Hiperbola echilateră raportată la asimptote

Într-un vas închis, la temperatură constantă, produsul dintre presiunea gazului și volumul lui rămâne același: $pV=k$. Reprezentat într-un reper în care pe axe stau volumul și presiunea, graficul acestei legi este o curbă pe care ai desenat-o prima dată în clasa a IX-a, ca grafic al funcției de proporționalitate inversă. Lecția de față, a noua din unitatea de conice a clasei a 12-a, arată că acea curbă este o hiperbolă — una specială, numită echilateră — și că ecuația ei atât de simplă se obține din ecuația canonică printr-o rotație de $45^{\circ }$. Hiperbola echilateră este hiperbola cu semiaxele egale, de ecuație $x^2-y^2=a^2$, ale cărei asimptote sunt perpendiculare; raportată la ele, prin rotația reperului cu $\frac{\pi }{4}$, ecuația ei devine $xy=\frac{a^2}{2}$, adică graficul funcției de proporționalitate inversă.

Este singurul loc din curs în care rotim reperul, iar programa o cere explicit: hiperbola echilateră trebuie raportată la asimptote „folosind rotația cu centrul în originea reperului cartezian și unghiul $\frac{\pi }{4}$". Uneltele sunt deja pe masă: matricea de rotație din clasa a XI-a și elementele hiperbolei din lecția precedentă, elementele hiperbolei.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este hiperbola echilateră și de ce excentricitatea ei este întotdeauna $\sqrt{2}$.
• Vei ști să scrii formulele rotației cu unghiul $\frac{\pi }{4}$ în jurul originii, cu matricea de rotație, precizând sensul.
• Vei ști să deduci că $x^2-y^2=a^2$ devine, după rotație, $XY=\frac{a^2}{2}$.
• Vei ști ce devin asimptotele, vârfurile și focarele prin această rotație.
• Vei ști să recunoști că $xy=k$ este graficul funcției $x\mapsto \frac{k}{x}$, deci că hiperbola din clasa a IX-a este o conică.
• Vei ști să determini elementele unei hiperbole date direct sub forma $xy=k$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este hiperbola echilateră?

Hiperbola echilateră este hiperbola cu cele două semiaxe egale, adică aceea pentru care $a=b$. Ecuația ei canonică se simplifică imediat: din $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1$, prin înmulțire cu $a^2$, rămâne $$x^2-y^2=a^2,a>0.$$

Numele vine din faptul că dreptunghiul fundamental devine pătrat: laturile lui măsoară $2a$ și $2b=2a$. Toate consecințele decurg de aici:

• $c=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$, deci focarele sunt $\left(\pm a\sqrt{2},0\right)$;
• excentricitatea este $e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$, aceeași pentru toate hiperbolele echilatere, indiferent de mărime;
• asimptotele au pantele $\pm \frac{b}{a}=\pm 1$, deci sunt dreptele $y=x$ și $y=-x$ — perpendiculare între ele, pentru că produsul pantelor este $-1$.

Perpendicularitatea asimptotelor este proprietatea care face specială această hiperbolă și care sugerează ideea lecției: dacă cele două drepte sunt perpendiculare, ele pot juca ele însele rolul axelor unui reper.

O consecință care merită spusă: toate hiperbolele echilatere sunt asemenea între ele, exact ca toate cercurile sau toate parabolele. Forma unei hiperbole este dictată de excentricitate, iar aici ea are mereu aceeași valoare; se schimbă doar mărimea, prin $a$. Două hiperbole echilatere diferite se suprapun printr-o omotetie de centru $O$.

Firul roșu al lecției va fi hiperbola cu $a=4$: $$x^2-y^2=16,\text{cu }A(4,0),A^{\prime }(-4,0),F\left(4\sqrt{2},0\right),F^{\prime }\left(-4\sqrt{2},0\right),y=\pm x.$$

2. De ce merită să rotim reperul?

Pentru orice curbă, ecuația depinde de reper, iar reperul bun este cel care „urmează" figura. La conicele studiate până acum, direcțiile privilegiate erau axele de simetrie, iar ecuația obținută în ele s-a numit canonică.

