Grupuri finite; teorema lui Lagrange

Q: Ce spune teorema lui Lagrange pentru grupuri finite?

Spune că, dacă H este subgrup al unui grup finit G, atunci numărul de elemente al lui H divide numărul de elemente al lui G, adică card H | card G. Consecința practică imediată este că poți exclude, fără niciun calcul, cardinalele care nu sunt divizori ai lui card G.

Q: Cum se demonstrează teorema lui Lagrange?

Se construiesc clasele la stânga xH ale subgrupului. Se arată întâi că fiecare clasă are exact card H elemente, apoi că două clase sunt egale sau disjuncte, deci că ele împart grupul în felii egale. Numărând elementele felie cu felie se obține card G = k · card H.

Q: Ce este clasa la stânga a unui element?

Clasa la stânga a lui x în raport cu subgrupul H este mulțimea xH = xh | h ∈ H, adică rezultatul compunerii lui x, la stânga, cu toate elementele lui H. În notație aditivă se scrie x + H. Elementul x se află întotdeauna în propria lui clasă, pentru că e ∈ H.

Q: Care sunt consecințele teoremei lui Lagrange?

Consecința 1 spune că ordinul oricărui element divide ordinul grupului: ord(x) | card G. Consecința 2 spune că x^(card G) = e pentru orice element. Prima exclude ordine imposibile, a doua reduce orice putere cu exponent mare la restul împărțirii exponentului la card G.

Q: Este adevărată reciproca teoremei lui Lagrange?

Nu. Din faptul că un număr divide cardinalul grupului nu rezultă că grupul are un subgrup cu acel număr de elemente. Există grupuri cu douăsprezece elemente fără niciun subgrup cu șase elemente. Teorema este deci o condiție necesară pentru existența unui subgrup, niciodată una suficientă.

Q: De ce un grup cu un număr prim de elemente nu are subgrupuri proprii?

Pentru că, din teoremă, cardinalul oricărui subgrup divide numărul prim p, deci este 1 sau p. Subgrupul cu un element este e, iar cel cu p elemente este tot grupul; amândouă sunt improprii. În plus, orice element diferit de e are ordinul p.

Q: Cum se calculează o putere cu exponent mare într-un grup finit?

Se împarte exponentul la card G și se păstrează restul, pentru că x^(card G) = e. De exemplu, într-un grup cu șase elemente, din 2026 = 337 · 6 + 4 rezultă x²⁰²⁶ = x⁴. Metoda funcționează și cu ordinul elementului, care dă de obicei un rest și mai mic.

Q: Unde apare teorema lui Lagrange în subiectele de Bacalaureat M1?

În Subiectul al II-lea, mai ales prin consecințele ei: se cere ordinul unui element, se cere o putere cu exponent mare într-un grup de clase de resturi sau se cere să justifici de ce un anumit subgrup nu poate exista. Demonstrația completă a teoremei nu se cere la examen, dar enunțul și consecințele se folosesc constant.

La lecția despre subgrup ai rămas cu o întrebare fără răspuns: de ce $(Z_{6}, +)$ are subgrupuri cu $1$ , $2$ , $3$ și $6$ elemente, dar niciunul cu $4$ sau cu $5$ , și de ce grupul permutărilor de grad $3$ nu are niciun subgrup cu patru elemente? Răspunsul este teorema lui Lagrange, teorema centrală a unității de grupuri de la clasa a 12-a. Teorema lui Lagrange spune că, într-un grup finit, numărul de elemente al oricărui subgrup divide numărul de elemente al grupului: dacă $H$ este subgrup al lui $G$ , atunci $card H ∣ card G$ . O demonstrăm aici, integral, și îi scoatem consecințele pe care le cer subiectele de matematică-informatică.

Un avertisment de la bun început, ca să nu se creeze confuzie: numele „Lagrange" apare de două ori în programa de liceu, la două teoreme complet diferite. La analiză ai întâlnit Teorema lui Lagrange, cea a creșterilor finite, despre funcții derivabile. Aceasta de acum, din algebră, este despre grupuri finite. Amândouă poartă numele aceluiași matematician, dar nu au nimic în comun ca enunț sau ca demonstrație — iar la examen se citează cu precizarea capitolului.

Ce vei învăța

Vei ști să calculezi $card G$ pentru grupurile finite studiate și să folosești corect numele „ordinul grupului".
Vei ști să construiești clasele la stânga $x H$ ale unui subgrup și să arăți că ele au toate același număr de elemente.
Vei ști să demonstrezi că două clase sunt egale sau disjuncte, deci că ele împart grupul în părți egale.
Vei ști să enunți și să demonstrezi teorema lui Lagrange și să o folosești pentru a exclude cardinale imposibile de subgrupuri.
Vei ști să deduci Consecința 1 ( $ord (x)$ divide $card G$ ) și Consecința 2 ( $x^{card G} = e$ ) și să le aplici la puteri cu exponent mare.
Vei ști ce nu spune teorema: reciproca ei este falsă, iar un divizor al cardinalului nu garantează existența unui subgrup.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un grup finit și cum se numără elementele lui?

Grupul finit este un grup $(G, \cdot)$ care are un număr finit de elemente; acest număr se numește ordinul grupului și se notează $card G$ . Într-un grup finit toate calculele se pot citi de pe tabla operației, iar întrebarea centrală a lecției de față este ce cardinale pot avea subgrupurile unui astfel de grup.

