Grupuri de funcții; grupul lui Klein

După numere și matrice, a treia mare familie de exemple din programa de clasa a 12-a este cea a mulțimilor de funcții luate față de compunere, iar vedeta ei este grupul lui Klein — un grup cu patru elemente în care fiecare element este propriul simetric. Programa cere explicit „identificarea unor mulțimi de funcții pe care compunerea acestora să determine un grup comutativ", iar tabla acestui grup este una dintre puținele table pe care e bine să le știi pe de rost. Grupurile de funcții sunt mulțimile de funcții bijective care, față de compunere, nu ies din ele însele și își conțin funcția identică și inversele; cel mai cunoscut dintre ele este grupul lui Klein.

Ideea de bază e simplă și o ai deja. Compunerea funcțiilor este asociativă și are element neutru — funcția identică. Ce mai lipsește pentru un grup este simetricul, iar acesta există exact pentru funcțiile bijective. Așadar orice mulțime de funcții bijective care e închisă la compunere și conține inversele are toate șansele să fie grup; rămâne să verifici, de fiecare dată, cei patru pași. Lecția construiește întâi mecanismul general, apoi îl aplică pe trei exemple: omotetiile, funcțiile afine (primul grup de funcții necomutativ) și grupul lui Klein, cu ambele lui înfățișări — cea concretă, pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, și cea abstractă, dată prin tablă.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici de ce compunerea funcțiilor este o lege de compoziție asociativă, cu elementul neutru $1_M$.
• Vei ști să recunoști care funcții sunt simetrizabile față de compunere și de ce grupurile de funcții se construiesc din bijecții.
• Vei ști să verifici, în patru pași, că o mulțime concretă de funcții formează grup, și să scrii tabla ei.
• Vei ști să scrii grupul lui Klein în realizarea concretă $\{f_1,f_2,f_3,f_4\}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ și în forma abstractă $\{e,a,b,c\}$.
• Vei ști să dai un exemplu de grup de funcții necomutativ și să-l justifici printr-un contraexemplu numeric.
• Vei ști să rezolvi ecuații de tipul $f\circ X=g$ în grupuri de funcții.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un grup de funcții?

Un grup de funcții este o mulțime $G$ de funcții definite pe aceeași mulțime $M$ și cu valori în $M$, luată împreună cu compunerea funcțiilor, care îndeplinește cele trei axiome ale grupului: compunerea nu scoate rezultatul din $G$, este asociativă, funcția identică aparține lui $G$ și fiecare funcție din $G$ are inversa tot în $G$.

Pornim de la ce se știe. Pentru o mulțime nevidă $M$, notăm cu $\mathcal{F}(M)$ mulțimea tuturor funcțiilor $f:M\to M$. Compunerea, definită prin $(f\circ g)(x)=f(g(x))$, este lege de compoziție pe $\mathcal{F}(M)$: compunând două funcții de la $M$ la $M$ obții tot o funcție de la $M$ la $M$. Ea este asociativă, proprietate demonstrată la operații cu funcții și compunerea funcțiilor: pentru orice $x\in M$,

$$((f\circ g)\circ h)(x)=f\left(g\right(h(x)\left)\right)=(f\circ (g\circ h))(x).$$

Elementul neutru este funcția identică $1_M:M\to M$, $1_M(x)=x$, pentru care $f\circ 1_M=1_M\circ f=f$. Prin urmare $(\mathcal{F}(M),\circ )$ este monoid. Ca la matrice, singura axiomă care poate cădea este cea a simetricului — și exact ea decide totul.

⚠️ Ordinea. În $f\circ g$ se aplică întâi $g$, apoi $f$. Este aceeași convenție ca la permutări, din lecția despre grupuri de matrice și de permutări, și e sursa numărul unu de greșeli în acest capitol.

2. Care funcții au simetric față de compunere?

Răspunsul e scurt: exact cele bijective. O funcție $f:M\to M$ este simetrizabilă în raport cu compunerea dacă există $g:M\to M$ cu $f\circ g=g\circ f=1_M$, adică dacă $f$ este inversabilă — iar din funcții injective, surjective, bijective știi că o funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă. Simetricul este atunci funcția inversă $f^{-1}$, care este ea însăși bijectivă.

