Grupuri de transformări geometrice: translațiile și rotațiile cu același centru

Transformările geometrice — mutarea unei figuri fără să o deformezi, prin alunecare sau prin rotire — sunt cel mai vechi exemplu de „operații care se compun", iar în clasa a XII-a ele devin exemple de grupuri la fel de legitime ca mulțimile de numere. Argumentul e simplu de intuit: dacă aluneci o figură și apoi o aluneci din nou, efectul total este tot o alunecare; dacă o rotești de două ori în jurul aceluiași punct, efectul total este tot o rotire. Grupurile de transformări geometrice sunt mulțimile de translații, respectiv de rotații cu același centru, luate față de compunerea funcțiilor: compunând două transformări din familie obții tot una din familie, iar fiecare are inversa ei acolo.

Programa cere explicit două astfel de grupuri: grupul translațiilor planului și grupul rotațiilor cu același centru. Le vom construi amândouă pornind de la coordonate, nu de la desen, pentru că numai așa se pot verifica riguros axiomele. Uneltele sunt cele pe care le ai deja: reperul cartezian de la Reperul cartezian, distanța și mijlocul unui segment, compunerea funcțiilor de la Operații cu funcții. Compunerea și matricea de rotație de la Matricea de rotație și puterile ei.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești translația $t_{(a,b)}$ prin coordonate și să calculezi imaginea oricărui punct prin ea.
• Vei ști să demonstrezi că mulțimea translațiilor planului este grup comutativ față de compunerea funcțiilor.
• Vei ști să definești rotația $R_{\theta }$ de unghi $\theta$ în jurul originii și să o legi de matricea de rotație studiată la clasa a XI-a.
• Vei ști să demonstrezi că rotațiile cu același centru formează grup comutativ și să calculezi compuneri și inverse.
• Vei ști să scrii tabla grupului rotațiilor unui poligon regulat cu $3$, $4$ sau $6$ laturi.
• Vei ști de ce translațiile și rotațiile nu comută între ele și cum se folosesc aceste grupuri în probleme de geometrie.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o translație a planului?

Translația de coordonate $(a,b)$ este funcția $t_{(a,b)}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ care duce fiecare punct $M(x,y)$ în punctul de coordonate $(x+a,y+b)$; ea deplasează întreaga figură cu $a$ unități pe direcția axei $Ox$ și cu $b$ unități pe direcția axei $Oy$, fără să-i schimbe forma, mărimea sau orientarea, iar numerele $a$ și $b$ o determină complet.

Scriem, pe scurt,

$$t_{(a,b)}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,t_{(a,b)}(x,y)=(x+a,y+b).$$

Aici ${\mathbb{R}}^2$ este mulțimea perechilor ordonate de numere reale, adică — după fixarea unui reper cartezian $xOy$ — chiar mulțimea punctelor planului. Notăm cu

$$T=\left\{t_{(a,b)}|a,b\in \mathbb{R}\right\}$$

mulțimea tuturor translațiilor planului.

Două observații care se folosesc tot timpul. Întâi, două translații sunt egale dacă și numai dacă au aceleași coordonate: dacă $t_{(a,b)}=t_{(c,d)}$, atunci, aplicând ambele funcții originii $O(0,0)$, obținem $(a,b)=(c,d)$. Apoi, translația de coordonate $(0,0)$ este chiar funcția identică a planului, $t_{(0,0)}=1_{{\mathbb{R}}^2}$, adică transformarea care lasă totul pe loc.

Exemplu numeric, de fixat: $t_{(-2,5)}(3,1)=(3-2,1+5)=(1,6)$.

2. De ce formează translațiile un grup față de compunere?

Operația de lucru este compunerea funcțiilor, cu convenția fixată în clasa a IX-a și păstrată peste tot: în $f\circ g$ se aplică întâi $g$, apoi $f$.

(i) Partea stabilă și legea de compoziție. Fie $t_{(a,b)}$ și $t_{(c,d)}$ două translații. Pentru orice punct $(x,y)$,

$$\left(t_{(a,b)}\circ t_{(c,d)}\right)(x,y)=t_{(a,b)}(x+c,y+d)=(x+c+a,y+d+b)=t_{(a+c,b+d)}(x,y).$$

Cum egalitatea are loc în fiecare punct, cele două funcții sunt egale:

$$t_{(a,b)}\circ t_{(c,d)}=t_{(a+c,b+d)}.$$

Prin urmare compunerea a două translații este tot o translație: $T$ este parte stabilă, iar compunerea induce pe $T$ o lege de compoziție. Reține formula-cheie: la compunerea translațiilor, coordonatele se adună.

(ii) Asociativitatea. Compunerea funcțiilor este asociativă pe orice mulțime de funcții, deci și pe $T$; nu avem nimic de calculat. (Se vede și din formulă: adunarea numerelor reale este asociativă.)

(iii) Elementul neutru. Este $t_{(0,0)}=1_{{\mathbb{R}}^2}$, fiindcă $t_{(a,b)}\circ t_{(0,0)}=t_{(a+0,b+0)}=t_{(a,b)}$ și, la fel, $t_{(0,0)}\circ t_{(a,b)}=t_{(a,b)}$.

(iv) Inversul. Pentru $t_{(a,b)}$ luăm $t_{(-a,-b)}$ și obținem $t_{(a,b)}\circ t_{(-a,-b)}=t_{(0,0)}$, respectiv $t_{(-a,-b)}\circ t_{(a,b)}=t_{(0,0)}$. Deci orice translație este simetrizabilă, iar inversa ei este translația de coordonate opuse — geometric, alunecarea înapoi.

