Hiperbola echilateră și curba xy = k: pe scurt

Hiperbola echilateră este cea cu $a=b$; ecuația ei canonică este $x^2-y^2=a^2$, asimptotele $y=\pm x$ sunt perpendiculare, iar excentricitatea este $\sqrt{2}$ pentru toate hiperbolele echilatere, indiferent de mărimea semiaxei. Fiind perpendiculare, asimptotele pot fi luate drept axe ale unui reper nou — de aici ideea rotației.

Rotația de unghi $\frac{\pi }{4}$ în sens trigonometric, cu centrul în origine, se scrie $X=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$, $Y=\frac{x+y}{\sqrt{2}}$ și este înmulțirea cu matricea de rotație din clasa a XI-a. Prin ea, ecuația $x^2-y^2=a^2$ devine $xy=\frac{a^2}{2}$, iar cele două asimptote devin exact axele de coordonate: de aici numele „raportată la asimptote”. Atenție la factorul $\frac{1}{2}$: din $x^2-y^2=16$ se obține $xy=8$, nu $xy=16$.

Curba $xy=k$, cu $k>0$, este chiar graficul funcției $x\mapsto \frac{k}{x}$ de la clasa a IX-a, deci hiperbola de proporționalitate inversă este o conică autentică. Elementele se citesc prin $a=b=\sqrt{2k}$, $c=2\sqrt{k}$, vârfurile $\left(\pm \sqrt{k},\pm \sqrt{k}\right)$ și focarele $\left(\pm \sqrt{2k},\pm \sqrt{2k}\right)$, cu semnele luate simultan. Vârfurile aparțin curbei, focarele nu: produsul coordonatelor lor este $2k\ne k$. Rotația fiind izometrie, semiaxele, distanța focală și excentricitatea rămân neschimbate.

Exerciții din această mini-lecție

1. Prin rotația de unghi $\frac{\pi }{4}$ în sens trigonometric, cu centrul în origine, hiperbola $x^2-y^2=50$ devine:

   • a) $xy=100$
   • b) $xy=25$
   • c) $xy=\frac{50}{\sqrt{2}}$
   • d) $xy=50$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $xy=25$

   Formula fixată este $x^2-y^2=a^2\to xy=\frac{a^2}{2}$, deci aici $xy=\frac{50}{2}=25$. Factorul $\frac{1}{2}$ vine din identitatea $(X+Y{)}^2-(Y-X{)}^2=4XY$, împărțită la $2$. Greșeala tipică este păstrarea constantei neschimbate, care ar dubla toate elementele curbei.

2. Excentricitatea unei hiperbole echilatere este:

   • a) $1$
   • b) depinde de valoarea comună a semiaxelor
   • c) $\sqrt{2}$
   • d) $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\sqrt{2}$

   La hiperbola echilateră $a=b$, deci $c=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ și $e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$, valoare care nu depinde de $a$. Toate hiperbolele echilatere au aceeași formă și diferă doar prin mărime — la fel cum două elipse cu aceeași excentricitate sunt asemenea.

3. Vârfurile hiperbolei $xy=9$ sunt:

   • a) $(3,3)$ și $(-3,-3)$
   • b) $\left(3\sqrt{2},3\sqrt{2}\right)$ și $\left(-3\sqrt{2},-3\sqrt{2}\right)$
   • c) $(3,-3)$ și $(-3,3)$
   • d) $(9,9)$ și $(-9,-9)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $(3,3)$ și $(-3,-3)$

   Vârfurile sunt $\left(\pm \sqrt{k},\pm \sqrt{k}\right)$ cu semne simultane, deci $(3,3)$ și $(-3,-3)$; ele aparțin curbei, pentru că $3\cdot 3=9$. Punctele $\left(\pm 3\sqrt{2},\pm 3\sqrt{2}\right)$ sunt focarele, cu produsul coordonatelor $18=2k$, iar $(3,-3)$ nu verifică ecuația, produsul fiind $-9$.