărul $1$ verifică $1^n=1$, deci $1\in U_n$; iar $1\cdot z=z\cdot 1=z$ pentru orice $z$. Deci $e=1$ este element neutru pentru legea indusă.

(iv) Orice element este simetrizabil. Fie $z\in U_n$. Din $z^n=1$ rezultă $z\cdot z^{n-1}=1$, deci $z$ are invers, iar acest invers este chiar $z^{n-1}$ — și el aparține lui $U_n$, fiindcă ${\left(z^{n-1}\right)}^n={\left(z^n\right)}^{n-1}=1$. Nu a fost nevoie nici măcar să calculăm ceva: inversul se citește din ecuația care definește mulțimea.

Teoremă. Pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, perechea $(U_n,\cdot )$ este grup comutativ, cu $\mathrm{card}{U}_n=n$, element neutru $1$ și inversul lui $z$ egal cu $z^{n-1}$. $■$

3. Cum arată tabla operației pe $U_3$ și pe $U_4$?

Tabla operației este cel mai bun instrument de citire pentru un grup mic. O scriem după convenția fixată la legi de compoziție: elementele pe prima linie și pe prima coloană, în aceeași ordine, iar în celula de la intersecția liniei $x$ cu coloana $y$ punem $x\cdot y$.

Pentru $U_4=\{1,i,-1,-i\}$:

Ce se citește pe ea, fără niciun calcul suplimentar: în tablă apar numai elementele mulțimii (deci $U_4$ e parte stabilă); tabla este simetrică față de diagonala principală (deci operația e comutativă); linia lui $1$ reproduce prima linie, iar coloana lui $1$ reproduce prima coloană (deci $1$ e element neutru); în fiecare linie apare exact o dată elementul $1$, iar poziția lui indică inversul: inversul lui $i$ este $-i$, inversul lui $-1$ este $-1$, inversul lui $-i$ este $i$.

Pentru $U_3$ notăm $\epsilon =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ și scriem elementele ca puteri, $U_3=\{1,\epsilon ,{\epsilon }^2\}$:

Singurul loc unde se lucrează este celula ${\epsilon }^2\cdot {\epsilon }^2={\epsilon }^4={\epsilon }^3\cdot \epsilon =1\cdot \epsilon =\epsilon$. Restul se obține prin adunarea exponenților, cu reducerea celor care depășesc $3$ — ceea ce ne duce direct la observația următoare.

4. De ce sunt toate elementele puterile unuia singur?

Notăm $\epsilon ={\epsilon }_1=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$. Din formula lui Moivre,

$${\epsilon }^k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}={\epsilon }_k,k=0,1,\dots ,n-1,$$

deci $U_n=\left\{1,\epsilon ,{\epsilon }^2,\dots ,{\epsilon }^{n-1}\right\}$: un singur element, înmulțit cu el însuși de destule ori, le produce pe toate celelalte. Geometric, înmulțirea cu $\epsilon$ este rotația cu unghiul $\frac{2\pi }{n}$ în jurul originii, adică trecerea la vârful următor al poligonului regulat — chiar transformarea pe care o vei studia ca element de grup la Grupuri de transformări geometrice: translațiile și rotațiile cu același centru.

De aici iese regula de calcul a întregului grup, care înlocuiește orice tablă:

$${\epsilon }^k\cdot {\epsilon }^j={\epsilon }^{k+j}={\epsilon }^r,\text{unde }r\text{ este restul ıˆmpa˘rțirii lui }k+j\text{ la }n.$$

Justificarea e imediată: dacă $k+j=nq+r$, atunci ${\epsilon }^{k+j}={\left({\epsilon }^n\right)}^q{\epsilon }^r=1^q{\epsilon }^r={\epsilon }^r$. Cu alte cuvinte, înmulțirea în $U_n$ este adunarea exponenților modulo $n$. Dacă pui alături tabla lui $U_4$, scrisă cu exponenții $0,1,2,3$, și tabla adunării claselor de resturi din ${\mathbb{Z}}_4$, vei vedea aceleași numere în aceleași căsuțe. Asemănarea aceasta nu este o coincidență și va primi un nume precis la grupurile care au aceeași tablă a operației sub nume diferite; deocamdată o folosim doar ca unealtă de calcul.