Exemplele cu care lucrăm sunt cele construite deja în unitate:

$(Z_{n}, +)$ , grupul aditiv al claselor de resturi, cu $card Z_{n} = n$ ;
$U (Z_{n}, \cdot)$ , grupul claselor inversabile modulo $n$ , studiat la Grupul aditiv și grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo n; pentru $n$ prim el are $n - 1$ elemente;
$U_{n}$ , grupul rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității, cu $card U_{n} = n$ ;
$(S_{n}, \circ)$ , grupul permutărilor de grad $n$ , cu $card S_{n} = n!$ ; în particular $card S_{3} = 6$ și $card S_{4} = 24$ ;
grupul lui Klein, cu patru elemente.

Reține deosebirea de notație, pentru că amândouă mărimile apar în același enunț: $card G$ este numărul de elemente al grupului, iar $ord (x)$ este ordinul unui element, definit la Ordinul unui element al unui grup. Toată lecția vorbește despre legătura dintre ele.

2. Cum se împarte un grup după un subgrup?

Fie $G$ un grup finit și $H$ un subgrup al său. Ideea demonstrației este să tăiem grupul în felii, câte una pentru fiecare element, și să arătăm că toate feliile au aceeași mărime.

Definiție. Pentru $x \in G$ , mulțimea $x H = {x h ∣ h \in H}$ se numește clasa la stânga a lui $x$ în raport cu subgrupul $H$ . În notație aditivă se scrie $x + H = {x + h ∣ h \in H}$ .

Cel mai bine se înțelege pe un exemplu. Luăm $G = (Z_{6}, +)$ și $H = {\hat{0}, \hat{3}}$ , despre care știm că e subgrup. Calculăm toate clasele:

$\hat{0} + H = {\hat{0}, \hat{3}}, \hat{1} + H = {\hat{1}, \hat{4}}, \hat{2} + H = {\hat{2}, \hat{5}},$ $\hat{3} + H = {\hat{3}, \hat{0}}, \hat{4} + H = {\hat{4}, \hat{1}}, \hat{5} + H = {\hat{5}, \hat{2}} .$

Deși am pornit de la șase elemente, am obținut doar trei clase distincte: ${\hat{0}, \hat{3}}$ , ${\hat{1}, \hat{4}}$ și ${\hat{2}, \hat{5}}$ . Fiecare are două elemente, ele nu se suprapun, iar împreună acoperă tot $Z_{6}$ . Numărând, $6 = 3 \cdot 2$ .

Al doilea exemplu, într-un grup necomutativ. În $(S_{3}, \circ)$ , cu numele fixate la Grupuri de matrice și grupuri de permutări, luăm $H = {e, σ_{3}}$ . Citind tabla lui $S_{3}$ obținem clasele distincte

$eH = {e, σ_{3}}, σ_{4} H = {σ_{4}, σ_{2}}, σ_{5} H = {σ_{5}, σ_{1}} .$

Din nou trei clase a câte două elemente, iar $6 = 3 \cdot 2$ . Cele două fenomene observate — clase de aceeași mărime, care nu se suprapun — sunt exact ce demonstrăm în continuare.

3. De ce au toate clasele același număr de elemente?

Propoziție. Pentru orice $x \in G$ avem $card (x H) = card H$ .

Demonstrație. Considerăm funcția $f : H \to x H$ , $f (h) = x h$ . Ea este surjectivă prin însăși definiția mulțimii $x H$ : orice element al lui $x H$ se scrie $x h$ pentru un $h \in H$ , deci este $f (h)$ . Ea este și injectivă: dacă $f (h_{1}) = f (h_{2})$ , adică $x h_{1} = x h_{2}$ , compunem la stânga cu $x^{- 1}$ și obținem $h_{1} = h_{2}$ — este regula de simplificare la stânga, demonstrată la Reguli de calcul într-un grup; ecuații într-un grup. Fiind bijectivă, $f$ pune în corespondență unu la unu elementele lui $H$ cu cele ale lui $x H$ , deci cele două mulțimi au același număr de elemente. $■$

Observă că nu am folosit nicăieri comutativitatea: propoziția e valabilă și în grupuri necomutative, cum e $S_{3}$ .

4. De ce nu se suprapun clasele și de ce acoperă tot grupul?

Propoziție. Fie $H$ un subgrup al lui $G$ și $x, y \in G$ . Atunci:

$x \in x H$ ;
dacă $x H \cap y H \neq = \emptyset$ , atunci $x H = y H$ .

Demonstrație. 1. Cum $H$ e subgrup, $e \in H$ , deci $x = x e \in x H$ .

Presupunem că există un element comun, adică $x h_{1} = y h_{2}$ pentru anumite $h_{1}, h_{2} \in H$ . Compunem la dreapta cu $h_{1}^{- 1}$ și obținem

$x = y h_{2} h_{1}^{- 1} .$

Notăm $h_{0} = h_{2} h_{1}^{- 1}$ ; el este în $H$ , pentru că $H$ e subgrup (conține inversele și e stabil). Atunci, pentru orice $h \in H$ ,

$x h = y h_{0} h \in y H,$

fiindcă $h_{0} h \in H$ . Deci $x H \subseteq y H$ . Schimbând rolurile lui $x$ și $y$ obținem $y H \subseteq x H$ , prin urmare $x H = y H$ . $■$

Punând cele două afirmații împreună: fiecare element al lui $G$ se află în cel puțin o clasă (punctul 1), iar două clase distincte nu au niciun element comun (punctul 2). Așadar clasele la stânga împart grupul în submulțimi disjuncte care îl acoperă complet — o „partiție" a lui $G$ , cu felii de aceeași mărime.

