Când două grupuri nu sunt izomorfe: ordine, comutativitate, cardinal

Grupurile neizomorfe sunt grupurile între care nu poate exista niciun izomorfism, adică nicio bijecție care să păstreze operația; ele sunt subiectul acestei lecții de clasa a XII-a, iar dificultatea lor este de alt fel decât tot ce ai întâlnit până acum. Ca să arăți că două grupuri sunt izomorfe, e destul să găsești o funcție potrivită și să verifici două condiții; ca să arăți că nu sunt, ar trebui să respingi, una câte una, toate bijecțiile posibile — iar între două mulțimi cu patru elemente sunt deja $4!=24$ de bijecții, între două mulțimi cu șase elemente sunt $6!=720$, iar la opt elemente peste $40000$. Lecția arată cum se ocolește complet această numărătoare imposibilă: în loc să cauți printre funcții, compari trăsături ale grupurilor care nu s-ar putea schimba niciodată printr-un izomorfism.

Este exact continuarea firească a lecției despre izomorfisme de grupuri. Acolo ai văzut că grupul lui Klein și grupul aditiv al claselor de resturi modulo $4$ nu se potrivesc, citind diagonalele tablelor lor. Aici transformăm acea observație într-o metodă generală, cu trei argumente numite și ordonate după cost: cardinalul, comutativitatea și profilul ordinelor. Programa cere explicit „investigarea unor situații în care două grupuri nu pot fi izomorfe" și „analizarea ordinelor unor elemente a două grupuri izomorfe".

Ce vei învăța

• Vei ști ce este un invariant de izomorfism și de ce el este singurul mod practic de a dovedi că două grupuri nu sunt izomorfe.
• Vei ști să folosești argumentul cardinalului și argumentul comutativității, cu demonstrația care le susține.
• Vei ști să demonstrezi că un izomorfism păstrează ordinele elementelor.
• Vei ști să alcătuiești profilul ordinelor unui grup finit și să compari două profiluri.
• Vei ști să aplici aceleași argumente la grupuri infinite, unde tabla operației nu se poate scrie.
• Vei ști ce formulări nu sunt argumente valide și de ce sunt respinse în barem.

Hai să descoperim împreună

1. Cum dovedești că două grupuri nu sunt izomorfe?

Invariantul de izomorfism este o trăsătură a unui grup care rămâne neschimbată atunci când grupul e înlocuit cu oricare grup izomorf cu el: numărul de elemente, comutativitatea, ordinele elementelor. Dacă două grupuri au valori diferite pentru același invariant, atunci între ele nu poate exista niciun izomorfism, iar aceasta este singura metodă practică de a dovedi că nu sunt izomorfe.

Logica demonstrației este întotdeauna prin reducere la absurd și are aceeași formă: presupui că există un izomorfism $f:G\to G^{\prime }$, arăți că din existența lui ar decurge o egalitate falsă între două numere sau două proprietăți, și de aici tragi concluzia că $f$ nu poate exista. Nu se caută nicio funcție, nu se elimină nicio bijecție — se compară două valori.

Cele trei argumente pe care le vei folosi la clasă, în ordinea în care merită încercate, sunt:

1. cardinalul — cel mai ieftin, se citește dintr-o privire;
2. comutativitatea — se verifică pe un singur contraexemplu;
3. profilul ordinelor — cel mai fin, cere un calcul, dar decide în cazurile în care primele două tac.

Ordinea nu e întâmplătoare: fiecare argument următor costă mai mult efort decât cel dinainte, așa că se trece la el doar dacă precedentul nu a decis nimic.

2. Argumentul cardinalului

Orice izomorfism este, prin definiție, o funcție bijectivă. Între două mulțimi finite cu numere diferite de elemente nu există nicio bijecție, deci nu există nici izomorfism.

Argument. Dacă $\mathrm{card}G\ne \mathrm{card}{G}^{\prime }$, atunci $G$ și $G^{\prime }$ nu sunt izomorfe.

Exemplul standard: $({\mathbb{Z}}_4,+)$ are patru elemente, $({\mathbb{Z}}_5,+)$ are cinci, deci nu sunt izomorfe. La fel, $(S_3,\circ )$ are șase elemente, iar $(S_4,\circ )$ are douăzeci și patru.

Pare banal, dar are o consecință utilă: nu se compară niciodată două grupuri fără să se numere întâi elementele. Multe exerciții se închid la acest pas, iar un elev care sare peste el pierde timp cu calcule inutile. Atenție totuși: cardinalul poate doar să respingă. Dacă cele două grupuri au același număr de elemente, nu s-a decis absolut nimic, iar exemplul Klein–${\mathbb{Z}}_4$ o dovedește.

3. Argumentul comutativității

Al doilea invariant este comutativitatea. El se sprijină pe o propoziție pe care merită s-o scrii o dată cu toată demonstrația.

Propoziție. Fie $f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ un izomorfism. Dacă $G$ este comutativ, atunci și $G^{\prime }$ este comutativ.