5. Cum se calculează inversul unei rădăcini de ordinul n a unității?

Ai deja două formule, care dau același rezultat pe drumuri diferite. Prima vine din demonstrația de mai sus: inversul lui $z\in U_n$ este $z^{n-1}$, iar în scrierea cu exponenți

$${\left({\epsilon }^k\right)}^{-1}={\epsilon }^{n-k},k=1,2,\dots ,n-1,\text{și }{1}^{-1}=1.$$

A doua vine din faptul că toate elementele lui $U_n$ au modulul $1$: pentru un număr complex de modul $1$ avem $z\bar{z}=|z{|}^2=1$, deci $z^{-1}=\bar{z}$, unde $\bar{z}$ este conjugatul lui $z$. Practic: inversul unei rădăcini a unității este conjugatul ei, adică simetricul ei față de axa reală — vârful „oglindit" al poligonului.

Verificare pe $U_6$, cu $\epsilon =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$: inversul lui $\epsilon$ este ${\epsilon }^5=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$, care este exact $\bar{\epsilon }$. Iar $\epsilon \cdot {\epsilon }^5={\epsilon }^6=1$. ✓

6. Mulțimi de rădăcini una într-alta

Fiindcă $U_n$ trăiește în interiorul lui ${\mathbb{C}}^{\ast }$, iar $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ este el însuși grup comutativ, avem de-a face cu un grup finit „așezat" într-unul infinit. Merită observat și cum se așază mulțimile $U_n$ una într-alta:

$$U_m\subseteq U_n⟺m\mid n.$$

Într-un sens: dacă $m\mid n$, scriem $n=mq$; pentru $z\in U_m$ avem $z^n={\left(z^m\right)}^q=1^q=1$, deci $z\in U_n$. În celălalt sens: dacă $U_m\subseteq U_n$, atunci ${\epsilon }_1=\cos \frac{2\pi }{m}+i\sin \frac{2\pi }{m}$ aparține lui $U_n$, deci $\frac{2\pi }{m}\cdot n$ este multiplu de $2\pi$, adică $m\mid n$.

Concret: $U_2\subseteq U_4\subseteq U_8$, $U_3\subseteq U_6\subseteq U_{12}$, dar $U_3$ nu este inclus în $U_4$, pentru că $3$ nu divide $4$ — singurul element comun al celor două mulțimi este $1$.

7. Sume, produse și ecuații în $U_n$

Trei rezultate se folosesc aproape în fiecare problemă. Primul: pentru $n\ge 2$,

$$1+\epsilon +{\epsilon }^2+\cdots +{\epsilon }^{n-1}=0.$$

Demonstrația e cea din clasa a X-a: notând $S$ suma, avem $\epsilon S=\epsilon +{\epsilon }^2+\cdots +{\epsilon }^n=S$ (fiindcă ${\epsilon }^n=1$ readuce primul termen), deci $(\epsilon -1)S=0$; cum $\epsilon \ne 1$ pentru $n\ge 2$, rezultă $S=0$.

Al doilea: produsul tuturor elementelor lui $U_n$ este ${\epsilon }^{0+1+\cdots +(n-1)}={\epsilon }^{\frac{n(n-1)}{2}}$, care se dovedește a fi $(-1{)}^{n+1}$ — adică $1$ pentru $n$ impar și $-1$ pentru $n$ par.

Al treilea, și cel mai util: orice ecuație de forma $az=b$, cu $a,b\in U_n$, are exact o soluție în $U_n$, anume $z=a^{-1}b$. Nu e nevoie de nicio teorie nouă: înmulțim ambii membri, la stânga, cu $a^{-1}$, care există și el în $U_n$. De pildă, în $U_6$, ecuația ${\epsilon }^{2}z=\epsilon$ dă $z={\epsilon }^{-2}\epsilon ={\epsilon }^4\epsilon ={\epsilon }^5$; verificare: ${\epsilon }^2\cdot {\epsilon }^5={\epsilon }^7={\epsilon }^6\cdot \epsilon =\epsilon$. ✓

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Scrierea explicită a lui $U_6$

Scrie toate elementele mulțimii $U_6$ în formă algebrică și verifică faptul că produsul a două dintre ele rămâne în mulțime.

