Grupuri de matrice și permutări: pe scurt

Grupul liniar general este $G{L}_n(\mathbb{R})=\{A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\mid \det A\ne 0\}$, cu înmulțirea matricelor. Mulțimea tuturor matricelor pătratice nu merge: $({\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}),\cdot )$ este doar monoid, fiindcă matricele cu determinantul nul nu au inversă. Cei patru pași: partea stabilă din $\det (AB)=\det A\cdot \det B\ne 0$; asociativitatea moștenită; $I_n$ cu $\det I_n=1$; iar $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}\ne 0$, deci și inversa rămâne în mulțime. Grupul nu este comutativ, deci ecuația $A\cdot X=B$ dă $X=A^{-1}B$, iar $X\cdot A=B$ dă $X=B{A}^{-1}$ — de care parte compui trebuie scris.

Pentru o familie de matrice, rețeta are patru rânduri: parte stabilă din formula produsului, asociativitate moștenită, neutru $A(0)$, simetric $A(-x)$. Familiile canonice sunt $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $N(a)=\left(\begin{array}{cc}1+a& a\\ -a& 1-a\end{array}\right)$, cu $\det N(a)=1$; amândouă verifică regula „produsul adună parametrii”, deci grupurile obținute sunt comutative.

Mulțimea permutărilor $S_n$ formează grup față de compunere, cu permutarea identică drept element neutru, cu simetricul ${\sigma }^{-1}$ și cu $\mathrm{card}{S}_n=n!$. În $\sigma \circ \tau$ se aplică întâi $\tau$. Grupul $(S_n,\circ )$ este necomutativ pentru orice $n\ge 3$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Mulțimea $G{L}_2(\mathbb{R})$ este formată din matricele $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea:

   • a) $\det A=1$
   • b) $\det A\ne 0$
   • c) $A\ne O_2$
   • d) toate elementele lui $A$ sunt nenule
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\det A\ne 0$

   Criteriul de inversabilitate cere exact $\det A\ne 0$, iar acesta este elementul care lipsea ca $({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),\cdot )$ să fie grup. Varianta a descrie o submulțime mai mică, varianta c e insuficientă — matricea $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ e nenulă și neinversabilă —, iar d nu are legătură: $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ are toate elementele nenule și determinantul $0$.

2. În grupul necomutativ $(S_3,\circ )$, ecuațiile $\sigma \circ x=\tau$ și $x\circ \sigma =\tau$ au soluțiile:

   • a) egale, oricare ar fi $\sigma$ și $\tau$
   • b) $x=\tau \circ {\sigma }^{-1}$ în ambele cazuri
   • c) $x={\sigma }^{-1}\circ \tau$, respectiv $x=\tau \circ {\sigma }^{-1}$, în general diferite
   • d) ecuațiile nu au soluție în $S_3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $x={\sigma }^{-1}\circ \tau$, respectiv $x=\tau \circ {\sigma }^{-1}$, în general diferite

   În prima ecuație compui la stânga cu ${\sigma }^{-1}$, în a doua la dreapta; grupul fiind necomutativ, cele două rezultate diferă în general. Varianta a ar fi corectă doar într-un grup comutativ, iar d este falsă: într-un grup, orice ecuație de acest tip are exact o soluție, tocmai pentru că orice element are simetric.

3. Pentru familia $N(a)=\left(\begin{array}{cc}1+a& a\\ -a& 1-a\end{array}\right)$, care satisface $N(a)\cdot N(b)=N(a+b)$, simetricul lui $N(5)$ în grupul $G=\{N(a)\mid a\in \mathbb{R}\}$ este:

   • a) $N(-5)$
   • b) $N\left(\frac{1}{5}\right)$
   • c) $N(0)$
   • d) $N(5)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $N(-5)$

   Elementul neutru este $N(0)=I_2$, iar din $N(5)\cdot N(-5)=N(0)$ rezultă că simetricul este $N(-5)$, care aparține lui $G$ fiindcă $-5\in \mathbb{R}$. Varianta b copiază regula inversului de la înmulțirea numerelor, dar aici parametrii se adună, nu se înmulțesc; varianta c dă chiar elementul neutru.