5. Teorema lui Lagrange

Teoremă (Lagrange). Fie $G$ un grup finit și $H$ un subgrup al său. Atunci $card H$ divide $card G$ .

Demonstrație. Notăm cu $k$ numărul claselor la stânga distincte ale lui $H$ în $G$ ; el este finit, pentru că $G$ e finit. Conform propoziției din secțiunea a patra, aceste $k$ clase sunt disjuncte două câte două și reuniunea lor este $G$ ; conform propoziției din secțiunea a treia, fiecare are exact $card H$ elemente. Numărând elementele lui $G$ clasă cu clasă obținem

$card G = k termeni card H + card H + \dots + card H = k \cdot card H,$

deci $card H ∣ card G$ . $■$

Teorema răspunde imediat la întrebările rămase deschise. În $(Z_{6}, +)$ , un subgrup poate avea $1$ , $2$ , $3$ sau $6$ elemente — sunt exact divizorii lui $6$ — și, într-adevăr, cele patru subgrupuri găsite la Subgrupul: definiție, criteriu și exemple au aceste cardinale. În $S_{3}$ , cu șase elemente, nu poate exista niciun subgrup cu patru elemente, pentru că $4$ nu divide $6$ ; nu mai e nevoie de nicio căutare.

Numărul $k$ din demonstrație are și el o interpretare simplă: $k = \frac{card G}{card H}$ este numărul de clase, adică de câte ori „încape" subgrupul în grup. În exemplele din secțiunea a doua, $k = 3$ în ambele cazuri.

6. Consecința 1: ordinul unui element divide ordinul grupului

Teorema vorbește despre subgrupuri, dar cea mai folosită consecință a ei vorbește despre elemente. Puntea o face următoarea observație.

Lemă. Fie $G$ un grup, $x \in G$ un element de ordin finit $n = ord (x)$ și fie $H_{x} = {e, x, x^{2}, \dots, x^{n - 1}} .$ Atunci $H_{x}$ este subgrup al lui $G$ și $card H_{x} = n$ .

Demonstrație. Cele $n$ elemente scrise sunt distincte două câte două: dacă $x^{i} = x^{j}$ cu $0 \leq i < j \leq n - 1$ , atunci $x^{j - i} = e$ cu $0 < j - i < n$ , contrazicând definiția ordinului. Deci $card H_{x} = n$ .

Verificăm criteriul de subgrup. $H_{x} \neq = \emptyset$ , pentru că $e \in H_{x}$ . Stabilitatea: pentru $0 \leq i, j \leq n - 1$ avem $x^{i} \cdot x^{j} = x^{i + j}$ , iar dacă $i + j \geq n$ scriem $i + j = n + r$ cu $0 \leq r < n$ și obținem $x^{i + j} = x^{n} x^{r} = x^{r} \in H_{x}$ . Inversele: $e^{- 1} = e \in H_{x}$ , iar pentru $1 \leq i \leq n - 1$ avem $x^{i} \cdot x^{n - i} = x^{n} = e$ , deci $(x^{i})^{- 1} = x^{n - i} \in H_{x}$ . Criteriul e verificat. $■$

Mulțimea $H_{x}$ va primi un nume propriu la lecția următoare, Subgrupul generat de un element; grupuri ciclice.

Consecința 1. Într-un grup finit $G$ , ordinul oricărui element divide ordinul grupului: $ord (x) ∣ card G, pentru orice x \in G .$

Demonstrație. Grupul fiind finit, $x$ are ordin finit $n$ . Din lemă, $H_{x}$ este subgrup cu $n$ elemente, iar din teorema lui Lagrange $n = card H_{x}$ divide $card G$ . $■$

Consecința aceasta este exact explicația promisă la Puterile unui element și calcule în grupuri finite: acolo ai observat, pe tabelul de puteri al unui grup cu șase elemente, că toate perioadele sunt divizori ai numărului de elemente, fără să poți spune de ce; motivul e teorema lui Lagrange, iar perioada de acolo este ordinul de aici. Ea explică și toate profilurile de ordine calculate în lecția precedentă: în grupurile cu patru elemente apăreau numai ordinele $1$ , $2$ și $4$ , iar în cele cu șase elemente numai $1$ , $2$ , $3$ și $6$ . Ea dă și un test rapid de respingere: într-un grup cu $10$ elemente nu există niciun element de ordinul $4$ , pentru că $4$ nu divide $10$ .

7. Consecința 2: ridicarea la puterea $card G$

Consecința 2. Într-un grup finit $G$ cu elementul neutru $e$ avem $x^{card G} = e, pentru orice x \in G .$

Demonstrație. Fie $n = ord (x)$ . Din Consecința 1, $n ∣ card G$ , deci $card G = nk$ pentru un $k \in N^{*}$ . Atunci

$x^{card G} = x^{nk} = (x^{n})^{k} = e^{k} = e . ■$

Prima aplicație este calculul puterilor cu exponent mare, fără să mai fie nevoie să afli ordinul exact al elementului: într-un grup cu $card G = m$ , avem $x^{k} = x^{k mod m}$ . De pildă, într-un grup cu șase elemente, $x^{2026} = x^{4}$ , pentru că $2026 = 337 \cdot 6 + 4$ .

