Elementele inversabile ale unui inel; grupul unităților

Într-un inel se poate aduna, scădea și înmulți, dar nu se poate împărți oricând: în $\mathbb{Z}$ nu există niciun întreg care înmulțit cu $2$ să dea $1$. Elementele care totuși au invers se numesc elemente inversabile, iar mulțimea lor, numită grupul unităților inelului și notată $U(A)$, este obiectul acestei lecții de clasa a 12-a. Grupul unităților unui inel este mulțimea $U(A)$ a elementelor care au invers la înmulțire — singurele cu care se poate împărți în inel — și el formează, la rândul lui, un grup. Vestea bună, pe care o vom demonstra, este că elementele inversabile nu stau împrăștiate la întâmplare: ele formează, împreună, un grup față de înmulțirea inelului.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Este, în același timp, lecția care leagă cele două jumătăți ale algebrei de liceu: pornim de la un inel și obținem un grup, deci tot ce ai învățat în unitatea despre grupuri devine, brusc, unealtă de lucru cu inele.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești elementele inversabile ale unui inel și să scrii corect mulțimea $U(A)$.
• Vei ști să demonstrezi că $(U(A),\cdot )$ este grup, verificând cele trei condiții pe rând.
• Vei ști să determini $U(\mathbb{Z})$, $U(\mathbb{Q})$, $U(\mathbb{R})$, $U(\mathbb{C})$ și să compari rezultatele.
• Vei ști să determini $U({\mathbb{Z}}_n)$ pentru orice $n$ și să scrii tabla acestui grup pentru $n$ mic.
• Vei ști de ce $U({\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}))=G{L}_n(\mathbb{R})$ și cum se recunoaște un element inversabil printr-un determinant.
• Vei ști să demonstrezi că un element inversabil nu poate fi niciodată divizor al lui zero și să folosești această regulă la examen.

Hai să descoperim împreună

1. Ce sunt elementele inversabile ale unui inel?

Într-un inel $(A,+,\cdot )$, adunarea e „completă": orice element are opus, prin axioma A4. Înmulțirea, în schimb, are doar element unitate; despre inverse definiția nu spune nimic. De aici toată bogăția: unele inele au foarte multe elemente inversabile, altele foarte puține.

Un element inversabil al unui inel $(A,+,\cdot )$ este un element $a\in A$ pentru care există $b\in A$ cu $ab=ba=1$; elementul $b$ se numește inversul lui $a$ și se notează $a^{-1}$. Mulțimea tuturor elementelor inversabile ale inelului se notează $U(A)$, iar elementele ei se mai numesc unitățile inelului.

Două precizări care se cer scrise o dată și reținute. Întâi, inversul este unic atunci când există: dacă $ab=ba=1$ și $ac=ca=1$, atunci $b=b\cdot 1=b(ac)=(ba)c=1\cdot c=c$. Notația $a^{-1}$ are deci sens. Apoi, $U(A)$ nu e niciodată vidă, pentru că $1\cdot 1=1$, deci $1\in U(A)$; în schimb $0\notin U(A)$ într-un inel nenul, pentru că $0\cdot b=0\ne 1$ pentru orice $b$, conform Propoziției 1 de la regulile de calcul într-un inel și divizorii lui zero.

Noțiunea nu e cu totul nouă: ai întâlnit-o deja, sub numele de „element simetrizabil", la elementele inversabile din ${\mathbb{Z}}_n$ și ecuațiile cu clase de resturi, unde ai folosit chiar notația $U({\mathbb{Z}}_n)$. Ce e nou aici e faptul că privim mulțimea lor ca structură, nu ca simplă listă.

2. Teorema centrală: $U(A)$ este grup față de înmulțire

Teoremă. Fie $(A,+,\cdot )$ un inel. Atunci $(U(A),\cdot )$ este grup, numit grupul unităților inelului $A$. Dacă $A$ este inel comutativ, atunci $U(A)$ este grup comutativ.

Demonstrație. Verificăm, pe rând, cele trei condiții din definiția grupului, așa cum au fost fixate la grupul: definiție și exemple, plus faptul că înmulțirea nu iese din mulțime.

Parte stabilă. Fie $a,b\in U(A)$, cu inversele $a^{-1}$ și $b^{-1}$. Arătăm că $ab$ este inversabil, cu inversul $b^{-1}{a}^{-1}$:

$$(ab)(b^{-1}{a}^{-1})=a(b{b}^{-1})a^{-1}=a\cdot 1\cdot a^{-1}=a{a}^{-1}=1,$$

și, la fel, $(b^{-1}{a}^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}b=1$. Deci $ab\in U(A)$, iar $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$. ⚠️ Ordinea inversată contează în inelele necomutative — e aceeași regulă ca la inversa unui produs de matrice.

Asociativitate. Înmulțirea e asociativă pe tot $A$ (axioma M1), deci cu atât mai mult pe submulțimea $U(A)$.

Element neutru. Am văzut că $1\in U(A)$, iar $1$ este element neutru pentru înmulțirea din $A$, deci și pentru cea indusă pe $U(A)$.

