Translații și rotații: pe scurt

Translația de coordonate $(a,b)$ este funcția $t_{(a,b)}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$, $t_{(a,b)}(x,y)=(x+a,y+b)$; ea mută toate punctele planului cu aceleași cantități, fără vectori, doar prin coordonate. Mulțimea tuturor translațiilor, $T$, formează grup comutativ față de compunerea funcțiilor, iar regula de calcul este singura care trebuie reținută: la compunere coordonatele se adună, $t_{(a,b)}\circ t_{(c,d)}=t_{(a+c,b+d)}$. Elementul neutru este $t_{(0,0)}=1_{{\mathbb{R}}^2}$, iar inversul lui $t_{(a,b)}$ este $t_{(-a,-b)}$.

Rotația de unghi $\theta$ în jurul originii este $R_{\theta }(x,y)=(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta )$ — aceleași formule ca la înmulțirea cu matricea de rotație $R(\theta )$ din clasa a XI-a. Deosebirea de notație contează: $R(\theta )$, cu paranteze, este matricea; $R_{\theta }$, cu indice, este transformarea planului. La rotațiile cu același centru, unghiurile se adună: $R_{\alpha }\circ R_{\beta }=R_{\alpha +\beta }$, cu reducere modulo $2\pi$; neutrul este $R_0$, iar inversul lui $R_{\alpha }$ este $R_{2\pi -\alpha }$. Rotațiile care lasă pe loc un poligon regulat cu $n$ laturi sunt ${\mathcal{R}}_n=\left\{R_{\frac{2k\pi }{n}}\mid k=0,\dots ,n-1\right\}$, grup comutativ cu $n$ elemente în care compunerea revine la adunarea indicilor modulo $n$. Translațiile și rotațiile nu se amestecă: mulțimea reunită nu este parte stabilă, iar $R_{\frac{\pi }{2}}\circ t_{(1,0)}\ne t_{(1,0)}\circ R_{\frac{\pi }{2}}$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Compunerea $t_{(3,-7)}\circ t_{(-5,2)}$ este translația:

   • a) $t_{(-2,-5)}$
   • b) $t_{(8,-9)}$
   • c) $t_{(-2,5)}$
   • d) $t_{(2,5)}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $t_{(-2,-5)}$

   La compunerea translațiilor coordonatele se adună: $t_{(3,-7)}\circ t_{(-5,2)}=t_{(3+(-5),-7+2)}=t_{(-2,-5)}$. Varianta $t_{(8,-9)}$ vine din scăderea coordonatelor, varianta $t_{(-2,5)}$ din pierderea semnului la a doua coordonată, iar $t_{(2,5)}$ este inversa rezultatului corect.

2. Inversa rotației $R_{\frac{5\pi }{6}}$, scrisă cu unghiul din intervalul $[0,2\pi )$, este:

   • a) $R_{\frac{\pi }{6}}$
   • b) $R_{\frac{7\pi }{6}}$
   • c) $R_{\frac{5\pi }{6}}$
   • d) $R_{\frac{11\pi }{6}}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $R_{\frac{7\pi }{6}}$

   Inversa lui $R_{\theta }$ este $R_{-\theta }$, adică $R_{2\pi -\theta }$ dacă vrem unghiul în $[0,2\pi )$: $2\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$. Varianta $\frac{\pi }{6}$ scade din $\pi$, nu din $2\pi$; varianta $\frac{5\pi }{6}$ presupune, greșit, că rotația este propriul invers (ceea ce se întâmplă doar la $R_0$ și $R_{\pi }$); varianta $\frac{11\pi }{6}$ este inversa lui $R_{\frac{\pi }{6}}$.

3. Imaginea punctului $M(4,-3)$ prin rotația $R_{\frac{\pi }{2}}$ în jurul originii este:

   • a) $(-4,3)$
   • b) $(-3,-4)$
   • c) $(3,4)$
   • d) $(-3,4)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(3,4)$

   Din formula $R_{\theta }(x,y)=(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta )$, pentru $\theta =\frac{\pi }{2}$ obținem $R_{\frac{\pi }{2}}(x,y)=(-y,x)$, deci $R_{\frac{\pi }{2}}(4,-3)=(3,4)$. Varianta $(-4,3)$ este imaginea prin $R_{\pi }$, varianta $(-3,-4)$ este imaginea prin $R_{\frac{3\pi }{2}}$, adică rotația în sens invers, iar $(-3,4)$ amestecă semnele.