La hiperbola echilateră există însă o a doua pereche de direcții privilegiate: asimptotele. Ele sunt perpendiculare, deci pot fi axele unui reper cartezian nou, cu aceeași origine. Întrebarea firească este: ce formă capătă ecuația curbei în acest reper?

A raporta o curbă la anumite drepte înseamnă a-i scrie ecuația în reperul care are acele drepte drept axe. De aici titlul: hiperbola echilateră raportată la asimptote.

Trecerea de la un reper la celălalt se face printr-o rotație cu unghiul $\frac{\pi }{4}$ în jurul originii, pentru că asimptota $y=x$ face exact $45^{\circ }$ cu axa $Ox$. Vom roti curba, nu axele — este mai ușor de urmărit și folosește direct transformarea studiată în unitatea de grupuri.

3. Cum se scrie rotația cu unghiul $\frac{\pi }{4}$?

Rotația de unghi $\theta$ în jurul originii este transformarea planului $$R_{\theta }(x,y)=(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta ),$$ adică exact înmulțirea cu matricea de rotație $R(\theta )$ din clasa a XI-a. Pentru $\theta =\frac{\pi }{4}$ avem $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),\text{adica˘}X=\frac{x-y}{\sqrt{2}},Y=\frac{x+y}{\sqrt{2}}.$$

Sensul rotației. Unghiul este pozitiv, deci rotim în sens trigonometric — invers acelor de ceasornic. Precizarea nu e decorativă: o rotație cu $-\frac{\pi }{4}$ ar da $X=\frac{x+y}{\sqrt{2}}$, $Y=\frac{-x+y}{\sqrt{2}}$, iar aceeași hiperbolă s-ar duce în curba $XY=-\frac{a^2}{2}$, cu ramurile în celelalte două cadrane. Într-o redactare completă se scrie de fiecare dată în ce sens se rotește.

Rotația inversă este $R_{-\pi /4}$, deci $$x=\frac{X+Y}{\sqrt{2}},y=\frac{Y-X}{\sqrt{2}}.$$ Se verifică imediat: înlocuind $X$ și $Y$ cu expresiile lor, prima formulă dă $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}+\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)=\frac{2x}{2}=x$ ✓.

4. Ce devine ecuația $x^2-y^2=a^2$ după rotație?

Fie $M(x,y)$ un punct al hiperbolei echilatere și $M_1(X,Y)$ imaginea lui prin $R_{\pi /4}$. Ca să aflăm ecuația verificată de $X$ și $Y$, înlocuim $x$ și $y$ cu formulele rotației inverse: $$x^2-y^2=\frac{(X+Y{)}^2}{2}-\frac{(Y-X{)}^2}{2}=\frac{(X+Y{)}^2-(Y-X{)}^2}{2}=\frac{4XY}{2}=2XY.$$

Prin urmare condiția $x^2-y^2=a^2$ devine $2XY=a^2$, adică $$\boxed{XY=\frac{a^2}{2}}$$

Aceasta este ecuația hiperbolei echilatere raportate la asimptote. Reciproc, orice punct cu $XY=\frac{a^2}{2}$ provine, prin rotația inversă, dintr-un punct al hiperbolei inițiale — calculul de mai sus este o identitate între expresii, nu o implicație obținută prin ridicare la pătrat, deci funcționează în ambele sensuri. Este a doua oară în unitate când o deducere iese „gratis": prima dată la parabolă nu va fi nevoie de reciprocă pentru că ambii membri sunt nenegativi, aici pentru că rotația este o transformare bijectivă a planului, cu inversă explicită.