Simetrizabile. Fie $a\in U(A)$. Elementul $a^{-1}$ este el însuși inversabil, pentru că $a^{-1}a=a{a}^{-1}=1$ arată că inversul lui $a^{-1}$ este $a$. Deci $a^{-1}\in U(A)$ și fiecare element al lui $U(A)$ are simetric în $U(A)$.

Prin urmare $(U(A),\cdot )$ este grup. Dacă $A$ e comutativ, înmulțirea rămâne comutativă pe $U(A)$, deci grupul e comutativ. ∎

Reține forma scurtă a demonstrației, pentru că se cere adesea la examen: parte stabilă (cu formula $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$) → asociativitate moștenită → $1$ e neutru → inversul unui inversabil e inversabil.

Două observații despre ce nu spune teorema. Întâi, $U(A)$ nu este niciodată parte stabilă față de adunare: în orice inel, $1$ și $-1$ sunt inversabile (a doua, pentru că $(-1)(-1)=1$), iar suma lor este $0$, care nu e inversabil; deci nu are sens să vorbim despre „inelul unităților". Apoi, teorema nu garantează că $U(A)$ e mare: el poate avea un singur element (dacă $1$ e singurul inversabil), patru elemente, ca la întregii lui Gauss, sau o infinitate. Ce garantează teorema e structura, nu mărimea — și tocmai de aceea e utilă: din clipa în care știm că $U(A)$ e grup, putem vorbi despre ordinul elementelor lui, despre subgrupurile lui și despre izomorfismele lui cu grupuri cunoscute.

3. Care sunt unitățile inelelor de numere?

Cel mai simplu mod de a înțelege $U(A)$ este să compari patru cazuri cunoscute.

• $U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$. Într-adevăr, dacă $ab=1$ cu $a,b$ întregi, atunci $|a|\cdot |b|=1$, iar produsul a două numere naturale nenule este $1$ numai când amândouă sunt $1$; deci $|a|=1$, adică $a\in \{-1,1\}$. Reciproc, $1\cdot 1=1$ și $(-1)(-1)=1$. Grupul are două elemente.
• $U(\mathbb{Q})={\mathbb{Q}}^{\ast }$, $U(\mathbb{R})={\mathbb{R}}^{\ast }$, $U(\mathbb{C})={\mathbb{C}}^{\ast }$: orice element nenul are invers, $\frac{1}{x}$. Grupurile sunt infinite.

Comparația e instructivă: aceeași operație, aceeași definiție, dar mulțimea inversabilelor sare de la două elemente la o infinitate, doar pentru că mulțimea de bază s-a lărgit. Inelele în care toate elementele nenule sunt inversabile, adică $U(A)=A\setminus \{0\}$, formează o clasă specială, studiată la lecția următoare, despre inelele în care orice element nenul este inversabil.

Pentru inelul întregilor lui Gauss răspunsul e surprinzător de mic: $U(\mathbb{Z}[i])=\{1,-1,i,-i\}$. Argumentul folosește norma $N(a+bi)=a^2+b^2$, care este multiplicativă: $N(zw)=N(z)N(w)$ pentru orice $z,w$. Dacă $z\in \mathbb{Z}[i]$ e inversabil, cu $zw=1$, atunci $N(z)N(w)=N(1)=1$, iar $N(z)$ și $N(w)$ sunt numere naturale, deci $N(z)=1$, adică $a^2+b^2=1$. Singurele soluții întregi sunt $(\pm 1,0)$ și $(0,\pm 1)$, adică exact cele patru elemente anunțate. Grupul $U(\mathbb{Z}[i])$ are patru elemente și e ciclic, generat de $i$: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$.

4. Cum determini grupul unităților lui ${\mathbb{Z}}_n$?

Aici ai deja criteriul, demonstrat în unitatea despre legi de compoziție:

$$U({\mathbb{Z}}_n)=\{\hat{a}\mid 0\le a<n,(a,n)=1\}.$$

Practic: scrii clasele de la $\hat{1}$ la $\widehat{n-1}$ și le păstrezi pe cele al căror reprezentant e prim cu $n$. Numărul lor se notează $\phi (n)$ (indicatorul lui Euler) și se menționează doar; la Bacalaureat M1 se numără direct.

Observă că numărul de elemente nu crește odată cu $n$: $U({\mathbb{Z}}_9)$ are șase elemente, iar $U({\mathbb{Z}}_{12})$ doar patru. Ce contează nu e mărimea lui $n$, ci descompunerea lui în factori primi. Cazul extrem e cel în care $n=p$ e număr prim: atunci toate cele $p-1$ clase nenule sunt prime cu $p$, deci $U({\mathbb{Z}}_p)={\mathbb{Z}}_p\setminus \{\hat{0}\}$ — o situație pe care lecția următoare o va transforma într-o teoremă cu nume.

Grupurile acestea sunt finite, deci se pot compara cu cele studiate în unitatea despre grupuri, folosind ordinul elementelor, așa cum ai învățat la ordinul unui element al unui grup. De pildă, în $U({\mathbb{Z}}_{12})$ fiecare element are pătratul $\hat{1}$: ${\hat{5}}^2=\widehat{25}=\hat{1}$, ${\hat{7}}^2=\widehat{49}=\hat{1}$, ${\widehat{11}}^2=\widehat{121}=\hat{1}$. În $U({\mathbb{Z}}_9)$, dimpotrivă, clasa $\hat{2}$ are ordinul $6$, deci generează tot grupul. Două grupuri cu structuri complet diferite, obținute din același tipar.

