Grupul aditiv și grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo n

Clasele de resturi modulo $n$ sunt, pentru elevul de clasa a 12-a, cele mai la îndemână exemple de grupuri finite: mulțimea are exact $n$ elemente, tabla încape pe o pagină, iar toate calculele se fac cu resturi de împărțiri. Din ele se construiesc două grupuri diferite pe aceeași mulțime — unul cu adunarea, celălalt cu înmulțirea — iar deosebirea dintre ele este cel mai bun exercițiu de înțelegere a definiției. Grupul aditiv $({\mathbb{Z}}_n,+)$ este mulțimea celor $n$ clase de resturi luată cu adunarea claselor, iar grupul multiplicativ $U({\mathbb{Z}}_n)$ este mulțimea claselor inversabile luată cu înmulțirea: aceeași mulțime, două legi, două structuri diferite.

Operațiile le-ai construit deja, împreună cu proprietățile lor, în lecțiile despre mulțimea claselor de resturi modulo n și adunarea claselor și înmulțirea claselor de resturi. Ce urmează acum nu adaugă calcule noi, ci numește structura: vom arăta că $({\mathbb{Z}}_n,+)$ este grup comutativ pentru orice $n$, că $({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ nu este niciodată grup și că, în schimb, mulțimea claselor inversabile $U({\mathbb{Z}}_n)$ formează grup față de înmulțire. Cele două grupuri apar constant în subiectele de Bacalaureat M1, fie direct, fie prin ecuațiile cu clase de resturi.

Ce vei învăța

• Vei ști să demonstrezi, în patru pași, că $({\mathbb{Z}}_n,+)$ este grup comutativ și să scrii elementul neutru și simetricul oricărei clase.
• Vei ști de ce $({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ nu este grup, oricare ar fi $n$, și de ce nici eliminarea clasei $\hat{0}$ nu repară situația când $n$ este compus.
• Vei ști să definești mulțimea $U({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ a claselor inversabile (scrisă pe scurt $U({\mathbb{Z}}_n)$ atunci când e limpede că e vorba despre înmulțire) și să demonstrezi că este grup comutativ față de înmulțire.
• Vei ști să scrii tabla lui $({\mathbb{Z}}_6,+)$ și pe cele ale grupurilor $(U({\mathbb{Z}}_5),\cdot )$ și $(U({\mathbb{Z}}_8),\cdot )$ și să citești din ele elementul neutru și simetricele.
• Vei ști să determini $\mathrm{card}U({\mathbb{Z}}_n)$ pentru valori mici ale lui $n$ și să compari cazul $n$ prim cu cazul $n$ compus.
• Vei ști să rezolvi ecuații în cele două grupuri, adunând sau înmulțind cu simetricul potrivit.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este grupul aditiv al claselor de resturi?

Grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$ este mulțimea ${\mathbb{Z}}_n=\{\hat{0},\hat{1},\dots ,\widehat{n-1}\}$ împreună cu adunarea claselor, definită prin $\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b}$; el este grup comutativ, cu elementul neutru $\hat{0}$ și cu simetricul clasei $\hat{a}$ egal cu clasa $\widehat{n-a}$.

Demonstrația reia cei patru pași și se sprijină, la fiecare dintre ei, pe proprietățile adunării numerelor întregi.

Pasul 0 (parte stabilă). Adunarea claselor este bine definită — independența de reprezentanți a fost demonstrată în lecția despre adunarea claselor — iar $\widehat{a+b}$ este tot o clasă modulo $n$. Deci $+$ este lege de compoziție pe ${\mathbb{Z}}_n$.

Pasul 1 (asociativitate). Pentru orice $\hat{a},\hat{b},\hat{c}\in {\mathbb{Z}}_n$:

$$(\hat{a}+\hat{b})+\hat{c}=\widehat{a+b}+\hat{c}=\widehat{(a+b)+c}=\widehat{a+(b+c)}=\hat{a}+\widehat{b+c}=\hat{a}+(\hat{b}+\hat{c}).$$

Proprietatea se moștenește de la asociativitatea adunării numerelor întregi; nu se demonstrează din nou.

Pasul 2 (element neutru). $\hat{a}+\hat{0}=\widehat{a+0}=\hat{a}$ și, la fel, $\hat{0}+\hat{a}=\hat{a}$. Deci $e=\hat{0}$.

Pasul 3 (simetricul). Pentru $\hat{a}$ cu $1\le a\le n-1$, luăm clasa $\widehat{n-a}$, care aparține lui ${\mathbb{Z}}_n$, și obținem

$$\hat{a}+\widehat{n-a}=\widehat{a+n-a}=\hat{n}=\hat{0}.$$

Pentru $\hat{a}=\hat{0}$, simetricul este chiar $\hat{0}$. Prin urmare toate clasele sunt simetrizabile.

Comutativitatea este imediată: $\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b}=\widehat{b+a}=\hat{b}+\hat{a}$. Așadar $({\mathbb{Z}}_n,+)$ este grup comutativ, cu $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_n=n$. Legea fiind notată aditiv, simetricul se numește opusul clasei $\hat{a}$ și se scrie $-\hat{a}$; formula lui, ușor de reținut, este $-\hat{a}=\widehat{n-a}$.

