Când două grupuri nu sunt izomorfe: pe scurt

Un invariant de izomorfism este o trăsătură a unui grup care rămâne neschimbată dacă grupul e înlocuit cu oricare grup izomorf cu el. Dacă două grupuri au valori diferite pentru același invariant, între ele nu poate exista niciun izomorfism — iar aceasta este singura metodă practică de a dovedi că nu sunt izomorfe. Redactarea se face prin reducere la absurd: presupui că $f$ există, arăți că invariantul ar trebui să coincidă, obții o contradicție.

Cele trei argumente, în ordinea în care merită încercate, sunt: cardinalul (un izomorfism este bijecție, deci cardinale diferite resping imediat); comutativitatea (dacă $G$ e comutativ și $f$ e izomorfism, atunci și $G^{\prime }$ e comutativ — se demonstrează în două rânduri, folosind surjectivitatea); și profilul ordinelor, tabelul care arată câte elemente de fiecare ordin are grupul. Ultimul se sprijină pe teorema centrală a lecției: un izomorfism păstrează ordinele, $\mathrm{ord}(f(x))=\mathrm{ord}(x)$; demonstrația are doi pași, al doilea folosind că și $f^{-1}$ este izomorfism — la un morfism oarecare se obține doar divizibilitate. Nu sunt argumente valide: „am încercat și n-am găsit niciun izomorfism”, „tablele arată diferit” (depinde de ordinea în care scrii elementele) și „elementele sunt de alt fel”. La grupuri infinite rămân comutativitatea și ordinele: $(\mathbb{R},+)$ nu are element de ordinul $2$, iar $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ are.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre următoarele nu este un argument valid pentru a arăta că două grupuri nu sunt izomorfe?

   • a) au numere diferite de elemente
   • b) unul este comutativ, celălalt nu
   • c) au profiluri ale ordinelor diferite
   • d) tablele lor, scrise cu elementele în ordini diferite, arată diferit
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) tablele lor, scrise cu elementele în ordini diferite, arată diferit

   Aceeași tablă scrisă cu elementele în altă ordine arată altfel, deci „tablele arată diferit” nu spune nimic; trebuie indicată o trăsătură care nu depinde de ordinea aleasă, cum e numărul de celule de pe diagonala principală care conțin neutrul. Cardinalul, comutativitatea și profilul ordinelor sunt exact cele trei argumente valide, în ordinea crescătoare a efortului de calcul.

2. De ce grupurile $(\mathbb{R},+)$ și $\left({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot \right)$ nu sunt izomorfe?

   • a) pentru că au cardinale diferite
   • b) pentru că unul este comutativ și celălalt nu
   • c) pentru că ${\mathbb{R}}^{\ast }$ are un element de ordinul $2$, iar $\mathbb{R}$ nu are niciunul
   • d) pentru că unul conține numărul $0$ și celălalt nu
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) pentru că ${\mathbb{R}}^{\ast }$ are un element de ordinul $2$, iar $\mathbb{R}$ nu are niciunul

   În $\left({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot \right)$ avem $(-1{)}^2=1$ și $-1\ne 1$, deci $\mathrm{ord}(-1)=2$. În $(\mathbb{R},+)$, un element de ordinul $2$ ar fi un $x\ne 0$ cu $x+x=0$, adică $x=0$ — imposibil. Ambele grupuri sunt infinite și comutative, deci primele două argumente tac; natura elementelor nu contează niciodată.

3. Un grup $G$ cu opt elemente are proprietatea că $x^2=e$ pentru orice $x\in G$. De ce nu este izomorf cu $({\mathbb{Z}}_8,+)$?

   • a) pentru că $G$ nu are element neutru
   • b) pentru că $G$ nu are element de ordinul $8$, iar $({\mathbb{Z}}_8,+)$ are
   • c) pentru că $G$ nu este comutativ
   • d) pentru că elementele lor sunt obiecte diferite
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) pentru că $G$ nu are element de ordinul $8$, iar $({\mathbb{Z}}_8,+)$ are

   În $G$ toate ordinele sunt $1$ sau $2$, deci niciun element nu are ordinul $8$; în $({\mathbb{Z}}_8,+)$ clasa $\hat{1}$ are ordinul $8$. Cum izomorfismele păstrează ordinele, profilurile diferă și grupurile nu sunt izomorfe. Grupul $G$ este de fapt comutativ, ceea ce se demonstrează chiar din ipoteza $x^2=e$, deci varianta a treia este falsă.