5. De ce $U({\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}))=G{L}_n(\mathbb{R})$?

Într-un inel de matrice, „inversabil" înseamnă exact ce înseamnă la clasa a XI-a: matricea $A$ e inversabilă dacă există $B$ cu $AB=BA=I_n$. Criteriul demonstrat la inversa unei matrice cu matricea adjunctă spune că acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă $\det A\ne 0$. Prin urmare

$$U({\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}))=\{A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\mid \det A\ne 0\}=G{L}_n(\mathbb{R}),$$

adică grupul unităților inelului de matrice este exact grupul liniar general, cu care ai lucrat în unitatea despre grupuri de matrice. Teorema din subsecțiunea 2 îți spune, gratis, că $G{L}_n(\mathbb{R})$ este grup — un fapt pe care acolo l-ai verificat direct. Pentru $n\ge 2$ acest grup nu este comutativ, ceea ce arată că teorema nu presupune comutativitatea nicăieri.

Exemplu de lucru: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$ avem $\det A=4-3=1\ne 0$, deci $A\in G{L}_2(\mathbb{R})$, iar

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right).$$

Verificare: $A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}4-3& -2+2\\ 6-6& -3+4\end{array}\right)=I_2$. ✓

6. De ce un element inversabil nu este niciodată divizor al lui zero?

Propoziție. Într-un inel $A$, dacă $a\in U(A)$, atunci $a$ nu este divizor al lui zero.

Demonstrație. Presupunem, prin absurd, că $a$ este inversabil și, în același timp, divizor al lui zero: există $b\ne 0$ cu $ab=0$ (cazul $ba=0$ se tratează identic). Înmulțim egalitatea $ab=0$ la stânga cu $a^{-1}$:

$$a^{-1}(ab)=a^{-1}\cdot 0⟹(a^{-1}a)b=0⟹1\cdot b=0⟹b=0,$$

unde am folosit asociativitatea și regula $x\cdot 0=0$. Am ajuns la $b=0$, în contradicție cu ipoteza $b\ne 0$. Prin urmare $a$ nu poate fi divizor al lui zero. ∎

Consecința e o unealtă de eliminare rapidă: dacă într-o problemă ți se cere să arăți că un element nu e inversabil, e destul să găsești un partener nenul care să-l anuleze. Reciproc, dacă ai găsit inversul, știi imediat că elementul nu poate anula pe nimeni.

⚠️ Atenție: reciproca propoziției este falsă în inele infinite. În $\mathbb{Z}$, numărul $2$ nu e inversabil și nici divizor al lui zero. În inelele ${\mathbb{Z}}_n$ însă, cele două categorii acoperă împreună toate clasele nenule — dihotomia demonstrată în lecția precedentă, care se verifică imediat pe tabele: în ${\mathbb{Z}}_{12}$, clasele inversabile sunt $\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11}$, iar celelalte șapte clase nenule sunt divizori ai lui zero.

7. Unitățile inelului funcțiilor și rețeta pentru legile deghizate

În inelul $\mathcal{F}$ al funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, cu operațiile punctuale, o funcție $f$ este inversabilă dacă există $g$ cu $f(x)g(x)=1$ pentru orice $x$. Asta se poate întâmpla exact atunci când $f(x)\ne 0$ pentru orice $x$, iar atunci $g(x)=\frac{1}{f(x)}$. Deci

$$U(\mathcal{F})=\{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\mid f(x)\ne 0\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\}.$$

De exemplu, $f(x)=x^2+1$ este inversabilă, cu $f^{-1}(x)=\frac{1}{x^2+1}$ — atenție, aici $f^{-1}$ înseamnă inversul din inel, nu funcția inversă. Funcția $f(x)=x$ nu e inversabilă în acest inel, pentru că se anulează în $0$.

Rețeta pentru inelele cu legi deghizate, tipul care apare în subiectele de Bacalaureat M1: dacă legile sunt $x\oplus y=x+y-a$ și $x\otimes y=(x-a)(y-a)+a$, atunci elementul nul este $a$, elementul unitate este $a+1$, iar $x$ este inversabil dacă și numai dacă $x-a$ este inversabil în inelul de plecare. Pentru $A=\mathbb{Z}$, unde $U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$, obținem imediat $x-a\in \{-1,1\}$, adică două elemente inversabile: $a-1$ și $a+1$. Nu reface toată teoria — scrie forma factorizată și citește răspunsul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Grupul $U({\mathbb{Z}}_{12})$ și tabla lui

Determinați $U({\mathbb{Z}}_{12})$, scrieți tabla înmulțirii acestui grup și precizați inversul fiecărui element.

