Grupuri de matrice și grupuri de permutări

Definiția grupului a fost construită în lecția anterioară pe mulțimi de numere, unde totul e blând: legile sunt comutative, iar simetricul se calculează dintr-o mișcare. Acum trecem la două familii de exemple care fac diferența la clasa a 12-a — matricele inversabile și permutările — și care aduc, pentru prima dată, grupuri în care ordinea factorilor contează. Grupurile de matrice și grupurile de permutări sunt primele grupuri necomutative din programă: $G{L}_n(\mathbb{R})$ este format din matricele cu determinant nenul, luate cu înmulțirea, iar $S_n$ din permutările mulțimii $\{1,2,\dots ,n\}$, luate cu compunerea.

Amândouă îți sunt cunoscute din clasa a XI-a, dar de acolo le-ai luat ca instrumente de calcul: matricele, ca să rezolvi sisteme; permutările, ca să definești determinantul de ordin $n$. Programa de matematică-informatică cere acum să le privești ca structuri: să spui care mulțime cu care lege formează grup, care este elementul neutru și care este simetricul. Vestea bună e că tot ce ai nevoie ai demonstrat deja; lecția aceasta doar așază la locul lor rezultatele din unitatea de matrice și determinanți. Vestea care cere atenție e că aici apar primele grupuri necomutative, iar în ele nu mai ai voie să „muți factorii" ca la numere.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți ce este grupul $G{L}_n(\mathbb{R})$ al matricelor inversabile și să demonstrezi, în patru pași, că este grup.
• Vei ști de ce $({\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}),\cdot )$ nu este grup și ce anume se elimină ca să devină.
• Vei ști să arăți că o familie de matrice $\{A(x)\}$ formează grup, folosind rețeta în patru pași cerută la Bacalaureat M1.
• Vei ști să enunți că $(S_n,\circ )$ este grup, să spui cât este $\mathrm{card}{S}_n$ și să respecți ordinea de compunere.
• Vei ști să scrii tabla lui $S_3$ și să citești din ea că grupul nu este comutativ.
• Vei ști să rezolvi ecuații de forma $\sigma \circ x=\tau$ și $A\cdot X=B$ compunând cu simetricul de partea corectă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este grupul matricelor inversabile $G{L}_n(\mathbb{R})$?

Grupul liniar general $G{L}_n(\mathbb{R})$ este mulțimea matricelor pătratice de ordin $n$ cu elemente reale care au determinantul diferit de zero, luată împreună cu înmulțirea matricelor; el este grup, cu elementul neutru $I_n$ și cu simetricul dat de matricea inversă. Se scrie

$$G{L}_n(\mathbb{R})=\{A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\mid \det A\ne 0\}.$$

De ce a fost nevoie de o mulțime nouă? Pentru că întreaga mulțime ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ nu merge. Înmulțirea matricelor este lege de compoziție pe ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, este asociativă și are elementul neutru $I_n$ — deci avem monoid — dar axioma simetricului cade spectaculos: matricea nulă $O_n$ nu are inversă, și nici măcar $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ nu are, pentru că are determinantul $0$. Criteriul pe care l-ai demonstrat la matrice inversabilă și criteriul determinantului spune exact cine e vinovat: o matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul.

Reparația este aceeași manevră ca la trecerea de la $\mathbb{Q}$ la ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ din lecția despre definiția grupului: scoatem exact elementele care încurcă. Ce rămâne este $G{L}_n(\mathbb{R})$. În toată unitatea lucrăm cu $n=2$, uneori $n=3$; notația $G{L}_n(\mathbb{R})$ se scrie drept, fără nicio prescurtare suplimentară.

2. Care sunt cei patru pași ai demonstrației pentru $G{L}_2(\mathbb{R})$?

Parcurgem exact pașii din lecția anterioară.

Pasul 0 (parte stabilă). Fie $A,B\in G{L}_2(\mathbb{R})$, deci $\det A\ne 0$ și $\det B\ne 0$. Din teorema demonstrată la determinantul produsului a două matrice avem $\det (AB)=\det A\cdot \det B\ne 0$, ca produs de două numere nenule. Deci $AB\in G{L}_2(\mathbb{R})$: mulțimea este parte stabilă.

Pasul 1 (asociativitate). Înmulțirea matricelor este asociativă pe toată mulțimea ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, deci cu atât mai mult pe submulțimea noastră. Nu se redemonstrează nimic: proprietatea se moștenește. Aceasta este cea mai importantă economie a lecției — de fiecare dată când mulțimea ta este o parte a unei mulțimi pe care legea e deja asociativă, pasul 1 se rezolvă într-un rând.