Rezultă rețeta pe care o vei aplica toată lecția. Ca să arăți că o mulțime $G$ de funcții formează grup față de compunere:

• Pasul 0. Verifici că $G$ este parte stabilă: compunând două funcții din $G$, rezultatul rămâne în $G$. Practic, calculezi $f\circ g$ și arăți că are aceeași formă cu funcțiile din mulțime.
• Pasul 1. Asociativitatea se moștenește de la compunerea funcțiilor. Un rând, cu justificarea.
• Pasul 2. Arăți că funcția identică aparține lui $G$ — de obicei corespunde unei valori particulare a parametrului.
• Pasul 3. Arăți că fiecare funcție din $G$ este bijectivă și că inversa ei este tot în $G$.

Un exemplu instantaneu: mulțimea tuturor funcțiilor bijective de la $M$ la $M$ formează grup. Când $M=\{1,2,\dots ,n\}$, acest grup este chiar $(S_n,\circ )$, întâlnit în lecția precedentă. Grupurile de funcții din lecția de față sunt însă definite pe mulțimi infinite, ca $\mathbb{R}$ sau ${\mathbb{R}}^{\ast }$, și sunt date prin formule.

3. Primul exemplu: omotetiile $f_a(x)=ax$

Fie $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ și $f_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f_a(x)=ax$. Notăm $G=\{f_a\mid a\in {\mathbb{R}}^{\ast }\}$.

Pasul 0. $(f_a\circ f_b)(x)=f_a(f_b(x))=f_a(bx)=a(bx)=(ab)x=f_{ab}(x)$. Cum $a\ne 0$ și $b\ne 0$ dau $ab\ne 0$, avem $f_a\circ f_b=f_{ab}\in G$.

Pasul 1. Asociativitatea se moștenește de la compunerea funcțiilor.

Pasul 2. $f_1(x)=1\cdot x=x$, deci $f_1=1_{\mathbb{R}}$ este funcția identică și aparține lui $G$ (se obține pentru $a=1$).

Pasul 3. Din $f_a\circ f_{1/a}=f_{a\cdot \frac{1}{a}}=f_1$ și, la fel, $f_{1/a}\circ f_a=f_1$, rezultă că simetricul lui $f_a$ este $f_{1/a}\in G$.

Deci $(G,\circ )$ este grup, și încă unul comutativ: $f_a\circ f_b=f_{ab}=f_{ba}=f_b\circ f_a$. Observă tiparul: regula de compunere a copiat înmulțirea numerelor, iar toate proprietățile grupului s-au transmis odată cu ea. Este exact mecanismul de care se ocupă, mai târziu, lecția despre izomorfisme de grupuri.

4. Un grup de funcții necomutativ: funcțiile afine

Ridicăm ștacheta. Pentru $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ și $b\in \mathbb{R}$ definim $f_{a,b}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f_{a,b}(x)=ax+b$, și luăm $G=\{f_{a,b}\mid a\in {\mathbb{R}}^{\ast },b\in \mathbb{R}\}$.

Pasul 0. Compunem, cu atenție la ordine:

$$(f_{a,b}\circ f_{c,d})(x)=f_{a,b}(cx+d)=a(cx+d)+b=(ac)x+(ad+b)=f_{ac,ad+b}(x).$$

Cum $a\ne 0$ și $c\ne 0$, avem $ac\ne 0$, deci rezultatul este tot din $G$.

Pasul 1. Asociativitatea se moștenește.

Pasul 2. $f_{1,0}(x)=x$ este funcția identică și aparține lui $G$.

Pasul 3. Rezolvăm $f_{a,b}\circ f_{c,d}=f_{1,0}$, adică $ac=1$ și $ad+b=0$, de unde $c=\frac{1}{a}$ și $d=-\frac{b}{a}$. Deci simetricul lui $f_{a,b}$ este $f_{\frac{1}{a},-\frac{b}{a}}$, adică funcția $x\mapsto \frac{x-b}{a}$, care aparține lui $G$.

Prin urmare $(G,\circ )$ este grup. Nu este însă comutativ, iar contraexemplul se scrie în două rânduri. Fie $u(x)=2x$ și $v(x)=x+1$. Atunci $(u\circ v)(x)=2(x+1)=2x+2$, în timp ce $(v\circ u)(x)=2x+1$. Pentru $x=3$ obținem $8$, respectiv $7$ — valori diferite, deci $u\circ v\ne v\circ u$.

Reține deosebirea: la omotetii, parametrii se înmulțeau pur și simplu, iar înmulțirea numerelor e comutativă; la funcțiile afine apare termenul $ad+b$, care nu este simetric în cele două perechi de parametri, și tocmai el strică comutativitatea.