(v) Comutativitatea. $t_{(a,b)}\circ t_{(c,d)}=t_{(a+c,b+d)}=t_{(c+a,d+b)}=t_{(c,d)}\circ t_{(a,b)}$, pentru că adunarea numerelor reale este comutativă.

Teoremă. $(T,\circ )$ este grup comutativ, cu elementul neutru $t_{(0,0)}$ și cu inversul lui $t_{(a,b)}$ egal cu $t_{(-a,-b)}$. $■$

3. Ce este rotația de unghi θ în jurul originii?

Rotația de unghi $\theta$ în jurul originii este funcția $R_{\theta }:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ care duce punctul $M(x,y)$ în punctul de coordonate $(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta )$; ea rotește întreaga figură cu unghiul $\theta$ în jurul punctului $O$, în sens trigonometric, păstrând distanțele față de $O$ și, deci, forma figurii.

$$R_{\theta }:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,R_{\theta }(x,y)=\left(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta \right).$$

Formulele acestea nu sunt noi: sunt exact cele deduse la clasa a XI-a, în lecția despre matricea de rotație. Acolo ai scris punctul ca matrice coloană și ai obținut

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=R(\theta )\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),\text{unde }R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right).$$

Deosebirea de notație merită spusă o dată, clar: $R(\theta )$, cu paranteze, este matricea de ordin $2$ din clasa a XI-a; $R_{\theta }$, cu indice, este transformarea planului, adică funcția. A aplica funcția $R_{\theta }$ înseamnă a înmulți cu matricea $R(\theta )$ — două fețe ale aceluiași obiect.

Valori de reținut, obținute direct din formulă:

$$R_0=1_{{\mathbb{R}}^2},R_{\frac{\pi }{2}}(x,y)=(-y,x),R_{\pi }(x,y)=(-x,-y),R_{\frac{3\pi }{2}}(x,y)=(y,-x).$$

Verificare pe un punct: $R_{\frac{\pi }{2}}(3,1)=(-1,3)$ — punctul se ridică la $90^{\circ }$, ceea ce se și vede pe desen.

Notăm cu $\mathcal{R}=\left\{R_{\theta }|\theta \in [0,2\pi )\right\}$ mulțimea tuturor rotațiilor în jurul originii. Restricția $\theta \in [0,2\pi )$ nu pierde nimic: fiindcă sinusul și cosinusul au perioada $2\pi$, avem $R_{\theta +2k\pi }=R_{\theta }$ pentru orice $k\in \mathbb{Z}$, deci fiecare rotație apare exact o dată în listă.

4. De ce formează rotațiile cu același centru un grup?

(i) Compunerea a două rotații. Fie $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Calculăm $\left(R_{\alpha }\circ R_{\beta }\right)(x,y)$, adică aplicăm întâi $R_{\beta }$, apoi $R_{\alpha }$. Notăm $x_1=x\cos \beta -y\sin \beta$ și $y_1=x\sin \beta +y\cos \beta$; prima coordonată a rezultatului este

$$x_1\cos \alpha -y_1\sin \alpha =x\left(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \right)-y\left(\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta \right)=x\cos (\alpha +\beta )-y\sin (\alpha +\beta ),$$

iar a doua, prin același calcul,

$$x_1\sin \alpha +y_1\cos \alpha =x\left(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \right)+y\left(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \right)=x\sin (\alpha +\beta )+y\cos (\alpha +\beta ).$$

Am folosit formulele pentru sinusul și cosinusul sumei a două unghiuri, studiate în clasa a IX-a. Prin urmare

$$R_{\alpha }\circ R_{\beta }=R_{\alpha +\beta },$$

unde, dacă lucrăm în $[0,2\pi )$, suma $\alpha +\beta$ se reduce modulo $2\pi$. Formula spune exact ce dictează bunul-simț geometric: două rotiri succesive în jurul aceluiași punct fac o singură rotire, cu unghiul egal cu suma unghiurilor.

(ii) Asociativitatea este moștenită din compunerea funcțiilor.

(iii) Elementul neutru este $R_0=1_{{\mathbb{R}}^2}$: rotația de unghi nul lasă totul pe loc, iar $R_{\theta }\circ R_0=R_{\theta +0}=R_{\theta }$.

(iv) Inversul lui $R_{\theta }$ este $R_{-\theta }$ (adică $R_{2\pi -\theta }$, dacă vrem unghiul în $[0,2\pi )$), pentru că $R_{\theta }\circ R_{-\theta }=R_0$. Geometric: rotești înapoi cu același unghi.

(v) Comutativitatea: $R_{\alpha }\circ R_{\beta }=R_{\alpha +\beta }=R_{\beta +\alpha }=R_{\beta }\circ R_{\alpha }$.

Teoremă. $(\mathcal{R},\circ )$ este grup comutativ, cu elementul neutru $R_0$ și cu inversul lui $R_{\theta }$ egal cu $R_{-\theta }$. $■$

Compară cele două demonstrații: sunt aceeași demonstrație, scrisă o dată cu adunarea coordonatelor și o dată cu adunarea unghiurilor. Ambele grupuri „ascund" adunarea numerelor reale — iar acest lucru va fi spus răspicat la grupurile care au aceeași tablă a operației sub nume diferite.