Pasul 2 (element neutru). $I_2\cdot A=A\cdot I_2=A$ pentru orice matrice $A$, iar $\det I_2=1\ne 0$, deci $I_2\in G{L}_2(\mathbb{R})$. Precizarea din urmă nu e formalism: elementul neutru trebuie să aparțină mulțimii pe care o studiem.

Pasul 3 (simetricul). Pentru $A$ cu $\det A\ne 0$ există $A^{-1}$, calculată cu matricea adjunctă. Mai trebuie arătat că $A^{-1}$ este ea însăși în $G{L}_2(\mathbb{R})$: din $A\cdot A^{-1}=I_2$ rezultă $\det A\cdot \det (A^{-1})=1$, deci $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}\ne 0$. Prin urmare $A^{-1}\in G{L}_2(\mathbb{R})$.

Așadar $(G{L}_2(\mathbb{R}),\cdot )$ este grup. Simetricul se numește aici inversul și se scrie $A^{-1}$, iar elementul neutru este $I_2$.

3. Este grupul $G{L}_2(\mathbb{R})$ comutativ?

Nu, și e primul grup din manualul tău despre care putem spune asta. Contraexemplul se scrie în două rânduri. Fie

$$B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right).$$

Amândouă au determinantul $1$, deci sunt în $G{L}_2(\mathbb{R})$. Calculăm produsele:

$$BC=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right),CB=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right).$$

Cele două rezultate diferă, deci $BC\ne CB$. Faptul acesta îl știai de la proprietățile înmulțirii matricelor; acum el capătă o consecință de structură: într-un grup necomutativ, ecuația $A\cdot X=B$ nu are aceeași soluție cu $X\cdot A=B$. În prima înmulțești la stânga cu $A^{-1}$ și obții $X=A^{-1}B$; în a doua înmulțești la dreapta și obții $X=B{A}^{-1}$. Scrie de fiecare dată, înainte de calcul, de care parte compui.

4. Cum arăți că o familie de matrice $\{A(x)\}$ formează grup?

Acesta este tipul care apare în aproape fiecare sesiune la Subiectul al II-lea. Se dă o familie de matrice depinzând de un parametru real și se cere să arăți că mulțimea lor este grup față de înmulțire. Rețeta are patru pași și se scrie mereu la fel.

Luăm exemplul cel mai curat: $G=\{A(x)\mid x\in \mathbb{R}\}$, unde

$$A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right).$$

Pasul 0 — parte stabilă. Se calculează produsul a două matrice din familie și se arată că rezultatul este tot din familie:

$$A(x)\cdot A(y)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& y\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& x+y\\ 0& 1\end{array}\right)=A(x+y).$$

Egalitatea $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$ este inima problemei: din ea decurg toți pașii următori. De aceea o scrii prima și o încadrezi.

Pasul 1 — asociativitatea. Se moștenește de la înmulțirea matricelor din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Un rând, nu mai mult.

Pasul 2 — elementul neutru. Din $A(x)\cdot A(0)=A(x+0)=A(x)$ și $A(0)\cdot A(x)=A(x)$ rezultă că $A(0)$ este element neutru; observă că $A(0)=I_2$, care aparține lui $G$ (se obține pentru $x=0$).

Pasul 3 — simetricul. Din $A(x)\cdot A(-x)=A(x-x)=A(0)$ și, la fel, $A(-x)\cdot A(x)=A(0)$, rezultă că simetricul lui $A(x)$ este $A(-x)$, care este tot în $G$, pentru că $-x\in \mathbb{R}$.

Concluzie: $(G,\cdot )$ este grup. Mai mult, el este comutativ, deoarece $A(x)A(y)=A(x+y)=A(y+x)=A(y)A(x)$ — adunarea numerelor reale fiind comutativă. Merită subliniat: familia aceasta este comutativă, deși trăiește într-un grup necomutativ.

Ține minte cele patru rânduri ale rețetei: parte stabilă din formula produsului, asociativitate moștenită, neutru $A(0)$, simetric $A(-x)$.

5. Familia clasică de la Bacalaureat M1

A doua familie se întâlnește la fel de des și arată, la prima vedere, mult mai complicat. Fie

$$N(a)=\left(\begin{array}{cc}1+a& a\\ -a& 1-a\end{array}\right),a\in \mathbb{R},G=\{N(a)\mid a\in \mathbb{R}\}.$$

