Hiperbola: definiția geometrică și deducerea ecuației canonice

Un vapor primește, în același moment, semnalele a două stații de radio de pe țărm, ale căror emisii sunt sincronizate. Semnalul stației mai apropiate ajunge primul; din diferența de timp, receptorul calculează diferența dintre cele două distanțe. O singură măsurătoare nu dă poziția vaporului, dar îl așază pe o curbă precisă: mulțimea punctelor din plan pentru care diferența distanțelor la două puncte fixe este constantă. Curba aceasta se numește hiperbolă, iar lecția de față — a șaptea din unitatea de conice a clasei a 12-a — îi construiește ecuația pornind chiar de la definiția de mai sus. Hiperbola este mulțimea punctelor din plan pentru care valoarea absolută a diferenței distanțelor la două puncte fixe, numite focare, este constantă și egală cu $2a$, mai mică decât distanța dintre focare; ecuația ei canonică este $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Sistemul descris a funcționat decenii la rând sub numele de navigație hiperbolică și stă, în formă modernizată, la baza localizării prin diferențe de timp. Pentru noi contează structura problemei: o proprietate geometrică — o diferență de distanțe — trebuie transformată într-o ecuație algebrică. Este exact drumul parcurs la elipsă, unde constantă era suma distanțelor. Schimbăm suma cu diferența și obținem o curbă cu totul altfel: nemărginită, cu două ramuri, care se apropie de două drepte fără să le atingă vreodată.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția geometrică a hiperbolei și să explici de ce se cere $2a<2c$.
• Vei ști să deduci ecuația canonică $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ prin ridicare la pătrat de două ori.
• Vei ști de ce, la hiperbolă, relația dintre parametri este $c^2=a^2+b^2$, și nu $c^2=a^2-b^2$ ca la elipsă.
• Vei ști să demonstrezi reciproca, adică faptul că orice punct al ecuației verifică definiția, folosind razele focale.
• Vei ști să scrii ecuația hiperbolei când se dau focarele și constanta $2a$, și invers.
• Vei ști să recunoști cazurile degenerate, în care mulțimea descrisă nu mai este o hiperbolă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este hiperbola?

Hiperbola este mulțimea punctelor din plan pentru care valoarea absolută a diferenței distanțelor la două puncte fixe date este constantă și strict mai mică decât distanța dintre cele două puncte. Cele două puncte fixe se numesc focarele hiperbolei, se notează $F$ și $F^{\prime }$, iar constanta se notează $2a$.

Scris cu simboluri, dacă notăm $F{F}^{\prime }=2c$ distanța dintre focare — numită distanță focală — hiperbola este mulțimea $$|MF-M{F}^{\prime }|=2a,F{F}^{\prime }=2c,0<a<c.$$

Numărul $a$ se numește semiaxa reală, iar $c$ semidistanța focală. Observă imediat deosebirea față de elipsă: acolo aveam $MF+M{F}^{\prime }=2a$ și condiția $a>c$; aici avem o diferență în modul și condiția inversă, $a<c$. Modulul este necesar pentru că punctele curbei se împart în două familii: unele sunt mai aproape de $F$, altele de $F^{\prime }$, iar fără modul am descrie doar jumătate din curbă.

Un model concret, ușor de făcut acasă: fixezi două ace în $F$ și $F^{\prime }$, treci o sfoară peste ele și tragi de capete astfel încât diferența lungimilor rămase să fie mereu aceeași. Vârful creionului descrie o ramură a hiperbolei.

2. De ce trebuie ca $2a$ să fie mai mic decât $2c$?

Răspunsul vine dintr-o inegalitate cunoscută din gimnaziu. Dacă $M$ nu este pe dreapta $F{F}^{\prime }$, atunci $M$, $F$ și $F^{\prime }$ formează un triunghi, iar în orice triunghi diferența a două laturi este strict mai mică decât a treia: $$|MF-M{F}^{\prime }|<F{F}^{\prime }=2c.$$ Deci condiția $2a<2c$ nu este un moft de notație: fără ea, mulțimea căutată nu conține niciun punct în afara dreptei focarelor.

Merită văzute și cele două cazuri degenerate, pentru că apar în probleme cu parametru:

• dacă $2a=2c$, condiția devine $|MF-M{F}^{\prime }|=F{F}^{\prime }$, care se realizează exact în punctele dreptei $F{F}^{\prime }$ situate în afara segmentului: se obțin două semidrepte opuse, nu o hiperbolă;
• dacă $2a>2c$, mulțimea este vidă, prin inegalitatea de mai sus;
• dacă $2a=0$, condiția devine $MF=M{F}^{\prime }$, adică mediatoarea segmentului $F{F}^{\prime }$ — o dreaptă.