5. Grupul lui Klein: cum arată realizarea concretă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$?

Acum construim grupul cerut de programă. Pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ definim patru funcții:

$$f_1(x)=x,f_2(x)=-x,f_3(x)=\frac{1}{x},f_4(x)=-\frac{1}{x}.$$

Toate patru sunt bine definite pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ (nu se împarte la zero) și iau valori tot în ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Mulțimea $K=\{f_1,f_2,f_3,f_4\}$, împreună cu compunerea, se numește grupul lui Klein.

Verificăm partea stabilă calculând toate compunerile. Sunt nouă calcule utile, plus cele cu $f_1$, care se rezolvă de la sine:

$$(f_2\circ f_2)(x)=-(-x)=x,(f_3\circ f_3)(x)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x,(f_4\circ f_4)(x)=-\frac{1}{-\frac{1}{x}}=x;$$

$$(f_2\circ f_3)(x)=-\frac{1}{x},(f_3\circ f_2)(x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x},(f_2\circ f_4)(x)=-\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x};$$

$$(f_4\circ f_2)(x)=-\frac{1}{-x}=\frac{1}{x},(f_3\circ f_4)(x)=\frac{1}{-\frac{1}{x}}=-x,(f_4\circ f_3)(x)=-\frac{1}{\frac{1}{x}}=-x.$$

Toate rezultatele sunt din $K$, deci mulțimea este parte stabilă. Punem totul într-o tablă, cu convenția obișnuită: în celula de la intersecția liniei lui $u$ cu coloana lui $v$ scriem $u\circ v$.

Din tablă citim restul demonstrației. Elementul neutru este $f_1$, adică funcția identică: linia și coloana ei reproduc antetul. Simetricele: diagonala principală conține numai $f_1$, deci fiecare element este propriul său simetric, $f_2^{-1}=f_2$, $f_3^{-1}=f_3$, $f_4^{-1}=f_4$. Comutativitatea: tabla este simetrică față de diagonala principală. Asociativitatea se moștenește de la compunerea funcțiilor, deci nu se verifică pe cele $64$ de triplete.

Concluzie: $(K,\circ )$ este grup comutativ (abelian) cu $\mathrm{card}K=4$.

6. Cum se scrie tabla abstractă $\{e,a,b,c\}$?

Grupul lui Klein se întâlnește și fără funcții, dat direct prin tabla lui. Notăm elementele $e$, $a$, $b$, $c$, unde $e$ este elementul neutru:

Toată informația se strânge în două rânduri de text: $a\ast a=b\ast b=c\ast c=e$ și $a\ast b=c$. Din acestea se deduce restul tablei: $b\ast c=a$, $a\ast c=b$, iar comutativitatea face ca celulele simetrice să coincidă. Regula de memorat, mai plastic: compunerea a două elemente diferite și nenule dă al treilea.

Legătura dintre cele două forme este evidentă dacă punem $e=f_1$, $a=f_2$, $b=f_3$, $c=f_4$: tabla de la subsecțiunea anterioară se transformă, literă cu literă, în cea de aici. Faptul că două grupuri diferite au „aceeași tablă după redenumire" are un nume și o teorie, pe care le vei studia la izomorfisme de grupuri și compararea tablelor; tot acolo se compară grupul lui Klein cu celălalt grup cu patru elemente, în care există un element ce le produce pe toate celelalte.

Grupul lui Klein apare și în geometrie — ca mulțimea celor patru simetrii care duc un dreptunghi peste el însuși — și în aritmetică, așa cum vei vedea în lecția despre grupurile claselor de resturi. Transformările geometrice își au însă lecția lor, grupuri de translații și rotații.

7. Când o mulțime de funcții nu este grup?

Cel mai des, pentru că nu este parte stabilă. Luăm mulțimea $H=\{f_1,f_2,f_3\}$, adică grupul lui Klein din care am scos $f_4$. Compunând două elemente rămase,

$$(f_2\circ f_3)(x)=-\frac{1}{x}=f_4(x),$$

obținem o funcție care nu mai este în $H$. Discuția se oprește la pasul 0: $H$ nu este parte stabilă, deci nu este grup. Concluzia practică: nu poți arunca un element dintr-un grup finit și să speri că rămâne grup.

A doua sursă de eșec este lipsa bijectivității. Mulțimea funcțiilor $g_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g_a(x)=ax$, cu $a\in \mathbb{R}$ — adică omotetiile de la subsecțiunea a treia, dar cu $a=0$ permis — nu este grup: funcția $g_0$, care duce totul în $0$, nu este bijectivă și nu are simetric. Este exact greșeala de la $(\mathbb{Q},\cdot )$, îmbrăcată în funcții.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Compunere în ambele ordini

Fie $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$ și $g(x)=3x-4$. Calculați $f\circ g$ și $g\circ f$ și stabiliți dacă cele două funcții coincid.