Demonstrație. Fie $u,v\in G^{\prime }$ oarecare. Cum $f$ este surjectivă, există $x,y\in G$ cu $f(x)=u$ și $f(y)=v$. Atunci

$$u\ast v=f(x)\ast f(y)=f(x\cdot y)=f(y\cdot x)=f(y)\ast f(x)=v\ast u,$$

unde egalitatea din mijloc folosește comutativitatea lui $G$. Deci $G^{\prime }$ este comutativ. $■$

Argument. Dacă unul dintre grupuri este comutativ și celălalt nu, ele nu sunt izomorfe.

Exemplul de clasă: $(S_3,\circ )$ și $({\mathbb{Z}}_6,+)$ au amândouă șase elemente, deci cardinalul nu decide. Dar $({\mathbb{Z}}_6,+)$ este comutativ, fiindcă adunarea claselor este comutativă, în timp ce $S_3$ nu este: pentru permutările

$$\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right),\tau =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$$

din permutări: definiție, notație și compunere avem $\sigma \circ \tau =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$ și $\tau \circ \sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$, deci $\sigma \circ \tau \ne \tau \circ \sigma$. Prin urmare cele două grupuri nu sunt izomorfe.

Observă cât de puțin s-a cerut: pentru necomutativitate e destul un singur contraexemplu, iar el se scrie în trei rânduri.

4. Se păstrează ordinele elementelor printr-un izomorfism?

Răspunsul este da, complet și fără excepții, iar acesta este cel mai puternic dintre cele trei instrumente.

Teoremă. Fie $f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ un izomorfism de grupuri și $x\in G$. Atunci $\mathrm{ord}(f(x))=\mathrm{ord}(x)$.

Demonstrație. Presupunem întâi că $x$ are ordin finit, $\mathrm{ord}(x)=n$, și notăm $m=\mathrm{ord}(f(x))$.

Pasul 1: $m\le n$. Din proprietatea puterilor demonstrată la morfisme de grupuri avem $f(x^n)=f(x{)}^n$. Cum $x^n=e$ și $f(e)=e^{\prime }$, rezultă $f(x{)}^n=e^{\prime }$. Așadar există un exponent natural nenul care duce $f(x)$ în elementul neutru, iar $m$, fiind cel mai mic cu această proprietate, verifică $m\le n$. (În particular, $f(x)$ are ordin finit.)

Pasul 2: $n\le m$. La lecția precedentă am demonstrat că inversa unui izomorfism este tot izomorfism, deci $f^{-1}$ păstrează la rândul ei puterile. Din $f(x{)}^m=e^{\prime }$ obținem

$$x^m=(f^{-1}(f(x)){)}^m=f^{-1}(f(x{)}^m)=f^{-1}(e^{\prime })=e.$$

Deci și $m$ este un exponent natural nenul care duce $x$ în elementul neutru, iar $n$, fiind cel mai mic, verifică $n\le m$.

Din cele două inegalități rezultă $m=n$.

Rămâne cazul ordinului infinit. Dacă $x$ are ordin infinit, dar $f(x)$ ar avea ordin finit $m$, atunci raționamentul de la pasul $2$ ar da $x^m=e$, contrazicând ipoteza. Deci și $f(x)$ are ordin infinit. $■$

Merită subliniat de ce demonstrația are nevoie de ambele pași. Un morfism oarecare, nu neapărat bijectiv, garantează doar primul pas: ordinul imaginii divide ordinul elementului, dar poate fi strict mai mic. Bijectivitatea, prin funcția inversă, este exact ingredientul care transformă divizibilitatea în egalitate.

5. Ce este profilul ordinelor unui grup?

Teorema de mai sus produce imediat un invariant numeric, ușor de calculat și de comparat.

Definiție de lucru. Numim profilul ordinelor unui grup finit tabelul care arată, pentru fiecare valoare posibilă a ordinului, câte elemente ale grupului au acel ordin.

Argument. Dacă două grupuri finite au profiluri ale ordinelor diferite, ele nu sunt izomorfe.

Într-adevăr, dacă $f:G\to G^{\prime }$ ar fi izomorfism, el ar duce fiecare element de ordin $d$ din $G$ într-un element de ordin $d$ din $G^{\prime }$, iar fiind bijectiv, ar realiza o corespondență unu-la-unu între elementele de ordin $d$ ale celor două grupuri. Numerele din cele două profiluri ar trebui deci să coincidă.

Reluăm cu acest instrument perechea din lecția precedentă. Pentru grupul lui Klein, ordinele sunt $1$ pentru identitate și $2$ pentru celelalte trei funcții, fiindcă fiecare compusă cu ea însăși dă identitatea. Pentru $({\mathbb{Z}}_4,+)$, formula $\mathrm{ord}(\hat{k})=\frac{4}{(k,4)}$ de la subgrupul generat de un element și grupurile ciclice dă ordinele $1$, $4$, $2$, $4$. Profilurile sunt:

Rândurile diferă, deci grupurile nu sunt izomorfe — aceeași concluzie ca la compararea tablelor, dar obținută printr-un calcul care se scrie în două rânduri și care funcționează și când grupurile sunt prea mari ca să le scrii tabla.