Calculăm produsul, cu răbdare, element cu element. Elementul din colțul stânga-sus este $(1+a)(1+b)+a\cdot (-b)=1+a+b+ab-ab=1+a+b$. Elementul din dreapta-sus este $(1+a)b+a(1-b)=b+ab+a-ab=a+b$. Pe linia a doua, în stânga: $-a(1+b)+(1-a)(-b)=-a-ab-b+ab=-(a+b)$, iar în dreapta: $-ab+(1-a)(1-b)=-ab+1-a-b+ab=1-(a+b)$. Punând totul la un loc:

$$N(a)\cdot N(b)=\left(\begin{array}{cc}1+(a+b)& a+b\\ -(a+b)& 1-(a+b)\end{array}\right)=N(a+b).$$

Din acest moment rezolvarea este identică cu cea de la pasul anterior: mulțimea este parte stabilă, asociativitatea se moștenește, elementul neutru este $N(0)=I_2$, iar simetricul lui $N(a)$ este $N(-a)$. Grupul este comutativ, tot din comutativitatea adunării numerelor reale.

Un control util: $\det N(a)=(1+a)(1-a)-a\cdot (-a)=1-a^2+a^2=1$ pentru orice $a$. Toate matricele familiei au determinantul $1$, deci sunt inversabile — o confirmare independentă a faptului că simetricul există.

6. Ce este grupul permutărilor $(S_n,\circ )$?

Trecem la a doua familie de exemple. La clasa a XI-a ai definit, în lecția despre permutări, notație și compunere, permutarea de grad $n$ ca funcție bijectivă $\sigma :\{1,2,\dots ,n\}\to \{1,2,\dots ,n\}$, mulțimea lor fiind $S_n$. Atunci ai folosit-o ca instrument; acum îi dăm structura.

Teoremă. $(S_n,\circ )$ este grup, unde $\circ$ este compunerea funcțiilor. Elementul neutru este permutarea identică $e$, iar simetricul lui $\sigma$ este permutarea inversă ${\sigma }^{-1}$.

Demonstrație. Pasul 0: compunerea a două funcții bijective este bijectivă, deci $\sigma \circ \tau \in S_n$ pentru orice $\sigma ,\tau \in S_n$. Pasul 1: compunerea funcțiilor este asociativă, proprietate cunoscută din lecția despre operații cu funcții și compunerea funcțiilor; nu depinde de bijectivitate. Pasul 2: permutarea identică $e$, definită prin $e(k)=k$, verifică $\sigma \circ e=e\circ \sigma =\sigma$. Pasul 3: orice funcție bijectivă are inversă, iar inversa unei bijecții este bijecție, deci ${\sigma }^{-1}\in S_n$ și $\sigma \circ {\sigma }^{-1}={\sigma }^{-1}\circ \sigma =e$. $■$

Numărul de elemente al acestui grup îl știi: $\mathrm{card}{S}_n=n!$. Deci $S_2$ are $2$ elemente, $S_3$ are $6$, $S_4$ are $24$, iar $S_5$ are $120$.

⚠️ Ordinea compunerii, o dată pentru totdeauna. În $\sigma \circ \tau$ se aplică întâi $\tau$, apoi $\sigma$: $(\sigma \circ \tau )(k)=\sigma (\tau (k))$. Este convenția fixată în clasa a XI-a, este cea din toate baremele și nu se schimbă. Scrie fraza „întâi cea din dreapta" pe marginea foii înainte de fiecare calcul.

7. Tabla lui $S_3$: primul grup finit necomutativ

Notăm cele șase permutări de grad $3$ astfel:

$$e=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right),{\sigma }_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right),{\sigma }_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right),{\sigma }_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right),{\sigma }_4=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right),{\sigma }_5=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right).$$

În celula de la intersecția liniei lui $x$ cu coloana lui $y$ scriem $x\circ y$, adică „întâi $y$, apoi $x$":

Din tablă se citesc trei lucruri, fără niciun calcul suplimentar. Elementul neutru este $e$: linia lui reproduce capul de tabel. Simetricele se găsesc căutând $e$ în interior: ${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$ și ${\sigma }_3$ sunt fiecare propriul simetric, în timp ce ${\sigma }_4$ și ${\sigma }_5$ formează o pereche, ${\sigma }_4^{-1}={\sigma }_5$. Și, cel mai important, tabla nu este simetrică față de diagonala principală: în celula $({\sigma }_4,{\sigma }_3)$ stă ${\sigma }_2$, iar în celula $({\sigma }_3,{\sigma }_4)$ stă ${\sigma }_1$. Deci ${\sigma }_4\circ {\sigma }_3\ne {\sigma }_3\circ {\sigma }_4$ și grupul $(S_3,\circ )$ nu este comutativ.

Rezultatul se generalizează: $S_n$ este necomutativ pentru orice $n\ge 3$, în timp ce $S_1$ și $S_2$ sunt comutative, având $1$, respectiv $2$ elemente.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea apartenenței la $G{L}_2(\mathbb{R})$

Arătați că $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$ aparține lui $G{L}_2(\mathbb{R})$ și determinați simetricul ei în acest grup.