Pe firul roșu, cu $a=4$: hiperbola $x^2-y^2=16$ se transformă în $$XY=\frac{16}{2}=8.$$ Verificare pe un punct: $(5,3)$ verifică $25-9=16$ ✓; imaginea lui este $X=\frac{5-3}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ și $Y=\frac{5+3}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$, iar $XY=\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}=8$ ✓. Un al doilea control, pe vârf: $(4,0)$ verifică $16-0=16$ ✓, iar imaginea lui, $\left(\frac{4}{\sqrt{2}},\frac{4}{\sqrt{2}}\right)=\left(2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right)$, dă produsul $8$ ✓. Observă și că distanța la origine s-a păstrat: $\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$ înainte, $\sqrt{2+32}=\sqrt{34}$ după.

Se obișnuiește ca, după rotație, să se revină la literele mici, pentru că reperul nou este la fel de bun ca oricare altul. Scriem deci, pe scurt: $$xy=k,k=\frac{a^2}{2}>0.$$

5. Ce devin asimptotele, vârfurile și focarele?

Verificăm, punct cu punct, că noul reper are într-adevăr asimptotele drept axe.

Asimptotele. Punctele asimptotei $y=x$ sunt de forma $(t,t)$. Imaginea unui astfel de punct este $$X=\frac{t-t}{\sqrt{2}}=0,Y=\frac{t+t}{\sqrt{2}}=t\sqrt{2},$$ deci întreaga dreaptă $y=x$ se duce în axa $OY$. Analog, punctele $(t,-t)$ ale asimptotei $y=-x$ au $Y=0$, deci a doua asimptotă devine axa $OX$. Exact acesta era scopul rotației.

Vârfurile. $A(a,0)$ se duce în $\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$, iar $A^{\prime }(-a,0)$ în punctul simetric față de origine. Produsul coordonatelor este $\frac{a^2}{2}=k$ ✓: vârfurile sunt pe curbă, cum era de așteptat. Pentru $a=4$ ele sunt $\left(2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right)$ și $\left(-2\sqrt{2},-2\sqrt{2}\right)$, adică punctele curbei $xy=8$ cele mai apropiate de origine.

Focarele. $F\left(a\sqrt{2},0\right)$ se duce în $\left(\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}},\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)=(a,a)$, iar $F^{\prime }$ în $(-a,-a)$. Pentru $a=4$: focarele curbei $xy=8$ sunt $F_1(4,4)$ și $F_2(-4,-4)$. Ele nu sunt pe curbă ($4\cdot 4=16\ne 8$), ci în interiorul ramurilor, ca la orice hiperbolă.

Ramurile. Ramura cu $x\ge a$ a hiperbolei inițiale se duce în ramura din cadranul $I$, iar cea cu $x\le -a$ în ramura din cadranul $III$; se vede pe vârfuri, care sunt punctele acestor ramuri cele mai apropiate de origine. Cadranele $II$ și $IV$ rămân goale, pentru că acolo produsul coordonatelor este negativ.

Verificarea definiției geometrice se poate face acum direct pe forma rotită. Pentru punctul $M(1,8)$ al curbei $xy=8$: $$M{F}_1=\sqrt{(1-4{)}^2+(8-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=5,M{F}_2=\sqrt{(1+4{)}^2+(8+4{)}^2}=\sqrt{25+144}=13,$$ deci $|M{F}_1-M{F}_2|=8=2a$ ✓ — exact constanta din definiția hiperbolei, neschimbată de rotație. Era de așteptat: rotația păstrează distanțele.

6. De ce este $xy=k$ graficul unei funcții?

Pentru că $x\ne 0$ pe toată curba (dacă $x=0$, produsul ar fi $0\ne k$), deci condiția $xy=k$ se rescrie $$y=\frac{k}{x},x\in {\mathbb{R}}^{\ast }.$$

Este exact funcția studiată în clasa a IX-a, la funcția putere cu exponent întreg: funcția de proporționalitate inversă, cu graficul format din două ramuri, în cadranele $I$ și $III$ pentru $k>0$. Ceea ce atunci se numea simplu „hiperbolă", fără justificare, capătă acum sensul deplin: este o hiperbolă echilateră, raportată la asimptotele ei.