Prin urmare, ipoteza $0<a<c$ este exact ceea ce face ca definiția să descrie o curbă, și trebuie verificată de fiecare dată când datele problemei sunt numerice.

3. Cum se alege reperul pentru o deducere simplă?

Ecuația unei curbe depinde de reperul în care lucrezi. Alegerea inteligentă a reperului este jumătate din calcul, iar la conice regula e mereu aceeași: axele reperului se iau pe axele de simetrie ale figurii.

Aici figura este simetrică față de dreapta $F{F}^{\prime }$ și față de mediatoarea segmentului $F{F}^{\prime }$. Așadar luăm:

• axa $Ox$ pe dreapta $F{F}^{\prime }$;
• originea $O$ în mijlocul segmentului $F{F}^{\prime }$;
• axa $Oy$ perpendiculară pe $Ox$ în $O$.

În acest reper focarele sunt $F(c,0)$ și $F^{\prime }(-c,0)$, iar un punct curent este $M(x,y)$. Distanțele se scriu cu formula din lecția reperul cartezian, distanța și mijlocul: $$MF=\sqrt{(x-c{)}^2+y^2},M{F}^{\prime }=\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}.$$

Reperul acesta se numește reperul canonic al hiperbolei, iar ecuația obținută în el, ecuația canonică. Aceeași alegere a fost făcută la cerc și la elipsă și va fi făcută și la parabolă.

4. Deducerea ecuației canonice

Pornim de la condiția din definiție, scrisă fără modul, sub forma $M{F}^{\prime }-MF=\pm 2a$: $$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=\pm 2a.$$

Pasul 1 — o scădere care simplifică totul. Notăm $r=MF$ și $r^{\prime }=M{F}^{\prime }$. Din $r^{\prime }=r\pm 2a$, prin ridicare la pătrat, obținem $r^{\prime 2}-r^2=\pm 4ar+4a^2$. Dar diferența pătratelor se calculează direct, iar radicalii dispar: $$r^{\prime 2}-r^2=(x+c{)}^2-(x-c{)}^2=4cx.$$ Egalând cele două expresii și împărțind prin $4$, rămâne $$cx=\pm ar+a^2,\text{adica˘}cx-a^2=\pm ar.$$

Pasul 2 — a doua ridicare la pătrat. Ridicăm la pătrat egalitatea de mai sus; semnul $\pm$ dispare, ceea ce arată că cele două ramuri au aceeași ecuație: $$c^2{x}^2-2a^{2}cx+a^4=a^2((x-c{)}^2+y^2)=a^2{x}^2-2a^{2}cx+a^2{c}^2+a^2{y}^2.$$ Termenii $-2a^{2}cx$ se reduc, iar ce rămâne se grupează: $$(c^2-a^2)x^2-a^2{y}^2=a^2(c^2-a^2).$$

Pasul 3 — notația care curăță formula. Pentru că $c>a>0$, numărul $c^2-a^2$ este strict pozitiv, deci există un unic $b>0$ cu $$b^2=c^2-a^2,\text{echivalent}c=\sqrt{a^2+b^2}.$$ Înlocuim și împărțim prin $a^2{b}^2\ne 0$: $$b^2{x}^2-a^2{y}^2=a^2{b}^2⟹\boxed{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$$

Aceasta este ecuația canonică a hiperbolei. Numărul $b$ se numește semiaxa imaginară; numele lui va căpăta sens geometric în lecția următoare, elementele hiperbolei, unde $b$ apare în pantele celor două drepte de care se apropie curba.

Atenție la logică. Am ridicat la pătrat de două ori, iar ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă — ai văzut asta la ecuațiile cu radicali. Am demonstrat deci doar o implicație: orice punct al hiperbolei verifică ecuația. Reciproca se demonstrează separat, la secțiunea $6$; fără ea, deducerea ar fi incompletă.

5. De ce este $c^2=a^2+b^2$, și nu $c^2=a^2-b^2$?

Pentru că la hiperbolă $c$ este cel mai mare dintre cele trei numere, în timp ce la elipsă cel mai mare este $a$. Regula de reținut, care evită jumătate din greșelile de la Bacalaureat M1:

• la elipsă, $a>b$ și $a>c$, iar relația este $a^2=b^2+c^2$;
• la hiperbolă, $c>a$, iar relația este $c^2=a^2+b^2$ — aici $a$ și $b$ nu se compară în niciun fel, pot fi egale sau în orice ordine.

