Grupurile claselor de resturi: pe scurt

Mulțimea ${\mathbb{Z}}_n$ cu adunarea claselor formează grup comutativ: legea e bine definită, asociativitatea și comutativitatea se moștenesc de la $\mathbb{Z}$, elementul neutru este $\hat{0}$, iar opusul este $-\hat{a}=\widehat{n-a}$. Se scrie mereu perechea, „grupul aditiv $({\mathbb{Z}}_n,+)$”, iar $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_n=n$.

Cu înmulțirea, $({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ nu este grup pentru niciun $n\ge 2$: clasa $\hat{0}$ nu are invers. Iar scoaterea ei nu repară nimic când $n$ este compus — în ${\mathbb{Z}}_6$, $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{0}$, deci mulțimea claselor nenule nu e nici măcar parte stabilă. Trebuie scoase toate clasele neinversabile.

Ce rămâne este $U({\mathbb{Z}}_n,\cdot )=\{\hat{a}\mid (a,n)=1\}$, care formează grup comutativ față de înmulțire: produsul a două clase inversabile e inversabil (cu simetricul obținut compunând simetricele în ordine inversă), asociativitatea se moștenește, $\hat{1}$ este neutru, iar inversa unei clase inversabile e ea însăși inversabilă. Pentru $p$ prim, $\mathrm{card}U({\mathbb{Z}}_p,\cdot )=p-1$; pentru $n$ compus numărul scade mult.

Ecuațiile: $\hat{a}+x=\hat{b}$ are întotdeauna soluția unică $\widehat{b-a}$; $\hat{a}\cdot x=\hat{b}$ în $U({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ se rezolvă înmulțind cu inversa lui $\hat{a}$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Structura $({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ nu este grup pentru niciun $n\ge 2$, pentru că:

   • a) înmulțirea claselor nu este asociativă
   • b) clasa $\hat{0}$ nu are invers
   • c) înmulțirea claselor nu este comutativă
   • d) nu există element neutru
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) clasa $\hat{0}$ nu are invers

   Avem $\hat{0}\cdot \hat{x}=\hat{0}\ne \hat{1}$ pentru orice clasă $\hat{x}$, deci axioma simetricului cade și structura rămâne monoid. Variantele a, c și d sunt false: înmulțirea claselor este asociativă și comutativă (proprietăți moștenite de la $\mathbb{Z}$) și are elementul neutru $\hat{1}$.

2. Pentru $n$ compus, mulțimea ${\mathbb{Z}}_n\setminus \{\hat{0}\}$, în raport cu înmulțirea claselor:

   • a) este grup comutativ
   • b) este grup, dar necomutativ
   • c) este parte stabilă, însă fără element neutru
   • d) nu este nici măcar parte stabilă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) nu este nici măcar parte stabilă

   Contraexemplul se scrie într-un rând: în ${\mathbb{Z}}_6$, clasele $\hat{2}$ și $\hat{3}$ sunt nenule, dar $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{0}$, care nu aparține mulțimii. Discuția se oprește la pasul $0$. Pentru $n$ prim accidentul nu se poate produce, iar acolo clasele nenule chiar formează grup — de aceea nu clasa $\hat{0}$ trebuie scoasă, ci toate clasele neinversabile.

3. În grupul $(U({\mathbb{Z}}_8,\cdot ),\cdot )=\{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}\}$:

   • a) fiecare element este propriul său invers
   • b) există un element ale cărui puteri succesive dau toate elementele
   • c) grupul are $8$ elemente
   • d) grupul nu este comutativ
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) fiecare element este propriul său invers

   Se verifică direct: $3^2=9$, $5^2=25$ și $7^2=49$ dau toate restul $1$ la împărțirea cu $8$, deci diagonala principală a tablei conține numai $\hat{1}$. Tocmai de aceea varianta b este falsă aici, deși în $U({\mathbb{Z}}_5,\cdot )$ înmulțirea repetată cu $\hat{2}$ produce toate elementele. Grupul are $4$ elemente și este comutativ, ca orice grup de clase de resturi.