Rezolvare. Cu $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{6}+i\sin \frac{2\pi }{6}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$, obținem

$$U_6=\left\{1,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-1,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}.$$

Verificăm, de exemplu, $\epsilon \cdot {\epsilon }^2$ prin calcul direct în formă algebrică:

$$\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i-\frac{\sqrt{3}}{4}i+\frac{3}{4}{i}^2=-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-1,$$

adică ${\epsilon }^3=-1$, element care se află în mulțime. Pe drumul scurt: $\epsilon \cdot {\epsilon }^2={\epsilon }^3$, iar ${\epsilon }^3=\cos \pi +i\sin \pi =-1$. Aceleași cifre, un sfert din efort.

Exemplul 2 — Citirea tablei lui $U_3$

Folosind tabla lui $U_3$ scrisă mai sus, răspunde: este operația comutativă? Care este elementul neutru? Care este inversul lui ${\epsilon }^2$?

Rezolvare. Tabla este simetrică față de diagonala principală (celula de pe linia $\epsilon$ și coloana ${\epsilon }^2$ conține $1$, la fel ca cea de pe linia ${\epsilon }^2$ și coloana $\epsilon$), deci operația este comutativă. Linia lui $1$ este $1,\epsilon ,{\epsilon }^2$, adică exact prima linie a tablei, iar coloana lui $1$ reproduce prima coloană — deci elementul neutru este $1$. În linia lui ${\epsilon }^2$, valoarea $1$ apare în coloana lui $\epsilon$, deci ${\left({\epsilon }^2\right)}^{-1}=\epsilon$. Se confirmă și cu formula: ${\left({\epsilon }^2\right)}^{-1}={\epsilon }^{3-2}=\epsilon$.

Exemplul 3 — Puteri mari, calcul scurt

Fie $\epsilon \in U_5$, $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{5}+i\sin \frac{2\pi }{5}$. Calculează ${\epsilon }^{2026}$ și ${\epsilon }^{-7}$.

Rezolvare. Împărțim exponentul la $5$ cu rest: $2026=5\cdot 405+1$. Atunci

$${\epsilon }^{2026}={\left({\epsilon }^5\right)}^{405}{\epsilon }^1=1^{405}\epsilon =\epsilon .$$

Pentru exponentul negativ, folosim ${\epsilon }^{-1}={\epsilon }^4$: ${\epsilon }^{-7}={\left({\epsilon }^{-1}\right)}^7={\epsilon }^{28}$, iar $28=5\cdot 5+3$, deci ${\epsilon }^{-7}={\epsilon }^3$. Verificare: ${\epsilon }^{-7}\cdot {\epsilon }^7=1$, iar ${\epsilon }^3\cdot {\epsilon }^7={\epsilon }^{10}=1$. ✓

Exemplul 4 — Care submulțimi ale lui $U_4$ sunt stabile?

Determină toate submulțimile nevide ale lui $U_4$ care sunt părți stabile în raport cu înmulțirea și care conțin elementul neutru.

Rezolvare. Mulțimile candidate se caută în tablă. Mulțimea $\{1\}$ este stabilă, fiindcă $1\cdot 1=1$. Mulțimea $\{1,-1\}=U_2$ este stabilă: $(-1)(-1)=1$. Mulțimea $\{1,i\}$ nu este stabilă, pentru că $i\cdot i=-1\notin \{1,i\}$; la fel $\{1,-i\}$. Orice submulțime care conține $i$ trebuie să conțină și $i^2=-1$ și $i^3=-i$, deci este tot $U_4$. Rămân trei: $\{1\}$, $U_2$ și $U_4$ — iar toate trei sunt, de fapt, grupuri cu aceeași operație. Observă că numărul lor de elemente, $1$, $2$ și $4$, sunt tocmai divizorii lui $4$.

Exemplul 5 — O sumă și un produs

Fie $\epsilon \in U_4$, $\epsilon =i$. Calculează $S=1+\epsilon +{\epsilon }^2+{\epsilon }^3$ și $P=1\cdot \epsilon \cdot {\epsilon }^2\cdot {\epsilon }^3$.