Legătura merge și în sens invers și este o unealtă de calcul: tot ce știm despre funcția $\frac{k}{x}$ se transferă asupra conicei. Axele de coordonate sunt asimptote — verticala $x=0$ și orizontala $y=0$, ambele identificate în unitatea de asimptote; funcția este impară, deci curba are centru de simetrie în origine; pe fiecare dintre intervalele $(-\infty ,0)$ și $(0,+\infty )$ funcția este strict descrescătoare pentru $k>0$.

Este singura conică din curs care apare, în același timp, ca grafic de funcție elementară — pentru celelalte a fost nevoie de reuniunea a două grafice.

Merită citite pe această curbă și cele două tipuri de asimptote studiate în unitatea de reprezentare grafică. Funcția $x\mapsto \frac{k}{x}$ are limita $0$ spre $\pm \infty$, deci dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală la graficul ei spre ambele capete; iar limitele laterale în $0$ sunt $+\infty$ la dreapta și $-\infty$ la stânga (pentru $k>0$), deci $x=0$ este asimptotă verticală bilaterală. Cele două asimptote ale funcției sunt exact cele două asimptote ale conicei — aceleași drepte, obținute pe drumuri diferite. Este cea mai scurtă confirmare a faptului că numele „asimptotă" înseamnă același lucru în ambele capitole.

7. Cum se citesc elementele direct din $xy=k$?

Drumul invers este scurt. Din $k=\frac{a^2}{2}$ obținem $a=\sqrt{2k}$, iar restul decurge:

În tabel, semnele se iau simultan: vârfurile și focarele sunt perechi de puncte simetrice față de origine, situate pe prima bisectoare.

De unde vin formulele? Vârful $A(a,0)$ al hiperbolei inițiale se duce, prin rotație, în $\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$, iar $\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2k}}{\sqrt{2}}=\sqrt{k}$; focarul $F\left(a\sqrt{2},0\right)$ se duce în $\left(a,a\right)=\left(\sqrt{2k},\sqrt{2k}\right)$. Un control rapid, care prinde imediat o greșeală de calcul: vârfurile au produsul coordonatelor egal cu $k$ (sunt pe curbă), iar focarele îl au egal cu $2k$ (sunt în interiorul ramurilor).

Pentru $xy=8$: $a=\sqrt{16}=4$ ✓, $c=4\sqrt{2}$ ✓, vârfurile $\left(\pm 2\sqrt{2},\pm 2\sqrt{2}\right)$ ✓, focarele $(\pm 4,\pm 4)$ ✓ — regăsim tot ce am calculat prin rotație.

8. Ce se întâmplă dacă $k$ este negativ?

Ecuația $xy=k$ cu $k<0$ descrie tot o hiperbolă echilateră, dar cu ramurile în cadranele $II$ și $IV$. Ea se obține din hiperbola $y^2-x^2=a^2$ — cea cu axa transversă pe $Oy$ — prin aceeași rotație, sau, mai simplu, din cazul studiat prin simetria $x\mapsto -x$.

Elementele se citesc analog, cu $|k|$ în locul lui $k$: $a=\sqrt{2|k|}$, vârfurile $\left(\mp \sqrt{|k|},\pm \sqrt{|k|}\right)$, focarele pe a doua bisectoare $y=-x$. Asimptotele rămân axele de coordonate.

Cazul $k=0$ nu descrie o hiperbolă: condiția $xy=0$ înseamnă $x=0$ sau $y=0$, adică reuniunea celor două axe — încă un caz degenerat, de reținut alături de cele din lecția hiperbola: definiția geometrică și ecuația canonică.

Cu această lecție se încheie studiul hiperbolei. Ultima conică a unității, cea definită printr-un punct și o dreaptă, este subiectul lecției următoare, parabola: definiția geometrică și ecuația canonică; acolo nu vom mai avea nici centru, nici asimptote, dar drumul rămâne același — de la o condiție de distanțe la o ecuație.