A doua aplicație este aritmetică. Dacă $p$ este un număr prim, grupul $U (Z_{p}, \cdot)$ al claselor nenule modulo $p$ are $p - 1$ elemente, deci Consecința 2 dă

$\overset{a}{^}^{p - 1} = \hat{1}, pentru orice clas \overset{a}{˘} \overset{a}{^} \neq = \hat{0} din Z_{p} .$

Este un rezultat clasic de aritmetică, pe care îl vei folosi pe larg la Clasele de resturi în aritmetică: divizibilitate și ecuații în numere întregi. Cu el, calcule care par imposibile devin imediate: în $Z_{7}$ avem $\hat{2}^{6} = \hat{1}$ , iar din $100 = 16 \cdot 6 + 4$ rezultă

$\hat{2}^{100} = (\hat{2}^{6})^{16} \cdot \hat{2}^{4} = \hat{2}^{4} = 16 = \hat{2} .$

8. Ce nu spune teorema lui Lagrange?

Teorema este o condiție necesară, nu una suficientă, iar greșeala de a o citi invers e cea mai frecventă la acest capitol.

Reciproca este falsă. Din faptul că un număr $d$ divide $card G$ nu rezultă că $G$ are un subgrup cu $d$ elemente. Există grupuri cu $12$ elemente care nu au niciun subgrup cu $6$ elemente, deși $6 ∣ 12$ ; cel mai mic contraexemplu depășește programa clasei a XII-a, dar existența lui trebuie știută, ca să nu afirmi ceva fals.
Nu spune câte subgrupuri există. Grupul lui Klein și $(Z_{4}, +)$ au amândouă patru elemente, deci pentru amândouă cardinalele posibile sunt $1$ , $2$ și $4$ ; totuși primul are trei subgrupuri cu două elemente, iar al doilea doar unul.
Se aplică numai grupurilor finite. În $(Z, +)$ , subgrupul $2 Z$ și grupul $Z$ au amândouă o infinitate de elemente, iar enunțul nici măcar nu are sens.
Vorbește despre subgrupuri, nu despre submulțimi. O submulțime al cărei cardinal divide $card G$ nu are niciun motiv să fie subgrup: în $(Z_{6}, +)$ , mulțimea ${\hat{1}, \hat{2}}$ are două elemente, dar nu conține $\hat{0}$ , deci nu e subgrup.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ce cardinale pot avea subgrupurile?

Determinați cardinalele posibile ale subgrupurilor grupului $(Z_{12}, +)$ și scrieți câte un subgrup pentru fiecare cardinal.

Rezolvare. Din teorema lui Lagrange, cardinalul unui subgrup este divizor al lui $12$ , deci se află printre $1, 2, 3, 4, 6, 12$ . Pentru fiecare există efectiv un subgrup:

${\hat{0}}, {\hat{0}, \hat{6}}, {\hat{0}, \hat{4}, \hat{8}}, {\hat{0}, \hat{3}, \hat{6}, \hat{9}}, {\hat{0}, \hat{2}, \hat{4}, \hat{6}, \hat{8}, 10}, Z_{12},$

cu $1, 2, 3, 4, 6$ , respectiv $12$ elemente. Un subgrup cu cinci elemente este exclus, pentru că $5 ∤ 12$ .

Exemplul 2 — Clasele la stânga într-un caz concret

În grupul $(Z_{8}, +)$ se consideră $H = {\hat{0}, \hat{4}}$ . Verificați că $H$ este subgrup, determinați toate clasele la stânga și verificați teorema lui Lagrange.

Rezolvare. $H$ e subgrup: $\hat{4} + \hat{4} = \hat{8} = \hat{0}$ , iar opusul lui $\hat{4}$ este $\hat{4}$ .

Clasele: $\hat{0} + H = {\hat{0}, \hat{4}}$ , $\hat{1} + H = {\hat{1}, \hat{5}}$ , $\hat{2} + H = {\hat{2}, \hat{6}}$ , $\hat{3} + H = {\hat{3}, \hat{7}}$ . Clasele lui $\hat{4}$ , $\hat{5}$ , $\hat{6}$ , $\hat{7}$ le repetă pe cele patru de mai sus.

Sunt deci $k = 4$ clase, fiecare cu două elemente, disjuncte și acoperind $Z_{8}$ : $8 = 4 \cdot 2$ . Într-adevăr, $card H = 2$ divide $card Z_{8} = 8$ .

Exemplul 3 — Un grup cu un număr prim de elemente

Fie $G$ un grup cu $card G = 7$ . Arătați că singurele subgrupuri ale lui $G$ sunt ${e}$ și $G$ , și că orice element diferit de $e$ are ordinul $7$ .

Rezolvare. Din teorema lui Lagrange, cardinalul unui subgrup divide $7$ ; cum $7$ e prim, divizorii lui sunt $1$ și $7$ . Un subgrup cu un element este ${e}$ (orice subgrup conține $e$ ), iar un subgrup cu șapte elemente este tot $G$ .