Profilul ordinelor conține, ca informație, și celelalte două argumente: suma numerelor de pe un rând este cardinalul grupului, iar prezența unui element de ordin egal cu cardinalul spune că grupul este ciclic. De aici o observație folosită des: un grup ciclic nu poate fi izomorf cu unul care nu e ciclic.

6. Cum se folosesc aceleași argumente la grupuri infinite?

La grupurile infinite nu se poate scrie nicio tablă, iar cardinalul nu mai desparte nimic. Rămân comutativitatea și ordinele — și ele sunt suficiente în cazurile din programă.

Exemplul 1. Grupurile $(\mathbb{R},+)$ și $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ nu sunt izomorfe. Amândouă sunt comutative și infinite, deci primele două argumente tac. Privim însă ordinele: în $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ elementul $-1$ verifică $(-1{)}^2=1$ și $-1\ne 1$, deci $\mathrm{ord}(-1)=2$. În $(\mathbb{R},+)$, un element de ordin $2$ ar însemna un număr real $x\ne 0$ cu $x+x=0$, adică $2x=0$, deci $x=0$ — contradicție. Primul grup nu are niciun element de ordin $2$, al doilea are. Deci nu sunt izomorfe.

Exemplul 2. Grupurile $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ și $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ nu sunt izomorfe. În ${\mathbb{C}}^{\ast }$ avem $\mathrm{ord}(i)=4$, pentru că $i^2=-1\ne 1$ și $i^4=1$. În ${\mathbb{R}}^{\ast }$ singurele numere cu o putere egală cu $1$ sunt $1$ și $-1$, cu ordinele $1$ și $2$; niciun element de ordin $4$. Argumentul ordinelor decide și aici.

Rețeta se păstrează, așadar, cuvânt cu cuvânt: nu compari mulțimile, ci caută o valoare a ordinului care apare într-un grup și nu apare în celălalt.

7. Ce nu este un argument valid?

Baremele de la Bacalaureat M1 resping câteva formulări care par convingătoare, dar nu demonstrează nimic. Merită știute dinainte.

• „Am încercat și n-am găsit niciun izomorfism." Absența unei descoperiri nu e o demonstrație. Trebuie indicat invariantul care diferă.
• „Tablele arată diferit." Două table ale aceluiași grup arată diferit dacă scrii elementele în altă ordine. Deosebirea trebuie să fie una care nu depinde de ordinea aleasă — de pildă numărul de celule de pe diagonala principală care conțin elementul neutru.
• „Elementele sunt de alt fel: unele sunt numere, celelalte funcții." Natura elementelor nu contează deloc; ai văzut deja un grup de matrice izomorf cu grupul aditiv al numerelor reale.
• „Grupurile au același cardinal, deci sunt izomorfe." Cardinalul poate doar respinge, niciodată confirma.

În schimb, o redactare completă și acceptată arată așa: „Presupunem prin absurd că există un izomorfism $f:G\to G^{\prime }$. Atunci $f$ ar păstra ordinele elementelor. Dar în $G$ există un element de ordin $4$, iar în $G^{\prime }$ toate elementele diferite de neutru au ordinul $2$. Contradicție. Deci grupurile nu sunt izomorfe." Trei fraze, un invariant, o contradicție.

Cu lecția aceasta ai imaginea completă a comparării a două grupuri: știi să confirmi un izomorfism, construind funcția, și știi să-l respingi, arătând un invariant care diferă. Mai departe vom folosi izomorfismele ca unealtă de lucru, începând cu cele pe care merită să le știi pe de rost — izomorfismele remarcabile dintre numerele întregi și translații, respectiv dintre clasele de resturi și rotații.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cardinale diferite

Arătați că $({\mathbb{Z}}_4,+)$ și $({\mathbb{Z}}_5,+)$ nu sunt izomorfe.

Rezolvare. Primul grup are $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_4=4$ elemente, al doilea are $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_5=5$. Orice izomorfism este bijecție, iar între o mulțime cu patru elemente și una cu cinci nu există nicio bijecție. Prin urmare grupurile nu sunt izomorfe.

Merită observat că amândouă sunt ciclice și comutative — deci celelalte două argumente nu ar fi decis nimic. Aici cardinalul este singurul care lucrează, și e cel mai ieftin.

Exemplul 2 — Comutativ și necomutativ

Arătați că $(S_3,\circ )$ și $({\mathbb{Z}}_6,+)$ nu sunt izomorfe.

Rezolvare. Ambele grupuri au șase elemente, deci argumentul cardinalului nu se aplică. Trecem la comutativitate.

Grupul $({\mathbb{Z}}_6,+)$ este comutativ, pentru că $\hat{k}+\hat{l}=\widehat{k+l}=\widehat{l+k}=\hat{l}+\hat{k}$.

