Grupul unităților unui inel: pe scurt

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1, cel care urmează programa sesiunilor 2027–2029. Un element $a$ al unui inel $(A,+,\cdot )$ este inversabil dacă există $b$ cu $ab=ba=1$; inversul este unic și se notează $a^{-1}$, iar mulțimea tuturor elementelor inversabile se notează $U(A)$, iar elementele ei se numesc unitățile inelului. Mulțimea nu e niciodată vidă, pentru că $1\in U(A)$, și nu conține niciodată pe $0$ într-un inel nenul.

Teorema lecției: $(U(A),\cdot )$ este grup, numit grupul unităților inelului. Demonstrația are patru mișcări: parte stabilă (cu $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$, ordinea răsturnată), asociativitate moștenită, $1$ ca element neutru, inversul unui inversabil este inversabil. Dacă inelul e comutativ, grupul e comutativ. Exemplele de reținut: $U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$, $U(\mathbb{Q})={\mathbb{Q}}^{\ast }$, $U({\mathbb{Z}}_n)=\{\hat{a}\mid (a,n)=1\}$, $U({\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}))=G{L}_n(\mathbb{R})$ și $U(\mathbb{Z}[i])=\{1,-1,i,-i\}$, ultimul obținut cu norma $N(a+bi)=a^2+b^2$. Un element inversabil nu este niciodată divizor al lui zero — reciproca e falsă în inele infinite ($2$ în $\mathbb{Z}$), dar în ${\mathbb{Z}}_n$ cele două categorii acoperă toate clasele nenule. Pentru legile deghizate $x\oplus y=x+y-a$ și $x\otimes y=(x-a)(y-a)+a$, elementul nul este $a$, unitatea este $a+1$, iar $x$ e inversabil exact când $x-a$ e inversabil în inelul de plecare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Grupul unităților inelului $\left({\mathcal{M}}_3(\mathbb{R}),+,\cdot \right)$ este:

   • a) $\{I_3\}$
   • b) $\left\{A\mid \det A=1\right\}$
   • c) $G{L}_3(\mathbb{R})$
   • d) ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\setminus \{O_3\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $G{L}_3(\mathbb{R})$

   O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul, deci $U({\mathcal{M}}_3(\mathbb{R}))=\{A\mid \det A\ne 0\}=G{L}_3(\mathbb{R})$, grupul liniar general. Mulțimea matricelor cu determinantul $1$ este doar un subgrup al lui, iar egalitatea cu ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})\setminus \{O_3\}$ e falsă: există matrice nenule cu determinantul nul, deci neinversabile.

2. Câte elemente are grupul unităților inelului întregilor lui Gauss, $\mathbb{Z}[i]$?

   • a) $2$
   • b) $4$
   • c) $8$
   • d) o infinitate
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $4$

   Folosim norma $N(a+bi)=a^2+b^2$, care este multiplicativă. Dacă $zw=1$, atunci $N(z)N(w)=1$ cu $N(z),N(w)\in \mathbb{N}$, deci $N(z)=1$, adică $a^2+b^2=1$. Singurele soluții întregi sunt $(\pm 1,0)$ și $(0,\pm 1)$, deci $U(\mathbb{Z}[i])=\{1,-1,i,-i\}$ — patru elemente, grup ciclic generat de $i$.

3. Într-un inel $(A,+,\cdot )$, pentru $a,b\in U(A)$ avem:

   • a) $(ab{)}^{-1}=a^{-1}{b}^{-1}$
   • b) $ab$ poate să nu fie inversabil
   • c) $(ab{)}^{-1}=(ba{)}^{-1}$
   • d) $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$

   Verificarea este directă: $(ab)(b^{-1}{a}^{-1})=a(b{b}^{-1})a^{-1}=a{a}^{-1}=1$, și analog în cealaltă ordine. Ordinea se răstoarnă, exact ca la inversa unui produs de matrice; scrierea $a^{-1}{b}^{-1}$ este corectă doar în inele comutative. Produsul a două unități este întotdeauna unitate — chiar aceasta e partea stabilă din demonstrația teoremei.