Un mod comod de a le ține minte: în ambele cazuri, pătratul celui mai mare este suma celorlalte două pătrate. Cine confundă cele două formule obține focare imaginare sau semiaxe negative și, de obicei, se blochează abia la finalul problemei.

Firul roșu al lecției va fi hiperbola introdusă anticipat în lecția conicele ca secțiuni ale conului, cea cu $a=3$, $b=4$, deci $c=\sqrt{9+16}=5$: $$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1,F(5,0),F^{\prime }(-5,0),2a=6.$$ Revenim la ea tocmai pentru că tripletul pitagoreic $(3,4,5)$ face ca punctele de pe curbă să aibă coordonate raționale și toate verificările să se poată face exact, fără aproximări.

6. Reciproca: razele focale

Trebuie să arătăm că orice punct $M(x,y)$ care verifică ecuația canonică satisface și condiția geometrică. Din ecuație scoatem $$y^2=\frac{b^2}{a^2}(x^2-a^2),$$ și, pentru că $y^2\ge 0$ și $b^2>0$, rezultă $x^2\ge a^2$, adică $|x|\ge a$: nu există niciun punct al curbei cu abscisa în intervalul deschis $(-a,a)$. Iată de unde vin cele două ramuri.

Calculăm acum $M{F}^2$, înlocuind $y^2$ și folosind $b^2=c^2-a^2$: $$M{F}^2=(x-c{)}^2+\frac{b^2}{a^2}(x^2-a^2)=\frac{c^2}{a^2}{x}^2-2cx+a^2={\left(\frac{c}{a}x-a\right)}^2.$$ Notăm $e=\frac{c}{a}$ — raportul acesta este excentricitatea, mărimea întâlnită la elementele elipsei; la hiperbolă el este supraunitar, pentru că $c>a$. Cu această notație, și repetând calculul pentru celălalt focar, obținem razele focale: $$MF=|ex-a|,M{F}^{\prime }=|ex+a|.$$

Paralelismul cu elipsa este perfect și merită spus: acolo, în lecția elipsa: definiția geometrică și ecuația canonică, aceleași calcule au dat $MF=a-\frac{c}{a}x$ și $M{F}^{\prime }=a+\frac{c}{a}x$, adică $MF=a-ex$ și $M{F}^{\prime }=a+ex$, fără modul, pentru că acolo $e<1$ și $|x|\le a$ făceau parantezele mereu pozitive. La hiperbolă $e>1$ și $|x|\ge a$, deci semnul se schimbă de la o ramură la alta și modulul devine necesar. În ambele cazuri, razele focale se calculează fără niciun radical, doar din abscisa punctului.

Rămâne discuția semnelor, care e simplă pentru că $|x|\ge a$ și $e>1$:

• dacă $x\ge a$, atunci $ex\ge ea=c>a$, deci ambele paranteze sunt pozitive și $M{F}^{\prime }-MF=(ex+a)-(ex-a)=2a$;
• dacă $x\le -a$, atunci $ex\le -c<-a$, ambele paranteze sunt negative și $MF-M{F}^{\prime }=(a-ex)-(-ex-a)=2a$.

În ambele cazuri $|MF-M{F}^{\prime }|=2a$, deci punctul aparține hiperbolei. $■$

Verificare pe firul roșu: pentru $M\left(5,\frac{16}{3}\right)$ avem $e=\frac{5}{3}$, deci $MF=\frac{25}{3}-3=\frac{16}{3}$ și $M{F}^{\prime }=\frac{25}{3}+3=\frac{34}{3}$; diferența este $\frac{18}{3}=6=2a$ ✓. Cele două distanțe se pot calcula și direct, cu formula distanței: $MF=\sqrt{0+\frac{256}{9}}=\frac{16}{3}$ și $M{F}^{\prime }=\sqrt{100+\frac{256}{9}}=\sqrt{\frac{1156}{9}}=\frac{34}{3}$ ✓.

7. Prima privire asupra curbei

Ecuația canonică spune deja multe despre formă, chiar înainte de a desena ceva.

Simetriile. Dacă $M(x,y)$ verifică ecuația, atunci o verifică și $(-x,y)$, și $(x,-y)$, și $(-x,-y)$, pentru că în ecuație apar doar pătratele coordonatelor. Deci hiperbola este simetrică față de axa $Ox$, față de axa $Oy$ și față de origine. Originea se numește centrul hiperbolei: alături de cerc și de elipsă, hiperbola este una dintre conicele cu centru de simetrie — parabola nu are.