Rezolvare. Suma: $S=1+i+i^2+i^3=1+i-1-i=0$, conform rezultatului general. Produsul: $P={\epsilon }^{0+1+2+3}={\epsilon }^6={\epsilon }^4{\epsilon }^2={\epsilon }^2=-1$. Se potrivește cu formula $(-1{)}^{n+1}=(-1{)}^5=-1$ pentru $n=4$. Verificare directă: $1\cdot i\cdot (-1)\cdot (-i)=i\cdot i=-1$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Un enunț în formatul Subiectului al II-lea, cu trei subpuncte. Se consideră $\epsilon \in U_3$, $\epsilon \ne 1$.

a) Arată că ${\epsilon }^2+\epsilon +1=0$. b) Calculează $(1-\epsilon )(1-{\epsilon }^2)$. c) Calculează ${\epsilon }^{2026}+{\epsilon }^{2027}+{\epsilon }^{2028}$.

Rezolvare. a) Din $\epsilon \in U_3$ avem ${\epsilon }^3=1$, deci ${\epsilon }^3-1=0$, adică $(\epsilon -1)({\epsilon }^2+\epsilon +1)=0$. Cum $\epsilon \ne 1$, factorul $\epsilon -1$ este nenul, deci ${\epsilon }^2+\epsilon +1=0$. (Este cazul $n=3$ al sumei tuturor elementelor lui $U_3$.)

b) Desfacem parantezele și folosim ${\epsilon }^3=1$:

$$(1-\epsilon )(1-{\epsilon }^2)=1-{\epsilon }^2-\epsilon +{\epsilon }^3=1-(\epsilon +{\epsilon }^2)+1=1-(-1)+1=3,$$

unde am înlocuit $\epsilon +{\epsilon }^2=-1$, care rezultă din subpunctul a).

c) Dăm factor comun puterea cea mai mică:

$${\epsilon }^{2026}+{\epsilon }^{2027}+{\epsilon }^{2028}={\epsilon }^{2026}\left(1+\epsilon +{\epsilon }^2\right)={\epsilon }^{2026}\cdot 0=0.$$

Observație pentru control: $2026=3\cdot 675+1$, deci ${\epsilon }^{2026}=\epsilon$, iar suma se scrie și direct $\epsilon +{\epsilon }^2+{\epsilon }^3=-1+1=0$. Aceleași cifre pe două drumuri.

Să exersăm

1. Scrie toate elementele mulțimii $U_2$ și ale mulțimii $U_4$, în formă algebrică.

2. Verifică prin calcul direct că ${\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}^3=1$.

3. Completează tabla înmulțirii pe $U_2=\{1,-1\}$ și citește pe ea elementul neutru și inversul fiecărui element.

4. Fie $\epsilon \in U_6$, $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{6}+i\sin \frac{2\pi }{6}$. Calculează ${\epsilon }^2\cdot {\epsilon }^5$ și scrie rezultatul ca putere a lui $\epsilon$ cu exponent între $0$ și $5$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Mulțimea $U_5$ este parte stabilă a lui $\mathbb{C}$ în raport cu adunarea."

6. Determină inversul fiecărui element al lui $U_4$ și verifică faptul că fiecare invers este conjugatul elementului.

7. Arată, folosind definiția, că dacă $z\in U_n$, atunci și $\bar{z}\in U_n$.

8. Fie $\epsilon \in U_8$. Calculează ${\epsilon }^{2026}$, scriind rezultatul ca putere cu exponent între $0$ și $7$.

9. Rezolvă în $U_6$ ecuația ${\epsilon }^{4}z=\epsilon$, unde $\epsilon$ este rădăcina de argument $\frac{2\pi }{6}$.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Avem $U_3\subseteq U_9$."

11. Determină toate valorile lui $n\le 12$ pentru care $i\in U_n$.

12. Calculează suma tuturor elementelor mulțimii $U_7$ și produsul lor.

13. (Problemă aplicată.) Un mecanism are o roată cu $8$ poziții, numerotate $0,1,\dots ,7$ în sens trigonometric, și la fiecare impuls sare cu trei poziții înainte. Modelează poziția roții cu elemente din $U_8$ și află în ce poziție ajunge după $2026$ de impulsuri.