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Arată că hiperbola $x^2-y^2=16$ este echilateră și determină-i elementele.

Scriem ecuația sub formă canonică: $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16}=1$, deci $a^2=b^2=16$ și $a=b=4$: hiperbola este echilateră.

Atunci $c=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$, iar elementele sunt: vârfurile $(\pm 4,0)$, focarele $\left(\pm 4\sqrt{2},0\right)$, excentricitatea $e=\frac{4\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$, asimptotele $y=x$ și $y=-x$.

Exemplul 2

Determină imaginea hiperbolei $x^2-y^2=16$ prin rotația de unghi $\frac{\pi }{4}$ în sens trigonometric, cu centrul în origine.

Rotația inversă dă $x=\frac{X+Y}{\sqrt{2}}$ și $y=\frac{Y-X}{\sqrt{2}}$. Înlocuim: $$x^2-y^2=\frac{(X+Y{)}^2-(Y-X{)}^2}{2}=\frac{4XY}{2}=2XY,$$ deci condiția devine $2XY=16$, adică $XY=8$. Imaginea este hiperbola de ecuație $xy=8$, raportată la asimptote.

Verificare pe punctul $(5,3)$: el verifică $25-9=16$ ✓, iar imaginea lui, $\left(\sqrt{2},4\sqrt{2}\right)$, verifică $\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}=8$ ✓.

Exemplul 3

Determină elementele hiperbolei $xy=8$.

Din $k=8$ obținem $a=b=\sqrt{2\cdot 8}=4$ și $c=a\sqrt{2}=4\sqrt{2}$.

Vârfurile sunt $\left(\sqrt{8},\sqrt{8}\right)=\left(2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right)$ și $\left(-2\sqrt{2},-2\sqrt{2}\right)$; focarele sunt $(4,4)$ și $(-4,-4)$; excentricitatea este $\sqrt{2}$; asimptotele sunt axele de coordonate.

Exemplul 4

Verifică definiția geometrică a hiperbolei pentru punctul $M(2,4)$ al curbei $xy=8$.

Punctul aparține curbei: $2\cdot 4=8$ ✓. Focarele sunt $F_1(4,4)$ și $F_2(-4,-4)$, deci $$M{F}_1=\sqrt{(2-4{)}^2+(4-4{)}^2}=2,M{F}_2=\sqrt{(2+4{)}^2+(4+4{)}^2}=\sqrt{36+64}=10.$$ Diferența în modul este $|2-10|=8=2a$ ✓, cu $a=4$ determinat în exemplul precedent.

Exemplul 5

Un gaz aflat la temperatură constantă satisface legea $pV=24$, unde $V$ este volumul, în litri, și $p$ presiunea, în atmosfere. Arată că graficul legii este o ramură de hiperbolă echilateră și determină semiaxa $a$.

Cu $x=V$ și $y=p$, legea se scrie $xy=24$, deci $k=24>0$: curba este o hiperbolă echilateră raportată la asimptote, cu $a=\sqrt{2\cdot 24}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$.

Fizic au sens doar valorile pozitive ale volumului și presiunii, deci graficul legii este doar ramura din cadranul $I$. Asimptotele, axele de coordonate, se citesc și ele fizic: la volum foarte mare presiunea tinde la zero, iar la volum foarte mic presiunea crește nemărginit.

Vârful ramurii este $\left(\sqrt{24},\sqrt{24}\right)$, adică $\left(2\sqrt{6},2\sqrt{6}\right)$: punctul în care volumul și presiunea, măsurate în unitățile alese, sunt egale. Poziția lui depinde de unitățile de măsură, deci nu are semnificație fizică proprie — o observație utilă ori de câte ori o curbă matematică descrie o lege fizică.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră curba $xy=8$.

a) Arată că această curbă este imaginea hiperbolei $x^2-y^2=16$ prin rotația de unghi $\frac{\pi }{4}$ în sens trigonometric, cu centrul în origine.