5. Grupul rotațiilor unui poligon regulat

Un pătrat cu centrul în $O$ și cu vârfurile pe axe rămâne suprapus peste el însuși doar la patru rotații: cele de unghiuri $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$ și $\frac{3\pi }{2}$. Mulțimea acestor patru rotații,

$${\mathcal{R}}_4=\left\{R_0,R_{\frac{\pi }{2}},R_{\pi },R_{\frac{3\pi }{2}}\right\},$$

este parte stabilă în raport cu compunerea, pentru că suma a două unghiuri din listă, redusă modulo $2\pi$, este tot un unghi din listă. Scriem tabla operației:

Tabla e simetrică față de diagonala principală (grup comutativ), linia lui $R_0$ reproduce prima linie (element neutru), iar în fiecare linie $R_0$ apare exact o dată (fiecare element are exact un invers): inversul lui $R_{\frac{\pi }{2}}$ este $R_{\frac{3\pi }{2}}$, iar $R_{\pi }$ este propriul invers.

În general, pentru un poligon regulat cu $n$ laturi și centrul în $O$, rotațiile care îl lasă pe loc sunt

$${\mathcal{R}}_n=\left\{R_{\frac{2k\pi }{n}}|k=0,1,\dots ,n-1\right\},$$

iar $\left({\mathcal{R}}_n,\circ \right)$ este grup comutativ cu $n$ elemente, în care compunerea revine la adunarea indicilor $k$ modulo $n$. Dacă ai impresia că ai mai văzut această regulă, ai dreptate: este exact regula de calcul din Grupul rădăcinilor de ordinul n ale unității, unde ${\epsilon }^k\cdot {\epsilon }^j={\epsilon }^{k+j}$ cu exponentul redus modulo $n$. Cele două grupuri sunt „aceeași tablă cu alte nume" — o asemănare care va primi denumirea ei tehnică în unitatea aceasta, la lecția 32.

6. Ce păstrează aceste transformări?

Motivul pentru care translațiile și rotațiile se numesc transformări geometrice, și nu doar „funcții de la plan la plan", este că păstrează distanțele. Verificăm afirmația pentru rotații, folosind formula distanței dintre două puncte din clasa a XI-a.

Fie $M(x_1,y_1)$ și $N(x_2,y_2)$, iar $u=x_1-x_2$, $v=y_1-y_2$. Imaginile lor prin $R_{\theta }$ au diferențele de coordonate $u\cos \theta -v\sin \theta$ și $u\sin \theta +v\cos \theta$, deci pătratul distanței dintre imagini este

$${\left(u\cos \theta -v\sin \theta \right)}^2+{\left(u\sin \theta +v\cos \theta \right)}^2=u^2\left({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta \right)+v^2\left({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta \right)=u^2+v^2,$$

pentru că termenii cu produsul $uv$ se reduc. Am obținut exact pătratul distanței $MN$. Pentru translații verificarea e imediată: diferențele de coordonate nu se schimbă deloc, fiindcă la fiecare punct se adaugă același $a$ și același $b$.

Consecința practică, folosită în probleme: prin translație sau rotație, un segment se duce într-un segment de aceeași lungime, un triunghi într-un triunghi congruent cu el, un cerc într-un cerc de aceeași rază. De aceea putem muta o figură într-o poziție convenabilă (de pildă cu un vârf în origine) fără să schimbăm nimic din datele problemei.

7. De ce nu se pot amesteca translațiile cu rotațiile?

Este tentant să crezi că mulțimea formată din toate translațiile și toate rotațiile în jurul lui $O$ ar fi tot un grup. Nu este, iar contraexemplul se scrie în două rânduri.

Luăm $t_{(1,0)}$ și $R_{\frac{\pi }{2}}$ și le compunem în ambele ordini, urmărind ce se întâmplă cu originea:

$$\left(R_{\frac{\pi }{2}}\circ t_{(1,0)}\right)(0,0)=R_{\frac{\pi }{2}}(1,0)=(0,1),\left(t_{(1,0)}\circ R_{\frac{\pi }{2}}\right)(0,0)=t_{(1,0)}(0,0)=(1,0).$$

Rezultatele diferă, deci $R_{\frac{\pi }{2}}\circ t_{(1,0)}\ne t_{(1,0)}\circ R_{\frac{\pi }{2}}$: compunerea unei translații cu o rotație nu este comutativă. Mai mult, niciuna dintre cele două compuneri nu este nici translație, nici rotație în jurul lui $O$. Nu e rotație în jurul lui $O$, pentru că o astfel de rotație lasă originea pe loc, iar aici originea se mută. Și nu e translație, pentru că o translație deplasează toate punctele cu aceeași pereche de numere, iar aici deplasările diferă: $R_{\frac{\pi }{2}}\circ t_{(1,0)}$ duce $(0,0)$ în $(0,1)$, deci cu deplasarea $(0,1)$, dar duce $(1,0)$ în $(0,2)$, deci cu deplasarea $(-1,2)$. Mulțimea reunită nu este parte stabilă în forma în care am descris-o, deci discuția despre grup nici nu începe.

Morala, valabilă în tot capitolul: înainte de orice verificare de axiome, verifică partea stabilă. Dacă operația scoate din mulțime, restul nu mai contează.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Compuneri și inverse de translații

Se consideră $t_{(3,-1)}$ și $t_{(-5,4)}$. Calculează $t_{(3,-1)}\circ t_{(-5,4)}$, apoi inversa acestei compuneri, și verifică rezultatul pe punctul $M(2,2)$.