Intersecțiile cu axele. Pentru $y=0$ obținem $x^2=a^2$, deci punctele $(\pm a,0)$; pentru $x=0$ ar rezulta $-\frac{y^2}{b^2}=1$, imposibil. Curba taie deci numai axa $Ox$, în două puncte, care se vor numi vârfuri. Axa $Ox$, care conține focarele și vârfurile, se numește axa transversă; axa $Oy$, pe care curba nu o atinge, se numește axa netransversă.

Cele două ramuri. Din $|x|\ge a$ rezultă că mulțimea se rupe în două bucăți: una cu $x\ge a$ (mai apropiată de $F$) și una cu $x\le -a$ (mai apropiată de $F^{\prime }$). Fiecare bucată se numește ramură a hiperbolei. Este prima curbă din unitate care nu este mărginită: pe fiecare ramură, $|y|$ crește nemărginit odată cu $|x|$.

8. Cum se scrie ecuația când se dau focarele și constanta?

Este tipul de cerință cel mai frecvent, iar procedura are trei mișcări.

Întâi $c$. Din poziția focarelor citești semidistanța focală: dacă focarele sunt $(\pm c,0)$, ea este chiar $c$. Verifici că sunt simetrice față de origine și situate pe $Ox$ — altfel reperul nu este cel canonic.

Apoi $a$. Din constanta $2a$ din enunț scoți $a$ și verifici condiția de existență $a<c$.

La final $b$. Calculezi $b^2=c^2-a^2$ și scrii ecuația $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Pe date concrete: focarele $F(5,0)$, $F^{\prime }(-5,0)$ și $2a=6$ dau $c=5$, $a=3<5$ ✓, $b^2=25-9=16$, deci $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$. Drumul invers e la fel de scurt: din $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{144}=1$ citim $a=5$, $b=12$, calculăm $c=\sqrt{25+144}=13$ și scriem focarele $(\pm 13,0)$, cu $2a=10$.

Ordinea contează: fără $c$ nu poți verifica existența, iar fără verificare nu ai voie să scrii ecuația.

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Scrie ecuația canonică a hiperbolei cu focarele $F(5,0)$, $F^{\prime }(-5,0)$, pentru care diferența distanțelor la focare este, în modul, egală cu $6$.

Avem $c=5$ și $2a=6$, deci $a=3$. Condiția $a<c$ este îndeplinită ($3<5$), deci hiperbola există. Atunci $b^2=c^2-a^2=25-9=16$, iar ecuația este $$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1.$$

Exemplul 2

Determină $a$, $b$, $c$ și focarele hiperbolei $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{144}=1$.

Ecuația este deja canonică, deci $a^2=25$ și $b^2=144$, adică $a=5$ și $b=12$. Rezultă $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$. Focarele sunt $F(13,0)$ și $F^{\prime }(-13,0)$, iar constanta din definiție este $2a=10$.

Observă că aici $b>a$: la hiperbolă nu există nicio regulă care să impună o ordine între cele două semiaxe.

Exemplul 3

Arată că punctul $M\left(13,\frac{144}{5}\right)$ aparține hiperbolei din exemplul precedent și verifică pentru el definiția.

Substituim: $\frac{169}{25}-\frac{144^2}{25\cdot 144}=\frac{169}{25}-\frac{144}{25}=\frac{25}{25}=1$ ✓.

Calculăm distanțele la focare: $$MF=\sqrt{(13-13{)}^2+{\left(\frac{144}{5}\right)}^2}=\frac{144}{5},M{F}^{\prime }=\sqrt{26^2+{\left(\frac{144}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{16900+20736}{25}}=\frac{194}{5}.$$ Diferența este $\frac{194-144}{5}=\frac{50}{5}=10=2a$ ✓.

Exemplul 4

Determină punctele hiperbolei $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ pentru care distanța la focarul $F(5,0)$ este $\frac{16}{3}$.

Aici $a=3$, $c=5$, deci $e=\frac{5}{3}$. Folosim raza focală $MF=|ex-a|$ și rezolvăm ecuația $\left|\frac{5}{3}x-3\right|=\frac{16}{3}$, cu cele două cazuri ale modulului:

• $\frac{5}{3}x-3=\frac{16}{3}$ dă $\frac{5}{3}x=\frac{25}{3}$, adică $x=5$, valoare acceptabilă, pentru că $|5|\ge 3$;
• $\frac{5}{3}x-3=-\frac{16}{3}$ dă $\frac{5}{3}x=-\frac{7}{3}$, adică $x=-\frac{7}{5}$, valoare respinsă, pentru că $\left|-\frac{7}{5}\right|<3$ și niciun punct al hiperbolei nu are abscisa în banda $(-3,3)$.