Rezolvare. Pentru $f\circ g$ aplicăm întâi $g$: $(f\circ g)(x)=f(3x-4)=2(3x-4)+1=6x-7$. Pentru $g\circ f$ aplicăm întâi $f$: $(g\circ f)(x)=g(2x+1)=3(2x+1)-4=6x-1$.

Cele două funcții au aceeași pantă, dar termeni liberi diferiți, deci $f\circ g\ne g\circ f$. Pentru $x=0$ obținem $-7$, respectiv $-1$ — un contraexemplu numeric este suficient ca să încheie discuția.

Exemplul 2 — Verificarea unei părți stabile în grupul lui Klein

Arătați, prin calcul direct, că $f_3\circ f_4=f_2$ și că $f_4\circ f_4=f_1$, unde $f_2(x)=-x$, $f_3(x)=\frac{1}{x}$ și $f_4(x)=-\frac{1}{x}$ sunt funcții definite pe $\mathbb{R}^{}$.*

Rezolvare. Aplicăm întâi funcția din dreapta. Pentru orice $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$:

$$(f_3\circ f_4)(x)=f_3\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{-\frac{1}{x}}=-x=f_2(x).$$

$$(f_4\circ f_4)(x)=f_4\left(-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{-\frac{1}{x}}=x=f_1(x).$$

Cele două egalități au loc pentru orice $x$ din domeniu, deci sunt egalități de funcții. A doua arată că $f_4$ este propriul ei simetric.

Exemplul 3 — Inversa unei funcții afine

Determinați simetricul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-5$, în grupul funcțiilor afine.

Rezolvare. Căutăm $g(x)=cx+d$ cu $f\circ g=1_{\mathbb{R}}$. Avem $(f\circ g)(x)=3(cx+d)-5=3cx+3d-5$, iar condiția $3c=1$ și $3d-5=0$ dă $c=\frac{1}{3}$ și $d=\frac{5}{3}$. Deci $g(x)=\frac{x}{3}+\frac{5}{3}=\frac{x+5}{3}$.

Verificare în cealaltă ordine: $(g\circ f)(x)=\frac{(3x-5)+5}{3}=x$. Într-un grup, o singură verificare ar fi fost suficientă, pentru că simetricul este unic; a doua e o plasă de siguranță pentru calcule.

Exemplul 4 — Ecuație într-un grup de funcții

Rezolvați ecuația $f\circ X=g$, unde $f(x)=2x$ și $g(x)=6x+4$ sunt din grupul funcțiilor afine.

Rezolvare. Compunem la stânga cu $f^{-1}$, unde $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$:

$$f^{-1}\circ (f\circ X)=f^{-1}\circ g⟹(f^{-1}\circ f)\circ X=f^{-1}\circ g⟹X=f^{-1}\circ g.$$

Calculăm: $X(x)=f^{-1}(6x+4)=\frac{6x+4}{2}=3x+2$.

Verificare: $(f\circ X)(x)=2(3x+2)=6x+4=g(x)$. Cum grupul nu este comutativ, precizarea „la stânga" este obligatorie în redactare.

Exemplul 5 — O mulțime care nu este grup

Arătați că mulțimea $H=\left\{h_1(x)=x,h_2(x)=-x,h_3(x)=\frac{1}{x}\right\}$, cu funcțiile definite pe $\mathbb{R}^{}$, nu formează grup în raport cu compunerea.*

Rezolvare. Verificăm pasul 0. Avem $(h_2\circ h_3)(x)=h_2\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x}$. Funcția obținută nu coincide cu niciuna dintre cele trei: nu e $h_1$, pentru că $-\frac{1}{1}=-1\ne 1$; nu e $h_2$, pentru că în $x=1$ dă $-1$, iar $h_2(1)=-1$, dar în $x=2$ dă $-\frac{1}{2}$, în timp ce $h_2(2)=-2$; nu e $h_3$, pentru că valorile au semne opuse. Deci $H$ nu este parte stabilă și discuția se încheie: nu avem grup.

Ca să obținem grup, trebuie adăugată tocmai funcția lipsă, $f_4(x)=-\frac{1}{x}$ — și ajungem la grupul lui Klein.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pentru fiecare $a \in \mathbb{R}^{}$seconsider\breve{a}funcția$f_a : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$,$f_a(x) = ax + a - 1$,șimulțimea$G = {f_a \mid a \in \mathbb{R}^{}}$. a) Arătați că $f_a\circ f_b=f_{ab}$ pentru orice $a, b \in \mathbb{R}^{}$.* b) Arătați că $(G,\circ )$ este grup comutativ. c) Rezolvați în $G$ ecuația $f_3\circ X=f_{12}$.