14. Arată că mulțimea $\{1,-1,i,-i\}$ nu are alte părți stabile care conțin pe $1$ în afară de $\{1\}$, $\{1,-1\}$ și ea însăși.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $\epsilon \in U_4$, $\epsilon =i$. a) Arată că ${\epsilon }^2=-1$. b) Calculează ${\left(1+\epsilon \right)}^2$. c) Arată că ${\epsilon }^n+{\epsilon }^{n+1}+{\epsilon }^{n+2}+{\epsilon }^{n+3}=0$ pentru orice $n\in \mathbb{N}$.

16. Demonstrează că, dacă $z\in U_m$ și $w\in U_n$, atunci $zw\in U_{mn}$.

17. Fie $\epsilon \in U_{12}$ rădăcina de argument $\frac{2\pi }{12}$. Arată că ${\epsilon }^4\in U_3$ și că ${\epsilon }^3\in U_4$.

18. (Provocare.) Fie $n\ge 2$ și $\epsilon \in U_n$ rădăcina de argument $\frac{2\pi }{n}$. Demonstrează că numărul $|1-\epsilon |\cdot |1-{\epsilon }^2|\cdots |1-{\epsilon }^{n-1}|$ este egal cu $n$, pornind de la descompunerea $z^n-1=(z-1)(z-\epsilon )\cdots (z-{\epsilon }^{n-1})$.

Răspunsuri și explicații

1. $U_2=\{1,-1\}$, iar $U_4=\{1,i,-1,-i\}$. Elementele lui $U_4$ se obțin din $\epsilon =i$ prin puteri: $i^0=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$.

2. Notăm $\epsilon =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$. Atunci ${\epsilon }^2=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}i+\frac{3}{4}{i}^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$, iar ${\epsilon }^3=\epsilon \cdot {\epsilon }^2={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$. ✓

3. Tabla are patru celule: $1\cdot 1=1$, $1\cdot (-1)=-1$, $(-1)\cdot 1=-1$, $(-1)(-1)=1$. Elementul neutru este $1$ (linia lui reproduce prima linie), iar fiecare element este propriul invers, fiindcă $1$ apare pe diagonala principală în ambele linii.

4. ${\epsilon }^2\cdot {\epsilon }^5={\epsilon }^7$, iar $7=6\cdot 1+1$, deci rezultatul este ${\epsilon }^1=\epsilon$.

5. Fals. Adunarea scoate imediat din mulțime: $1\in U_5$, dar $1+1=2$ are modulul $2\ne 1$, deci $2\notin U_5$. Operația față de care $U_n$ este parte stabilă este înmulțirea, nu adunarea.

6. $1^{-1}=1$, $i^{-1}=-i$, $(-1{)}^{-1}=-1$, $(-i{)}^{-1}=i$. Conjugatele sunt $\bar{1}=1$, $\bar{i}=-i$, $\overline{-1}=-1$, $\overline{-i}=i$ — aceleași valori, fiindcă toate elementele au modulul $1$.

7. Dacă $z^n=1$, atunci, trecând la conjugat, $\overline{z^n}=\bar{1}$, adică ${\left(\bar{z}\right)}^n=1$ (conjugarea comută cu înmulțirea, deci și cu puterile). Prin urmare $\bar{z}\in U_n$.

8. $2026=8\cdot 253+2$, deci ${\epsilon }^{2026}={\epsilon }^2$.

9. Înmulțim la stânga cu ${\left({\epsilon }^4\right)}^{-1}={\epsilon }^2$: $z={\epsilon }^2\cdot \epsilon ={\epsilon }^3=-1$. Verificare: ${\epsilon }^4\cdot {\epsilon }^3={\epsilon }^7=\epsilon$. ✓

10. Adevărat, pentru că $3\mid 9$: dacă $z^3=1$, atunci $z^9={\left(z^3\right)}^3=1$.

11. Din $i\in U_n$ rezultă $i^n=1$, iar puterile lui $i$ se repetă din $4$ în $4$, deci $n$ trebuie să fie multiplu de $4$: $n\in \{4,8,12\}$.