Pentru $x=5$: $\frac{25}{9}-\frac{y^2}{16}=1$, deci $\frac{y^2}{16}=\frac{16}{9}$ și $y=\pm \frac{16}{3}$. Punctele căutate sunt $$M_1\left(5,\frac{16}{3}\right),M_2\left(5,-\frac{16}{3}\right).$$ Verificare directă: $M_{1}F=\sqrt{(5-5{)}^2+{\left(\frac{16}{3}\right)}^2}=\frac{16}{3}$ ✓.

Exemplul 5

Scrie ecuația hiperbolei cu focarele $(\pm 13,0)$ și semiaxa reală $12$. Verifică apoi că punctul $\left(13,\frac{25}{12}\right)$ îi aparține.

Din $c=13$ și $a=12$ obținem $b^2=169-144=25$, deci ecuația este $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$.

Verificare: $\frac{169}{144}-\frac{625}{144\cdot 25}=\frac{169}{144}-\frac{25}{144}=\frac{144}{144}=1$ ✓. Razele focale sunt $MF=\frac{25}{12}$ și $M{F}^{\prime }=\frac{313}{12}$, cu diferența $\frac{288}{12}=24=2a$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră punctele $F(5,0)$ și $F^{\prime }(-5,0)$ și mulțimea punctelor $M$ din plan cu proprietatea $|MF-M{F}^{\prime }|=6$.

a) Scrie ecuația canonică a acestei mulțimi.

Din $2c=10$ și $2a=6$ obținem $c=5$, $a=3$, iar $a<c$, deci mulțimea este o hiperbolă. Atunci $b^2=25-9=16$ și $$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1.$$

b) Arată că punctul $M\left(5,\frac{16}{3}\right)$ aparține curbei și calculează $MF$ și $M{F}^{\prime }$.

Substituția dă $\frac{25}{9}-\frac{256}{9\cdot 16}=\frac{25}{9}-\frac{16}{9}=1$ ✓. Distanțele sunt $MF=\frac{16}{3}$ și $M{F}^{\prime }=\frac{34}{3}$, cu $M{F}^{\prime }-MF=6$ ✓.

c) Arată că niciun punct al curbei nu are abscisa egală cu $2$.

Dacă $x=2$, ecuația devine $\frac{4}{9}-\frac{y^2}{16}=1$, adică $\frac{y^2}{16}=-\frac{5}{9}<0$, imposibil. Concluzia se poate obține și direct din condiția $|x|\ge a=3$, demonstrată la secțiunea $6$: banda $-3<x<3$ nu conține niciun punct al hiperbolei.

Să exersăm

1. Enunță definiția geometrică a hiperbolei și precizează ce condiție trebuie să lege constanta $2a$ de distanța focală $2c$.

2. Scrie ecuația canonică a hiperbolei cu $a=8$ și $b=15$ și calculează $c$.

3. Determină $a$, $b$, $c$ și focarele pentru hiperbola $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{225}=1$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) La hiperbolă, semiaxa $a$ este întotdeauna mai mare decât $b$.

5. Scrie ecuația hiperbolei cu focarele $(\pm 10,0)$ și $2a=12$.

6. Verifică dacă punctul $\left(17,\frac{225}{8}\right)$ aparține hiperbolei $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{225}=1$ și, în caz afirmativ, calculează cele două raze focale.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Există puncte ale hiperbolei $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ pe axa $Oy$.

8. Arată că, pentru orice punct al hiperbolei $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, avem $|x|\ge a$.

9. (Problemă aplicată.) Două stații de radio sincronizate sunt așezate la $60$ de kilometri una de alta. Un vapor constată că semnalul stației mai depărtate ajunge cu o întârziere care corespunde unei diferențe de drum de $36$ de kilometri. Scrie ecuația curbei pe care se află vaporul, în reperul cu originea la mijlocul distanței dintre stații.

10. Determină ecuația canonică a hiperbolei care are $c=5$ și trece prin punctul $\left(5,\frac{16}{3}\right)$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $2a=2c$, mulțimea punctelor cu $|MF-M{F}^{\prime }|=2a$ este tot o hiperbolă.

12. Calculează excentricitatea hiperbolei $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$ și arată că este supraunitară.

13. Pornind de la $|MF-M{F}^{\prime }|=2a$, refă primul pas al deducerii și arată de ce diferența $r^{\prime 2}-r^2$ nu conține radicali.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră hiperbola $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$. Determină focarele și arată că punctul $\left(13,\frac{25}{12}\right)$ îi aparține.

15. Determină numerele reale $m$ pentru care ecuația $\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{9}=1$ descrie o hiperbolă cu focarele pe axa $Ox$.