Rezolvare. După formula de compunere, coordonatele se adună:

$$t_{(3,-1)}\circ t_{(-5,4)}=t_{(3-5,-1+4)}=t_{(-2,3)}.$$

Inversa unei translații se obține schimbând semnele: ${\left(t_{(-2,3)}\right)}^{-1}=t_{(2,-3)}$. Verificare pe $M(2,2)$: mai întâi $t_{(-5,4)}(2,2)=(-3,6)$, apoi $t_{(3,-1)}(-3,6)=(0,5)$; pe de altă parte $t_{(-2,3)}(2,2)=(0,5)$. ✓ Și $t_{(2,-3)}(0,5)=(2,2)$, adică revenim în punctul de plecare. ✓

Exemplul 2 — O rotație, în două scrieri

Determină imaginea punctului $A(2,0)$ prin rotația $R_{\frac{2\pi }{3}}$, folosind atât formula cu coordonate, cât și matricea de rotație.

Rezolvare. Avem $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ și $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Cu formula:

$$R_{\frac{2\pi }{3}}(2,0)=\left(2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-0\cdot \frac{\sqrt{3}}{2},2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+0\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right)=\left(-1,\sqrt{3}\right).$$

Cu matricea, același lucru scris ca produs:

$$\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ \sqrt{3}\end{array}\right).$$

Control: distanța de la $O$ la $A$ este $2$, iar $\sqrt{(-1{)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{4}=2$ — rotația a păstrat distanța față de centru, așa cum trebuie.

Exemplul 3 — O mulțime mai mică de translații

Arată că mulțimea $D=\left\{t_{(k,0)}|k\in \mathbb{Z}\right\}$ a translațiilor de-a lungul axei $Ox$, cu pas întreg, formează grup comutativ față de compunere.

Rezolvare. Parte stabilă: $t_{(k,0)}\circ t_{(l,0)}=t_{(k+l,0)}$, iar $k+l\in \mathbb{Z}$, deci compunerea rămâne în $D$. Asociativitate: moștenită de la compunerea funcțiilor. Element neutru: $t_{(0,0)}\in D$, obținut pentru $k=0$. Invers: pentru $t_{(k,0)}$ luăm $t_{(-k,0)}$, care este în $D$ fiindcă $-k\in \mathbb{Z}$. Comutativitate: $k+l=l+k$. Deci $(D,\circ )$ este grup comutativ.

Observație: $D$ este exact mulțimea translațiilor care duc punctele de abscisă întreagă tot în puncte de abscisă întreagă, adică transformările care „invariază" diviziunea echidistantă de pas $1$ a axei $Ox$ — exemplul geometric pe care îl cere programa de matematică-informatică.

Exemplul 4 — Tabla grupului rotațiilor triunghiului echilateral

Scrie tabla grupului ${\mathcal{R}}_3=\left\{R_0,R_{\frac{2\pi }{3}},R_{\frac{4\pi }{3}}\right\}$ și citește pe ea inversul fiecărui element.

Rezolvare. Notăm prescurtat $r=R_{\frac{2\pi }{3}}$, deci $r\circ r=R_{\frac{4\pi }{3}}$ și $r\circ r\circ r=R_{2\pi }=R_0$.

Elementul neutru este $R_0$. În linia lui $r$, valoarea $R_0$ apare în coloana lui $r\circ r$, deci inversul lui $R_{\frac{2\pi }{3}}$ este $R_{\frac{4\pi }{3}}$ — ceea ce se confirmă și geometric: o rotire de $120^{\circ }$ se desface cu o rotire de $240^{\circ }$, fiindcă împreună fac un tur complet.

Exemplul 5 — O ecuație cu transformări

Determină transformarea $x$ din grupul translațiilor care verifică $t_{(4,-2)}\circ x=t_{(1,3)}$.

Rezolvare. Compunem la stânga cu inversa lui $t_{(4,-2)}$, adică $t_{(-4,2)}$:

$$x=t_{(-4,2)}\circ t_{(1,3)}=t_{(-4+1,2+3)}=t_{(-3,5)}.$$

Verificare: $t_{(4,-2)}\circ t_{(-3,5)}=t_{(4-3,-2+5)}=t_{(1,3)}$. ✓ Fiindcă grupul translațiilor este comutativ, ecuația $x\circ t_{(4,-2)}=t_{(1,3)}$ are aceeași soluție — lucru care nu se mai întâmplă în grupurile necomutative, cum vei vedea la Reguli de calcul într-un grup; ecuații într-un grup.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Un enunț în formatul Subiectului al II-lea, cu trei subpuncte. Se consideră mulțimea rotațiilor în jurul originii, $\mathcal{R}=\left\{R_{\theta }|\theta \in [0,2\pi )\right\}$, cu operația de compunere a funcțiilor.

a) Arată că $R_{\frac{\pi }{4}}\circ R_{\frac{\pi }{6}}=R_{\frac{5\pi }{12}}$. b) Arată că $\left(\mathcal{R},\circ \right)$ este grup comutativ. c) Rezolvă în $\mathcal{R}$ ecuația $R_{\frac{\pi }{3}}\circ x=R_{\frac{\pi }{6}}$.