Rezolvare. Calculăm determinantul: $\det A=2\cdot 2-1\cdot 3=1\ne 0$, deci $A\in G{L}_2(\mathbb{R})$. Simetricul lui $A$ în grup este inversa ei. Pentru o matrice de ordinul al doilea, formula cu adjuncta se scurtează la

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right).$$

Verificare: $A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2$, iar înmulțirea în ordinea inversă dă tot $I_2$.

Exemplul 2 — O familie de matrice triunghiulare

Fie $G=\left\{A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ x& 1\end{array}\right)\mid x\in \mathbb{R}\right\}$. Arătați că $(G,\cdot )$ este grup comutativ.

Rezolvare. Pasul 0: $A(x)\cdot A(y)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ x+y& 1\end{array}\right)=A(x+y)\in G$, deci mulțimea este parte stabilă. Pasul 1: asociativitatea se moștenește de la înmulțirea matricelor. Pasul 2: $A(0)=I_2\in G$ și $A(x)A(0)=A(x)=A(0)A(x)$, deci $A(0)$ este elementul neutru. Pasul 3: $A(x)A(-x)=A(0)$, deci simetricul lui $A(x)$ este $A(-x)\in G$.

Comutativitatea: $A(x)A(y)=A(x+y)=A(y+x)=A(y)A(x)$. Prin urmare $(G,\cdot )$ este grup comutativ.

Exemplul 3 — Compunerea permutărilor în ambele ordini

Fie $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 1& 3\end{array}\right)$ și $\tau =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 1& 4& 2\end{array}\right)$ din $S_4$. Calculați $\sigma \circ \tau$ și ${\sigma }^{-1}$.

Rezolvare. Pentru $\sigma \circ \tau$ aplicăm întâi $\tau$, apoi $\sigma$:

$$(\sigma \circ \tau )(1)=\sigma (3)=1,(\sigma \circ \tau )(2)=\sigma (1)=2,(\sigma \circ \tau )(3)=\sigma (4)=3,(\sigma \circ \tau )(4)=\sigma (2)=4.$$

Deci $\sigma \circ \tau =e$, ceea ce înseamnă că $\tau$ este chiar simetricul lui $\sigma$ în grupul $(S_4,\circ )$, adică ${\sigma }^{-1}=\tau$.

Verificăm independent, prin schimbarea liniilor: din $\sigma (3)=1$ rezultă ${\sigma }^{-1}(1)=3$; din $\sigma (1)=2$, ${\sigma }^{-1}(2)=1$; din $\sigma (4)=3$, ${\sigma }^{-1}(3)=4$; din $\sigma (2)=4$, ${\sigma }^{-1}(4)=2$. Obținem exact $\tau$.

Exemplul 4 — Ecuație în grupul $(S_3,\circ )$

Rezolvați în $S_3$ ecuațiile $\sigma \circ x=\tau$ și $x\circ \sigma =\tau$, unde $\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$ și $\tau =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$.

Rezolvare. Grupul fiind necomutativ, partea de care compunem contează. Pentru prima ecuație compunem la stânga cu ${\sigma }^{-1}$:

$${\sigma }^{-1}\circ (\sigma \circ x)={\sigma }^{-1}\circ \tau ⟹({\sigma }^{-1}\circ \sigma )\circ x={\sigma }^{-1}\circ \tau ⟹x={\sigma }^{-1}\circ \tau .$$

Cu ${\sigma }^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$ obținem $x(1)={\sigma }^{-1}(2)=1$, $x(2)={\sigma }^{-1}(1)=3$, $x(3)={\sigma }^{-1}(3)=2$, adică $x=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$.

Pentru a doua ecuație compunem la dreapta: $x=\tau \circ {\sigma }^{-1}$, deci $x(1)=\tau (3)=3$, $x(2)=\tau (1)=2$, $x(3)=\tau (2)=1$, adică $x=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$. Cele două soluții sunt diferite — exact ce era de așteptat într-un grup necomutativ.

Exemplul 5 — Matricele scalare inversabile

Arătați că $G = \left{ \begin{pmatrix} a & 0 \ 0 & a \end{pmatrix} \ \mid\ a \in \mathbb{R}^{} \right}$ este grup comutativ în raport cu înmulțirea matricelor.*

Rezolvare. Notăm $S(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right)$. Pasul 0: $S(a)\cdot S(b)=S(ab)$, iar din $a\ne 0$ și $b\ne 0$ rezultă $ab\ne 0$, deci produsul rămâne în $G$. Pasul 1: asociativitatea se moștenește. Pasul 2: $S(1)=I_2\in G$ este element neutru. Pasul 3: pentru $a\ne 0$ avem $S(a)\cdot S\left(\frac{1}{a}\right)=S(1)=I_2$, iar $\frac{1}{a}\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, deci simetricul este $S\left(\frac{1}{a}\right)\in G$.