16. (Problemă aplicată.) Într-un reper în care unitatea este metrul, un obiect se mișcă astfel încât distanța până la punctul $F(13,0)$ este mereu cu $24$ de metri mai mică decât distanța până la $F^{\prime }(-13,0)$. Pe ce curbă se mișcă și pe care dintre ramurile ei?

17. Arată că punctele $\left(5,\frac{16}{3}\right)$ și $\left(-5,\frac{16}{3}\right)$ sunt ambele pe hiperbola $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$, dar aparțin unor ramuri diferite, și compară razele lor focale.

18. (Provocare.) Arată că, dacă $a=b$, atunci excentricitatea hiperbolei este $\sqrt{2}$, indiferent de valoarea comună a semiaxelor.

Răspunsuri și explicații

1. Hiperbola este mulțimea punctelor $M$ cu $|MF-M{F}^{\prime }|=2a$, unde $F$ și $F^{\prime }$ sunt puncte fixe cu $F{F}^{\prime }=2c$. Condiția necesară este $0<a<c$; ea vine din inegalitatea triunghiului, care dă $|MF-M{F}^{\prime }|<F{F}^{\prime }$.

2. $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{225}=1$, cu $c=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$.

3. $a=8$, $b=15$, $c=\sqrt{64+225}=17$; focarele sunt $(17,0)$ și $(-17,0)$, iar $2a=16$.

4. Fals. La hiperbolă nu există nicio inegalitate impusă între $a$ și $b$: în $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ avem $a=3<4=b$, iar în $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{144}=1$ avem $a=5<12=b$. Singura inegalitate obligatorie este $c>a$.

5. $c=10$, $a=6$, deci $b^2=100-36=64$ și ecuația este $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$.

6. $\frac{289}{64}-\frac{225^2}{64\cdot 225}=\frac{289}{64}-\frac{225}{64}=1$ ✓. Cu $a=8$, $c=17$, $e=\frac{17}{8}$: $MF=\frac{289}{8}-8=\frac{225}{8}$ și $M{F}^{\prime }=\frac{289}{8}+8=\frac{353}{8}$; diferența este $\frac{128}{8}=16=2a$ ✓.

7. Fals. Punând $x=0$ obținem $-\frac{y^2}{16}=1$, imposibil pentru $y$ real. Hiperbola nu intersectează axa netransversă.

8. Din ecuație, $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\ge 1$, deci $x^2\ge a^2$ și $|x|\ge a$.

9. $2c=60$ dă $c=30$; $2a=36$ dă $a=18$, iar $18<30$ ✓. Atunci $b^2=900-324=576$ și curba este $\frac{x^2}{324}-\frac{y^2}{576}=1$ (distanțele în kilometri).

10. Din $c=5$ avem $b^2=25-a^2$. Punctul dă $\frac{25}{a^2}-\frac{256}{9(25-a^2)}=1$. Notând $u=a^2$ și înmulțind cu $9u(25-u)$ se obține $9u^2-706u+5625=0$, cu soluțiile $u=9$ și $u=\frac{625}{9}$. A doua depășește $25$, deci ar da $b^2<0$ și se respinge. Rămâne $a^2=9$, $b^2=16$: regăsim exact hiperbola-fir-roșu $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

11. Fals. Egalitatea $|MF-M{F}^{\prime }|=F{F}^{\prime }$ se realizează exact pe cele două semidrepte ale dreptei $F{F}^{\prime }$ situate în afara segmentului. Mulțimea este degenerată, nu o hiperbolă.

12. $a=12$, $b=5$, deci $c=13$ și $e=\frac{13}{12}>1$. La orice hiperbolă $c>a$, deci excentricitatea este mereu supraunitară.

13. Cu $r=MF$, $r^{\prime }=M{F}^{\prime }$ avem $r^{\prime 2}-r^2=(x+c{)}^2+y^2-(x-c{)}^2-y^2=4cx$: pătratele elimină radicalii, iar $y^2$ se reduce. Comparând cu $r^{\prime 2}-r^2=\pm 4ar+4a^2$, obținut din $r^{\prime }=r\pm 2a$, rezultă $cx-a^2=\pm ar$.

14. $a=12$, $b=5$, $c=\sqrt{144+25}=13$, deci focarele sunt $(\pm 13,0)$. Substituția dă $\frac{169}{144}-\frac{625}{25\cdot 144}=\frac{169-25}{144}=1$ ✓.

15. Este nevoie de $m>0$, ca numitorul primului termen să fie pătratul unei semiaxe reale. Atunci $a^2=m$, $b^2=9$, $c^2=m+9>m$, deci condiția $c>a$ e automat îndeplinită: răspunsul este $m\in (0,+\infty )$.