Numele „grup aditiv" nu este o etichetă decorativă: el spune care lege a fost folosită. Pe aceeași mulțime ${\mathbb{Z}}_n$ vom pune, peste câteva rânduri, și înmulțirea, iar rezultatul va fi cu totul altul. De aceea, în lucrare, se scrie întotdeauna perechea, „grupul aditiv $({\mathbb{Z}}_n,+)$", nu „grupul ${\mathbb{Z}}_n$". Este exact grija pe care ai învățat-o la numere, unde $(\mathbb{Z},+)$ este grup, iar $(\mathbb{Z},\cdot )$ nu este, deși mulțimea e aceeași.

2. Ce se citește din tabla grupului aditiv?

Pentru $n\le 8$ tabla se scrie integral și rămâne cel mai bun instrument de control. Tablele adunării pentru $n=3$, $n=4$ și $n=5$ au fost construite la mulțimea claselor de resturi modulo n și adunarea claselor; acolo erau tablele unei operații, aici sunt tablele unui grup, iar deosebirea schimbă ce anume cauți în ele. O scriem pe cea a lui $({\mathbb{Z}}_6,+)$, de care avem nevoie imediat.

Trei lucruri se citesc fără niciun calcul suplimentar. Elementul neutru este $\hat{0}$: linia lui reproduce antetul, iar coloana lui reproduce prima coloană. Simetricele se găsesc urmărind unde apare $\hat{0}$ în interiorul tablei: perechile sunt $\hat{1}$ cu $\hat{5}$ și $\hat{2}$ cu $\hat{4}$, iar $\hat{0}$ și $\hat{3}$ sunt fiecare propriul simetric. Comutativitatea se vede din simetria față de diagonala principală. Mai observă un lucru care se va dovedi important la finalul lecției: fiecare linie conține toate cele șase clase, fiecare exact o dată, deci ecuația $\hat{a}+x=\hat{b}$ are întotdeauna o soluție, și numai una.

Compară acum cu tabla lui $({\mathbb{Z}}_5,+)$, pe care o ai deja în caiet: acolo singura clasă egală cu propriul simetric este $\hat{0}$, în timp ce în ${\mathbb{Z}}_6$ mai apare una, $\hat{3}$. Regula generală, ușor de verificat, este următoarea: clasa $\hat{a}$ este propriul ei simetric exact atunci când $2a$ se divide cu $n$, deci pentru $n$ par există două astfel de clase, $\hat{0}$ și $\widehat{n/2}$, iar pentru $n$ impar numai $\hat{0}$.

3. De ce $({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ nu este grup?

Din același motiv pentru care nici $(\mathbb{Q},\cdot )$ nu era: clasa $\hat{0}$ nu are invers. Într-adevăr, $\hat{0}\cdot \hat{x}=\hat{0}\ne \hat{1}$ pentru orice clasă $\hat{x}$, cu condiția ca $n\ge 2$, adică exact atunci când $\hat{0}\ne \hat{1}$. Deci axioma simetricului cade și structura rămâne monoid, cu elementul neutru $\hat{1}$.

Reflexul învățat la numere ar fi să eliminăm clasa vinovată și să lucrăm cu ${\mathbb{Z}}_n\setminus \{\hat{0}\}$. Aici, însă, apare o surpriză care nu are corespondent la numerele raționale: pentru $n$ compus, mulțimea claselor nenule nu este nici măcar parte stabilă. Luăm $n=6$:

$$\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{0}.$$

Două clase nenule dau produs nul. Deci ${\mathbb{Z}}_6\setminus \{\hat{0}\}$ nu este parte stabilă față de înmulțire, iar discuția se oprește la pasul 0. Pentru $n=7$, în schimb, un asemenea accident nu se poate produce: dacă $7$ divide produsul $ab$ și $7$ este prim, atunci $7$ divide unul dintre factori, deci una dintre clase era deja nulă. Ai verificat acest fapt în lecția despre elementele inversabile din mulțimea claselor de resturi: pentru $n$ prim, toate clasele nenule sunt inversabile.

Concluzia care organizează totul: nu clasa $\hat{0}$ trebuie scoasă, ci toate clasele neinversabile. Ce rămâne poartă un nume.

4. Ce este grupul multiplicativ $U({\mathbb{Z}}_n)$?

Reamintim criteriul demonstrat anterior: clasa $\hat{a}$ este inversabilă în $({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ dacă și numai dacă $(a,n)=1$, adică numerele $a$ și $n$ sunt prime între ele. Notăm

$$U({\mathbb{Z}}_n)=\{\hat{a}\in {\mathbb{Z}}_n\mid (a,n)=1\}$$

mulțimea claselor inversabile, numite și unitățile lui ${\mathbb{Z}}_n$.

Teoremă. $(U({\mathbb{Z}}_n),\cdot )$ este grup comutativ.

Demonstrație. Pasul 0. Fie $\hat{a},\hat{b}\in U({\mathbb{Z}}_n)$, deci $(a,n)=1$ și $(b,n)=1$. Atunci și $(ab,n)=1$: niciun divizor prim al lui $n$ nu divide pe $a$ și niciunul nu divide pe $b$, deci niciunul nu divide produsul $ab$. Prin urmare $\hat{a}\cdot \hat{b}=\widehat{ab}\in U({\mathbb{Z}}_n)$.