Rezolvare. Sunt prime cu $12$ clasele $\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11}$, deci $U({\mathbb{Z}}_{12})=\{\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11}\}$, un grup cu patru elemente. Tabla:

De exemplu $\hat{5}\cdot \hat{7}=\widehat{35}=\widehat{11}$, pentru că $35=2\cdot 12+11$. Pe diagonala principală apare peste tot $\hat{1}$, deci fiecare element este propriul invers: ${\hat{1}}^{-1}=\hat{1}$, ${\hat{5}}^{-1}=\hat{5}$, ${\hat{7}}^{-1}=\hat{7}$, ${\widehat{11}}^{-1}=\widehat{11}$. Grupul este comutativ (tabla e simetrică), dar nu e ciclic: niciun element nu are ordinul $4$, pentru că toate au ordinul $1$ sau $2$.

Exemplul 2 — Un grup al unităților care este ciclic

Determinați $U({\mathbb{Z}}_9)$ și arătați că este generat de clasa $\hat{2}$.

Rezolvare. Sunt prime cu $9$ clasele al căror reprezentant nu e multiplu de $3$: $U({\mathbb{Z}}_9)=\{\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{5},\hat{7},\hat{8}\}$, șase elemente. Calculăm puterile lui $\hat{2}$:

$${\hat{2}}^1=\hat{2},{\hat{2}}^2=\hat{4},{\hat{2}}^3=\hat{8},{\hat{2}}^4=\widehat{16}=\hat{7},{\hat{2}}^5=\widehat{14}=\hat{5},{\hat{2}}^6=\widehat{10}=\hat{1}.$$

Am obținut toate cele șase elemente, deci $\mathrm{ord}(\hat{2})=6$ și grupul e ciclic, generat de $\hat{2}$. Comparația cu exemplul precedent e edificatoare: $U({\mathbb{Z}}_{12})$ și $U({\mathbb{Z}}_9)$ sunt amândouă grupuri comutative finite obținute din același tipar, dar au cardinale diferite și profiluri de ordine diferite.

Exemplul 3 — Ecuație rezolvată cu inversul

Rezolvați în ${\mathbb{Z}}_{10}$ ecuația $\hat{7}x=\hat{3}$.

Rezolvare. Cum $(7,10)=1$, clasa $\hat{7}$ este inversabilă, deci ecuația are soluție unică. Căutăm inversul: $\hat{7}\cdot \hat{3}=\widehat{21}=\hat{1}$, deci ${\hat{7}}^{-1}=\hat{3}$. Înmulțim ecuația cu $\hat{3}$:

$$\hat{3}\hat{7}x=\hat{3}\hat{3}⟹\hat{1}\cdot x=\hat{9}⟹x=\hat{9}.$$

Verificare: $\hat{7}\cdot \hat{9}=\widehat{63}=\hat{3}$, pentru că $63=6\cdot 10+3$. ✓ Observă contrastul cu ecuațiile din lecția precedentă: acolo coeficientul era divizor al lui zero și apăreau două soluții sau niciuna; aici, coeficientul fiind o unitate, soluția e unică — exact ceea ce garantează Propoziția din subsecțiunea 6.

Exemplul 4 — Verificarea inversabilității unei matrice

Stabiliți dacă $A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$ aparține lui $U({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}))$ și, în caz afirmativ, calculați $A^{-1}$.

Rezolvare. $\det A=3\cdot 2-5\cdot 1=1\ne 0$, deci $A$ este inversabilă, adică $A\in G{L}_2(\mathbb{R})=U({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}))$. Pentru ordinul $2$,

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right).$$

Verificare: $A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}6-5& -15+15\\ 2-2& -5+6\end{array}\right)=I_2$. ✓ În schimb, matricea $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ are determinantul $0$, deci nu e inversabilă — și, într-adevăr, în lecția precedentă am arătat că e divizor al lui zero, ceea ce, conform Propoziției, excludea de la bun început inversabilitatea.

Exemplul 5 — Unitățile întregilor lui Gauss

Determinați $U(\mathbb{Z}[i])$, folosind norma $N(a+bi)=a^2+b^2$.

Rezolvare. Norma este multiplicativă: dacă $z=a+bi$ și $w=c+di$, atunci $zw=(ac-bd)+(ad+bc)i$ și

$$N(zw)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=N(z)N(w),$$

egalitate care se verifică desfăcând ambii membri. Dacă $z\in U(\mathbb{Z}[i])$, există $w$ cu $zw=1$, deci $N(z)N(w)=1$. Cum $N(z)$ și $N(w)$ sunt numere naturale, rezultă $N(z)=1$, adică $a^2+b^2=1$ cu $a,b$ întregi. Soluțiile sunt $(1,0)$, $(-1,0)$, $(0,1)$, $(0,-1)$, deci

$$U(\mathbb{Z}[i])=\{1,-1,i,-i\}.$$

Toate patru sunt într-adevăr inversabile: $1\cdot 1=1$, $(-1)(-1)=1$, $i\cdot (-i)=-i^2=1$. Grupul are patru elemente și e ciclic, generat de $i$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pe $\mathbb{Z}$ se consideră legile $x\oplus y=x+y-2$ și $x\otimes y=xy-2x-2y+6$, față de care $(\mathbb{Z},\oplus ,\otimes )$ este inel comutativ. a) Arătați că $x\otimes y=(x-2)(y-2)+2$ și determinați elementul unitate al inelului. b) Determinați mulțimea elementelor inversabile ale inelului $(\mathbb{Z},\oplus ,\otimes )$. c) Rezolvați în $\mathbb{Z}$ ecuația $x\otimes x=3$.