12. Suma este $0$ (rezultatul general, valabil pentru orice $n\ge 2$), iar produsul este $(-1{)}^{7+1}=(-1{)}^8=1$; se potrivește și cu ${\epsilon }^{0+1+\cdots +6}={\epsilon }^{21}={\left({\epsilon }^7\right)}^3=1$.

13. Poziția $k$ se codifică prin ${\epsilon }^k$, cu $\epsilon \in U_8$ de argument $\frac{2\pi }{8}$; un impuls înseamnă înmulțire cu ${\epsilon }^3$. După $2026$ de impulsuri, poziția este ${\left({\epsilon }^3\right)}^{2026}={\epsilon }^{6078}$, iar $6078=8\cdot 759+6$, deci roata ajunge în poziția $6$. (Același rezultat, mai repede: $3\cdot 2026=6078$, iar restul lui $6078$ la $8$ este $6$.)

14. Dacă o parte stabilă $H$ conține pe $i$, atunci conține $i\cdot i=-1$ și $(-1)\cdot i=-i$, deci $H=U_4$. Același argument pentru $-i$. Dacă $H$ conține doar $1$ și eventual $-1$, obținem $\{1\}$ sau $\{1,-1\}$, ambele stabile. Alte posibilități nu există.

15. a) ${\epsilon }^2=i^2=-1$, prin definiția unității imaginare. b) $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$. c) Dăm factor comun: ${\epsilon }^n\left(1+\epsilon +{\epsilon }^2+{\epsilon }^3\right)={\epsilon }^n\cdot 0=0$, fiindcă suma tuturor elementelor lui $U_4$ este $0$ (se vede și direct: $1+i-1-i=0$).

16. Din $z^m=1$ și $w^n=1$ obținem $(zw{)}^{mn}={\left(z^m\right)}^n{\left(w^n\right)}^m=1\cdot 1=1$, deci $zw\in U_{mn}$. (Atenție: în general $zw$ poate fi chiar într-o mulțime mai mică; enunțul cere doar apartenența la $U_{mn}$.)

17. ${\left({\epsilon }^4\right)}^3={\epsilon }^{12}=1$, deci ${\epsilon }^4\in U_3$. Analog, ${\left({\epsilon }^3\right)}^4={\epsilon }^{12}=1$, deci ${\epsilon }^3\in U_4$. Geometric: din douăsprezece vârfuri, luându-le din patru în patru obții triunghiul, iar din trei în trei obții pătratul.

18. În descompunerea $z^n-1=(z-1)(z-\epsilon )\cdots (z-{\epsilon }^{n-1})$ împărțim ambii membri cu $z-1$ și obținem $z^{n-1}+\cdots +z+1=(z-\epsilon )\cdots (z-{\epsilon }^{n-1})$, egalitate valabilă pentru orice $z\ne 1$. Ambii membri sunt funcții polinomiale care coincid în infinit de multe puncte, deci sunt egale peste tot, inclusiv în $z=1$. Punând $z=1$: $n=(1-\epsilon )(1-{\epsilon }^2)\cdots (1-{\epsilon }^{n-1})$. Trecând la module, produsul cerut este $|n|=n$. Pentru $n=3$ regăsim rezultatul din Exemplul 6: $(1-\epsilon )(1-{\epsilon }^2)=3$.

De reținut

• Mulțimea $U_n=\left\{z\in \mathbb{C}|z^n=1\right\}$ împreună cu înmulțirea numerelor complexe formează un grup comutativ cu $n$ elemente, în care elementul neutru este numărul $1$.
• Cele patru verificări se fac în această ordine: partea stabilă $\left((zw{)}^n=z^n{w}^n=1\right)$, asociativitatea și comutativitatea moștenite din $\mathbb{C}$, elementul neutru $e=1$ și inversul $z^{-1}=z^{n-1}$.
• Toate elementele lui $U_n$ sunt puterile unei singure rădăcini, $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$, deci $U_n=\left\{1,\epsilon ,\dots ,{\epsilon }^{n-1}\right\}$, iar înmulțirea lor înseamnă adunarea exponenților modulo $n$.
• Inversul unei rădăcini a unității se calculează pe două căi echivalente: ${\left({\epsilon }^k\right)}^{-1}={\epsilon }^{n-k}$ sau, geometric, $z^{-1}=\bar{z}$, fiindcă toate elementele au modulul $1$.
• Suma tuturor elementelor lui $U_n$ este $0$ pentru orice $n\ge 2$, iar produsul lor este $(-1{)}^{n+1}$; ambele relații scurtează masiv calculele din subiectele de Bacalaureat M1.