Rezolvare. a) Aplicăm formula $R_{\alpha }\circ R_{\beta }=R_{\alpha +\beta }$ cu $\alpha =\frac{\pi }{4}$ și $\beta =\frac{\pi }{6}$. Cum $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi +2\pi }{12}=\frac{5\pi }{12}$, iar acest unghi este în $[0,2\pi )$, obținem $R_{\frac{5\pi }{12}}$.

b) Partea stabilă și legea: $R_{\alpha }\circ R_{\beta }=R_{\alpha +\beta }$, cu suma redusă modulo $2\pi$, deci rezultatul este tot din $\mathcal{R}$. Asociativitatea este cea a compunerii funcțiilor. Elementul neutru este $R_0$, fiindcă $R_{\theta }\circ R_0=R_0\circ R_{\theta }=R_{\theta }$. Inversul lui $R_{\theta }$ este $R_{2\pi -\theta }$ pentru $\theta \ne 0$ (și $R_0$ pentru $\theta =0$), pentru că $R_{\theta }\circ R_{2\pi -\theta }=R_{2\pi }=R_0$. Comutativitatea rezultă din comutativitatea adunării unghiurilor.

c) Compunem la stânga cu inversul lui $R_{\frac{\pi }{3}}$, care este $R_{2\pi -\frac{\pi }{3}}=R_{\frac{5\pi }{3}}$:

$$x=R_{\frac{5\pi }{3}}\circ R_{\frac{\pi }{6}}=R_{\frac{5\pi }{3}+\frac{\pi }{6}}=R_{\frac{10\pi +\pi }{6}}=R_{\frac{11\pi }{6}}.$$

Verificare: $R_{\frac{\pi }{3}}\circ R_{\frac{11\pi }{6}}=R_{\frac{2\pi +11\pi }{6}}=R_{\frac{13\pi }{6}}=R_{\frac{13\pi }{6}-2\pi }=R_{\frac{\pi }{6}}$. ✓

Să exersăm

1. Calculează $t_{(5,-3)}(1,4)$, $t_{(-2,0)}(0,7)$ și $t_{(0,0)}(-6,2)$.

2. Determină coordonatele translației $t_{(a,b)}\circ t_{(c,d)}$ pentru $(a,b)=(7,-2)$ și $(c,d)=(-7,2)$. Ce transformare ai obținut?

3. Scrie inversa fiecăreia dintre translațiile $t_{(1,1)}$, $t_{(-4,9)}$, $t_{\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{3}\right)}$.

4. Calculează $R_{\pi }(5,-2)$ și $R_{\frac{3\pi }{2}}(5,-2)$, folosind formulele din lecție.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Compunerea a două rotații cu același centru este întotdeauna o rotație cu același centru."

6. Arată că $R_{\frac{\pi }{2}}\circ R_{\frac{\pi }{2}}=R_{\pi }$, verificând egalitatea pe un punct oarecare $(x,y)$.

7. Determină inversul rotației $R_{\frac{\pi }{5}}$ și scrie unghiul lui în intervalul $[0,2\pi )$.

8. Arată că mulțimea $\left\{t_{(a,0)}|a\in \mathbb{R}\right\}$ a translațiilor paralele cu axa $Ox$ este grup comutativ față de compunere.

9. Scrie tabla grupului ${\mathcal{R}}_2=\left\{R_0,R_{\pi }\right\}$ și citește pe ea inversul fiecărui element.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Mulțimea $\left\{t_{(a,b)}|a,b\in \mathbb{Z},a+b=1\right\}$ este parte stabilă în raport cu compunerea."

11. Rezolvă ecuația $x\circ t_{(2,-6)}=t_{(-1,1)}$ în grupul translațiilor.

12. Rezolvă ecuația $R_{\frac{\pi }{2}}\circ x=R_{\frac{\pi }{4}}$ în grupul rotațiilor cu centrul în origine.

13. (Problemă aplicată.) Un robot pornește din punctul $(0,0)$ și execută, în această ordine, comenzile: „mergi $3$ unități pe $Ox$ și $2$ pe $Oy$", apoi „rotește-te cu $90^{\circ }$ în jurul originii", apoi „mergi $1$ unitate pe $Ox$". În ce punct ajunge? Ce se întâmplă dacă schimbi ordinea primelor două comenzi?

14. Arată că ${\mathcal{R}}_6=\left\{R_{\frac{2k\pi }{6}}|k=0,1,\dots ,5\right\}$ este parte stabilă în raport cu compunerea și scrie inversul fiecărui element.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $T=\left\{t_{(a,b)}|a,b\in \mathbb{R}\right\}$ cu operația de compunere. a) Arată că $t_{(2,3)}\circ t_{(-2,1)}=t_{(0,4)}$. b) Arată că $(T,\circ )$ are element neutru și că orice element este simetrizabil. c) Rezolvă ecuația $t_{(1,-1)}\circ x\circ t_{(0,2)}=t_{(3,3)}$.

16. Demonstrează că, pentru orice $\theta$, rotația $R_{\theta }$ duce cercul de centru $O$ și rază $r$ tot în cercul de centru $O$ și rază $r$.

17. Arată că translația $t_{(a,b)}$ duce dreapta de ecuație $y=mx+n$ în dreapta de ecuație $y=mx+n+b-ma$, deci în una paralelă cu ea (sau chiar în ea însăși).

18. (Provocare.) Fie $\theta$ un unghi pentru care $\frac{\theta }{2\pi }$ este număr rațional, $\frac{\theta }{2\pi }=\frac{p}{q}$ cu $p,q$ întregi, $q\ge 1$. Arată că mulțimea tuturor compunerilor repetate ale lui $R_{\theta }$ cu ea însăși este finită și are cel mult $q$ elemente. Ce se întâmplă dacă $\frac{\theta }{2\pi }$ este irațional?