Rezolvare. Este structura obișnuită a problemei a doua din Subiectul al II-lea de la Bacalaureat M1.

a) $(x-2)(y-2)+2=xy-2x-2y+4+2=xy-2x-2y+6=x\otimes y$. ✓ Elementul unitate $u$ verifică $x\otimes u=x$ pentru orice $x$, adică $(x-2)(u-2)+2=x$, deci $(x-2)(u-2)=x-2$; luând $x=3$ obținem $u-2=1$, adică $u=3$, iar verificarea pentru $x$ oarecare e imediată.

b) Elementul $x$ este inversabil dacă există $y\in \mathbb{Z}$ cu $x\otimes y=3$, adică $(x-2)(y-2)+2=3$, adică $(x-2)(y-2)=1$. Notând $u=x-2$ și $v=y-2$, condiția devine $uv=1$ cu $u,v\in \mathbb{Z}$, adică $u\in U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$. Din $x-2=-1$ rezultă $x=1$, iar din $x-2=1$ rezultă $x=3$. Așadar mulțimea elementelor inversabile este $\{1,3\}$, iar fiecare este propriul invers: $1\otimes 1=1-2-2+6=3$ ✓ și $3\otimes 3=9-6-6+6=3$ ✓.

c) Ecuația se scrie $(x-2{)}^2+2=3$, adică $(x-2{)}^2=1$, deci $x-2=1$ sau $x-2=-1$, adică $x\in \{1,3\}$. Regăsim exact elementele inversabile — firesc, pentru că $x\otimes x=1_{\text{inel}}$ înseamnă tocmai „$x$ este propriul său invers".

Să exersăm

Înainte de orice calcul de invers, verifică rapid dacă elementul poate fi inversabil: în ${\mathbb{Z}}_n$ te uiți la $(a,n)$, la matrice te uiți la determinant, la funcții te uiți dacă se anulează undeva.

1. Determină $U({\mathbb{Z}}_{14})$ și numărul elementelor lui.

2. Determină $U({\mathbb{Z}}_{16})$ și numărul elementelor lui.

3. Determină inversul clasei $\hat{7}$ în ${\mathbb{Z}}_{11}$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Mulțimea $U(A)$ conține întotdeauna elementul $0$."

5. Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{11}$ ecuația $\hat{7}x=\hat{5}$.

6. Arată că $U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$, pornind de la egalitatea $|a|\cdot |b|=1$.

7. Stabilește dacă $A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$ este inversabilă și, dacă da, calculează $A^{-1}$ și verifică prin înmulțire.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un inel, un element inversabil poate fi și divizor al lui zero."

9. (Problemă aplicată.) Un cifru înlocuiește litera de rang $x$ cu litera de rang $\hat{5}x+\hat{3}$ în ${\mathbb{Z}}_{26}$. Arată că operația se poate inversa și scrie formula de decodificare.

10. Câte elemente are $U({\mathbb{Z}}_{20})$? Scrie-le pe toate.

11. Determină mulțimea elementelor inversabile din inelul funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ și dă două exemple, unul de funcție inversabilă și unul de funcție neinversabilă.

12. Arată că $U({\mathbb{Z}}_8)=\{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}\}$ și că pătratul fiecărui element este $\hat{1}$.

13. Arată că $\hat{2}$ generează grupul $U({\mathbb{Z}}_5)$, calculând puterile lui succesive.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) În inelul ${\mathbb{Z}}_{15}$: a) determină $U({\mathbb{Z}}_{15})$; b) rezolvă ecuația $\hat{4}x=\hat{7}$; c) arată că $\hat{6}$ nu este inversabilă.

15. În ${\mathbb{Z}}_{16}$, verifică formula $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$ pentru $a=\hat{3}$ și $b=\hat{5}$, calculând ambii membri.

16. Determină $U(\mathbb{Z}[i])$, justificând cu ajutorul normei $N(a+bi)=a^2+b^2$.

17. Pe $\mathbb{Z}$ se consideră legile $x\oplus y=x+y+3$ și $x\otimes y=xy+3x+3y+6$. Arată că elementul unitate este $-2$ și determină elementele inversabile.

18. (Provocare.) Arată că $1+\sqrt{2}$ este inversabil în $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ și deduce că grupul unităților acestui inel are o infinitate de elemente.

Răspunsuri și explicații

1. Sunt prime cu $14=2\cdot 7$ clasele al căror reprezentant nu se divide nici cu $2$, nici cu $7$: $U({\mathbb{Z}}_{14})=\{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{9},\widehat{11},\widehat{13}\}$, șase elemente.

2. Cum $16=2^4$, sunt prime cu $16$ exact clasele impare: $U({\mathbb{Z}}_{16})=\{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7},\hat{9},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{15}\}$, opt elemente.

3. Căutăm $\hat{b}$ cu $\hat{7}\hat{b}=\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_{11}$: $7\cdot 8=56=5\cdot 11+1$, deci ${\hat{7}}^{-1}=\hat{8}$.

4. Fals. Într-un inel nenul, $0\cdot b=0\ne 1$ pentru orice $b$, deci $0$ nu e niciodată inversabil. Ce conține întotdeauna $U(A)$ este elementul unitate $1$, pentru că $1\cdot 1=1$.

