Grupuri de funcții; Klein: pe scurt

Pe mulțimea $\mathcal{F}(M)$ a funcțiilor $f:M\to M$, compunerea este lege de compoziție asociativă, cu elementul neutru funcția identică $1_M$ — deci $(\mathcal{F}(M),\circ )$ este monoid. Singura axiomă care poate cădea este cea a simetricului: o funcție este simetrizabilă față de compunere dacă și numai dacă este bijectivă, iar simetricul ei este funcția inversă. De aceea toate grupurile de funcții se construiesc din bijecții. Convenția rămâne $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ — întâi cea din dreapta.

Rețeta în patru pași: partea stabilă se arată calculând $f\circ g$; asociativitatea se moștenește; funcția identică trebuie să aparțină mulțimii; inversa fiecărei funcții trebuie să rămână în mulțime. Omotetiile $f_a(x)=ax$, cu $a\ne 0$, dau un grup comutativ, fiindcă $f_a\circ f_b=f_{ab}$; funcțiile afine $f_{a,b}(x)=ax+b$ dau un grup necomutativ, pentru că $f_{a,b}\circ f_{c,d}=f_{ac,ad+b}$, iar termenul $ad+b$ nu este simetric.

Grupul lui Klein este $K=\{f_1,f_2,f_3,f_4\}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, cu $f_1(x)=x$, $f_2(x)=-x$, $f_3(x)=\frac{1}{x}$, $f_4(x)=-\frac{1}{x}$: grup comutativ cu patru elemente, în care fiecare element este propriul simetric. Abstract, $\{e,a,b,c\}$ cu $a^2=b^2=c^2=e$ și $ab=c$ — compunerea a două elemente diferite de $e$ și diferite între ele dă al treilea.

Exerciții din această mini-lecție

1. O funcție $f:M\to M$ este simetrizabilă în raport cu compunerea dacă și numai dacă este:

   • a) injectivă
   • b) bijectivă
   • c) surjectivă
   • d) crescătoare
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) bijectivă

   Simetricul cerut este $g$ cu $f\circ g=g\circ f=1_M$, adică funcția inversă, care există exact pentru funcțiile bijective. Injectivitatea sau surjectivitatea singure nu ajung: pe $\mathbb{R}$, funcția $f(x)=e^x$ este injectivă fără să fie surjectivă, deci nu are inversă definită pe tot $\mathbb{R}$. Monotonia (varianta d) nu are nicio legătură cu existența simetricului.

2. În grupul lui Klein, cu $f_1(x)=x$, $f_2(x)=-x$, $f_3(x)=\frac{1}{x}$ și $f_4(x)=-\frac{1}{x}$ definite pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, compunerea $f_2\circ f_3$ este:

   • a) $f_4$
   • b) $f_3$
   • c) $f_1$
   • d) $f_2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $f_4$

   Aplicăm întâi funcția din dreapta: $(f_2\circ f_3)(x)=f_2\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x}=f_4(x)$. Rezultatul ilustrează regula grupului lui Klein: compunerea a două elemente diferite între ele și diferite de elementul neutru dă al treilea. Varianta $f_1$ ar însemna că $f_2$ și $f_3$ sunt simetrice una alteia, ceea ce e fals — fiecare este propriul simetric.

3. Mulțimea $H=\{f_1,f_2,f_3\}$, obținută scoțând $f_4$ din grupul lui Klein:

   • a) este grup comutativ
   • b) nu este grup, pentru că $f_3$ nu este bijectivă
   • c) nu este grup, pentru că nu este parte stabilă
   • d) nu este grup, pentru că nu conține elementul neutru
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) nu este grup, pentru că nu este parte stabilă

   Discuția se oprește la pasul $0$: $(f_2\circ f_3)(x)=-\frac{1}{x}=f_4(x)$, iar $f_4\notin H$. Varianta b este falsă — $f_3(x)=\frac{1}{x}$ este bijectivă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, fiind propria inversă —, iar d la fel, fiindcă $f_1$ este chiar funcția identică. Concluzia de reținut: nu poți arunca un element dintr-un grup finit și să speri că rămâne grup.