Răspunsuri și explicații

1. $t_{(5,-3)}(1,4)=(6,1)$; $t_{(-2,0)}(0,7)=(-2,7)$; $t_{(0,0)}(-6,2)=(-6,2)$, fiindcă $t_{(0,0)}$ este funcția identică a planului.

2. $t_{(7,-2)}\circ t_{(-7,2)}=t_{(0,0)}=1_{{\mathbb{R}}^2}$: cele două translații sunt una inversa celeilalte, iar compunerea lor lasă fiecare punct pe loc.

3. ${\left(t_{(1,1)}\right)}^{-1}=t_{(-1,-1)}$; ${\left(t_{(-4,9)}\right)}^{-1}=t_{(4,-9)}$; ${\left(t_{\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{3}\right)}\right)}^{-1}=t_{\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)}$.

4. $R_{\pi }(5,-2)=(-5,2)$, iar $R_{\frac{3\pi }{2}}(5,-2)=(y,-x)=(-2,-5)$.

5. Adevărat. Din calculul cu formulele sumei de unghiuri rezultă $R_{\alpha }\circ R_{\beta }=R_{\alpha +\beta }$, iar unghiul $\alpha +\beta$ se reduce modulo $2\pi$ la un unghi din $[0,2\pi )$. Condiția esențială este ca cele două rotații să aibă același centru; pentru centre diferite afirmația este falsă.

6. $R_{\frac{\pi }{2}}(x,y)=(-y,x)$, iar aplicând din nou obținem $R_{\frac{\pi }{2}}(-y,x)=(-x,-y)=R_{\pi }(x,y)$. Cum egalitatea are loc în orice punct, cele două funcții sunt egale.

7. ${\left(R_{\frac{\pi }{5}}\right)}^{-1}=R_{-\frac{\pi }{5}}=R_{2\pi -\frac{\pi }{5}}=R_{\frac{9\pi }{5}}$.

8. Parte stabilă: $t_{(a,0)}\circ t_{(c,0)}=t_{(a+c,0)}$. Asociativitate: moștenită. Neutru: $t_{(0,0)}$, obținut pentru $a=0$. Invers: $t_{(-a,0)}$. Comutativitate: $a+c=c+a$. Deci mulțimea este grup comutativ.

9. Tabla: $R_0\circ R_0=R_0$, $R_0\circ R_{\pi }=R_{\pi }$, $R_{\pi }\circ R_0=R_{\pi }$, $R_{\pi }\circ R_{\pi }=R_{2\pi }=R_0$. Fiecare element este propriul invers.

10. Fals. Pentru $t_{(1,0)}$ și $t_{(0,1)}$, ambele din mulțime, compunerea este $t_{(1,1)}$, iar $1+1=2\ne 1$, deci rezultatul nu mai este în mulțime. (Se vede și fără calcul: mulțimea nu conține elementul neutru $t_{(0,0)}$, fiindcă $0+0\ne 1$.)

11. Compunem la dreapta cu inversul: $x=t_{(-1,1)}\circ t_{(-2,6)}=t_{(-3,7)}$. Verificare: $t_{(-3,7)}\circ t_{(2,-6)}=t_{(-1,1)}$. ✓

12. $x={\left(R_{\frac{\pi }{2}}\right)}^{-1}\circ R_{\frac{\pi }{4}}=R_{\frac{3\pi }{2}}\circ R_{\frac{\pi }{4}}=R_{\frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{4}}=R_{\frac{7\pi }{4}}$. Verificare: $\frac{\pi }{2}+\frac{7\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$, care redus modulo $2\pi$ dă $\frac{\pi }{4}$. ✓

13. Punctul de plecare $(0,0)$ ajunge, după prima comandă, în $(3,2)$; rotația cu $90^{\circ }$ îl duce în $(-2,3)$; ultima comandă îl duce în $(-1,3)$. Dacă schimbăm ordinea primelor două comenzi, obținem: $R_{\frac{\pi }{2}}(0,0)=(0,0)$, apoi $t_{(3,2)}(0,0)=(3,2)$, apoi $t_{(1,0)}(3,2)=(4,2)$ — cu totul alt punct. Compunerea unei translații cu o rotație nu este comutativă.

14. $R_{\frac{2k\pi }{6}}\circ R_{\frac{2j\pi }{6}}=R_{\frac{2(k+j)\pi }{6}}$, iar $k+j$ se reduce modulo $6$ la un indice din $\{0,1,\dots ,5\}$, deci mulțimea este parte stabilă. Inversul elementului de indice $k$ este cel de indice $6-k$ (pentru $k\ne 0$), iar $R_0$ este propriul invers.

15. a) $t_{(2,3)}\circ t_{(-2,1)}=t_{(2-2,3+1)}=t_{(0,4)}$. b) Elementul neutru este $t_{(0,0)}$, pentru că adunarea cu $0$ nu schimbă coordonatele; iar orice $t_{(a,b)}$ are simetricul $t_{(-a,-b)}$, care aparține lui $T$ fiindcă $-a,-b\in \mathbb{R}$. c) Compunem la stânga cu $t_{(-1,1)}$ și la dreapta cu $t_{(0,-2)}$: $x=t_{(-1,1)}\circ t_{(3,3)}\circ t_{(0,-2)}=t_{(-1+3+0,1+3-2)}=t_{(2,2)}$. Verificare: $t_{(1,-1)}\circ t_{(2,2)}\circ t_{(0,2)}=t_{(1+2+0,-1+2+2)}=t_{(3,3)}$. ✓

16. Un punct $M(x,y)$ este pe cercul de centru $O$ și rază $r$ dacă și numai dacă $x^2+y^2=r^2$. Imaginea lui prin $R_{\theta }$ are coordonatele $x^{\prime }=x\cos \theta -y\sin \theta$ și $y^{\prime }=x\sin \theta +y\cos \theta$, iar $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=x^2+y^2=r^2$ (calculul din subsecțiunea 6, cu $N=O$). Deci imaginea este tot pe același cerc; reciproc, orice punct al cercului este imaginea unui punct al cercului, prin $R_{-\theta }$.