5. Înmulțim cu ${\hat{7}}^{-1}=\hat{8}$: $x=\hat{8}\cdot \hat{5}=\widehat{40}=\hat{7}$, pentru că $40=3\cdot 11+7$. Verificare: $\hat{7}\cdot \hat{7}=\widehat{49}=\hat{5}$, pentru că $49=4\cdot 11+5$. ✓

6. Dacă $ab=1$ cu $a,b\in \mathbb{Z}$, trecând la module obținem $|a|\cdot |b|=1$. Produsul a două numere naturale este $1$ numai dacă amândouă sunt $1$, deci $|a|=1$, adică $a=1$ sau $a=-1$. Ambele sunt inversabile, deci $U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$.

7. $\det A=3\cdot 2-5\cdot 1=1\ne 0$, deci $A$ e inversabilă, iar $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)$. Verificare: $A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}6-5& -15+15\\ 2-2& -5+6\end{array}\right)=I_2$. ✓

8. Fals. Dacă $a$ e inversabil și $ab=0$, înmulțind la stânga cu $a^{-1}$ obținem $b=0$, deci nu există un partener nenul; prin urmare $a$ nu poate fi divizor al lui zero. Este exact Propoziția din subsecțiunea 6.

9. Cum $(5,26)=1$, clasa $\hat{5}$ este inversabilă în ${\mathbb{Z}}_{26}$; căutând, $5\cdot 21=105=4\cdot 26+1$, deci ${\hat{5}}^{-1}=\widehat{21}$. Din $y=\hat{5}x+\hat{3}$ obținem $\hat{5}x=y-\hat{3}$, deci $x=\widehat{21}(y-\hat{3})$. Codificarea e inversabilă tocmai pentru că $\hat{5}$ e o unitate a inelului ${\mathbb{Z}}_{26}$; cu un coeficient ca $\widehat{13}$, care nu e prim cu $26$, mesajul nu s-ar mai putea decoda.

10. Cum $20=2^2\cdot 5$, sunt prime cu $20$ clasele al căror reprezentant nu se divide nici cu $2$, nici cu $5$: $U({\mathbb{Z}}_{20})=\{\hat{1},\hat{3},\hat{7},\hat{9},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{17},\widehat{19}\}$, opt elemente.

11. Sunt inversabile exact funcțiile care nu se anulează în niciun punct, inversul fiind $\frac{1}{f}$. Exemplu de funcție inversabilă: $f(x)=x^2+1$, cu inversul $\frac{1}{x^2+1}$, definit pentru orice $x$ real. Exemplu de funcție neinversabilă: $g(x)=x$, care se anulează în $0$: dacă ar exista $h$ cu $g(x)h(x)=1$ pentru orice $x$, atunci pentru $x=0$ am obține $0=1$, fals.

12. Sunt prime cu $8$ clasele impare: $\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}$. Pătratele: ${\hat{1}}^2=\hat{1}$, ${\hat{3}}^2=\hat{9}=\hat{1}$, ${\hat{5}}^2=\widehat{25}=\hat{1}$, ${\hat{7}}^2=\widehat{49}=\hat{1}$. Deci fiecare element e propriul invers, iar grupul nu este ciclic.

13. ${\hat{2}}^1=\hat{2}$, ${\hat{2}}^2=\hat{4}$, ${\hat{2}}^3=\hat{8}=\hat{3}$, ${\hat{2}}^4=\hat{6}=\hat{1}$. Am obținut toate cele patru elemente ale lui $U({\mathbb{Z}}_5)=\{\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\}$, deci $\mathrm{ord}(\hat{2})=4$ și $\hat{2}$ generează grupul.

14. a) Sunt prime cu $15=3\cdot 5$ clasele care nu se divid nici cu $3$, nici cu $5$: $U({\mathbb{Z}}_{15})=\{\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{7},\hat{8},\widehat{11},\widehat{13},\widehat{14}\}$. b) Cum $\hat{4}\cdot \hat{4}=\widehat{16}=\hat{1}$, avem ${\hat{4}}^{-1}=\hat{4}$, deci $x=\hat{4}\cdot \hat{7}=\widehat{28}=\widehat{13}$; verificare: $\hat{4}\cdot \widehat{13}=\widehat{52}=\hat{7}$, pentru că $52=3\cdot 15+7$. ✓ c) $(6,15)=3>1$, deci $\hat{6}$ nu e inversabilă; e chiar divizor al lui zero, pentru că $\hat{6}\cdot \hat{5}=\widehat{30}=\hat{0}$.

15. ${\hat{3}}^{-1}=\widehat{11}$ (pentru că $33=2\cdot 16+1$) și ${\hat{5}}^{-1}=\widehat{13}$ (pentru că $65=4\cdot 16+1$). Produsul: $\hat{3}\hat{5}=\widehat{15}$, iar ${\widehat{15}}^{-1}=\widehat{15}$, pentru că $225=14\cdot 16+1$. Pe de altă parte, ${\hat{5}}^{-1}{\hat{3}}^{-1}=\widehat{13}\cdot \widehat{11}=\widehat{143}=\widehat{15}$, pentru că $143=8\cdot 16+15$. Egale. ✓

16. Norma e multiplicativă, deci din $zw=1$ rezultă $N(z)N(w)=1$ cu $N(z),N(w)\in \mathbb{N}$, adică $N(z)=1$. Ecuația $a^2+b^2=1$ în numere întregi are exact patru soluții, deci $U(\mathbb{Z}[i])=\{1,-1,i,-i\}$, iar toate patru sunt într-adevăr inversabile.

