Teorema lui Lagrange: pe scurt

Într-un grup finit, numărul de elemente se numește ordinul grupului și se notează $\mathrm{card}G$. Pentru un subgrup $H$ și un element $x$, mulțimea $xH=\{xh\mid h\in H\}$ se numește clasa la stânga a lui $x$. Două propoziții pregătesc rezultatul: fiecare clasă are exact $\mathrm{card}H$ elemente (funcția $h\mapsto xh$ este bijectivă, prin simplificare la stânga), iar două clase sunt egale sau disjuncte, fiecare element aflându-se în propria clasă. Clasele împart deci grupul în felii de aceeași mărime.

Teorema lui Lagrange (pentru grupuri finite, a nu se confunda cu teorema lui Lagrange din analiză): dacă $H$ este subgrup al grupului finit $G$, atunci $\mathrm{card}H$ divide $\mathrm{card}G$, iar numărul claselor este $\frac{\mathrm{card}G}{\mathrm{card}H}$. Consecința 1 a teoremei lui Lagrange: $\mathrm{ord}(x)\mid \mathrm{card}G$ pentru orice $x\in G$ — se demonstrează arătând că mulțimea $H_x=\{e,x,\dots ,x^{n-1}\}$ este subgrup cu $n$ elemente. Consecința 2 a teoremei lui Lagrange: $x^{\mathrm{card}G}=e$, de unde, în $U({\mathbb{Z}}_p,\cdot )$ cu $p$ prim, ${\hat{a}}^{p-1}=\hat{1}$. Teorema este o condiție necesară: reciproca ei este falsă, ea se aplică numai grupurilor finite și vorbește despre subgrupuri, nu despre submulțimi oarecare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Un grup finit are $20$ de elemente. Câte elemente nu poate avea un subgrup al său?

   • a) $4$
   • b) $5$
   • c) $8$
   • d) $10$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $8$

   Din teorema lui Lagrange, cardinalul oricărui subgrup divide $20$, deci poate fi doar $1$, $2$, $4$, $5$, $10$ sau $20$. Cum $8$ nu divide $20$, niciun subgrup nu poate avea $8$ elemente. Celelalte trei valori sunt divizori ai lui $20$, deci teorema nu le exclude — atenție însă, teorema nu garantează nici că ele chiar apar.

2. Care dintre valori nu poate fi ordinul unui element al unui grup cu $21$ de elemente?

   • a) $9$
   • b) $7$
   • c) $3$
   • d) $21$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $9$

   Consecința 1 a teoremei lui Lagrange spune că $\mathrm{ord}(x)\mid \mathrm{card}G$, iar divizorii lui $21$ sunt $1$, $3$, $7$ și $21$. Numărul $9$ nu divide $21$, deci niciun element nu poate avea ordinul $9$. Este testul rapid de respingere care economisește orice calcul: se compară valoarea propusă cu lista divizorilor cardinalului.

3. Fie $G$ un grup cu $14$ elemente și $x\in G$. Atunci $x^{2026}$ este egal cu:

   • a) $e$
   • b) $x^{10}$
   • c) $x^4$
   • d) $x^2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $x^{10}$

   Consecința 2 a teoremei lui Lagrange dă $x^{14}=e$, deci puterile se reduc modulo $14$. Cum $2026=14\cdot 144+10$, obținem $x^{2026}={\left(x^{14}\right)}^{144}\cdot x^{10}=x^{10}$. Variantele $x^4$ și $x^2$ vin din resturi calculate greșit, iar $e$ ar cere ca $14$ să dividă $2026$, ceea ce nu se întâmplă.