Rezolvare. a) Aplicăm întâi $f_b$:

$$(f_a\circ f_b)(x)=f_a(bx+b-1)=a(bx+b-1)+a-1=abx+ab-a+a-1=abx+ab-1=f_{ab}(x).$$

Egalitatea are loc pentru orice $x\in \mathbb{R}$, deci $f_a\circ f_b=f_{ab}$.

b) Pasul 0: din $a\ne 0$ și $b\ne 0$ rezultă $ab\ne 0$, deci $f_{ab}\in G$. Pasul 1: asociativitatea se moștenește de la compunerea funcțiilor. Pasul 2: $f_1(x)=1\cdot x+1-1=x$, deci $f_1$ este funcția identică și aparține lui $G$; din a) avem $f_a\circ f_1=f_a=f_1\circ f_a$. Pasul 3: pentru $a\ne 0$, numărul $\frac{1}{a}$ este tot nenul, iar $f_a\circ f_{1/a}=f_1=f_{1/a}\circ f_a$, deci simetricul lui $f_a$ este $f_{1/a}\in G$. În fine, $f_a\circ f_b=f_{ab}=f_{ba}=f_b\circ f_a$, deci grupul este comutativ.

c) Compunem la stânga cu simetricul lui $f_3$, adică cu $f_{1/3}$:

$$f_{1/3}\circ (f_3\circ X)=f_{1/3}\circ f_{12}⟹X=f_{\frac{1}{3}\cdot 12}=f_4.$$

Deci $X(x)=4x+3$. Verificare: $(f_3\circ f_4)(x)=3(4x+3)+2=12x+11=f_{12}(x)$.

Să exersăm

La fiecare compunere, scrie mai întâi „întâi cea din dreapta". La fiecare mulțime de funcții, verifică pasul 0 înainte de orice: cele mai multe exerciții se decid acolo.

1. Pentru $f(x)=2x+1$ și $g(x)=3x-4$, calculează $f\circ g$ și $g\circ f$.

2. În grupul lui Klein, calculează prin compunere directă $f_2\circ f_3$, $f_3\circ f_2$ și $f_4\circ f_4$.

3. Scrie simetricul fiecărui element al grupului lui Klein, citindu-l din tablă.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În grupul lui Klein există un element care nu este propriul lui simetric."

5. Arată că mulțimea $G=\{f_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f_a(x)=ax\mid a\in {\mathbb{R}}^{\ast }\}$ este grup față de compunere și determină simetricul lui $f_5$.

6. Determină inversa funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+7$.

7. Dă un exemplu de două funcții afine pentru care $u\circ v\ne v\circ u$ și indică o valoare a lui $x$ în care rezultatele diferă.

8. Arată că mulțimea $\left\{x,-x,\frac{1}{x}\right\}$ de funcții pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu este parte stabilă față de compunere.

9. Rezolvă ecuația $f\circ X=g$, unde $f(x)=2x$ și $g(x)=6x+4$.

10. (Problemă aplicată.) Un editor de imagini are două butoane: „oglindire pe orizontală" și „oglindire pe verticală". Apăsând de două ori același buton, imaginea revine la forma inițială; apăsând ambele butoane, se obține rotirea cu $180^{\circ }$. Arată că mulțimea formată din cele patru operații — a nu face nimic, cele două oglindiri și rotirea — se comportă exact ca grupul lui Klein.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Compunerea funcțiilor este comutativă."

12. Câte elemente are grupul tuturor funcțiilor bijective definite pe mulțimea $\{1,2,3\}$?

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f_a(x)=ax+a-1$, cu $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, și $G=\{f_a\mid a\in {\mathbb{R}}^{\ast }\}$. a) Calculează $f_2\circ f_3$. b) Determină elementul neutru al lui $(G,\circ )$ și simetricul lui $f_a$. c) Rezolvă ecuația $f_3\circ X=f_{12}$.

14. Pentru aceleași funcții $f_a$, verifică prin calcul că $f_{2/3}\circ f_{3/2}$ este funcția identică.

15. Aparține funcția $f(x)=2x$, definită pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, grupului lui Klein? Justifică.

16. În tabla abstractă a grupului lui Klein, calculează $a\ast (b\ast c)$ și $(a\ast b)\ast c$ și compară rezultatele.

17. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un grup de funcții față de compunere, elementul neutru este întotdeauna funcția identică."