Grupul $(S_3,\circ )$ nu este comutativ: cu $\sigma$ și $\tau$ din punctul $3$ al lecției avem $\sigma \circ \tau \ne \tau \circ \sigma$. Dacă ar exista un izomorfism de la ${\mathbb{Z}}_6$ la $S_3$, propoziția demonstrată acolo ar obliga $S_3$ să fie comutativ — fals. Deci grupurile nu sunt izomorfe.

Exemplul 3 — Profilul ordinelor decide

Arătați, prin profilul ordinelor, că grupul lui Klein și $({\mathbb{Z}}_4,+)$ nu sunt izomorfe.

Rezolvare. Ambele au patru elemente și amândouă sunt comutative, deci primele două argumente tac. Calculăm ordinele.

În grupul lui Klein $K=\{f_1,f_2,f_3,f_4\}$: $\mathrm{ord}(f_1)=1$, iar $f_2\circ f_2=f_3\circ f_3=f_4\circ f_4=f_1$, deci celelalte trei elemente au ordinul $2$.

În $({\mathbb{Z}}_4,+)$: $\mathrm{ord}(\hat{0})=1$, $\mathrm{ord}(\hat{1})=4$, $\mathrm{ord}(\hat{2})=2$, $\mathrm{ord}(\hat{3})=4$.

Grupul lui Klein nu are niciun element de ordin $4$, iar $({\mathbb{Z}}_4,+)$ are două. Cum un izomorfism ar păstra ordinele, el ar trebui să ducă elementul $\hat{1}$, de ordin $4$, într-un element de ordin $4$ din $K$, care nu există. Contradicție, deci grupurile nu sunt izomorfe.

Exemplul 4 — Două grupuri de clase inversabile

Arătați că grupul claselor inversabile modulo $8$ și grupul claselor inversabile modulo $10$ nu sunt izomorfe.

Rezolvare. Avem $U({\mathbb{Z}}_8)=\{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}\}$ și $U({\mathbb{Z}}_{10})=\{\hat{1},\hat{3},\hat{7},\hat{9}\}$, ambele cu patru elemente, ambele comutative. Calculăm ordinele.

Modulo $8$: ${\hat{3}}^2=\hat{9}=\hat{1}$, ${\hat{5}}^2=\widehat{25}=\hat{1}$, ${\hat{7}}^2=\widehat{49}=\hat{1}$. Deci profilul este: un element de ordin $1$ și trei de ordin $2$.

Modulo $10$: ${\hat{3}}^2=\hat{9}$, ${\hat{3}}^3=\widehat{27}=\hat{7}$, ${\hat{3}}^4=\widehat{81}=\hat{1}$, deci $\mathrm{ord}(\hat{3})=4$. Grupul are un element de ordin $4$.

Profilurile diferă, deci grupurile nu sunt izomorfe. Se poate spune și mai scurt: $U({\mathbb{Z}}_{10})$ este ciclic, generat de $\hat{3}$, iar $U({\mathbb{Z}}_8)$ nu este ciclic.

Exemplul 5 — Două grupuri infinite

Arătați că $(\mathbb{R},+)$ și $(\mathbb{R}^{}, \cdot)$ nu sunt izomorfe.*

Rezolvare. Presupunem prin absurd că există un izomorfism $f:({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )\to (\mathbb{R},+)$. Elementul $-1$ are ordinul $2$ în grupul de plecare, pentru că $(-1{)}^2=1$ și $-1\ne 1$. Atunci imaginea lui, $a=f(-1)$, ar trebui să aibă tot ordinul $2$ în $(\mathbb{R},+)$, adică $a+a=0$ și $a\ne 0$. Din $2a=0$ rezultă însă $a=0$, contradicție.

Prin urmare izomorfismul nu poate exista. Concluzia se reține în forma scurtă: grupul multiplicativ al numerelor reale nenule are un element de ordin $2$, cel aditiv nu are niciunul.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră mulțimea $M=\{\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\}\subset {\mathbb{Z}}_5$, împreună cu înmulțirea claselor de resturi. a) Alcătuiți tabla operației și arătați că $(M,\cdot )$ este grup comutativ. b) Determinați ordinele tuturor elementelor. c) Arătați că $(M,\cdot )\simeq ({\mathbb{Z}}_4,+)$ și că $(M,\cdot )$ nu este izomorf cu grupul lui Klein.

Rezolvare. a) Reducem fiecare produs modulo $5$; de pildă $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{1}$ și $\hat{4}\cdot \hat{4}=\widehat{16}=\hat{1}$.