17. Un punct al dreptei are coordonatele $(x,mx+n)$, iar imaginea lui prin $t_{(a,b)}$ este $(x+a,mx+n+b)$. Notând $X=x+a$, avem $x=X-a$, deci a doua coordonată devine $m(X-a)+n+b=mX+(n+b-ma)$. Imaginea este așadar dreapta $y=mx+n+b-ma$, care are aceeași pantă $m$, deci este paralelă cu prima (sau coincide cu ea, dacă $b=ma$).

18. Prin compuneri repetate obținem $R_{\theta }$, $R_{2\theta }$, $R_{3\theta }$ și așa mai departe, adică rotații de unghiuri $k\theta$. Dacă $\theta =2\pi \frac{p}{q}$, atunci $q\theta =2\pi p$ este multiplu de $2\pi$, deci $R_{q\theta }=R_0$: după cel mult $q$ compuneri revenim la identitate, iar de acolo lista se repetă. Mulțimea obținută are deci cel mult $q$ elemente. Dacă $\frac{\theta }{2\pi }$ este irațional, nu există niciun $k\ge 1$ cu $k\theta$ multiplu de $2\pi$ (altfel raportul ar fi rațional), deci toate rotațiile $R_{k\theta }$ sunt distincte și mulțimea este infinită.

De reținut

• Translația $t_{(a,b)}(x,y)=(x+a,y+b)$ mută toate punctele planului cu aceleași cantități, iar mulțimea tuturor translațiilor formează un grup comutativ față de compunerea funcțiilor.
• La compunerea translațiilor, coordonatele se adună: $t_{(a,b)}\circ t_{(c,d)}=t_{(a+c,b+d)}$, elementul neutru este $t_{(0,0)}=1_{{\mathbb{R}}^2}$, iar inversul lui $t_{(a,b)}$ este $t_{(-a,-b)}$.
• Rotația $R_{\theta }(x,y)=(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta )$ este transformarea planului care corespunde înmulțirii cu matricea de rotație $R(\theta )$ studiată la clasa a XI-a.
• La compunerea rotațiilor cu același centru, unghiurile se adună: $R_{\alpha }\circ R_{\beta }=R_{\alpha +\beta }$, cu reducere modulo $2\pi$; neutrul este $R_0$, iar inversul lui $R_{\alpha }$ este $R_{2\pi -\alpha }$.
• Rotațiile care lasă pe loc un poligon regulat cu $n$ laturi formează un grup comutativ cu $n$ elemente, în care compunerea revine la adunarea indicilor modulo $n$.

Greșeli frecvente

• Se compune în ordinea greșită. În $f\circ g$ se aplică întâi $g$, apoi $f$. La translații rezultatul e același, fiindcă grupul e comutativ, dar la amestecul de translații și rotații ordinea schimbă complet răspunsul.
• Se pierde condiția „același centru". Formula $R_{\alpha }\circ R_{\beta }=R_{\alpha +\beta }$ este adevărată numai pentru rotații în jurul aceluiași punct. Două rotații cu centre diferite dau, în general, altceva decât o rotație în jurul unuia dintre ele.
• Se uită reducerea modulo $2\pi$. Când unghiurile se adună și depășesc $2\pi$, rotația se scrie cu unghiul din $[0,2\pi )$: $R_{\frac{9\pi }{4}}$ este aceeași transformare cu $R_{\frac{\pi }{4}}$, iar la examen se cere forma redusă.
• Se confundă matricea cu transformarea. $R(\theta )$ este o matrice de ordin $2$, care se înmulțește; $R_{\theta }$ este o funcție de la plan la plan, care se compune. Sunt același obiect privit în două feluri, dar semnele de operație sunt diferite: $\cdot$ pentru matrice, $\circ$ pentru transformări.
• Se sare peste verificarea părții stabile. La o mulțime de transformări dată prin condiții (de pildă $a+b=1$), primul lucru de verificat este dacă operația nu iese din mulțime. Dacă iese, discuția despre grup se oprește acolo.

Aplică acasă

1. Hârtia de calc. Desenează un triunghi pe o foaie și copiază-l pe hârtie de calc. Alunecă hârtia de calc cu $4$ pătrățele la dreapta și $2$ în sus, apoi cu $3$ la stânga și $1$ în jos, și marchează pozițiile. Verifică prin măsurare că poziția finală se obține și dintr-o singură alunecare, cu $1$ pătrățel la dreapta și $1$ în sus.

2. Rotirea în jurul unui ac. Fixează cu un ac centrul unui pătrat de carton pe o foaie și trasează conturul lui. Rotește-l succesiv cu câte $90^{\circ }$ și numără de câte ori trebuie să o faci ca să revii exact peste conturul inițial. Scrie apoi tabla celor patru rotații și compar-o cu cea din lecție.