Comutativitatea vine din $S(a)S(b)=S(ab)=S(ba)=S(b)S(a)$. Observă că regula produsului este aceeași ca la numere: familia se comportă exact ca $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră mulțimea $G=\{N(a)\mid a\in \mathbb{R}\}$, unde $N(a)=\left(\begin{array}{cc}1+a& a\\ -a& 1-a\end{array}\right)$. a) Arătați că $N(a)\cdot N(b)=N(a+b)$ pentru orice $a,b\in \mathbb{R}$. b) Arătați că $(G,\cdot )$ este grup comutativ. c) Rezolvați în $G$ ecuația $N(2)\cdot X=N(5)$.

Rezolvare. a) Calculul complet a fost făcut mai sus, în subsecțiunea a cincea: fiecare dintre cele patru elemente ale produsului depinde numai de suma $a+b$, iar rezultatul este $N(a+b)$. La Subiectul al II-lea, calculul se scrie integral, element cu element.

b) Din a) rezultă că $G$ este parte stabilă. Asociativitatea se moștenește de la înmulțirea matricelor din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Elementul neutru: $N(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2\in G$, iar $N(a)N(0)=N(a)=N(0)N(a)$. Simetricul lui $N(a)$: din $N(a)\cdot N(-a)=N(0)=I_2$ rezultă că este $N(-a)\in G$. În fine, $N(a)N(b)=N(a+b)=N(b+a)=N(b)N(a)$, deci grupul este comutativ.

c) Compunem la stânga cu simetricul lui $N(2)$, adică cu $N(-2)$:

$$N(-2)\cdot (N(2)\cdot X)=N(-2)\cdot N(5)⟹N(0)\cdot X=N(3)⟹X=N(3).$$

Deci $X=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ -3& -2\end{array}\right)$. Verificare: $N(2)\cdot N(3)=N(5)=\left(\begin{array}{cc}6& 5\\ -5& -4\end{array}\right)$.

Să exersăm

La fiecare exercițiu cu matrice, verifică întâi determinantul; la fiecare compunere de permutări, scrie „întâi cea din dreapta". În grupurile necomutative, notează explicit de care parte compui cu simetricul.

1. Arată că $A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$ este în $G{L}_2(\mathbb{R})$ și calculează $A^{-1}$.

2. Este $B=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 2\end{array}\right)$ element al grupului $G{L}_2(\mathbb{R})$? Justifică.

3. Pentru $X=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $Y=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 5\end{array}\right)$, verifică numeric egalitatea $\det (XY)=\det X\cdot \det Y$.

4. Arată că mulțimea matricelor $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ x& 1\end{array}\right)$, cu $x\in \mathbb{R}$, formează grup în raport cu înmulțirea, precizând elementul neutru și simetricul.

5. Fie $u=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$ și $v=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$. Calculează $u\circ v$ și $v\circ u$.

6. Determină simetricul permutării $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 1& 3& 2\end{array}\right)$ în grupul $(S_4,\circ )$ și verifică rezultatul prin compunere.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Mulțimea ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ formează grup în raport cu înmulțirea matricelor."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Grupul $(S_n,\circ )$ este comutativ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$."

9. Câte elemente au grupurile $(S_5,\circ )$ și $(S_6,\circ )$?

10. Rezolvă în $S_3$ ecuația $\sigma \circ x=\tau$, cu $\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$ și $\tau =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$.

11. Rezolvă în $S_3$ ecuația $x\circ \sigma =\tau$, cu aceleași permutări, și compară soluția cu cea de la exercițiul anterior.

12. Pentru $N(a)=\left(\begin{array}{cc}1+a& a\\ -a& 1-a\end{array}\right)$, calculează produsul $N(2)\cdot N(3)$ și scrie rezultatul sub forma $N(c)$.

13. (Problemă aplicată.) Un mesaj este criptat înmulțind, pe rând, perechi de numere scrise ca matrice-coloană cu matricea $A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$. Explică de ce mesajul poate fi decriptat și scrie matricea cu care se face decriptarea.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $G=\left\{A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)\mid x\in \mathbb{R}\right\}$. a) Calculează $A(2)\cdot A(3)$. b) Determină simetricul lui $A(x)$ în $G$. c) Rezolvă ecuația $A(4)\cdot X=A(9)$.