În tablă apar numai elemente din $M$, deci mulțimea e parte stabilă. Asociativitatea se moștenește de la înmulțirea claselor de resturi. Tabla e simetrică față de diagonala principală, deci operația e comutativă. Linia și coloana lui $\hat{1}$ reproduc prima linie și prima coloană, deci $\hat{1}$ este element neutru. În fine, $\hat{1}$ apare în fiecare linie, deci fiecare element are simetric: $\hat{1}$ și $\hat{4}$ sunt propriile inverse, iar $\hat{2}$ și $\hat{3}$ sunt inverse una alteia. Deci $(M,\cdot )$ este grup comutativ cu patru elemente.

b) $\mathrm{ord}(\hat{1})=1$. Pentru $\hat{2}$: ${\hat{2}}^2=\hat{4}$, ${\hat{2}}^3=\hat{8}=\hat{3}$, ${\hat{2}}^4=\widehat{16}=\hat{1}$, deci $\mathrm{ord}(\hat{2})=4$. Pentru $\hat{4}$: ${\hat{4}}^2=\hat{1}$, deci $\mathrm{ord}(\hat{4})=2$. Pentru $\hat{3}$: ${\hat{3}}^2=\hat{4}$, ${\hat{3}}^3=\widehat{12}=\hat{2}$, ${\hat{3}}^4=\hat{1}$, deci $\mathrm{ord}(\hat{3})=4$. Profilul: un element de ordin $1$, unul de ordin $2$ și două de ordin $4$.

c) Din b) rezultă că $\hat{2}$ are ordinul $4=\mathrm{card}M$, deci generează tot grupul: $M=\{{\hat{2}}^0,{\hat{2}}^1,{\hat{2}}^2,{\hat{2}}^3\}$. Definim $f:{\mathbb{Z}}_4\to M$, $f(\hat{k})={\hat{2}}^k$. Funcția este bine definită, pentru că ${\hat{2}}^4=\hat{1}$; este morfism, pentru că ${\hat{2}}^{k+l}={\hat{2}}^k\cdot {\hat{2}}^l$; și este bijectivă, pentru că cele patru puteri sunt distincte. Deci $(M,\cdot )\simeq ({\mathbb{Z}}_4,+)$.

Pentru a doua parte comparăm profilurile: grupul lui Klein are trei elemente de ordin $2$ și niciunul de ordin $4$, în timp ce $M$ are un singur element de ordin $2$ și două de ordin $4$. Cum un izomorfism păstrează ordinele, cele două grupuri nu pot fi izomorfe. Această structură de cerință — tablă, ordine, izomorfism confirmat și izomorfism respins — este tiparul obișnuit al problemei de algebră de la Subiectul al II-lea de la Bacalaureat M1.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie mai întâi care argument îl folosești: cardinal, comutativitate sau profilul ordinelor. Dacă alegi profilul, calculează ordinele pentru ambele grupuri și scrie-le într-un tabel; comparația trebuie să se vadă, nu doar să fie afirmată.

1. Arată că $({\mathbb{Z}}_3,+)$ și $({\mathbb{Z}}_7,+)$ nu sunt izomorfe.

2. Arată că $(S_3,\circ )$ și $(S_4,\circ )$ nu sunt izomorfe.

3. Alcătuiește profilul ordinelor pentru $({\mathbb{Z}}_6,+)$.

4. Alcătuiește profilul ordinelor pentru $(S_3,\circ )$ și compară-l cu cel de la exercițiul precedent.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două grupuri finite au același profil al ordinelor, atunci sunt izomorfe."

6. Arată că $({\mathbb{Z}}_4,+)$ și $(U_4,\cdot )$ sunt izomorfe, comparând profilurile și indicând funcția.

7. Arată că $(\mathbb{Q},+)$ și $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ nu sunt izomorfe, folosind un element de ordin $2$.

8. Fie $f:G\to G^{\prime }$ un izomorfism și $x\in G$ cu $\mathrm{ord}(x)=6$. Cât este $\mathrm{ord}(f(x))$? Justifică.

9. (Problemă aplicată.) Un mecanism $A$ are patru poziții și revine la poziția inițială după orice două comenzi identice. Un mecanism $B$ are tot patru poziții, dar revine abia după patru comenzi identice de același fel. Explică de ce grupurile pozițiilor lor nu pot fi izomorfe.

10. Arată că grupul claselor inversabile modulo $12$ nu este ciclic, calculând ordinele elementelor lui.

11. Arată că $(\mathbb{Z},+)$ și $({\mathbb{Z}}_{10},+)$ nu sunt izomorfe.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un grup comutativ nu poate fi izomorf cu un grup necomutativ."

13. Fie $G$ un grup cu $7$ elemente și $H$ un grup cu $7$ elemente. Sunt ele obligatoriu izomorfe? Justifică.

14. Arată că grupul aditiv al claselor de resturi modulo $9$ și grupul claselor inversabile modulo $9$ nu sunt izomorfe.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $H=\{\hat{1},\hat{2},\hat{4}\}\subset {\mathbb{Z}}_7$ cu înmulțirea claselor. a) Alcătuiește tabla și arată că $(H,\cdot )$ este grup. b) Determină ordinele elementelor. c) Arată că $(H,\cdot )\simeq ({\mathbb{Z}}_3,+)$.