Fie acum $x \neq = e$ . Din Consecința 1, $ord (x)$ divide $7$ , deci este $1$ sau $7$ . Cum singurul element de ordinul $1$ este $e$ , rămâne $ord (x) = 7$ .

Exemplul 4 — Ordine imposibile

Justificați de ce: a) un grup cu $10$ elemente nu are niciun element de ordinul $4$ ; b) $S_{4}$ nu are niciun subgrup cu $5$ elemente; c) grupul lui Klein nu are niciun element de ordinul $3$ .

Rezolvare. a) Din Consecința 1, ordinul oricărui element divide $10$ , deci este $1$ , $2$ , $5$ sau $10$ ; valoarea $4$ nu apare, pentru că $4 ∤ 10$ .

b) $card S_{4} = 4! = 24$ , iar $5 ∤ 24$ , deci teorema lui Lagrange exclude un subgrup cu cinci elemente.

c) Grupul lui Klein are patru elemente, iar ordinele posibile sunt divizorii lui $4$ , adică $1$ , $2$ și $4$ ; deci nu poate exista un element de ordinul $3$ . (Într-adevăr, ordinele reale sunt $1, 2, 2, 2$ .)

Exemplul 5 — Puteri cu exponent mare

În grupul $U (Z_{11}, \cdot)$ , care are $10$ elemente, calculați $\hat{7}^{2026}$ .

Rezolvare. Din Consecința 2, $\hat{7}^{10} = \hat{1}$ . Împărțim exponentul: $2026 = 202 \cdot 10 + 6$ , deci

$\hat{7}^{2026} = (\hat{7}^{10})^{202} \cdot \hat{7}^{6} = \hat{7}^{6} .$

Calculăm pas cu pas modulo $11$ : $\hat{7}^{2} = 49 = \hat{5}$ , $\hat{7}^{3} = \hat{5} \cdot \hat{7} = 35 = \hat{2}$ , deci $\hat{7}^{6} = (\hat{7}^{3})^{2} = \hat{2}^{2} = \hat{4}$ .

Prin urmare $\hat{7}^{2026} = \hat{4}$ . Fără Consecința 2 ar fi trebuit să ridicăm la puterea $2026$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră grupul $G = (Z_{15}, +)$ . Este un exercițiu în stilul Subiectului al II-lea. a) Determinați $card G$ și cardinalele posibile ale subgrupurilor lui $G$ . b) Arătați că $H = {x \in Z_{15} ∣ 5 x = \hat{0}}$ este subgrup al lui $G$ și determinați $card H$ . c) Determinați $ord (\hat{6})$ și verificați Consecința 1 a teoremei lui Lagrange.

Rezolvare. a) $card Z_{15} = 15$ , iar din teorema lui Lagrange cardinalele posibile ale subgrupurilor sunt divizorii lui $15$ : $1$ , $3$ , $5$ și $15$ . În particular, un subgrup cu două sau cu șase elemente este exclus.

b) Verificăm criteriul de subgrup în notație aditivă. $\hat{0} \in H$ , pentru că $5 \cdot \hat{0} = \hat{0}$ . Dacă $x, y \in H$ , atunci $5 (x + y) = 5 x + 5 y = \hat{0}$ , deci $x + y \in H$ ; iar $5 (- x) = - (5 x) = \hat{0}$ , deci $- x \in H$ . Prin urmare $H$ este subgrup.

Pentru cardinal: condiția $5 \overset{a}{^} = \hat{0}$ înseamnă $15 ∣ 5 a$ , adică $3 ∣ a$ . Clasele care convin sunt $\hat{0}$ , $\hat{3}$ , $\hat{6}$ , $\hat{9}$ și $12$ , deci $card H = 5$ , iar $5 ∣ 15$ , în acord cu teorema.

c) $(6, 15) = 3$ , deci $ord (\hat{6}) = \frac{15}{3} = 5$ . Într-adevăr, $5$ divide $15$ , în acord cu Consecința 1. Verificare prin adunări succesive: $\hat{6}$ , $12$ , $18 = \hat{3}$ , $24 = \hat{9}$ , $30 = \hat{0}$ — cinci pași.

Să exersăm

La orice exercițiu, prima mișcare este să scrii $card G$ și divizorii lui: ei sunt singurele cardinale posibile pentru subgrupuri și singurele ordine posibile pentru elemente. La puteri cu exponent mare, împarte exponentul la $card G$ și păstrează restul.

1. Un grup are $20$ de elemente. Ce cardinale pot avea subgrupurile lui?

2. Arată că un grup cu $11$ elemente nu are niciun subgrup propriu.

3. Determină toate clasele la stânga ale subgrupului $H = {\hat{0}, \hat{5}}$ în $(Z_{10}, +)$ și verifică teorema lui Lagrange.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $d$ divide $card G$ , atunci $G$ are un subgrup cu $d$ elemente."

5. Poate exista un subgrup cu $5$ elemente în $S_{4}$ ? Dar unul cu $8$ elemente? Justifică folosind teorema lui Lagrange.

6. Arată că, într-un grup cu șase elemente, ordinele posibile ale elementelor sunt $1$ , $2$ , $3$ și $6$ .

7. Calculează $\hat{3}^{100}$ în grupul $U (Z_{7}, \cdot)$ , folosind Consecința 2.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un grup cu opt elemente, orice element diferit de $e$ are ordinul $8$ ."