18. (Provocare.) Se consideră funcțiile definite pe $\mathbb{R}\setminus \{0,1\}$: $g_1(x)=x$, $g_2(x)=\frac{1}{x}$, $g_3(x)=1-x$, $g_4(x)=\frac{1}{1-x}$, $g_5(x)=\frac{x-1}{x}$, $g_6(x)=\frac{x}{x-1}$. Arată că $g_2\circ g_3=g_4$ și $g_3\circ g_2=g_5$ și explică ce se poate spune despre comutativitatea acestei mulțimi de funcții.

Răspunsuri și explicații

1. $(f\circ g)(x)=2(3x-4)+1=6x-7$ și $(g\circ f)(x)=3(2x+1)-4=6x-1$. Funcțiile diferă, deci compunerea nu e comutativă.

2. $(f_2\circ f_3)(x)=-\frac{1}{x}=f_4(x)$; $(f_3\circ f_2)(x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=f_4(x)$; $(f_4\circ f_4)(x)=-\frac{1}{-\frac{1}{x}}=x=f_1(x)$.

3. Fiecare element este propriul simetric: $f_1^{-1}=f_1$, $f_2^{-1}=f_2$, $f_3^{-1}=f_3$, $f_4^{-1}=f_4$. Se citește din faptul că diagonala principală a tablei conține numai $f_1$.

4. Fals. Toate cele patru elemente verifică $u\circ u=f_1$, deci fiecare este propriul simetric. Aceasta este chiar proprietatea care deosebește grupul lui Klein de celălalt grup cu patru elemente.

5. $f_a\circ f_b=f_{ab}$, cu $ab\ne 0$, deci mulțimea e parte stabilă; asociativitatea se moștenește; $f_1$ este funcția identică; simetricul lui $f_a$ este $f_{1/a}$. Pentru $a=5$, simetricul este $f_{1/5}$, adică $x\mapsto \frac{x}{5}$.

6. Din $4y+7=x$ rezultă $y=\frac{x-7}{4}$, deci $f^{-1}(x)=\frac{x-7}{4}$. Verificare: $f\left(\frac{x-7}{4}\right)=4\cdot \frac{x-7}{4}+7=x$.

7. De exemplu $u(x)=2x$ și $v(x)=x+1$: $(u\circ v)(x)=2x+2$, iar $(v\circ u)(x)=2x+1$. În $x=3$ se obține $8$, respectiv $7$.

8. $(f_2\circ f_3)(x)=-\frac{1}{x}$, funcție care nu se află în mulțime, deci mulțimea nu e parte stabilă. Ca să devină grup, ar trebui adăugată $-\frac{1}{x}$, obținându-se grupul lui Klein.

9. $X=f^{-1}\circ g$, cu $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$, deci $X(x)=\frac{6x+4}{2}=3x+2$. Verificare: $2(3x+2)=6x+4$.

10. Notăm $e$ operația „nu face nimic", $a$ oglindirea pe orizontală, $b$ oglindirea pe verticală și $c$ rotirea cu $180^{\circ }$. Din enunț, $a\ast a=b\ast b=e$, iar $a\ast b=c$; rotirea aplicată de două ori readuce imaginea, deci $c\ast c=e$. Compunând $c$ cu $a$ se obține $b$, iar $c$ cu $b$ dă $a$. Tabla rezultată este identică, celulă cu celulă, cu tabla abstractă din lecție, deci cele patru operații formează grupul lui Klein.

11. Fals. Contraexemplul de la exercițiul $1$ este suficient: $f\circ g=6x-7$, iar $g\circ f=6x-1$. Compunerea este comutativă doar în cazuri particulare, cum sunt omotetiile.

12. Sunt $3!=6$ funcții bijective, adică exact permutările de grad $3$; grupul obținut este $(S_3,\circ )$, studiat în lecția precedentă.

13. a) $f_2\circ f_3=f_6$, adică $x\mapsto 6x+5$. b) Elementul neutru este $f_1$, funcția identică; simetricul lui $f_a$ este $f_{1/a}$. c) $X=f_{1/3}\circ f_{12}=f_4$, adică $X(x)=4x+3$.

14. $f_{2/3}\circ f_{3/2}=f_{\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}}=f_1$, adică funcția identică. Prin calcul direct: $\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}-1=x+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=x$.

15. Nu. Grupul lui Klein are exact patru elemente, iar $f(x)=2x$ nu coincide cu niciunul dintre ele: în $x=1$ dă $2$, în timp ce cele patru funcții dau $1$, $-1$, $1$ și $-1$. În plus, mulțimea obținută prin adăugarea ei nu ar mai fi parte stabilă.

