Hiperbola: definiția și ecuația canonică: pe scurt

Hiperbola este mulțimea punctelor $M$ pentru care valoarea absolută a diferenței distanțelor la două puncte fixe, focarele, este o constantă $2a$, strict mai mică decât distanța $2c$ dintre focare: $|MF-M{F}^{\prime }|=2a$, cu $0<2a<F{F}^{\prime }$. Modulul este esențial: fără el, condiția $MF-M{F}^{\prime }=2a$ descrie o singură ramură; modulul este exact ceea ce reunește cele două ramuri într-o singură curbă.

În reperul cu originea la mijlocul segmentului focarelor și cu axa $Ox$ pe dreapta lor, condiția se traduce, prin două ridicări la pătrat, în ecuația canonică $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. Relația dintre parametri este $c^2=a^2+b^2$, deci $c=\sqrt{a^2+b^2}$, iar $c$ este cel mai mare dintre cele trei numere — spre deosebire de elipsă, unde cel mai mare este $a$. Testul rapid: la hiperbolă focarele sunt mai depărtate de centru decât vârfurile, deci $c>a$; dacă îți iese $c<a$, ai amestecat formulele.

Nu există nicio regulă care să ceară $a>b$: semiaxa reală $a$ este cea de sub termenul pozitiv, indiferent de mărimea ei. Pentru că ridicarea la pătrat nu este echivalentă, reciproca se demonstrează separat, cu razele focale $MF=|ex-a|$ și $M{F}^{\prime }=|ex+a|$. Din ecuație rezultă că orice punct al curbei are $|x|\ge a$, ceea ce explică de ce hiperbola are exact două ramuri și nu întâlnește axa $Oy$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Mulțimea punctelor $M$ care verifică $MF-M{F}^{\prime }=2a$, fără modul, unde $0<2a<F{F}^{\prime }$, este:

   • a) o elipsă
   • b) mulțimea vidă
   • c) toată hiperbola
   • d) o singură ramură a hiperbolei
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) o singură ramură a hiperbolei

   Condiția fără modul fixează semnul diferenței, deci selectează punctele mai apropiate de un focar decât de celălalt: exact o ramură. Modulul din definiție reunește cele două cazuri, $MF-M{F}^{\prime }=2a$ și $M{F}^{\prime }-MF=2a$, adică cele două ramuri simetrice față de axa $Oy$.

2. Hiperbola $\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{576}=1$ are focarele:

   • a) $(0,\pm 25)$
   • b) $(\pm 31,0)$
   • c) $(\pm 25,0)$
   • d) $(\pm 17,0)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(\pm 25,0)$

   Avem $a=7$ și $b=24$, iar la hiperbolă $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$. Focarele sunt $(\pm 25,0)$, pe axa transversă, dincolo de vârfurile $(\pm 7,0)$. Varianta $(\pm 31,0)$ adună $a+b$, iar $(0,\pm 25)$ ar muta focarele pe axa netransversă.

3. Hiperbola $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ intersectează axa $Oy$:

   • a) într-un singur punct
   • b) în niciun punct, pentru că orice punct al ei are $|x|\ge 3$
   • c) în patru puncte
   • d) în două puncte
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) în niciun punct, pentru că orice punct al ei are $|x|\ge 3$

   Punând $x=0$ în ecuație obținem $-\frac{y^2}{16}=1$, adică $y^2=-16$, fără soluții reale. Concluzia generală: din $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\ge 1$ rezultă $|x|\ge a$, deci curba stă în afara benzii dintre cele două vârfuri și are exact două ramuri.