O demonstrație alternativă, mai scurtă și utilă la Bacalaureat M1: dacă $\hat{a}$ și $\hat{b}$ au inversele ${\hat{a}}^{\prime }$ și ${\hat{b}}^{\prime }$, atunci $(\hat{a}\hat{b})\cdot ({\hat{b}}^{\prime }{\hat{a}}^{\prime })=\hat{a}(\hat{b}{\hat{b}}^{\prime }){\hat{a}}^{\prime }=\hat{a}{\hat{a}}^{\prime }=\hat{1}$, deci produsul este inversabil.

A doua demonstrație merită reținută pentru că se rescrie identic în orice grup: dacă două elemente au simetric, atunci și compusul lor are, iar simetricul compusului se obține compunând simetricele în ordine inversă. Vom reveni asupra acestei reguli, cu demonstrația ei generală, în lecția despre regulile de calcul într-un grup; deocamdată ea scurtează pasul 0 la un singur rând, oricare ar fi modulul $n$.

Pasul 1. Înmulțirea claselor este asociativă pe tot ${\mathbb{Z}}_n$, proprietate moștenită de la înmulțirea numerelor întregi; cu atât mai mult este asociativă pe submulțimea $U({\mathbb{Z}}_n)$.

Pasul 2. $(1,n)=1$, deci $\hat{1}\in U({\mathbb{Z}}_n)$, iar $\hat{a}\cdot \hat{1}=\hat{1}\cdot \hat{a}=\hat{a}$. Elementul neutru este $\hat{1}$.

Pasul 3. Fie $\hat{a}\in U({\mathbb{Z}}_n)$ și ${\hat{a}}^{\prime }$ inversa ei, adică $\hat{a}{\hat{a}}^{\prime }=\hat{1}$. Aceeași egalitate arată că ${\hat{a}}^{\prime }$ este ea însăși inversabilă, cu inversa $\hat{a}$, deci ${\hat{a}}^{\prime }\in U({\mathbb{Z}}_n)$.

Comutativitatea: $\hat{a}\hat{b}=\widehat{ab}=\widehat{ba}=\hat{b}\hat{a}$. $■$

Observă că demonstrația pasului 3 este un tipar general: într-un monoid comutativ, mulțimea elementelor simetrizabile formează întotdeauna grup. Am folosit exact acest tipar și la $G{L}_2(\mathbb{R})$, în lecția despre grupuri de matrice și de permutări.

5. Câte elemente are $U({\mathbb{Z}}_n)$?

Numărul lor este numărul întregilor din $\{1,2,\dots ,n\}$ care sunt primi cu $n$. El se notează, în matematica superioară, cu $\phi (n)$ și poartă numele de indicatorul lui Euler; noi îl folosim doar ca nume, fără să-i studiem formulele. Pentru valorile mici se numără direct:

Din tabel se citește imediat regula cea mai importantă: dacă $p$ este prim, atunci $\mathrm{card}U({\mathbb{Z}}_p)=p-1$, pentru că toate clasele nenule sunt inversabile. Vezi asta la $p=2,3,5,7,11$. Când $n$ este compus, numărul scade brusc: $U({\mathbb{Z}}_{12})$ are doar $4$ elemente din $12$, anume $\hat{1}$, $\hat{5}$, $\hat{7}$ și $\widehat{11}$.

Pentru contrast, grupul aditiv are întotdeauna $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_n=n$ elemente, indiferent de natura lui $n$. Aceeași mulțime, două legi, două grupuri de mărimi diferite — un exemplu bun de reținut pentru afirmația din prima lecție a unității, că structura ține de pereche, nu de mulțime.

6. Tablele grupurilor multiplicative

Le scriem pentru $n=5$, $n=8$ și $n=10$, adică sub pragul de opt elemente peste care se lucrează cu formule.

Pentru $U({\mathbb{Z}}_5)=\{\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\}$:

Pentru $U({\mathbb{Z}}_8)=\{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}\}$:

Pentru $U({\mathbb{Z}}_{10})=\{\hat{1},\hat{3},\hat{7},\hat{9}\}$:

Toate trei au patru elemente, dar nu se comportă la fel. În $U({\mathbb{Z}}_8)$ diagonala principală conține numai $\hat{1}$: fiecare element este propriul său invers, exact ca în grupul lui Klein din lecția despre grupuri de funcții. În $U({\mathbb{Z}}_5)$ și $U({\mathbb{Z}}_{10})$ lucrurile stau altfel: $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}\ne \hat{1}$, respectiv $\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}\ne \hat{1}$. Asemănarea și deosebirea dintre table sunt exact tema comparației pe care o vei face în lecția despre izomorfisme de grupuri; deocamdată reține doar observația.

Merită și un calcul de mână, în $U({\mathbb{Z}}_5)$: $\hat{2}$, $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}$, $\hat{4}\cdot \hat{2}=\hat{3}$, $\hat{3}\cdot \hat{2}=\hat{1}$. Înmulțind repetat cu $\hat{2}$ se obțin, pe rând, toate elementele grupului. În $U({\mathbb{Z}}_8)$ un asemenea element nu există, pentru că orice element înmulțit cu el însuși dă $\hat{1}$.

7. Cum se rezolvă ecuațiile în cele două grupuri?

Într-un grup, ecuația $a\ast x=b$ se rezolvă compunând cu simetricul lui $a$, iar soluția este unică. Aici avem două tipuri.