15. Arată că mulțimea $\{S(a)=a{I}_2\mid a\in {\mathbb{R}}^{\ast }\}$ este parte stabilă în raport cu înmulțirea și determină simetricul lui $5I_2$.

16. Determină toate permutările $\sigma \in S_3$ pentru care $\sigma \circ \sigma =e$. Câte sunt?

17. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Produsul a două matrice inversabile poate fi o matrice neinversabilă."

18. (Provocare.) Arată că mulțimea matricelor de ordinul al doilea cu elemente numere întregi și cu determinantul egal cu $1$ formează grup în raport cu înmulțirea. Indicație: scrie inversa unei astfel de matrice și observă ce fel de numere apar în ea.

Răspunsuri și explicații

1. $\det A=3\cdot 2-5\cdot 1=1\ne 0$, deci $A\in G{L}_2(\mathbb{R})$, iar $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)$. Verificare: $A\cdot A^{-1}=I_2$.

2. Nu, pentru că $\det B=2\cdot 2-4\cdot 1=0$. Matricea nu este inversabilă, deci nu aparține grupului $G{L}_2(\mathbb{R})$.

3. $\det X=-2$, $\det Y=10$, iar $XY=\left(\begin{array}{cc}4& 10\\ 10& 20\end{array}\right)$, cu $\det (XY)=80-100=-20=(-2)\cdot 10$. Egalitatea se verifică.

4. $A(x)A(y)=A(x+y)$, deci mulțimea e parte stabilă; asociativitatea se moștenește; $A(0)=I_2$ este elementul neutru; simetricul lui $A(x)$ este $A(-x)$. Grupul este comutativ.

5. $u\circ v=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$, iar $v\circ u=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$. Rezultatele diferă, ceea ce confirmă că $S_3$ nu e comutativ.

6. Simetricul este $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 3& 1\end{array}\right)$: din $\sigma (2)=1$ rezultă ${\sigma }^{-1}(1)=2$, din $\sigma (4)=2$ rezultă ${\sigma }^{-1}(2)=4$, din $\sigma (3)=3$ rezultă ${\sigma }^{-1}(3)=3$, din $\sigma (1)=4$ rezultă ${\sigma }^{-1}(4)=1$. Compunerea dă permutarea identică.

7. Fals. Înmulțirea este asociativă și are elementul neutru $I_2$, deci avem monoid, dar matricele cu determinantul nul nu au inversă. Structura devine grup numai după eliminarea lor, adică pe $G{L}_2(\mathbb{R})$.

8. Fals. $S_1$ și $S_2$ sunt comutative, dar pentru $n\ge 3$ grupul nu este: în $S_3$, ${\sigma }_4\circ {\sigma }_3={\sigma }_2$, în timp ce ${\sigma }_3\circ {\sigma }_4={\sigma }_1$.

9. $\mathrm{card}{S}_5=5!=120$ și $\mathrm{card}{S}_6=6!=720$.

10. $x={\sigma }^{-1}\circ \tau =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$. Verificare: $(\sigma \circ x)(1)=\sigma (1)=2$, $(\sigma \circ x)(2)=\sigma (3)=1$, $(\sigma \circ x)(3)=\sigma (2)=3$, adică exact $\tau$.

11. $x=\tau \circ {\sigma }^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$, diferită de soluția precedentă. Într-un grup necomutativ, partea de care compui schimbă rezultatul.

12. $N(2)\cdot N(3)=N(5)=\left(\begin{array}{cc}6& 5\\ -5& -4\end{array}\right)$, pentru că produsul depinde numai de suma parametrilor.

13. Deoarece $\det A=1\ne 0$, matricea $A$ aparține grupului $G{L}_2(\mathbb{R})$, deci are simetric. Decriptarea se face înmulțind la stânga cu $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)$: din $Y=AX$ rezultă $A^{-1}Y=A^{-1}AX=X$. Dacă determinantul ar fi fost nul, mesajul nu s-ar mai fi putut reconstitui.

14. a) $A(2)A(3)=A(5)=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 0& 1\end{array}\right)$. b) Simetricul lui $A(x)$ este $A(-x)$, deoarece $A(x)A(-x)=A(0)=I_2$. c) Compunând la stânga cu $A(-4)$ obținem $X=A(-4)A(9)=A(5)=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 0& 1\end{array}\right)$.

15. $S(a)S(b)=S(ab)$, iar din $a,b\ne 0$ rezultă $ab\ne 0$, deci mulțimea e parte stabilă. Simetricul lui $5I_2$ este $\frac{1}{5}{I}_2=\left(\begin{array}{cc}1/5& 0\\ 0& 1/5\end{array}\right)$.