16. $b\ast c=a$, deci $a\ast (b\ast c)=a\ast a=e$. Pe de altă parte $a\ast b=c$, deci $(a\ast b)\ast c=c\ast c=e$. Rezultatele coincid, ceea ce ilustrează asociativitatea.

17. Adevărat. Elementul neutru al unui grup este unic, iar funcția identică verifică $f\circ 1_M=1_M\circ f=f$ pentru orice funcție. Prin urmare, dacă mulțimea este grup față de compunere, elementul ei neutru nu poate fi decât funcția identică.

18. $(g_2\circ g_3)(x)=g_2(1-x)=\frac{1}{1-x}=g_4(x)$, iar $(g_3\circ g_2)(x)=g_3\left(\frac{1}{x}\right)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}=g_5(x)$. Cum $g_4\ne g_5$, compunerea nu este comutativă pe această mulțime. Se poate verifica, în plus, că mulțimea celor șase funcții este parte stabilă și conține inversele, deci formează un grup necomutativ cu șase elemente.

De reținut

• Compunerea funcțiilor este o lege de compoziție asociativă pe mulțimea funcțiilor de la $M$ la $M$, având ca element neutru funcția identică $1_M$, deci structura obținută este monoid.
• O funcție este simetrizabilă față de compunere dacă și numai dacă este bijectivă, iar simetricul ei este funcția inversă; de aceea toate grupurile de funcții se construiesc din bijecții.
• Verificarea unui grup de funcții are patru pași: partea stabilă se arată calculând $f\circ g$, asociativitatea se moștenește, funcția identică trebuie să aparțină mulțimii, iar inversa fiecărei funcții trebuie să rămână în mulțime.
• Grupul lui Klein este mulțimea $K=\{f_1,f_2,f_3,f_4\}$ a funcțiilor $x$, $-x$, $\frac{1}{x}$, $-\frac{1}{x}$ definite pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, cu compunerea; el este grup comutativ cu patru elemente în care fiecare element este propriul simetric.
• În forma abstractă $\{e,a,b,c\}$, grupul lui Klein este descris complet de relațiile $a\ast a=b\ast b=c\ast c=e$ și $a\ast b=c$, iar compunerea a două elemente diferite și diferite de $e$ dă întotdeauna al treilea.

Greșeli frecvente

• Compunerea în ordine inversă. În $f\circ g$ se aplică întâi $g$. Cine calculează $g(f(x))$ obține alt rezultat și, într-un grup necomutativ, pierde punctul; scrie ordinea pe foaie înainte de fiecare calcul.
• Uitarea domeniului la grupul lui Klein. Funcțiile $\frac{1}{x}$ și $-\frac{1}{x}$ nu sunt definite în $0$, deci grupul se construiește pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, nu pe $\mathbb{R}$. Scrierea „funcții definite pe $\mathbb{R}$" invalidează tot exercițiul.
• Verificarea asociativității pe cazuri. Într-un grup de funcții nu se verifică asociativitatea pe triplete; ea se moștenește de la compunerea funcțiilor. Un elev care începe să testeze cele $64$ de combinații din tabla lui Klein pierde timp fără să câștige puncte.
• Confundarea inversei funcției cu inversul numeric. Simetricul lui $f(x)=3x-5$ în grupul funcțiilor afine este $f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}$, nu $\frac{1}{3x-5}$. Notația $f^{-1}$ înseamnă aici funcția inversă.
• Presupunerea că orice submulțime a unui grup este grup. Scoțând $f_4$ din grupul lui Klein se pierde partea stabilă, pentru că $f_2\circ f_3=f_4$. Orice submulțime trebuie verificată separat, începând cu pasul 0.

Aplică acasă

1. Tabla lui Klein, reconstruită. Scrie pe patru bilețele funcțiile $x$, $-x$, $\frac{1}{x}$, $-\frac{1}{x}$ și, luând perechi la întâmplare, calculează compunerea într-un punct concret, de exemplu $x=2$. Completează astfel tabla și compar-o cu cea din lecție; dacă apar diferențe, verifică dacă nu ai inversat ordinea de compunere.

2. Grupul afin din viața reală. Conversia dintre grade Celsius și Fahrenheit este funcția $f(x)=1,8x+32$. Determină funcția inversă și verifică, pe două valori, că aplicarea celor două funcții una după alta readuce temperatura inițială. Explică apoi de ce ambele funcții aparțin grupului funcțiilor afine.