Prin rotația inversă, $x=\frac{X+Y}{\sqrt{2}}$, $y=\frac{Y-X}{\sqrt{2}}$, iar $x^2-y^2=2XY$. Condiția $x^2-y^2=16$ devine $XY=8$, deci imaginea este exact curba dată.

b) Determină semiaxele, excentricitatea și focarele curbei $xy=8$.

Hiperbola inițială are $a=b=4$ și $c=4\sqrt{2}$, iar rotația nu schimbă distanțele, deci curba rotită are aceleași valori: $a=b=4$, $e=\sqrt{2}$. Focarele inițiale $\left(\pm 4\sqrt{2},0\right)$ se duc, prin rotație, în $(4,4)$ și $(-4,-4)$.

c) Arată că punctul $M(1,8)$ aparține curbei $xy=8$ și verifică pentru el condiția din definiția hiperbolei.

Avem $1\cdot 8=8$ ✓. Apoi $M{F}_1=\sqrt{9+16}=5$ și $M{F}_2=\sqrt{25+144}=13$, deci $|M{F}_1-M{F}_2|=8=2a$ ✓.

Să exersăm

1. Explică ce înseamnă că o hiperbolă este echilateră și scrie forma ecuației ei canonice.

2. Determină excentricitatea hiperbolei $x^2-y^2=25$ și arată că nu depinde de valoarea semiaxei.

3. Scrie formulele rotației de unghi $\frac{\pi }{4}$ în sens trigonometric, cu centrul în origine, folosind matricea de rotație.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Rotația cu $\frac{\pi }{4}$ schimbă lungimile segmentelor, deci schimbă și valoarea lui $2a$.

5. Determină imaginea hiperbolei $x^2-y^2=36$ prin rotația de unghi $\frac{\pi }{4}$ în sens trigonometric.

6. Determină elementele hiperbolei $xy=18$: semiaxele, excentricitatea, vârfurile și focarele.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Focarele hiperbolei $xy=k$, cu $k>0$, sunt puncte ale curbei.

8. Verifică definiția geometrică pentru punctul $M(8,1)$ al curbei $xy=8$.

9. (Problemă aplicată.) Un gaz respectă legea $pV=12$, cu $V$ în litri și $p$ în atmosfere. Determină presiunea la volumul de $3$ litri, semiaxa $a$ a hiperbolei corespunzătoare și explică semnificația fizică a celor două asimptote.

10. Arată că punctul $\left(2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right)$ este vârf al hiperbolei $xy=8$ și calculează distanța de la el la origine.

11. Determină $k$ astfel încât hiperbola $xy=k$ să aibă semiaxa $a=6$.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) Curba $xy=-8$ nu este o hiperbolă, pentru că produsul coordonatelor este negativ.

13. Arată că imaginea punctului $(5,3)$ prin rotația de unghi $\frac{\pi }{4}$ aparține curbei $xy=8$ și calculează distanța de la imagine la origine.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră curba $xy=2$. Determină semiaxele, focarele și verifică definiția hiperbolei pentru punctul $\left(1,2\right)$.

15. Explică de ce ecuația $xy=0$ nu descrie o hiperbolă și precizează ce mulțime descrie.

16. (Problemă aplicată.) Aria unui dreptunghi este fixată la $36$ de metri pătrați. Arată că punctul $(L,l)$, format din cele două dimensiuni, se află pe o ramură de hiperbolă echilateră și determină dimensiunile pentru care dreptunghiul este pătrat.

17. Arată că, pentru orice punct $M(x,y)$ al curbei $xy=k$ cu $k>0$, produsul distanțelor de la $M$ la cele două asimptote este constant și egal cu $k$.

18. (Provocare.) Arată că o hiperbolă echilateră raportată la asimptote și hiperbola obținută din ea prin rotația de unghi $\frac{\pi }{2}$ au aceleași asimptote, dar ecuații cu constante opuse.