În $({\mathbb{Z}}_n,+)$: ecuația $\hat{a}+x=\hat{b}$ se rezolvă adunând opusul lui $\hat{a}$, adică $\widehat{n-a}$:

$$x=\hat{b}+\widehat{n-a}=\widehat{b-a}.$$

Soluția există întotdeauna și este unică, oricare ar fi $\hat{a}$ și $\hat{b}$ — pentru că orice clasă are opus. De exemplu, în ${\mathbb{Z}}_7$, ecuația $\hat{4}+x=\hat{2}$ are soluția $x=\widehat{2-4}=\widehat{-2}=\hat{5}$; verificare: $\hat{4}+\hat{5}=\hat{9}=\hat{2}$.

În $(U({\mathbb{Z}}_n),\cdot )$: ecuația $\hat{a}\cdot x=\hat{b}$, cu $\hat{a},\hat{b}\in U({\mathbb{Z}}_n)$, se rezolvă înmulțind cu inversa lui $\hat{a}$: $x={\hat{a}}^{\prime }\cdot \hat{b}$. De exemplu, în $U({\mathbb{Z}}_{10})$, ecuația $\hat{3}\cdot x=\hat{7}$: din tablă, $\hat{3}\cdot \hat{7}=\hat{1}$, deci inversa lui $\hat{3}$ este $\hat{7}$, iar $x=\hat{7}\cdot \hat{7}=\widehat{49}=\hat{9}$. Verificare: $\hat{3}\cdot \hat{9}=\widehat{27}=\hat{7}$.

⚠️ Atenție la deosebire: în afara grupului $U({\mathbb{Z}}_n)$, adică atunci când coeficientul nu este inversabil, ecuația poate să nu aibă soluție sau să aibă mai multe. Acesta e motivul pentru care metoda „înmulțim cu inversul" se aplică numai după ce ai verificat că $(a,n)=1$.

Cum găsești inversa unei clase, atunci când tabla nu este scrisă? Pentru module mici, prin încercări: înmulțești $\hat{a}$ pe rând cu $\hat{1}$, $\hat{2}$, $\hat{3}$ și așa mai departe, până obții $\hat{1}$; sunt cel mult $n$ încercări și, în practică, mult mai puține. Pentru module mai mari se pornește de la o egalitate de forma $au+nv=1$, obținută din împărțiri succesive; trecând la clase modulo $n$, termenul $nv$ dispare și rămâne $\hat{a}\cdot \hat{u}=\hat{1}$, adică $\hat{u}$ este chiar inversa căutată. De pildă, din $3\cdot 7-2\cdot 10=1$ rezultă direct că inversa lui $\hat{3}$ în $U({\mathbb{Z}}_{10})$ este $\hat{7}$, fără nicio încercare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Simetricele în grupul aditiv

Scrieți tabla lui $({\mathbb{Z}}_4,+)$ și determinați opusul fiecărei clase.

Rezolvare. Adunând resturile modulo $4$ obținem:

Elementul neutru este $\hat{0}$. Căutând $\hat{0}$ în interiorul tablei: $-\hat{1}=\hat{3}$, $-\hat{2}=\hat{2}$, $-\hat{3}=\hat{1}$, iar $-\hat{0}=\hat{0}$. Formula generală $-\hat{a}=\widehat{n-a}$ dă aceleași rezultate.

Exemplul 2 — Grupul multiplicativ pentru un modul prim

Arătați că $(U({\mathbb{Z}}_7),\cdot )=({\mathbb{Z}}_7\setminus \{\hat{0}\},\cdot )$ și determinați inversa clasei $\hat{5}$.

Rezolvare. Cum $7$ este prim, pentru orice $a\in \{1,2,\dots ,6\}$ avem $(a,7)=1$, deci toate cele șase clase nenule sunt inversabile: $U({\mathbb{Z}}_7)=\{\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6}\}$ și $\mathrm{card}U({\mathbb{Z}}_7)=6$.

Pentru inversa lui $\hat{5}$ căutăm $x$ cu $5x\equiv 1$ modulo $7$, adică încercăm clasele pe rând: $\hat{5}\cdot \hat{1}=\hat{5}$, $\hat{5}\cdot \hat{2}=\widehat{10}=\hat{3}$, $\hat{5}\cdot \hat{3}=\widehat{15}=\hat{1}$. Deci inversa lui $\hat{5}$ este $\hat{3}$.

Exemplul 3 — Când clasele nenule nu formează grup

Arătați că $({\mathbb{Z}}_6\setminus \{\hat{0}\},\cdot )$ nu este grup.

Rezolvare. Verificăm pasul 0. Avem $\hat{2},\hat{3}\in {\mathbb{Z}}_6\setminus \{\hat{0}\}$, dar $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{0}$, care nu aparține mulțimii. Deci mulțimea nu este parte stabilă și structura nu poate fi grup.

Se poate spune și altfel, prin criteriul inversabilității: $(2,6)=2\ne 1$, deci $\hat{2}$ nu este inversabilă, iar axioma simetricului cade. Grupul corect este $U({\mathbb{Z}}_6)=\{\hat{1},\hat{5}\}$, cu doar două elemente.

Exemplul 4 — Ecuație în grupul aditiv

Rezolvați în $({\mathbb{Z}}_8,+)$ ecuația $\hat{5}+x=\hat{2}$.