Greșeli frecvente

• Se verifică stabilitatea față de adunare. $U_n$ este parte stabilă în raport cu înmulțirea; suma a două rădăcini ale unității iese aproape întotdeauna din mulțime ($1+1=2$ are modulul $2$). Operația se citește din enunț, nu se presupune.
• Se uită că $1$ face parte din mulțime. Prima rădăcină este ${\epsilon }_0=1$; dacă începi enumerarea de la $\epsilon$, îți lipsește un element, suma nu mai iese $0$ și numărul de elemente iese $n-1$.
• Se confundă $U_n$ cu $U({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$. Primul, cu indice, este format din numere complexe și are $n$ elemente; al doilea, cu paranteze, este format din clase de resturi inversabile și are, în general, mai puține. Parantezele sunt singurul semn de deosebire.
• Se calculează puterile mari prin înmulțiri repetate. Corect este să împarți exponentul la $n$ cu rest și să păstrezi doar restul: ${\epsilon }^{2026}$ în $U_5$ este $\epsilon$, nu ceva ce trebuie calculat în două sute de pași.
• Se aplică relația $1+\epsilon +\cdots +{\epsilon }^{n-1}=0$ și pentru $\epsilon =1$. Demonstrația împarte cu $\epsilon -1$, deci cere $\epsilon \ne 1$; pentru $\epsilon =1$ suma este $n$, nu $0$.

Aplică acasă

1. Poligonul din carton. Decupează un hexagon regulat, numerotează-i vârfurile cu $0,1,\dots ,5$ pornind din dreapta și fixează-l cu un ac în centru. Rotește-l cu câte un vârf și notează, de fiecare dată, ce înmulțire din $U_6$ ai făcut. Verifică pe obiect că șase rotiri readuc figura în poziția inițială.

2. Tabla completă a lui $U_6$. Scrie tabla înmulțirii pe $U_6$, folosind exponenții $0,1,\dots ,5$ în loc de numere. Verifică apoi trei lucruri: că tabla e simetrică, că fiecare linie conține exact o dată elementul $1$ și că în fiecare linie apar toate cele șase elemente.

3. Ceasul modulo 12. Pe un ceas obișnuit, fiecare oră este un vârf al lui $U_{12}$. Marchează pe cadran vârfurile lui $U_4$ și pe cele ale lui $U_3$ și explică în scris, în trei fraze, de ce cele două mulțimi au în comun doar ora $12$ — și ce legătură are asta cu faptul că $3$ și $4$ nu au divizori comuni în afară de $1$.

Pentru părinți și profesori

Lecția este primul exemplu de grup finit și complet scriptibil din unitate: elevul poate să scrie toate elementele, toată tabla și toate inversele, ceea ce face din $U_n$ terenul ideal pentru fixarea definiției grupului. Programa cere explicit acest exemplu (grupul $U_n$ al rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității apare atât la competența XII.CS.1.2, cât și la XII.CS.2.2, unde se cere compararea tablei lui $U_n$ cu cea a grupului aditiv al claselor de resturi). Materialul se sprijină integral pe numerele complexe din clasa a X-a; dacă acolo au rămas goluri, ele se văd imediat aici.

De verificat în caiet: (1) verificările se fac în ordinea din definiție, iar asociativitatea este moștenită, nu redemonstrată prin calcul; (2) inversul este scris fie ca ${\epsilon }^{n-k}$, fie ca $\bar{z}$, nu „ghicit"; (3) puterile mari sunt reduse prin împărțire cu rest; (4) tabla are elementele în aceeași ordine pe linie și pe coloană. Întrebări bune de control: „De ce produsul a două rădăcini de ordinul $n$ este tot o rădăcină de ordinul $n$?"; „Care este elementul neutru și de unde știi?"; „Cum afli inversul lui ${\epsilon }^3$ în $U_7$, în două secunde?".