3. Două ordini, două rezultate. Alege un punct pe o foaie milimetrică. Aplică-i mai întâi translația de coordonate $(2,0)$ și apoi rotația de $90^{\circ }$ în jurul originii; notează unde ajunge. Reia de la același punct, în ordinea inversă, și notează din nou. Explică în două fraze de ce rezultatele diferă și ce ar trebui să fie adevărat ca să nu difere.

Pentru părinți și profesori

Lecția aduce în unitate primul grup ale cărui elemente nu sunt numere, ci funcții — pasul de abstractizare cel mai greu din tot capitolul. Programa cere explicit „grupul translațiilor și grupul rotațiilor cu același centru" (competențele XII.CS.1.2 și XII.CS.6.2), iar manualele le tratează adesea prin vectori. Aici, în schimb, translația este definită prin coordonate, pentru că traseul de matematică-informatică al elevului nu conține un capitol de vectori; toate demonstrațiile sunt complete și se sprijină doar pe geometria analitică din clasa a XI-a și pe formulele trigonometrice ale sumei de unghiuri.

De verificat în caiet: (1) egalitatea a două transformări se demonstrează arătând că iau aceeași valoare în fiecare punct, nu doar într-unul; (2) formulele de compunere sunt scrise complet, cu ordinea corectă; (3) unghiurile rezultate sunt reduse în $[0,2\pi )$; (4) verificarea părții stabile precede orice altceva. Întrebări bune de control: „Ce se întâmplă cu coordonatele când compui două translații?"; „De ce inversa rotației $R_{\theta }$ este $R_{-\theta }$?"; „De ce mulțimea formată din translații și rotații laolaltă nu e grup?".

La BAC M1, transformările geometrice apar mai rar decât legile de compoziție date prin formule, dar când apar sunt un cadou: toate verificările se fac prin adunare de numere. Tiparul obișnuit este Subiectul al II-lea, cu trei subpuncte — o compunere concretă, apoi structura de grup, apoi o ecuație. Semn că elevul a înțeles: nu mai desenează ca să compună, ci adună coordonatele sau unghiurile și verifică rezultatul pe un singur punct.

Întrebări frecvente

Ce este o translație a planului? Este funcția $t_{(a,b)}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ dată prin $t_{(a,b)}(x,y)=(x+a,y+b)$, adică transformarea care mută fiecare punct cu $a$ unități pe orizontală și $b$ pe verticală. Toate punctele se deplasează la fel, deci figura își păstrează forma, mărimea și orientarea; numerele $a$ și $b$ o determină complet.

Cum se compun două translații? Coordonatele lor se adună: $t_{(a,b)}\circ t_{(c,d)}=t_{(a+c,b+d)}$. Rezultatul este tot o translație, ceea ce arată că mulțimea translațiilor este parte stabilă în raport cu compunerea. Ordinea nu contează, fiindcă adunarea numerelor reale este comutativă, deci grupul translațiilor este comutativ.

Care este formula rotației de unghi θ în jurul originii? Formula este $R_{\theta }(x,y)=(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta )$. Ea se obține scriind punctul ca matrice coloană și înmulțind cu matricea de rotație de la clasa a XI-a. Pentru unghiuri uzuale iese direct: $R_{\frac{\pi }{2}}(x,y)=(-y,x)$ și $R_{\pi }(x,y)=(-x,-y)$.

De ce formează rotațiile cu același centru un grup? Pentru că se compun după regula $R_{\alpha }\circ R_{\beta }=R_{\alpha +\beta }$, deci mulțimea e parte stabilă; compunerea funcțiilor este asociativă; rotația de unghi $0$ este element neutru; iar $R_{-\theta }$ este inversa lui $R_{\theta }$. Condiția „același centru" este esențială: pentru centre diferite, compunerea nu mai este, în general, o rotație în jurul lor.

Cum se calculează inversa unei rotații? Se schimbă semnul unghiului: inversa lui $R_{\theta }$ este $R_{-\theta }$, adică $R_{2\pi -\theta }$ dacă vrei unghiul scris în intervalul $[0,2\pi )$. Verificarea este imediată: $R_{\theta }\circ R_{-\theta }=R_0$, iar $R_0$ este identitatea planului, transformarea care lasă fiecare punct pe loc.

Câte rotații lasă pe loc un poligon regulat cu n laturi? Exact $n$: cele de unghiuri $\frac{2k\pi }{n}$, cu $k$ de la $0$ la $n-1$. Ele formează un grup comutativ cu $n$ elemente, în care compunerea revine la adunarea indicilor modulo $n$. Pentru pătrat sunt patru rotații, pentru triunghiul echilateral trei, pentru hexagonul regulat șase.

De ce nu comută o translație cu o rotație? Pentru că rotația lasă originea pe loc, iar translația o mută. Concret, $\left(R_{\frac{\pi }{2}}\circ t_{(1,0)}\right)(0,0)=(0,1)$, în timp ce $\left(t_{(1,0)}\circ R_{\frac{\pi }{2}}\right)(0,0)=(1,0)$. Un singur punct în care rezultatele diferă este suficient ca să spunem că cele două compuneri sunt funcții diferite.

Ce se cere din transformările geometrice la clasa a 12-a în examen? Se cere, de regulă, verificarea structurii de grup pentru o mulțime concretă de translații sau de rotații, o compunere numerică și o ecuație de tipul $a\circ x=b$. Toate se rezolvă adunând coordonate sau unghiuri, fără desen. Enunțurile de tip Bacalaureat M1 au trei subpuncte, gradate exact în această ordine.