9. Determină cardinalele posibile ale subgrupurilor lui $U_{20}$ și scrie câte un subgrup pentru trei dintre ele.

10. Verifică teorema lui Lagrange pe grupul lui Klein: scrie toate subgrupurile lui și cardinalele lor.

11. Fie $G$ un grup cu $card G = 9$ și $x \in G$ . Ce valori poate lua $ord (x)$ ?

12. (Problemă aplicată.) Un mecanism are $12$ poziții, iar o mișcare mută mecanismul cu $a$ poziții înainte, poziția $12$ fiind aceeași cu $\hat{0}$ . Arată că numărul de repetări după care mecanismul revine în poziția inițială divide $12$ , oricare ar fi $a$ .

13. Arată că $H = {\hat{0}, \hat{5}, 10}$ este subgrup al lui $(Z_{15}, +)$ și verifică faptul că $card H$ divide $card Z_{15}$ .

14. Într-un grup cu $24$ de elemente, un subgrup are $6$ elemente. Câte clase la stânga are subgrupul?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră grupul $(Z_{20}, +)$ . a) Determină $ord (15)$ . b) Arată că $H = {x \in Z_{20} ∣ 4 x = \hat{0}}$ este subgrup și determină $card H$ . c) Verifică pe acest exemplu teorema lui Lagrange și Consecința 1.

16. Arată că, dacă $card G = p$ cu $p$ prim, atunci orice element diferit de $e$ are ordinul $p$ .

17. Un grup are $10$ elemente. Poate el conține un element $x$ cu $x^{4} = e$ și $x \neq = e$ ? Justifică.

18. (Provocare.) Fie $G$ un grup finit cu $card G$ număr par. Arată că $G$ conține cel puțin un element de ordinul $2$ .

Răspunsuri și explicații

1. Divizorii lui $20$ : $1$ , $2$ , $4$ , $5$ , $10$ și $20$ . Alte cardinale sunt excluse de teorema lui Lagrange.

2. $11$ e prim, deci divizorii lui sunt $1$ și $11$ ; subgrupurile posibile au un element (deci sunt ${e}$ ) sau unsprezece elemente (deci sunt $G$ ). Ambele sunt improprii, deci nu există subgrupuri proprii.

3. $\hat{0} + H = {\hat{0}, \hat{5}}$ , $\hat{1} + H = {\hat{1}, \hat{6}}$ , $\hat{2} + H = {\hat{2}, \hat{7}}$ , $\hat{3} + H = {\hat{3}, \hat{8}}$ , $\hat{4} + H = {\hat{4}, \hat{9}}$ ; celelalte clase le repetă pe acestea. Sunt $5$ clase a câte $2$ elemente, iar $10 = 5 \cdot 2$ , deci $card H ∣ card G$ .

4. Fals. Teorema lui Lagrange dă o condiție necesară, nu una suficientă. Există grupuri cu $12$ elemente fără niciun subgrup cu $6$ elemente, deși $6 ∣ 12$ . Din divizibilitate nu se poate deduce existența.

5. Un subgrup cu cinci elemente este imposibil, pentru că $5 ∤ 24$ . Unul cu opt elemente nu este exclus de teoremă, pentru că $8 ∣ 24$ ; teorema nu garantează însă existența lui, ci doar nu o interzice.

6. Din Consecința 1, ordinul oricărui element divide $6$ , iar divizorii lui $6$ sunt $1$ , $2$ , $3$ și $6$ . Nicio altă valoare nu e posibilă.

7. Grupul $U (Z_{7}, \cdot)$ are $6$ elemente, deci $\hat{3}^{6} = \hat{1}$ . Din $100 = 16 \cdot 6 + 4$ rezultă $\hat{3}^{100} = \hat{3}^{4} = 81 = \hat{4}$ .

8. Fals. Din Consecința 1, ordinul divide $8$ , deci poate fi $1$ , $2$ , $4$ sau $8$ . Contraexemplu concret: în $(Z_{8}, +)$ , clasa $\hat{4}$ are ordinul $2$ , iar $\hat{2}$ are ordinul $4$ .

9. $card U_{20} = 20$ , deci cardinalele posibile sunt $1$ , $2$ , $4$ , $5$ , $10$ , $20$ . Exemple: $U_{1} = {1}$ cu un element, $U_{2} = {1, - 1}$ cu două, $U_{4} = {1, i, - 1, - i}$ cu patru.

10. Subgrupurile grupului lui Klein $K = {e, a, b, c}$ sunt ${e}$ , ${e, a}$ , ${e, b}$ , ${e, c}$ și $K$ , cu cardinalele $1$ , $2$ , $2$ , $2$ și $4$ . Toate divid $4$ , în acord cu teorema.

11. Ordinul divide $9$ , deci $ord (x) \in {1, 3, 9}$ . Valoarea $1$ apare doar pentru $x = e$ .

12. Pozițiile formează grupul $(Z_{12}, +)$ , cu $12$ elemente, iar mișcarea corespunde elementului $\overset{a}{^}$ . Numărul de repetări după care se revine în poziția inițială este chiar $ord (\overset{a}{^})$ , care, conform Consecinței 1, divide $card Z_{12} = 12$ .