17. Din $x\otimes y=(x+3)(y+3)-3$ rezultă că elementul unitate $u$ verifică $(x+3)(u+3)=x+3$ pentru orice $x$, deci $u+3=1$ și $u=-2$. Elementul $x$ e inversabil dacă $(x+3)(y+3)=1$ are soluție întreagă, adică dacă $x+3\in U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$, deci $x\in \{-4,-2\}$. Verificare: $(-4)\otimes (-4)=16-12-12+6=-2$. ✓

18. Avem $(1+\sqrt{2})(-1+\sqrt{2})=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+2=1$, iar $-1+\sqrt{2}\in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, deci $1+\sqrt{2}$ este inversabil. Conform teoremei, $U(\mathbb{Z}[\sqrt{2}])$ e grup, deci conține toate puterile lui $1+\sqrt{2}$: $(1+\sqrt{2}{)}^2=3+2\sqrt{2}$, $(1+\sqrt{2}{)}^3=7+5\sqrt{2}$ și așa mai departe. Cum $1+\sqrt{2}>1$, puterile sale sunt numere reale strict crescătoare, deci distincte două câte două, iar grupul are o infinitate de elemente. Deosebirea față de $\mathbb{Z}[i]$, unde erau doar patru unități, vine din faptul că aici norma $a^2-2b^2$ ia valoarea $\pm 1$ pentru o infinitate de perechi de întregi.

De reținut

• Un element $a$ al unui inel este inversabil dacă există $b$ în inel cu $ab=ba=1$; inversul este unic și se notează $a^{-1}$, iar mulțimea tuturor elementelor inversabile se notează $U(A)$ și se numește grupul unităților inelului.
• Mulțimea $U(A)$ este întotdeauna grup față de înmulțirea inelului, iar demonstrația folosește formula $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$, asociativitatea moștenită, faptul că $1$ e inversabil și faptul că inversul unui element inversabil este inversabil.
• Grupurile unităților inelelor-etalon sunt $U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$, $U(\mathbb{Q})={\mathbb{Q}}^{\ast }$, $U({\mathbb{Z}}_n)=\{\hat{a}\mid (a,n)=1\}$, $U({\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}))=G{L}_n(\mathbb{R})$ și $U(\mathbb{Z}[i])=\{1,-1,i,-i\}$.
• Un element inversabil nu poate fi niciodată divizor al lui zero, iar în inelele ${\mathbb{Z}}_n$ fiecare clasă nenulă este exact una dintre cele două: ori unitate, ori divizor al lui zero.
• O ecuație $\hat{a}x=\hat{b}$ în ${\mathbb{Z}}_n$ are soluție unică atunci când $\hat{a}\in U({\mathbb{Z}}_n)$, iar soluția se obține înmulțind ambii membri cu ${\hat{a}}^{-1}$.

Greșeli frecvente

• Se scrie $(ab{)}^{-1}=a^{-1}{b}^{-1}$. Ordinea corectă este inversată: $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$. În inelele comutative cele două coincid, dar la matrice greșeala duce la un rezultat fals și se taie în barem.
• Se include $0$ în $U(A)$. Elementul nul nu este niciodată inversabil într-un inel nenul, pentru că $0\cdot b=0$ pentru orice $b$. Lista unităților începe întotdeauna cu $1$.
• Se caută inversul unei clase înainte de a verifica dacă există. În ${\mathbb{Z}}_{12}$, clasa $\hat{9}$ nu are invers, pentru că $(9,12)=3$; orice calcul care „găsește" unul e greșit. Verifică întâi cel mai mare divizor comun.
• Se confundă inversul din inel cu funcția inversă. În inelul funcțiilor, $f^{-1}$ înseamnă $\frac{1}{f}$, nu funcția inversă a lui $f$. Sunt două noțiuni complet diferite, care se scriu la fel.
• Se crede că un element care nu e inversabil e automat divizor al lui zero. Este adevărat în ${\mathbb{Z}}_n$, dar fals în general: în $\mathbb{Z}$, numărul $2$ nu e nici inversabil, nici divizor al lui zero.

Aplică acasă

1. Colecția de grupuri. Scrie, pentru $n$ de la $5$ la $12$, mulțimea $U({\mathbb{Z}}_n)$ și numărul elementelor ei. Pentru $n=8$, $n=9$ și $n=12$, scrie tabla înmulțirii grupului obținut și marchează pe diagonală elementele care sunt propriul lor invers.

2. Cifrul afin. Alege un coeficient $a$ prim cu $26$ și un $b$ oarecare, apoi codifică un cuvânt scurt cu regula „litera de rang $x$ devine litera de rang $\hat{a}x+\hat{b}$" în ${\mathbb{Z}}_{26}$. Dă mesajul unui coleg împreună cu $a$ și $b$ și verifică dacă îl poate decoda folosind ${\hat{a}}^{-1}$. Încearcă apoi cu $a=13$ și explică de ce decodarea devine imposibilă.