16. Explică de ce un grup ciclic cu $8$ elemente nu poate fi izomorf cu un grup cu $8$ elemente în care toate elementele diferite de neutru au ordinul $2$.

17. Fie $f:G\to G^{\prime }$ izomorfism. Arată că $G$ are un element de ordin $d$ dacă și numai dacă $G^{\prime }$ are un element de ordin $d$.

18. (Provocare.) Arată că grupul $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ conține elemente de orice ordin finit, în timp ce $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ conține doar elemente de ordin $1$ sau $2$, și deduce de aici că cele două grupuri nu sunt izomorfe.

Răspunsuri și explicații

1. Primul grup are trei elemente, al doilea șapte. Cum nu există bijecție între o mulțime cu trei elemente și una cu șapte, grupurile nu sunt izomorfe. Argumentul cardinalului.

2. $\mathrm{card}{S}_3=3!=6$, iar $\mathrm{card}{S}_4=4!=24$. Cardinalele diferă, deci nu sunt izomorfe.

3. $\mathrm{ord}(\hat{k})=\frac{6}{(k,6)}$, deci: $\hat{0}$ are ordinul $1$; $\hat{3}$ are ordinul $2$; $\hat{2}$ și $\hat{4}$ au ordinul $3$; $\hat{1}$ și $\hat{5}$ au ordinul $6$. Profilul: un element de ordin $1$, unul de ordin $2$, două de ordin $3$ și două de ordin $6$.

4. În $S_3$: identitatea are ordinul $1$; cele trei permutări care schimbă între ele două valori au ordinul $2$; celelalte două au ordinul $3$. Profilul lui $S_3$ este deci: unul de ordin $1$, trei de ordin $2$, două de ordin $3$, niciunul de ordin $6$. Diferă de cel al lui ${\mathbb{Z}}_6$, ceea ce confirmă încă o dată că cele două grupuri nu sunt izomorfe.

5. Fals. Profilul identic este o condiție necesară, nu suficientă: el poate doar respinge izomorfismul, niciodată să îl confirme. Ca să dovedești că două grupuri sunt izomorfe trebuie să construiești efectiv o funcție și să verifici cele două condiții; profilul îți spune doar că merită să încerci.

6. În $({\mathbb{Z}}_4,+)$ ordinele sunt $1,4,2,4$; în $(U_4,\cdot )$ avem $\mathrm{ord}(1)=1$, $\mathrm{ord}(i)=4$, $\mathrm{ord}(-1)=2$, $\mathrm{ord}(-i)=4$. Profilurile coincid, ceea ce nu demonstrează nimic singur; izomorfismul se obține din funcția $f(\hat{k})=i^k$, care e morfism bijectiv.

7. În $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ elementul $-1$ are ordinul $2$. În $(\mathbb{Q},+)$, un element de ordin $2$ ar fi un rațional $x\ne 0$ cu $2x=0$, deci $x=0$ — imposibil. Cum un izomorfism păstrează ordinele, grupurile nu sunt izomorfe.

8. $\mathrm{ord}(f(x))=6$, prin teorema de la punctul $4$: orice izomorfism păstrează ordinele elementelor. Atenție, dacă $f$ ar fi doar morfism, s-ar putea afirma numai că ordinul imaginii divide $6$.

9. Grupul pozițiilor lui $A$ are patru elemente, toate cu ordinul cel mult $2$, deci profilul lui este cel al grupului lui Klein. Grupul pozițiilor lui $B$ are un element de ordin $4$, deci este ciclic. Profilurile diferă, deci grupurile nu sunt izomorfe, deși ambele mecanisme au patru poziții.

10. $U({\mathbb{Z}}_{12})=\{\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11}\}$, pentru că acestea sunt clasele numerelor prime cu $12$. Calculăm: ${\hat{5}}^2=\widehat{25}=\hat{1}$, ${\hat{7}}^2=\widehat{49}=\hat{1}$, ${\widehat{11}}^2=\widehat{121}=\hat{1}$. Toate elementele diferite de neutru au ordinul $2$, deci niciunul nu are ordinul $4$ și grupul nu este ciclic.

11. $(\mathbb{Z},+)$ este infinit, iar $({\mathbb{Z}}_{10},+)$ are zece elemente; nu există bijecție între o mulțime infinită și una finită. Se poate argumenta și cu ordinele: în $\mathbb{Z}$ toate elementele nenule au ordin infinit, în ${\mathbb{Z}}_{10}$ toate ordinele sunt finite.

12. Adevărat. Dacă ar exista un izomorfism de la grupul comutativ la cel necomutativ, propoziția demonstrată la punctul $3$ ar obliga al doilea grup să fie comutativ, contrazicând ipoteza.

13. Da. Cum $7$ este prim, prin Consecința 3 a teoremei lui Lagrange ambele grupuri sunt ciclice cu șapte elemente, deci fiecare este izomorf cu $({\mathbb{Z}}_7,+)$; prin tranzitivitatea relației de izomorfism, sunt izomorfe între ele.