13. $\hat{5} + \hat{5} = 10$ , $\hat{5} + 10 = 15 = \hat{0}$ , $10 + 10 = 20 = \hat{5}$ : mulțimea e stabilă. Opusele: $- \hat{5} = 10$ și $- 10 = \hat{5}$ , ambele în $H$ . Deci $H$ e subgrup, $card H = 3$ și $3 ∣ 15$ .

14. Din demonstrația teoremei, numărul claselor este $k = \frac{card G}{card H} = \frac{24}{6} = 4$ .

15. a) $(15, 20) = 5$ , deci $ord (15) = \frac{20}{5} = 4$ . b) $\hat{0} \in H$ ; din $4 x = \hat{0}$ și $4 y = \hat{0}$ rezultă $4 (x + y) = \hat{0}$ și $4 (- x) = \hat{0}$ , deci $H$ e subgrup. Condiția $20 ∣ 4 a$ înseamnă $5 ∣ a$ , deci $H = {\hat{0}, \hat{5}, 10, 15}$ și $card H = 4$ . c) $4 ∣ 20$ , în acord cu teorema lui Lagrange; iar $ord (15) = 4$ divide $20$ , în acord cu Consecința 1.

16. Fie $x \neq = e$ . Din Consecința 1, $ord (x)$ divide $p$ , deci este $1$ sau $p$ , fiindcă $p$ e prim. Cum singurul element de ordinul $1$ este $e$ , rămâne $ord (x) = p$ .

17. Da, dar un astfel de element are obligatoriu ordinul $2$ , nu $4$ . Din $x^{4} = e$ rezultă că $ord (x)$ divide $4$ , iar din Consecința 1 el divide și $10$ ; divizorii comuni ai lui $4$ și $10$ sunt $1$ și $2$ , deci, pentru $x \neq = e$ , rămâne $ord (x) = 2$ . Exemplu concret: în $(Z_{10}, +)$ , clasa $\hat{5}$ verifică $4 \cdot \hat{5} = 20 = \hat{0}$ și are ordinul $2$ . Un element de ordinul $4$ ar fi însă imposibil, pentru că $4 ∤ 10$ .

18. Grupăm elementele lui $G$ în perechi ${x, x^{- 1}}$ . Elementele cu $x \neq = x^{- 1}$ se grupează câte două, deci ele sunt în număr par. Prin urmare mulțimea $M = {x \in G ∣ x = x^{- 1}}$ are un număr par de elemente, fiind diferența dintre $card G$ (par) și un număr par. Cum $e \in M$ , mulțimea $M$ are cel puțin două elemente, deci există $x \neq = e$ cu $x = x^{- 1}$ , adică $x^{2} = e$ și $ord (x) = 2$ .

De reținut

Un grup finit este un grup cu un număr finit de elemente, iar acest număr, notat $card G$ , se numește ordinul grupului și nu trebuie confundat cu $ord (x)$ .
Clasele la stânga $x H$ ale unui subgrup au toate exact $card H$ elemente, sunt disjuncte două câte două și acoperă întreg grupul, deci îl împart în felii egale.
Teorema lui Lagrange afirmă că, pentru orice subgrup $H$ al unui grup finit $G$ , avem $card H ∣ card G$ , iar numărul claselor este $\frac{card G}{card H}$ .
Consecința 1 spune că $ord (x) ∣ card G$ pentru orice element $x$ , iar Consecința 2 spune că $x^{card G} = e$ , ceea ce reduce orice putere cu exponent mare la restul împărțirii exponentului la $card G$ .
Reciproca teoremei este falsă: faptul că un număr divide $card G$ nu garantează existența unui subgrup cu atâtea elemente, iar teorema se aplică numai grupurilor finite.

Greșeli frecvente

Confundarea celor două teoreme ale lui Lagrange. Cea de la analiză, din clasa a XI-a, e despre funcții derivabile; aceasta e despre grupuri finite. Corect: la enunț se precizează întotdeauna capitolul, „teorema lui Lagrange pentru grupuri finite".
Citirea inversă a teoremei. „ $6$ divide $12$ , deci grupul are un subgrup cu $6$ elemente" este o afirmație falsă. Corect: teorema exclude cardinale, dar nu produce subgrupuri; existența se demonstrează construind efectiv subgrupul.
Aplicarea la grupuri infinite. În $(Z, +)$ nu are sens să spui că $card 2 Z$ divide $card Z$ . Corect: ipoteza „ $G$ finit" se scrie de fiecare dată în enunț.
Confuzia dintre $ord (x)$ și $card G$ în Consecința 2. Exponentul din $x^{card G} = e$ este numărul de elemente al grupului, nu ordinul elementului. Corect: ordinul elementului este cel mai mic exponent care dă $e$ , iar cardinalul grupului este doar unul dintre exponenții care funcționează.
Uitarea faptului că enunțul e despre subgrupuri. O submulțime cu două elemente dintr-un grup cu șase elemente nu e automat subgrup. Corect: se verifică întâi criteriul de subgrup, abia apoi se invocă teorema lui Lagrange.