16. Sunt patru: permutarea identică $e$ și cele trei permutări care schimbă între ele două elemente și îl lasă pe al treilea pe loc, adică ${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$ și ${\sigma }_3$. Pentru ${\sigma }_4$ și ${\sigma }_5$ compunerea cu ele însele nu dă $e$, cum se vede în tablă.

17. Fals. Dacă $\det A\ne 0$ și $\det B\ne 0$, atunci $\det (AB)=\det A\cdot \det B\ne 0$, deci produsul este tot inversabil. Exact aceasta este demonstrația pasului 0 pentru grupul $G{L}_2(\mathbb{R})$.

18. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ cu $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ și $ad-bc=1$. Parte stabilă: produsul a două matrice cu elemente întregi are elemente întregi, iar $\det (AB)=1\cdot 1=1$. Asociativitatea se moștenește. Elementul neutru $I_2$ are elemente întregi și determinantul $1$. Simetricul: $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$, care are tot elemente întregi tocmai pentru că numitorul este $1$, iar determinantul ei este $da-(-b)(-c)=ad-bc=1$. Deci mulțimea este grup.

De reținut

• Mulțimea $G{L}_n(\mathbb{R})$ a matricelor pătratice de ordin $n$ cu determinantul nenul formează grup în raport cu înmulțirea matricelor, având elementul neutru $I_n$ și simetricul $A^{-1}$.
• Mulțimea tuturor matricelor pătratice nu este grup față de înmulțire, pentru că matricele cu determinantul nul nu au inversă; grupul se obține eliminând exact aceste matrice.
• Pentru o familie de matrice $\{A(x)\}$ care satisface $A(x)A(y)=A(x+y)$, elementul neutru este $A(0)$ și simetricul lui $A(x)$ este $A(-x)$, iar asociativitatea se moștenește de la înmulțirea matricelor.
• Mulțimea $S_n$ a permutărilor de grad $n$ formează grup în raport cu compunerea funcțiilor, cu elementul neutru permutarea identică, cu simetricul ${\sigma }^{-1}$ și cu $\mathrm{card}{S}_n=n!$.
• În $\sigma \circ \tau$ se aplică întâi $\tau$, apoi $\sigma$, iar grupul $(S_n,\circ )$ este necomutativ pentru orice $n\ge 3$, ceea ce face ca ecuațiile $\sigma \circ x=\tau$ și $x\circ \sigma =\tau$ să aibă, în general, soluții diferite.

Greșeli frecvente

• Uitarea condiției $\det A\ne 0$. Mulți elevi scriu „mulțimea matricelor de ordinul al doilea formează grup față de înmulțire". Este fals: fără condiția asupra determinantului, axioma simetricului cade pentru toate matricele singulare.
• Redemonstrarea asociativității pentru o familie de matrice. Este pierdere de timp și de spațiu: mulțimea fiind inclusă în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, unde înmulțirea e deja asociativă, proprietatea se moștenește. Se scrie un singur rând, cu justificarea.
• Compunerea permutărilor în ordine inversă. A calcula $\sigma (\tau (k))$ „aplicând întâi $\sigma$" strică jumătate din rezultate. Convenția este „întâi cea din dreapta" și este aceeași ca în clasa a XI-a și în toate baremele.
• Compunerea de partea greșită într-o ecuație. Din $A\cdot X=B$ rezultă $X=A^{-1}B$, iar din $X\cdot A=B$ rezultă $X=B{A}^{-1}$. Cele două matrice sunt, în general, diferite, pentru că grupul nu este comutativ.
• Confuzia dintre tabloul unei permutări și o matrice. Tabloul cu două linii al unei permutări nu se adună, nu se înmulțește cu un număr și nu are determinant; el împrumută doar parantezele. Singura operație definită pe $S_n$ este compunerea.

Aplică acasă

1. Familia ta de matrice. Alege un număr $k$ și construiește familia $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& kx\\ 0& 1\end{array}\right)$. Verifică prin calcul direct dacă $A(x)A(y)=A(x+y)$ și decide dacă mulțimea formează grup. Scrie apoi elementul neutru și simetricul.

2. Tabla lui $S_3$ refăcută din memorie. Notează cele șase permutări de grad $3$ pe șase bilețele, amestecă-le și reconstruiește tabla compunând perechile. Compară cu tabla din lecție și numără câte celule ai greșit; dacă apar erori, verifică dacă nu ai inversat ordinea de compunere.

3. Testul necomutativității. Scrie două matrice de ordinul al doilea cu determinantul $1$, la alegere, și calculează ambele produse. Repetă experimentul de trei ori și numără de câte ori cele două rezultate coincid. Vei vedea că egalitatea este excepția, nu regula.