14. $({\mathbb{Z}}_9,+)$ are nouă elemente, iar $U({\mathbb{Z}}_9)=\{\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{5},\hat{7},\hat{8}\}$ are șase. Cardinalele diferă, deci grupurile nu sunt izomorfe. Argumentul se oprește la primul pas.

15. a) Tabla: $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}$, $\hat{2}\cdot \hat{4}=\hat{8}=\hat{1}$, $\hat{4}\cdot \hat{4}=\widehat{16}=\hat{2}$. Toate rezultatele rămân în $H$, deci $H$ e parte stabilă; asociativitatea se moștenește; $\hat{1}$ e neutru; $\hat{2}$ și $\hat{4}$ sunt inverse una alteia. Deci $(H,\cdot )$ e grup comutativ cu trei elemente. b) $\mathrm{ord}(\hat{1})=1$, $\mathrm{ord}(\hat{2})=3$ (din ${\hat{2}}^2=\hat{4}$, ${\hat{2}}^3=\hat{1}$), $\mathrm{ord}(\hat{4})=3$. c) $\hat{2}$ generează tot grupul, deci $f(\hat{k})={\hat{2}}^k$ este morfism bijectiv de la ${\mathbb{Z}}_3$ la $H$. Alternativ: $3$ fiind prim, orice grup cu trei elemente e izomorf cu $({\mathbb{Z}}_3,+)$.

16. Grupul ciclic are un element de ordin $8$, prin definiția ciclicității și egalitatea $\mathrm{card}⟨x⟩=\mathrm{ord}(x)$. Al doilea grup are toate ordinele egale cu $1$ sau $2$. Cum un izomorfism păstrează ordinele, elementul de ordin $8$ nu ar avea unde să fie dus. Deci grupurile nu sunt izomorfe.

17. Dacă $x\in G$ are ordinul $d$, atunci $f(x)\in G^{\prime }$ are tot ordinul $d$, prin teorema de la punctul $4$. Reciproc, dacă $u\in G^{\prime }$ are ordinul $d$, aplicăm aceeași teoremă izomorfismului $f^{-1}$ și obținem că $f^{-1}(u)\in G$ are ordinul $d$. Deci existența unui element de ordin $d$ trece dintr-un grup în celălalt, în ambele sensuri.

18. Pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, numărul ${\epsilon }_1=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$ aparține lui ${\mathbb{C}}^{\ast }$ și are ordinul $n$, pentru că ${\epsilon }_1^n=1$, iar nicio putere mai mică nu dă $1$ (celelalte puteri sunt rădăcini distincte de $1$). În $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, un element $x$ cu $x^n=1$ verifică $|x|=1$, deci $x\in \{-1,1\}$, iar ordinele posibile sunt doar $1$ și $2$. Cum $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ are, de pildă, un element de ordin $3$, iar $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ nu, cele două grupuri nu sunt izomorfe.

De reținut

• Un invariant de izomorfism este o trăsătură a grupului care nu se schimbă prin izomorfism, iar diferența dintre invarianții a două grupuri este singura dovadă acceptată că ele nu sunt izomorfe.
• Argumentul cardinalului spune că două grupuri cu numere diferite de elemente nu pot fi izomorfe, pentru că un izomorfism este în primul rând o bijecție.
• Argumentul comutativității spune că un grup comutativ nu poate fi izomorf cu unul necomutativ, iar necomutativitatea se dovedește cu un singur contraexemplu.
• Orice izomorfism păstrează ordinele elementelor, adică $\mathrm{ord}(f(x))=\mathrm{ord}(x)$, iar demonstrația folosește faptul că și funcția inversă este izomorfism.
• Profilul ordinelor este tabelul care arată câte elemente de fiecare ordin are un grup finit, iar două grupuri cu profiluri diferite nu sunt izomorfe.

Greșeli frecvente

• Încercarea de a respinge toate bijecțiile. La patru elemente sunt $24$ de bijecții, la șase sunt $720$; metoda nu se poate duce la capăt și nu e cerută. Se compară invarianți, nu funcții.
• Folosirea profilului ca argument de confirmare. Profiluri identice nu demonstrează izomorfismul; pentru confirmare trebuie construită efectiv funcția și verificate cele două condiții.
• Confundarea morfismului cu izomorfismul la ordine. Un morfism oarecare garantează doar că ordinul imaginii divide ordinul elementului; egalitatea are nevoie de bijectivitate, prin funcția inversă.
• Argumentul „tablele arată diferit". Aceeași tablă scrisă cu elementele în altă ordine arată altfel; trebuie indicată o trăsătură independentă de ordine, cum e numărul de elemente cu pătratul egal cu neutrul.
• Uitarea de a verifica ordinele în ambele grupuri. O redactare care listează ordinele doar într-un grup nu demonstrează nimic; comparația cere ambele liste, scrise una sub alta.