3. Vânătoarea de părți stabile. Alege trei funcții dintre cele șase de la exercițiul 18 și verifică dacă mulțimea formată din ele este parte stabilă față de compunere. Notează în caiet care alegeri funcționează și care nu; vei descoperi că numărul submulțimilor „bune" este surprinzător de mic.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă un conținut cerut explicit de programa de matematică-informatică: mulțimi de funcții pe care compunerea determină un grup comutativ, cu grupul lui Klein ca exemplu obligatoriu. Dificultatea reală nu este calculul, ci disciplina ordinii la compunere și verificarea sistematică a părții stabile.

De verificat în caiet: (1) la fiecare compunere apare mențiunea „întâi cea din dreapta"; (2) domeniul funcțiilor din grupul lui Klein este scris corect, ${\mathbb{R}}^{\ast }$; (3) asociativitatea nu este verificată pe cazuri, ci moștenită, cu justificare scrisă; (4) tabla grupului lui Klein este completă și corect orientată. Întrebări de control: „Ce funcții au simetric față de compunere?"; „Care sunt cele patru funcții din grupul lui Klein?"; „De ce mulțimea $\{x,-x,1/x\}$ nu e grup?"; „Care este elementul neutru într-un grup de funcții?".

La BAC M1, grupurile de funcții apar în Subiectul al II-lea sub forma unei familii $f_a$ dependente de un parametru, cu cerințe pe subpuncte: formula compunerii, elementul neutru, simetricul, structura de grup și, la final, o ecuație. Semn că elevul a înțeles: după ce obține regula $f_a\circ f_b=f_{ab}$, rezolvă restul subpunctelor fără să mai revină la formula funcției.

Întrebări frecvente

Ce este un grup de funcții? Este o mulțime de funcții definite pe aceeași mulțime și cu valori în ea, luată împreună cu compunerea funcțiilor, care satisface axiomele grupului: compunerea nu iese din mulțime, este asociativă, funcția identică aparține mulțimii și fiecare funcție are inversa tot acolo. Toate elementele unui astfel de grup sunt funcții bijective.

Ce este grupul lui Klein? Este grupul format din cele patru funcții definite pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$: $f_1(x)=x$, $f_2(x)=-x$, $f_3(x)=\frac{1}{x}$ și $f_4(x)=-\frac{1}{x}$, în raport cu compunerea funcțiilor. Este un grup comutativ cu patru elemente, în care fiecare element compus cu el însuși dă funcția identică.

Cum se scrie tabla grupului lui Klein? Se calculează toate cele șaisprezece compuneri și se așază într-un tabel de patru pe patru, cu funcțiile pe prima linie și pe prima coloană, în aceeași ordine. Pe diagonala principală apare numai elementul neutru, iar compunerea a două elemente diferite și nenule dă întotdeauna al treilea element nenul.

Cum arăt că o mulțime de funcții formează grup față de compunere? Se verifică patru lucruri, în ordine: compunerea a două funcții din mulțime rămâne în mulțime; asociativitatea, care se moștenește de la compunerea funcțiilor; prezența funcției identice în mulțime; existența inversei fiecărei funcții, tot în mulțime. Primul pas este cel care elimină majoritatea mulțimilor propuse.

De ce compunerea funcțiilor nu este comutativă? Pentru că ordinea în care aplici două transformări schimbă, în general, rezultatul. De exemplu, pentru $f(x)=2x+1$ și $g(x)=3x-4$ se obține $f\circ g=6x-7$, dar $g\circ f=6x-1$. Există și mulțimi de funcții pe care compunerea devine comutativă, cum sunt omotetiile.

Care este elementul neutru într-un grup de funcții? Este întotdeauna funcția identică $1_M$, definită prin $1_M(x)=x$, pentru că ea verifică $f\circ 1_M=1_M\circ f=f$ pentru orice funcție $f$. Într-o familie dată printr-un parametru, ea corespunde de obicei unei valori particulare a parametrului, de pildă $a=1$.

Cum rezolv ecuația $f\circ X=g$ într-un grup de funcții? Se compune la stânga cu simetricul lui $f$, adică cu funcția inversă $f^{-1}$, și se obține $X=f^{-1}\circ g$. Dacă ecuația ar fi fost $X\circ f=g$, soluția ar fi fost $X=g\circ f^{-1}$. Cele două rezultate diferă, pentru că grupul nu este comutativ.

Unde apar grupurile de funcții în subiectele de Bacalaureat M1? În Subiectul al II-lea, la problema de structuri algebrice: se dă o familie de funcții cu un parametru și se cere formula compunerii, elementul neutru, simetricul și demonstrația structurii de grup. Grupul lui Klein apare mai ales în subpuncte cu tablă completată sau cu recunoașterea proprietăților unui grup cu patru elemente.