Pentru părinți și profesori

Lecția aduce primele exemple de grupuri necomutative și este, din acest motiv, pragul la care se despart elevii care au înțeles definiția de cei care o recită. Programa de matematică-informatică cere explicit „grupuri de permutări" și „grupuri de matrice" printre exemplele remarcabile, iar familiile de tipul $\{A(x)\}$ sunt tiparul cel mai frecvent din Subiectul al II-lea.

De verificat în caiet: (1) la orice familie de matrice, formula produsului $A(x)A(y)=A(x+y)$ este scrisă și încadrată înaintea celorlalți pași; (2) asociativitatea nu este redemonstrată, ci moștenită, cu justificarea scrisă; (3) elementul neutru este identificat ca membru al familiei, nu doar ca $I_2$; (4) la permutări apare, înaintea fiecărui calcul, mențiunea „întâi cea din dreapta". Întrebări de control: „De ce nu e grup mulțimea tuturor matricelor pătratice?"; „Care este simetricul lui $A(x)$?"; „Câte elemente are $S_4$?"; „De ce $\sigma \circ x=\tau$ și $x\circ \sigma =\tau$ au soluții diferite?".

La BAC M1, problema a doua din Subiectul al II-lea pornește adesea de la o familie de matrice cu un parametru și cere, pe subpuncte, produsul, elementul neutru, simetricul și, la final, structura de grup. Semn că elevul a înțeles: după ce obține formula produsului, rezolvă restul subpunctelor în patru rânduri, fără să reia calculele matriceale.

Întrebări frecvente

Ce este grupul $G{L}_n(\mathbb{R})$? Este mulțimea matricelor pătratice de ordin $n$ cu elemente reale și cu determinantul nenul, împreună cu înmulțirea matricelor. Formează grup pentru că produsul a două matrice inversabile este inversabil, înmulțirea este asociativă, $I_n$ este element neutru, iar fiecare matrice are inversă, care are la rândul ei determinant nenul.

De ce mulțimea tuturor matricelor pătratice nu formează grup față de înmulțire? Pentru că axioma simetricului nu este îndeplinită. Înmulțirea matricelor este asociativă și are elementul neutru $I_n$, deci structura este monoid, dar orice matrice cu determinantul nul, inclusiv matricea nulă, nu are inversă. Grupul apare abia după eliminarea acestor matrice.

Cum arăt că o mulțime de matrice $A(x)$ formează grup? Se calculează întâi produsul $A(x)\cdot A(y)$ și se arată că este tot din familie, de obicei sub forma $A(x+y)$. Apoi asociativitatea se moștenește de la înmulțirea matricelor, elementul neutru este $A(0)$, iar simetricul lui $A(x)$ este $A(-x)$. Sunt exact patru pași, în această ordine.

Ce este grupul permutărilor $S_n$? Este mulțimea funcțiilor bijective de la $\{1,2,\dots ,n\}$ la ea însăși, împreună cu compunerea funcțiilor. Elementul neutru este permutarea identică, simetricul unei permutări este permutarea inversă, iar numărul de elemente este $\mathrm{card}{S}_n=n!$, adică $6$ pentru $n=3$ și $24$ pentru $n=4$.

Care este ordinea corectă la compunerea a două permutări? În scrierea $\sigma \circ \tau$ se aplică întâi permutarea din dreapta, adică $\tau$, iar apoi cea din stânga: $(\sigma \circ \tau )(k)=\sigma (\tau (k))$. Se citește de la dreapta la stânga, exact ca la orice compunere de funcții, și este convenția folosită în toate baremele.

De ce grupul $S_3$ nu este comutativ? Pentru că tabla lui nu este simetrică față de diagonala principală. Concret, compunând permutarea care duce $1$ în $2$, $2$ în $3$ și $3$ în $1$ cu cea care schimbă între ele $1$ și $2$ se obțin rezultate diferite, după ordinea aleasă. Același lucru se întâmplă în $S_n$ pentru orice $n\ge 3$.

Cum rezolv o ecuație cu matrice într-un grup? Se compune cu simetricul de partea potrivită. Din $A\cdot X=B$ se obține $X=A^{-1}B$, prin înmulțire la stânga cu $A^{-1}$, iar din $X\cdot A=B$ se obține $X=B{A}^{-1}$, prin înmulțire la dreapta. Ordinea contează, pentru că înmulțirea matricelor nu este comutativă.

La ce folosesc grupurile de matrice în subiectele de Bacalaureat M1? Ele formează tiparul cel mai frecvent al problemei de algebră din Subiectul al II-lea: se dă o familie de matrice cu un parametru, se cere formula produsului, apoi elementul neutru, simetricul și, în final, demonstrația structurii de grup. Aceleași noțiuni apar și în ecuațiile matriceale.