Răspunsuri și explicații

1. O hiperbolă este echilateră dacă $a=b$; ecuația ei canonică devine $x^2-y^2=a^2$. Dreptunghiul fundamental este un pătrat, iar asimptotele $y=\pm x$ sunt perpendiculare.

2. Aici $a=b=5$, deci $c=5\sqrt{2}$ și $e=\sqrt{2}$. Calculul general $e=\frac{a\sqrt{2}}{a}=\sqrt{2}$ arată că valoarea nu depinde de $a$.

3. $\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=R\left(\frac{\pi }{4}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$, cu $R\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$, deci $X=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$ și $Y=\frac{x+y}{\sqrt{2}}$.

4. Fals. Rotația este o izometrie: păstrează distanțele, deci păstrează atât $2a$, cât și distanța focală $2c$ și, prin urmare, excentricitatea. Se schimbă doar coordonatele, nu forma curbei.

5. Din $2XY=36$ rezultă $XY=18$, deci imaginea este hiperbola $xy=18$.

6. $a=b=\sqrt{2\cdot 18}=6$, $c=6\sqrt{2}$, $e=\sqrt{2}$; vârfurile sunt $\left(\pm \sqrt{18},\pm \sqrt{18}\right)=\left(\pm 3\sqrt{2},\pm 3\sqrt{2}\right)$, iar focarele $(\pm 6,\pm 6)$, cu semnele luate simultan.

7. Fals. Pentru $xy=8$ focarele sunt $(\pm 4,\pm 4)$, iar $4\cdot 4=16\ne 8$. Focarele unei hiperbole sunt întotdeauna în interiorul ramurilor, niciodată pe curbă.

8. $8\cdot 1=8$ ✓. Cu $F_1(4,4)$ și $F_2(-4,-4)$: $M{F}_1=\sqrt{16+9}=5$ și $M{F}_2=\sqrt{144+25}=13$, deci $|M{F}_1-M{F}_2|=8=2a$ ✓.

9. La $V=3$ obținem $p=\frac{12}{3}=4$ atmosfere. Semiaxa este $a=\sqrt{2\cdot 12}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$. Asimptota orizontală $p=0$ înseamnă că presiunea tinde la zero când volumul crește nemărginit, iar asimptota verticală $V=0$ înseamnă că presiunea crește nemărginit când volumul tinde la zero.

10. $2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=8$ ✓, deci punctul e pe curbă; el este vârf pentru că se află pe prima bisectoare, dreapta focarelor. Distanța la origine este $\sqrt{8+8}=4=a$ ✓, adică exact semiaxa.

11. Din $a=\sqrt{2k}$ rezultă $a^2=2k$, adică $36=2k$, deci $k=18$. Verificare: hiperbola $xy=18$ are vârfurile $\left(\pm 3\sqrt{2},\pm 3\sqrt{2}\right)$, iar distanța de la origine la vârf este $\sqrt{18+18}=6=a$ ✓.

12. Fals. Este tot o hiperbolă echilateră, cu $a=\sqrt{2\cdot 8}=4$, dar cu ramurile în cadranele $II$ și $IV$ și cu focarele pe a doua bisectoare. Semnul lui $k$ decide poziția ramurilor, nu natura curbei.

13. $X=\frac{5-3}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$, $Y=\frac{5+3}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$, iar $XY=8$ ✓. Distanța la origine este $\sqrt{2+32}=\sqrt{34}$, aceeași cu distanța de la $(5,3)$ la origine, $\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$ ✓, pentru că rotația păstrează distanțele.

14. Din $k=2$ rezultă $a=b=\sqrt{4}=2$ și $c=2\sqrt{2}$; focarele sunt $(2,2)$ și $(-2,-2)$. Punctul $(1,2)$ verifică $1\cdot 2=2$ ✓, iar $M{F}_1=\sqrt{1+0}=1$ și $M{F}_2=\sqrt{9+16}=5$, deci $|M{F}_1-M{F}_2|=4=2a$ ✓.