3. Unități de matrice. Scrie cinci matrice de ordin $2$ cu elemente întregi din intervalul $[-3,3]$, calculează-le determinanții și separă-le în inversabile și neinversabile. Pentru cele inversabile, calculează inversa și verifică prin înmulțire; pentru cele neinversabile, găsește câte un partener nenul care să dea produsul $O_2$.

Pentru părinți și profesori

Lecția este puntea dintre cele două unități mari de algebră ale clasei: pornește de la un inel și produce un grup. Ea îi arată elevului că structurile nu sunt cutii separate, ci se nasc unele din altele — iar teoremele demonstrate în unitatea despre grupuri devin, dintr-o dată, aplicabile la $U({\mathbb{Z}}_n)$ și la $G{L}_n(\mathbb{R})$.

De verificat în caiet: (1) demonstrația teoremei conține toate cele patru puncte, iar la partea stabilă apare formula $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$ cu ordinea corectă; (2) determinarea lui $U({\mathbb{Z}}_n)$ pornește de la cel mai mare divizor comun, nu din încercări; (3) la fiecare invers găsit există și verificarea prin înmulțire; (4) elevul nu confundă inversul din inel cu funcția inversă. Întrebări de control: „De ce $0$ nu e niciodată inversabil?"; „Câte elemente are $U({\mathbb{Z}}_{12})$ și de ce?"; „Ce legătură e între $U({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}))$ și determinanți?"; „Poate un element inversabil să fie divizor al lui zero?".

La BAC M1, cerința tipică din Subiectul al II-lea este „determinați elementele inversabile ale inelului", pusă fie direct pe ${\mathbb{Z}}_n$, fie pe un inel cu legi date prin formule. Semn că elevul a înțeles: în al doilea caz aduce legea la forma factorizată, identifică elementul unitate și reduce problema la $U(\mathbb{Z})$ sau $U(\mathbb{R})$, în loc să încerce numere la întâmplare.

Întrebări frecvente

Ce este grupul unităților unui inel la clasa a 12-a? Grupul unităților unui inel $A$ este mulțimea $U(A)$ a tuturor elementelor inversabile ale inelului, împreună cu înmulțirea acestuia. Se demonstrează că această mulțime e închisă la înmulțire, conține elementul unitate și conține inversul fiecărui element al său, deci formează grup. Când inelul e comutativ, grupul unităților este comutativ.

Cum determin elementele inversabile ale unui inel? Depinde de inel, dar regula generală e să cauți un criteriu, nu să încerci elemente la întâmplare. În ${\mathbb{Z}}_n$ verifici dacă reprezentantul e prim cu $n$; în inelul matricelor calculezi determinantul; în inelul funcțiilor verifici dacă funcția se anulează undeva; iar la inelele cu legi deghizate aduci legea la forma factorizată și reduci problema la inelul de plecare.

Care sunt elementele inversabile din ${\mathbb{Z}}_n$? Sunt exact clasele $\hat{a}$ pentru care $(a,n)=1$, adică cele al căror reprezentant este prim cu $n$. De exemplu $U({\mathbb{Z}}_{12})=\{\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11}\}$, iar $U({\mathbb{Z}}_9)=\{\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{5},\hat{7},\hat{8}\}$. Numărul lor se notează $\phi (n)$, dar la clasa a 12-a se numără direct, listând clasele.

De ce un element inversabil nu poate fi divizor al lui zero? Pentru că dacă $a$ e inversabil și $ab=0$, înmulțind la stânga cu $a^{-1}$ obținem $b=0$; deci nu există niciun partener nenul pe care $a$ să-l anuleze. Rezultatul e foarte comod la examen: dacă ai găsit inversul unui element, știi imediat că el nu poate fi divizor al lui zero, și invers.

Ce este $G{L}_n(\mathbb{R})$? Este mulțimea matricelor pătratice de ordin $n$ cu elemente reale și cu determinantul nenul, numită grupul liniar general. Ea coincide cu grupul unităților inelului ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, pentru că o matrice este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este diferit de zero. Pentru $n\ge 2$ acest grup nu este comutativ.

Cum se rezolvă o ecuație de gradul întâi în ${\mathbb{Z}}_n$? Dacă coeficientul este o unitate, adică e prim cu $n$, se înmulțesc ambii membri cu inversul lui și se obține soluția unică. Dacă nu este, coeficientul e divizor al lui zero, iar ecuația poate avea mai multe soluții sau niciuna; atunci se verifică toate cele $n$ clase. Prima întrebare de pus e deci cât face cel mai mare divizor comun dintre coeficient și $n$.

De ce $U(\mathbb{Z})$ are doar două elemente? Pentru că dacă $ab=1$ cu $a$ și $b$ întregi, trecând la module obținem $|a|\cdot |b|=1$, iar produsul a două numere naturale este $1$ numai când amândouă sunt egale cu $1$. Rezultă $a\in \{-1,1\}$, iar ambele sunt inversabile. În $\mathbb{Q}$, în schimb, orice număr nenul are invers.