Rezolvare. Adunăm în ambii membri opusul lui $\hat{5}$, adică $\widehat{8-5}=\hat{3}$:

$$\hat{3}+(\hat{5}+x)=\hat{3}+\hat{2}⟹(\hat{3}+\hat{5})+x=\hat{5}⟹\hat{0}+x=\hat{5}⟹x=\hat{5}.$$

Verificare: $\hat{5}+\hat{5}=\widehat{10}=\hat{2}$. Rezultatul se obținea și direct din formula $x=\widehat{b-a}=\widehat{2-5}=\widehat{-3}=\hat{5}$.

Exemplul 5 — Inversele în $U({\mathbb{Z}}_9)$

Determinați $U({\mathbb{Z}}_9)$ și inversa fiecărui element.

Rezolvare. Cum $9=3^2$, sunt inversabile clasele $\hat{a}$ cu $a$ nedivizibil cu $3$:

$$U({\mathbb{Z}}_9)=\{\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{5},\hat{7},\hat{8}\},\mathrm{card}U({\mathbb{Z}}_9)=6.$$

Căutăm perechile al căror produs este $\hat{1}$ modulo $9$: $\hat{2}\cdot \hat{5}=\widehat{10}=\hat{1}$, $\hat{4}\cdot \hat{7}=\widehat{28}=\hat{1}$, $\hat{8}\cdot \hat{8}=\widehat{64}=\hat{1}$, iar $\hat{1}\cdot \hat{1}=\hat{1}$. Prin urmare inversele sunt: $\hat{1}$ și $\hat{8}$ sunt fiecare propriul invers, $\hat{2}$ cu $\hat{5}$ formează o pereche, iar $\hat{4}$ cu $\hat{7}$ formează cealaltă pereche.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră mulțimea $U({\mathbb{Z}}_{10})$ a claselor inversabile din ${\mathbb{Z}}_{10}$. a) Determinați elementele lui $U({\mathbb{Z}}_{10})$ și scrieți tabla înmulțirii. b) Arătați că $(U({\mathbb{Z}}_{10}),\cdot )$ este grup comutativ. c) Rezolvați în acest grup ecuația $\hat{3}\cdot x=\hat{7}$.

Rezolvare. a) Sunt inversabile clasele $\hat{a}$ cu $(a,10)=1$, adică $a$ nedivizibil nici cu $2$, nici cu $5$: $U({\mathbb{Z}}_{10})=\{\hat{1},\hat{3},\hat{7},\hat{9}\}$. Tabla, calculată element cu element (de exemplu $\hat{3}\cdot \hat{7}=\widehat{21}=\hat{1}$ și $\hat{9}\cdot \hat{9}=\widehat{81}=\hat{1}$), este cea din subsecțiunea a șasea.

b) Pasul 0: toate cele șaisprezece produse din tablă sunt elemente ale mulțimii, deci $U({\mathbb{Z}}_{10})$ este parte stabilă. Pasul 1: înmulțirea claselor este asociativă, proprietate moștenită de la înmulțirea numerelor întregi. Pasul 2: linia lui $\hat{1}$ reproduce antetul, deci $e=\hat{1}$. Pasul 3: $\hat{1}$ și $\hat{9}$ sunt fiecare propriul invers, iar $\hat{3}$ și $\hat{7}$ sunt inverse una alteia. Tabla fiind simetrică față de diagonala principală, grupul este comutativ.

c) Înmulțim ambii membri cu inversa lui $\hat{3}$, care este $\hat{7}$:

$$\hat{7}\cdot (\hat{3}\cdot x)=\hat{7}\cdot \hat{7}⟹(\hat{7}\cdot \hat{3})\cdot x=\widehat{49}⟹\hat{1}\cdot x=\hat{9}⟹x=\hat{9}.$$

Verificare: $\hat{3}\cdot \hat{9}=\widehat{27}=\hat{7}$. Soluția este unică, pentru că într-un grup ecuația $a\cdot x=b$ are exact o soluție.

Să exersăm

La fiecare exercițiu cu $U({\mathbb{Z}}_n)$, determină întâi elementele mulțimii cu criteriul $(a,n)=1$; abia apoi scrie tabla sau caută inversele. La grupul aditiv, folosește formula $-\hat{a}=\widehat{n-a}$ ca să nu numeri pe degete.

1. Scrie tabla lui $({\mathbb{Z}}_4,+)$ și determină opusul fiecărei clase.

2. Determină opusul clasei $\hat{4}$ în $({\mathbb{Z}}_9,+)$.

3. Rezolvă în $({\mathbb{Z}}_8,+)$ ecuația $\hat{5}+x=\hat{2}$.

4. Determină mulțimea $U({\mathbb{Z}}_9)$ și numărul ei de elemente.

5. Calculează inversa clasei $\hat{5}$ în $U({\mathbb{Z}}_9)$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Mulțimea ${\mathbb{Z}}_n$ formează grup în raport cu înmulțirea claselor, pentru orice $n\ge 2$."

7. Arată, printr-un exemplu, că ${\mathbb{Z}}_6\setminus \{\hat{0}\}$ nu este parte stabilă în raport cu înmulțirea claselor.

8. Determină $U({\mathbb{Z}}_7)$ și $\mathrm{card}U({\mathbb{Z}}_7)$.

9. Scrie tabla lui $(U({\mathbb{Z}}_8),\cdot )$ și arată că fiecare element este propriul său invers.

10. Rezolvă în $(U({\mathbb{Z}}_{10}),\cdot )$ ecuația $\hat{3}\cdot x=\hat{7}$.

11. (Problemă aplicată.) Zilele săptămânii se repetă din șapte în șapte, deci pot fi codificate prin clasele din ${\mathbb{Z}}_7$. Dacă astăzi este marți, ce zi va fi peste $100$ de zile? Explică ce operație din grupul aditiv ai folosit.