La BAC M1, tiparul este aproape fix și apare în Subiectul al II-lea sau ca punct de plecare în Subiectul I: se dă $\epsilon$ de ordinul $3$, $4$ sau $6$, se cere o relație de tipul ${\epsilon }^2+\epsilon +1=0$, apoi valoarea unei sume sau a unui produs și, la final, o putere cu exponent uriaș. Semn că elevul a înțeles: reduce singur exponentul modulo $n$, fără să întrebe, și justifică apartenența la grup printr-o propoziție, nu prin calcul.

Întrebări frecvente

Ce este grupul rădăcinilor de ordinul n ale unității? Este mulțimea $U_n$ a numerelor complexe $z$ cu $z^n=1$, luată împreună cu înmulțirea numerelor complexe. Este un grup comutativ cu exact $n$ elemente, în care neutrul este $1$, iar inversul lui $z$ este $z^{n-1}$. Geometric, elementele sunt vârfurile poligonului regulat cu $n$ laturi înscris în cercul de rază $1$.

Cum se demonstrează că $U_n$ este grup față de înmulțire? Se verifică patru lucruri, în ordinea din definiție. Partea stabilă: dacă $z^n=1$ și $w^n=1$, atunci $(zw{)}^n=z^n{w}^n=1$. Asociativitatea și comutativitatea se moștenesc din $\mathbb{C}$, fără calcul. Elementul neutru este $1$, care aparține mulțimii. Inversul lui $z$ este $z^{n-1}$, tot din $U_n$.

Care este elementul neutru al grupului $U_n$? Elementul neutru este numărul $1$, pentru că $1^n=1$ (deci aparține mulțimii) și pentru că $1\cdot z=z\cdot 1=z$ pentru orice număr complex $z$. Pe tabla operației se recunoaște ușor: linia și coloana lui reproduc, identic, prima linie și prima coloană ale tablei.

Cum se calculează inversul unei rădăcini a unității? Cel mai rapid, prin conjugare: fiindcă orice element al lui $U_n$ are modulul $1$, avem $z^{-1}=\bar{z}$. În scrierea cu puteri, ${\left({\epsilon }^k\right)}^{-1}={\epsilon }^{n-k}$, adică se completează exponentul până la $n$. De pildă, în $U_7$ inversul lui ${\epsilon }^3$ este ${\epsilon }^4$, pentru că $3+4=7$.

De ce suma tuturor rădăcinilor de ordinul n ale unității este zero? Pentru că, notând suma cu $S$ și înmulțind-o cu $\epsilon$, obținem aceeași sumă: $\epsilon S=\epsilon +{\epsilon }^2+\cdots +{\epsilon }^n=S$, deoarece ${\epsilon }^n=1$ readuce primul termen. Rezultă $(\epsilon -1)S=0$, iar pentru $n\ge 2$ avem $\epsilon \ne 1$, deci $S=0$.

Cum calculezi $\epsilon$ la o putere foarte mare, de exemplu 2026? Împarți exponentul la $n$ cu rest și păstrezi doar restul, pentru că ${\epsilon }^n=1$. În $U_5$, de exemplu, $2026=5\cdot 405+1$, deci ${\epsilon }^{2026}=\epsilon$. Aceeași regulă merge și pentru exponenți negativi, după ce înlocuiești ${\epsilon }^{-1}$ cu ${\epsilon }^{n-1}$.

Când este $U_m$ inclus în $U_n$? Exact atunci când $m$ divide $n$. Dacă $n=mq$ și $z^m=1$, atunci $z^n={\left(z^m\right)}^q=1$. Astfel $U_2\subseteq U_4\subseteq U_8$ și $U_3\subseteq U_6$, dar $U_3$ nu este inclus în $U_4$, fiindcă $3$ nu divide $4$; cele două au în comun doar numărul $1$.

Ce se cere din acest capitol la clasa a 12-a în subiectele de examen? Se cere, aproape întotdeauna, același lanț: se dă o rădăcină $\epsilon$ de ordinul $3$, $4$ sau $6$, se verifică relația ${\epsilon }^n=1$, se folosește apoi $1+\epsilon +\cdots +{\epsilon }^{n-1}=0$ pentru o sumă și, la final, se reduce un exponent mare. Toate se rezolvă cu materialul acestei lecții, fără unelte suplimentare.