Aplică acasă

1. Cele două grupuri cu patru elemente. Scrie pe o foaie profilurile ordinelor pentru $({\mathbb{Z}}_4,+)$, $U_4$, grupul lui Klein, clasele inversabile modulo $8$ și clasele inversabile modulo $10$. Grupează-le după profil și verifică dacă obții exact două grupe.

2. Vânătoarea de contraexemple. Alege trei perechi de grupuri cu același număr de elemente dintre cele studiate și, pentru fiecare pereche, decide dacă sunt izomorfe. Scrie de fiecare dată care argument ai folosit și de ce celelalte nu au decis.

3. Redactarea completă. Redactează, în trei-patru fraze, demonstrația faptului că $(\mathbb{R},+)$ și $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ nu sunt izomorfe, ca și cum ai scrie la o lucrare. Compară apoi cu modelul din lecție și verifică dacă ai spus explicit „presupunem prin absurd" și „contradicție".

Pentru părinți și profesori

Lecția răspunde competenței XII.CS.5.2 din programa de matematică-informatică, prin activitățile „investigarea unor situații în care două grupuri nu pot fi izomorfe" și „analizarea ordinelor unor elemente a două grupuri izomorfe". Rezultatul central, păstrarea ordinelor printr-un izomorfism, este demonstrat aici pentru prima dată în forma cu egalitate, iar demonstrația arată exact de unde vine nevoia de bijectivitate.

De verificat în caiet: (1) fiecare rezolvare începe cu numele argumentului folosit; (2) la profilul ordinelor sunt calculate ordinele în ambele grupuri, nu doar în unul; (3) redactarea conține „presupunem prin absurd" și se încheie cu o contradicție explicită; (4) elevul nu folosește profilul identic ca dovadă de izomorfism. Întrebări de control: „De ce nu putem încerca toate bijecțiile?"; „Ce înseamnă că o proprietate e invariant?"; „De ce izomorfismul păstrează ordinele, iar morfismul nu?"; „Dă două grupuri cu patru elemente care nu sunt izomorfe".

La BAC M1 cerința apare cel mai adesea ca ultim subpunct al problemei de algebră, după ce elevul a construit tabla și a calculat ordinele: „arătați că grupul obținut nu este izomorf cu grupul lui Klein". Semn că elevul a înțeles: în fața a două grupuri cu același cardinal, calculează imediat ordinele, în loc să caute la întâmplare o funcție.

Întrebări frecvente

Cum arăt că două grupuri nu sunt izomorfe? Găsești o trăsătură care s-ar păstra prin orice izomorfism și care are valori diferite în cele două grupuri: numărul de elemente, comutativitatea sau profilul ordinelor. Apoi redactezi prin reducere la absurd: presupui că izomorfismul există, arăți că trăsătura ar trebui să coincidă și obții o contradicție.

Ce este profilul ordinelor unui grup? Profilul ordinelor este tabelul care arată, pentru fiecare valoare posibilă a ordinului, câte elemente ale grupului au acel ordin. El se calculează ridicând fiecare element la puteri succesive până se ajunge la elementul neutru și este cel mai fin dintre argumentele folosite la clasă.

De ce un izomorfism păstrează ordinele elementelor? Pentru că din $x^n=e$ rezultă $f(x{)}^n=e^{\prime }$, deci ordinul imaginii nu poate fi mai mare, iar aplicând același raționament funcției inverse, care este tot izomorfism, se obține că nici ordinul elementului nu poate fi mai mare. Cele două inegalități dau egalitatea.

Este suficient ca două grupuri să aibă același număr de elemente ca să fie izomorfe? Nu. Numărul de elemente poate doar să respingă izomorfismul, niciodată să îl confirme. Contraexemplul clasic este perechea formată din grupul lui Klein și grupul aditiv al claselor de resturi modulo $4$: amândouă au patru elemente, sunt comutative și totuși nu sunt izomorfe.

De ce grupul permutărilor de trei obiecte nu este izomorf cu grupul claselor de resturi modulo 6? Pentru că grupul claselor de resturi modulo $6$ este comutativ, iar grupul permutărilor de trei obiecte nu este: există două permutări care, compuse în ordini diferite, dau rezultate diferite. Comutativitatea se păstrează prin izomorfism, deci cele două grupuri nu pot fi izomorfe.

Cum se compară două grupuri infinite, unde nu se poate scrie tabla? Se folosesc aceiași invarianți care nu depind de finitudine: comutativitatea și ordinele elementelor. De pildă, grupul multiplicativ al numerelor reale nenule are un element de ordin $2$, anume $-1$, în timp ce grupul aditiv al numerelor reale nu are niciunul, deci cele două nu sunt izomorfe.

Ce formulări nu sunt acceptate ca argument în barem? Nu sunt acceptate „am încercat și nu am găsit niciun izomorfism", „tablele arată diferit" și „elementele sunt de alt fel". Prima nu demonstrează nimic, a doua depinde de ordinea în care ai scris elementele, iar a treia ignoră faptul că izomorfismul compară structuri, nu natura obiectelor.