12. Completează tabelul cu valorile lui $\mathrm{card}U({\mathbb{Z}}_n)$ pentru $n$ de la $2$ la $12$ și indică valorile lui $n$ pentru care numărul este $n-1$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) În grupul $({\mathbb{Z}}_{12},+)$: a) calculează $\hat{7}+\hat{9}$; b) determină opusul clasei $\hat{7}$; c) rezolvă ecuația $\hat{7}+x=\hat{3}$.

14. În $U({\mathbb{Z}}_5)$, calculează pe rând $\hat{2}$, $\hat{2}\cdot \hat{2}$, $\hat{2}\cdot \hat{2}\cdot \hat{2}$ și $\hat{2}\cdot \hat{2}\cdot \hat{2}\cdot \hat{2}$. Ce observi?

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un grup cu patru elemente, fiecare element este propriul său simetric."

16. Determină, pentru $n\in \{5,6,8,9\}$, toate clasele $\hat{x}$ din ${\mathbb{Z}}_n$ cu proprietatea $\hat{x}+\hat{x}=\hat{0}$. Ce regulă observi, după paritatea lui $n$?

17. Rezolvă în $({\mathbb{Z}}_6,+)$ ecuația $x+x=\hat{0}$.

18. (Provocare.) Determină toate numerele naturale $n$ cu $2\le n\le 20$ pentru care grupul $U({\mathbb{Z}}_n)$ are exact patru elemente.

Răspunsuri și explicații

1. Tabla este cea din Exemplul 1. Opusele sunt $-\hat{0}=\hat{0}$, $-\hat{1}=\hat{3}$, $-\hat{2}=\hat{2}$, $-\hat{3}=\hat{1}$.

2. $-\hat{4}=\widehat{9-4}=\hat{5}$. Verificare: $\hat{4}+\hat{5}=\hat{9}=\hat{0}$.

3. $x=\widehat{2-5}=\widehat{-3}=\hat{5}$. Verificare: $\hat{5}+\hat{5}=\widehat{10}=\hat{2}$.

4. Sunt inversabile clasele $\hat{a}$ cu $(a,9)=1$, adică cele cu $a$ nedivizibil cu $3$: $U({\mathbb{Z}}_9)=\{\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{5},\hat{7},\hat{8}\}$, deci $\mathrm{card}U({\mathbb{Z}}_9)=6$.

5. $\hat{5}\cdot \hat{2}=\widehat{10}=\hat{1}$, deci inversa lui $\hat{5}$ este $\hat{2}$.

6. Fals. Clasa $\hat{0}$ nu are invers, pentru că $\hat{0}\cdot \hat{x}=\hat{0}\ne \hat{1}$. Structura $({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ este doar monoid, cu elementul neutru $\hat{1}$.

7. $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{0}$, iar $\hat{0}$ nu aparține mulțimii. Deci produsul a două clase nenule poate fi nul, când modulul este compus.

8. Cum $7$ este prim, toate clasele nenule sunt inversabile: $U({\mathbb{Z}}_7)=\{\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6}\}$ și $\mathrm{card}U({\mathbb{Z}}_7)=6$.

9. Tabla este cea din subsecțiunea a șasea. Pe diagonala principală apare numai $\hat{1}$: $\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}=\hat{1}$, $\hat{5}\cdot \hat{5}=\widehat{25}=\hat{1}$, $\hat{7}\cdot \hat{7}=\widehat{49}=\hat{1}$. Deci fiecare element este propriul său invers.

10. Inversa lui $\hat{3}$ este $\hat{7}$, pentru că $\hat{3}\cdot \hat{7}=\widehat{21}=\hat{1}$. Atunci $x=\hat{7}\cdot \hat{7}=\widehat{49}=\hat{9}$. Verificare: $\hat{3}\cdot \hat{9}=\widehat{27}=\hat{7}$.

11. Împărțim $100$ la $7$: $100=7\cdot 14+2$, deci $\widehat{100}=\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_7$. Adunând clasa $\hat{2}$ la ziua de azi, adică deplasându-ne cu două zile, ajungem de marți la joi. Operația folosită este adunarea din grupul $({\mathbb{Z}}_7,+)$.

12. Valorile sunt cele din tabelul lecției: $1,2,2,4,2,6,4,6,4,10,4$. Numărul este $n-1$ exact pentru $n\in \{2,3,5,7,11\}$, adică pentru $n$ prim.

13. a) $\hat{7}+\hat{9}=\widehat{16}=\hat{4}$. b) $-\hat{7}=\widehat{12-7}=\hat{5}$; verificare: $\hat{7}+\hat{5}=\widehat{12}=\hat{0}$. c) $x=\widehat{3-7}=\widehat{-4}=\hat{8}$; verificare: $\hat{7}+\hat{8}=\widehat{15}=\hat{3}$.

14. Se obțin, în ordine, $\hat{2}$, $\hat{4}$, $\hat{3}$, $\hat{1}$ — adică toate cele patru elemente ale grupului. Înmulțind repetat cu $\hat{2}$ parcurgi întregul grup și te întorci la elementul neutru.