Aplică acasă

Feliile unui grup. Scrie tabla grupului $(Z_{8}, +)$ , alege subgrupul $H = {\hat{0}, \hat{2}, \hat{4}, \hat{6}}$ și colorează, cu câte o culoare, fiecare clasă la stânga. Numără câte culori ai folosit și verifică egalitatea $card G = k \cdot card H$ .
Vânătoarea de ordine. Pentru fiecare dintre grupurile $(Z_{10}, +)$ , $U (Z_{11}, \cdot)$ și grupul lui Klein, calculează ordinul fiecărui element și verifică, element cu element, Consecința 1. Notează care divizori ai cardinalului apar efectiv ca ordine și care nu.
Exponenți mari. Alege trei clase nenule din $Z_{13}$ și calculează puterile lor cu exponentul $2026$ , folosind Consecința 2 în grupul claselor inversabile. Verifică fiecare rezultat calculând separat puterea cu exponentul redus, pas cu pas, modulo $13$ .

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lecția-cheie a unității de grupuri: singura teoremă „grea" din capitol, cu o demonstrație care se cere înțeleasă, nu memorată. Structura ei are trei pași — clasele au același cardinal, clasele nu se suprapun, deci se numără —, iar fiecare pas se sprijină pe ceva deja demonstrat: regula de simplificare pentru bijecție și criteriul de subgrup pentru clase. Programa nu cere teoria generală a relațiilor de echivalență, iar lecția nu o folosește.

De verificat în caiet: (1) demonstrația conține toți cei trei pași, în ordine; (2) la exerciții se scriu întâi $card G$ și divizorii lui; (3) nu se confundă condiția necesară cu cea suficientă; (4) la puteri mari se împarte exponentul la cardinal și se justifică prin Consecința 2. Întrebări de control: „Ce spune teorema lui Lagrange?"; „Câte clase la stânga are un subgrup cu $6$ elemente într-un grup cu $24$ ?"; „Poate un grup cu $10$ elemente să aibă un element de ordinul $4$ ?"; „Este reciproca adevărată?".

La BAC M1, teorema apare rareori cerută pe demonstrație, dar consecințele ei sunt peste tot: reducerea exponenților mari, excluderea unor ordine, calculul în grupuri de clase de resturi. Un elev care are reflexul de a scrie cardinalul grupului înainte de orice calcul rezolvă subpunctele c) ale problemelor de algebră în două rânduri. Semn că a înțeles: știe să spună de ce un grup cu șapte elemente nu are subgrupuri proprii, fără să caute niciunul.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema lui Lagrange pentru grupuri finite? Spune că, dacă $H$ este subgrup al unui grup finit $G$ , atunci numărul de elemente al lui $H$ divide numărul de elemente al lui $G$ , adică $card H ∣ card G$ . Consecința practică imediată este că poți exclude, fără niciun calcul, cardinalele care nu sunt divizori ai lui $card G$ .

Cum se demonstrează teorema lui Lagrange? Se construiesc clasele la stânga $x H$ ale subgrupului. Se arată întâi că fiecare clasă are exact $card H$ elemente, apoi că două clase sunt egale sau disjuncte, deci că ele împart grupul în felii egale. Numărând elementele felie cu felie se obține $card G = k \cdot card H$ .

Ce este clasa la stânga a unui element? Clasa la stânga a lui $x$ în raport cu subgrupul $H$ este mulțimea $x H = {x h ∣ h \in H}$ , adică rezultatul compunerii lui $x$ , la stânga, cu toate elementele lui $H$ . În notație aditivă se scrie $x + H$ . Elementul $x$ se află întotdeauna în propria lui clasă, pentru că $e \in H$ .

Care sunt consecințele teoremei lui Lagrange? Consecința 1 spune că ordinul oricărui element divide ordinul grupului: $ord (x) ∣ card G$ . Consecința 2 spune că $x^{card G} = e$ pentru orice element. Prima exclude ordine imposibile, a doua reduce orice putere cu exponent mare la restul împărțirii exponentului la $card G$ .

Este adevărată reciproca teoremei lui Lagrange? Nu. Din faptul că un număr divide cardinalul grupului nu rezultă că grupul are un subgrup cu acel număr de elemente. Există grupuri cu douăsprezece elemente fără niciun subgrup cu șase elemente. Teorema este deci o condiție necesară pentru existența unui subgrup, niciodată una suficientă.

De ce un grup cu un număr prim de elemente nu are subgrupuri proprii? Pentru că, din teoremă, cardinalul oricărui subgrup divide numărul prim $p$ , deci este $1$ sau $p$ . Subgrupul cu un element este ${e}$ , iar cel cu $p$ elemente este tot grupul; amândouă sunt improprii. În plus, orice element diferit de $e$ are ordinul $p$ .

Cum se calculează o putere cu exponent mare într-un grup finit? Se împarte exponentul la $card G$ și se păstrează restul, pentru că $x^{card G} = e$ . De exemplu, într-un grup cu șase elemente, din $2026 = 337 \cdot 6 + 4$ rezultă $x^{2026} = x^{4}$ . Metoda funcționează și cu ordinul elementului, care dă de obicei un rest și mai mic.

Unde apare teorema lui Lagrange în subiectele de Bacalaureat M1? În Subiectul al II-lea, mai ales prin consecințele ei: se cere ordinul unui element, se cere o putere cu exponent mare într-un grup de clase de resturi sau se cere să justifici de ce un anumit subgrup nu poate exista. Demonstrația completă a teoremei nu se cere la examen, dar enunțul și consecințele se folosesc constant.