16. Din $M{F}^{\prime }-MF=24$ rezultă $2a=24$, deci $a=12$, iar $c=13$: curba este $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$. Cum distanța până la $F$ este cea mai mică, obiectul se află pe ramura dinspre $F$, adică ramura cu $x\ge 12$.

17. Ambele puncte verifică ecuația, pentru că în ea apar doar $x^2$ și $y^2$. Primul are $x=5\ge 3$ (ramura dreaptă), al doilea $x=-5\le -3$ (ramura stângă). Razele focale se schimbă între ele: pentru primul, $MF=\frac{16}{3}$ și $M{F}^{\prime }=\frac{34}{3}$; pentru al doilea, $MF=\frac{34}{3}$ și $M{F}^{\prime }=\frac{16}{3}$.

18. Dacă $a=b$, atunci $c^2=a^2+a^2=2a^2$, deci $c=a\sqrt{2}$ și $e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$, independent de $a$. Hiperbolele cu această proprietate se numesc echilatere și fac obiectul unei lecții separate.

De reținut

• Hiperbola este mulțimea punctelor pentru care valoarea absolută a diferenței distanțelor la două puncte fixe, numite focare, este o constantă $2a$, strict mai mică decât distanța $2c$ dintre focare.
• În reperul cu originea la mijlocul segmentului focarelor și cu axa $Ox$ pe dreapta focarelor, ecuația canonică a hiperbolei este $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.
• Relația dintre parametri este $c^2=a^2+b^2$, adică $c=\sqrt{a^2+b^2}$, iar $c$ este cel mai mare dintre cele trei numere, spre deosebire de elipsă, unde cel mai mare este $a$.
• Deducerea ecuației cere două ridicări la pătrat, deci implicația inversă trebuie demonstrată separat, prin razele focale $MF=|ex-a|$ și $M{F}^{\prime }=|ex+a|$.
• Orice punct al hiperbolei are $|x|\ge a$, ceea ce explică de ce curba are exact două ramuri și nu intersectează axa $Oy$.

Greșeli frecvente

• A folosi la hiperbolă formula elipsei, $c^2=a^2-b^2$. La hiperbolă relația este $c^2=a^2+b^2$. Testul rapid: la hiperbolă focarele sunt mai depărtate decât vârfurile, deci $c>a$; dacă îți iese $c<a$, ai amestecat formulele.
• A crede că, la hiperbolă, $a$ trebuie să fie mai mare decât $b$. Nu există nicio astfel de regulă: în $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ avem $a=3$ și $b=4$. Semiaxa reală $a$ este cea de sub $x^2$, adică cea a termenului pozitiv, indiferent de mărime.
• A omite verificarea condiției $a<c$. Într-o problemă cu date numerice sau cu parametru, ea decide dacă mulțimea este o hiperbolă, două semidrepte sau mulțimea vidă. Un răspuns care sare peste verificare pierde punctele de justificare la Bacalaureat M1.
• A uita modulul din definiție. Fără modul, condiția $MF-M{F}^{\prime }=2a$ descrie o singură ramură. Modulul este exact ceea ce reunește cele două ramuri într-o singură curbă.
• A considera deducerea încheiată după a doua ridicare la pătrat. Ridicarea la pătrat nu este echivalentă, deci s-a demonstrat doar că punctele curbei verifică ecuația. Reciproca, cu razele focale, este parte obligatorie a demonstrației.

Aplică acasă

1. Fixează pe o planșă două ace la $10$ cm distanță și marchează, cu rigla și compasul, zece puncte pentru care diferența distanțelor la cele două ace este $6$ cm: pentru fiecare valoare $d$, intersectează cercul de rază $d$ centrat în primul ac cu cercul de rază $d+6$ centrat în al doilea. Unește punctele și compară desenul cu ecuația $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

2. Alege trei triplete pitagoreice, de pildă $(3,4,5)$, $(5,12,13)$ și $(8,15,17)$, și scrie pentru fiecare ecuația hiperbolei cu $a$ și $b$ primele două numere. Găsește apoi, pentru fiecare, un punct cu ambele coordonate raționale și verifică definiția prin calculul celor două distanțe.

3. Ia harta unei zone cu două antene cunoscute și marchează punctele în care diferența distanțelor la ele este constantă, folosind o riglă și scara hărții. Explică în scris de ce o singură măsurătoare de diferență nu determină poziția, dar două perechi de antene o determină.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide studiul hiperbolei, a treia conică din programa de matematică-informatică (mate-info) a clasei a XII-a, și repetă, cu o schimbare de semn, drumul parcurs la elipsă: de la o proprietate de distanțe la o ecuație. Este o lecție de deducere, nu de aplicare: calculul central are trei pași și trebuie reprodus de elev, nu memorat ca formulă.