15. Fals. În $U({\mathbb{Z}}_5)$, care are patru elemente, avem $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}\ne \hat{1}$. Proprietatea este adevărată în $U({\mathbb{Z}}_8)$ și în grupul lui Klein, dar nu în orice grup cu patru elemente.

16. Pentru $n=5$: doar $\hat{0}$. Pentru $n=6$: $\hat{0}$ și $\hat{3}$. Pentru $n=8$: $\hat{0}$ și $\hat{4}$. Pentru $n=9$: doar $\hat{0}$. Regula: pentru $n$ par există exact două astfel de clase, $\hat{0}$ și $\widehat{n/2}$, iar pentru $n$ impar există doar $\hat{0}$.

17. Condiția $\hat{x}+\hat{x}=\hat{0}$ înseamnă că $6$ divide $2x$, adică $3$ divide $x$. Soluțiile din ${\mathbb{Z}}_6$ sunt $x=\hat{0}$ și $x=\hat{3}$. Observă că ecuația are două soluții, ceea ce nu contrazice unicitatea din grup: acolo necunoscuta apărea o singură dată.

18. Numărăm clasele prime cu $n$ pentru fiecare $n$ de la $2$ la $20$ și reținem cazurile cu patru elemente: $n=5$, cu $U({\mathbb{Z}}_5)=\{\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\}$; $n=8$, cu $\{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}\}$; $n=10$, cu $\{\hat{1},\hat{3},\hat{7},\hat{9}\}$; $n=12$, cu $\{\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11}\}$. Deci $n\in \{5,8,10,12\}$.

De reținut

• Mulțimea ${\mathbb{Z}}_n$ a claselor de resturi modulo $n$ formează grup comutativ în raport cu adunarea claselor, având elementul neutru $\hat{0}$, opusul $-\hat{a}=\widehat{n-a}$ și $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_n=n$ elemente.
• Mulțimea ${\mathbb{Z}}_n$ nu formează niciodată grup în raport cu înmulțirea claselor, pentru că $\hat{0}$ nu este inversabilă, iar pentru $n$ compus nici măcar clasele nenule nu formează parte stabilă.
• Mulțimea $U({\mathbb{Z}}_n)=\{\hat{a}\mid (a,n)=1\}$ a claselor inversabile formează grup comutativ în raport cu înmulțirea, cu elementul neutru $\hat{1}$.
• Numărul de elemente al grupului $U({\mathbb{Z}}_n)$ este numărul întregilor din $\{1,\dots ,n\}$ primi cu $n$; când $p$ este prim, $U({\mathbb{Z}}_p)$ conține toate clasele nenule, deci are $p-1$ elemente.
• Ecuația $\hat{a}+x=\hat{b}$ are în $({\mathbb{Z}}_n,+)$ soluția unică $x=\widehat{b-a}$, iar ecuația $\hat{a}\cdot x=\hat{b}$ are în $U({\mathbb{Z}}_n)$ soluția unică obținută prin înmulțire cu inversa lui $\hat{a}$.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre cele două grupuri. $({\mathbb{Z}}_n,+)$ are $n$ elemente, iar $(U({\mathbb{Z}}_n),\cdot )$ are mult mai puține când $n$ este compus. A scrie „grupul ${\mathbb{Z}}_{10}$ are $10$ elemente" într-o problemă despre înmulțire este o greșeală care se propagă în tot exercițiul.
• Eliminarea doar a clasei $\hat{0}$ la înmulțire. Pentru $n$ compus, mulțimea claselor nenule nu este parte stabilă: în ${\mathbb{Z}}_6$ avem $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{0}$. Trebuie eliminate toate clasele neinversabile, nu doar $\hat{0}$.
• Simplificarea într-o ecuație cu coeficient neinversabil. Din $\hat{2}\cdot x=\hat{2}\cdot y$ în ${\mathbb{Z}}_6$ nu rezultă $x=y$: pentru $x=\hat{1}$ și $y=\hat{4}$ ambele produse dau $\hat{2}$. Simplificarea este permisă numai când clasa cu care simplifici este inversabilă.
• Scrierea claselor cu bară în loc de căciulă. Notația fixată este $\hat{a}$, iar pentru expresii mai lungi $\widehat{n-a}$; bara este rezervată conjugatului unui număr complex. Amestecul de notații se sancționează la corectare.
• Uitarea reducerii modulo $n$. Rezultatul unei operații trebuie scris ca una dintre cele $n$ clase: $\hat{7}\cdot \hat{7}=\widehat{49}=\hat{9}$ în ${\mathbb{Z}}_{10}$, nu $\widehat{49}$. Forma finală se obține împărțind cu rest.

Aplică acasă

1. Ceasul de $12$ ore. Scrie clasele din ${\mathbb{Z}}_{12}$ pe cadranul unui ceas și verifică, mutând acele, câteva adunări: $\hat{9}+\hat{5}$, $\hat{7}+\hat{8}$, $\widehat{11}+\hat{4}$. Notează apoi opusul fiecărei clase și observă că el corespunde poziției diametral opuse doar pentru clasa $\hat{6}$.

2. Toate tablele mici. Scrie tablele lui $(U({\mathbb{Z}}_n),\cdot )$ pentru $n=5$, $n=8$ și $n=12$. Compară-le și notează în ce caz apare pe diagonala principală numai elementul neutru. Vei descoperi două grupuri cu patru elemente care se comportă la fel și unul care se comportă altfel.

3. Vânătoarea de inverse. Alege $n=11$ și determină, pentru fiecare clasă nenulă, inversa ei, prin încercări. Notează câte perechi distincte obții și câte clase sunt propriul lor invers. Verifică apoi că numărul total de elemente este $10$, adică $11-1$.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie familia exemplelor remarcabile cerute de programa de matematică-informatică pentru capitolul de grupuri: după numere, matrice, permutări și funcții, urmează clasele de resturi. Programa cere explicit „stabilirea structurii de grup comutativ pentru $({\mathbb{Z}}_n,+)$ și $(U({\mathbb{Z}}_n),\cdot )$", deci ambele structuri se demonstrează, nu se enunță.

De verificat în caiet: (1) elementele lui $U({\mathbb{Z}}_n)$ sunt determinate cu criteriul $(a,n)=1$, nu ghicite; (2) în demonstrația grupului multiplicativ apare pasul 0, cu justificarea că produsul a două clase inversabile este inversabil; (3) rezultatele operațiilor sunt reduse modulo $n$; (4) notația este $\hat{a}$, cu căciulă, iar clasele de două cifre se scriu cu accentul lung. Întrebări de control: „De ce $\hat{0}$ nu este inversabilă?"; „Câte elemente are $U({\mathbb{Z}}_{12})$?"; „Cum se rezolvă $\hat{a}+x=\hat{b}$?"; „De ce nu putem simplifica prin $\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_6$?".

La BAC M1, clasele de resturi apar în Subiectul al II-lea, fie ca grup dat prin tablă, fie prin ecuații de tipul $\hat{a}\cdot x=\hat{b}$. Semn că elevul a înțeles: verifică din reflex inversabilitatea coeficientului înainte de a simplifica și scrie mereu rezultatul redus la una dintre cele $n$ clase.

Întrebări frecvente

Ce este grupul aditiv al claselor de resturi modulo n? Este mulțimea ${\mathbb{Z}}_n$ a celor $n$ clase de resturi, luată împreună cu adunarea claselor. Formează grup comutativ pentru orice $n\ge 1$: adunarea este asociativă și comutativă, elementul neutru este $\hat{0}$, iar opusul clasei $\hat{a}$ este clasa $\widehat{n-a}$, care aparține tot mulțimii.

De ce mulțimea claselor de resturi nu formează grup față de înmulțire? Pentru că axioma simetricului cade la clasa $\hat{0}$: produsul ei cu orice clasă este tot $\hat{0}$, deci nu poate da $\hat{1}$. Structura rămâne monoid, cu elementul neutru $\hat{1}$. Grupul se obține abia după eliminarea tuturor claselor neinversabile.

Ce este mulțimea $U({\mathbb{Z}}_n)$? Este mulțimea claselor inversabile din ${\mathbb{Z}}_n$, adică acele clase $\hat{a}$ pentru care $a$ și $n$ sunt prime între ele. Ea formează grup comutativ în raport cu înmulțirea claselor, cu elementul neutru $\hat{1}$, iar elementele ei se mai numesc unitățile lui ${\mathbb{Z}}_n$.

Cum aflu câte elemente are grupul $U({\mathbb{Z}}_n)$? Se numără întregii din $\{1,2,\dots ,n\}$ care sunt primi cu $n$. De exemplu, pentru $n=12$ rămân $1$, $5$, $7$ și $11$, deci grupul are patru elemente. Când $n$ este un număr prim $p$, toate clasele nenule sunt inversabile, deci grupul are exact $p-1$ elemente.

Cum rezolv o ecuație cu clase de resturi într-un grup? Se compune cu simetricul coeficientului. În grupul aditiv, ecuația $\hat{a}+x=\hat{b}$ are soluția $x=\widehat{b-a}$, obținută prin adunarea opusului lui $\hat{a}$. În grupul multiplicativ, ecuația $\hat{a}\cdot x=\hat{b}$ se rezolvă înmulțind cu inversa lui $\hat{a}$, care există pentru că $\hat{a}$ este inversabilă.

De ce nu pot simplifica întotdeauna într-o egalitate cu clase de resturi? Pentru că simplificarea înseamnă înmulțirea cu inversul, iar acesta nu există decât pentru clasele inversabile. În ${\mathbb{Z}}_6$, din $\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{2}\cdot \hat{4}=\hat{2}$ nu rezultă $\hat{1}=\hat{4}$, tocmai pentru că $\hat{2}$ nu este inversabilă modulo $6$.

Care este opusul unei clase de resturi? Opusul clasei $\hat{a}$ este clasa $\widehat{n-a}$, pentru $1\le a\le n-1$, iar opusul lui $\hat{0}$ este $\hat{0}$. De exemplu, în ${\mathbb{Z}}_9$ opusul lui $\hat{4}$ este $\hat{5}$, pentru că $\hat{4}+\hat{5}=\hat{9}=\hat{0}$. Se scrie $-\hat{a}$, cu notația aditivă.

Unde apar clasele de resturi în subiectele de Bacalaureat M1? În Subiectul al II-lea, la problema de structuri algebrice, unde se cere fie tabla unei operații pe ${\mathbb{Z}}_n$, fie determinarea elementelor inversabile, fie rezolvarea unei ecuații cu clase. Apar și în probleme de aritmetică, unde divizibilitatea se traduce în egalități între clase.