Ce verifică lecția: enunțul definiției cu modul și cu condiția $a<c$; alegerea reperului canonic; cele două ridicări la pătrat; notația $b^2=c^2-a^2$ și relația $c=\sqrt{a^2+b^2}$; demonstrarea reciprocei cu razele focale; trecerea în ambele sensuri între datele geometrice și ecuație.

Întrebări de control: „De ce apare modulul în definiție?"; „Ce se întâmplă dacă $2a=2c$?"; „De ce nu e suficient să ridici la pătrat de două ori?"; „Care dintre numerele $a$, $b$, $c$ este cel mai mare la hiperbolă și de ce?".

Semne că a înțeles: verifică singur condiția $a<c$ înainte de a scrie ecuația; nu confundă formula cu cea de la elipsă; poate explica de ce curba are două ramuri, pornind de la $|x|\ge a$; folosește razele focale ca instrument de calcul, nu ca formulă memorată.

Dificultatea tipică: amestecul celor două relații între $a$, $b$ și $c$. Un elev care a lucrat elipsa cu o săptămână înainte scrie automat $c^2=a^2-b^2$. Exercițiile 3, 4 și 12 sunt construite exact pe această confuzie.

Unde apare la BAC: conicele intră în examen odată cu prima sesiune susținută pe programa nouă; până atunci, subiectele nu le-au cerut. Când vor intra, tipul previzibil este cel din Exemplul 6 — date geometrice, ecuație, verificarea unui punct — la Subiectul I sau ca subpunct al Subiectului al II-lea.

Întrebări frecvente

Ce este hiperbola în geometria analitică?

Hiperbola este mulțimea punctelor din plan pentru care valoarea absolută a diferenței distanțelor la două puncte fixe, numite focare, este o constantă $2a$ mai mică decât distanța dintre focare. În reperul canonic ea are ecuația $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ și este formată din două ramuri nemărginite, simetrice față de origine.

Care este ecuația canonică a hiperbolei?

Ecuația canonică este $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, cu $a>0$ și $b>0$. Ea se obține alegând axa $Ox$ pe dreapta focarelor și originea la mijlocul segmentului dintre ele, apoi eliminând radicalii din condiția $|MF-M{F}^{\prime }|=2a$ prin două ridicări la pătrat. Semnul minus dintre termeni este cel care deosebește hiperbola de elipsă.

Cum se calculează $c$ la hiperbolă?

Prin formula $c=\sqrt{a^2+b^2}$, adică din relația $c^2=a^2+b^2$. La elipsă relația este $a^2=b^2+c^2$, deci cele două se confundă ușor. Regula sigură: la ambele conice, pătratul celui mai mare dintre numere este suma celorlalte două pătrate, iar la hiperbolă cel mai mare este $c$.

De ce are hiperbola două ramuri?

Pentru că din ecuație rezultă $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\ge 1$, deci $|x|\ge a$. Banda verticală dintre dreptele $x=-a$ și $x=a$ nu conține niciun punct al curbei, iar mulțimea se rupe în două bucăți: una la dreapta vârfului $(a,0)$ și una la stânga vârfului $(-a,0)$.

De ce trebuie demonstrată și reciproca deducerii?

Pentru că ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă: ea poate adăuga soluții străine. Din definiție am obținut ecuația, dar pentru a ști că ecuația descrie exact hiperbola, și nu o mulțime mai mare, se calculează razele focale $MF=|ex-a|$ și $M{F}^{\prime }=|ex+a|$ și se verifică, pe cele două ramuri, că diferența lor în modul este $2a$.

Ce înseamnă că excentricitatea hiperbolei este supraunitară?

Excentricitatea este raportul $e=\frac{c}{a}$, iar la hiperbolă $c>a$, deci $e>1$ întotdeauna. Valoarea ei măsoară cât de „deschisă" este curba: cu cât $e$ este mai aproape de $1$, cu atât ramurile sunt mai strânse în jurul axei transverse, iar cu cât $e$ este mai mare, cu atât ele se depărtează mai repede.

Apare hiperbola în subiectele de examen?

În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu programa nouă a clasei a XII-a. Când vor intra, cerințele previzibile sunt cele din această lecție: scrierea ecuației din focare și constantă, citirea elementelor dintr-o ecuație dată și verificarea apartenenței unui punct la curbă.