15. Condiția $xy=0$ este echivalentă cu $x=0$ sau $y=0$, deci mulțimea este reuniunea axelor de coordonate — două drepte, nu o hiperbolă. Este un caz degenerat, ca cel în care $2a=2c$ în definiția geometrică.

16. Din $L\cdot l=36$ rezultă că punctul $(L,l)$ este pe curba $xy=36$, iar cum $L>0$ și $l>0$, pe ramura din cadranul $I$. Pătratul corespunde vârfului acelei ramuri, $\left(\sqrt{36},\sqrt{36}\right)=(6,6)$, deci laturile sunt de $6$ metri.

17. Asimptotele sunt axele, iar distanțele de la $M(x,y)$ la ele sunt $|y|$ și $|x|$. Produsul este $|xy|=k$, constant, pentru orice punct al curbei.

18. Rotația cu $\frac{\pi }{2}$ duce $(x,y)$ în $(-y,x)$, deci produsul coordonatelor devine $-yx$. Condiția $xy=k$ se transformă în $XY=-k$: aceleași asimptote (axele), constantă opusă, ramuri în celelalte două cadrane.

De reținut

• Hiperbola echilateră este cea cu $a=b$; ecuația ei canonică este $x^2-y^2=a^2$, asimptotele $y=\pm x$ sunt perpendiculare, iar excentricitatea este $\sqrt{2}$ pentru toate hiperbolele echilatere.
• Rotația de unghi $\frac{\pi }{4}$ în sens trigonometric, cu centrul în origine, se scrie $X=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$, $Y=\frac{x+y}{\sqrt{2}}$ și este înmulțirea cu matricea de rotație din clasa a XI-a.
• Prin această rotație, ecuația $x^2-y^2=a^2$ devine $xy=\frac{a^2}{2}$, iar cele două asimptote devin exact axele de coordonate; de aici numele „raportată la asimptote".
• Curba $xy=k$, cu $k>0$, este graficul funcției $x\mapsto \frac{k}{x}$ studiate în clasa a IX-a, deci hiperbola de proporționalitate inversă este o conică autentică.
• Din $xy=k$ elementele se citesc prin $a=b=\sqrt{2k}$, $c=2\sqrt{k}$, vârfurile $\left(\pm \sqrt{k},\pm \sqrt{k}\right)$ și focarele $\left(\pm \sqrt{2k},\pm \sqrt{2k}\right)$, cu semne luate simultan.

Greșeli frecvente

• A confunda constanta din ecuația rotită cu $a^2$. Rezultatul rotației este $xy=\frac{a^2}{2}$, nu $xy=a^2$: factorul $\frac{1}{2}$ vine din $(X+Y{)}^2-(Y-X{)}^2=4XY$ împărțit la $2$. Testul rapid: pentru $x^2-y^2=16$ se obține $xy=8$, nu $xy=16$.
• A omite sensul rotației. Unghiul $\frac{\pi }{4}$ pozitiv înseamnă sens trigonometric; o rotație cu $-\frac{\pi }{4}$ schimbă rolurile celor două asimptote. La o cerință de examen, sensul se precizează în enunțul rezolvării.
• A crede că rotația schimbă elementele curbei. Rotația este o izometrie: semiaxele, distanța focală și excentricitatea rămân aceleași; se schimbă doar coordonatele punctelor și, odată cu ele, forma ecuației.
• A pune focarele lui $xy=k$ pe curbă. Focarele sunt $\left(\pm \sqrt{2k},\pm \sqrt{2k}\right)$, iar produsul coordonatelor lor este $2k\ne k$: ele sunt în interiorul ramurilor, ca la orice hiperbolă. Pe curbă stau vârfurile, cu produsul coordonatelor egal cu $k$.
• A trata $xy=0$ ca pe o hiperbolă degenerată de tip „două drepte care se taie într-un punct al curbei". Mulțimea este reuniunea axelor; nu are focare, vârfuri sau excentricitate, iar formulele din tabel nu se aplică.

Aplică acasă

1. Desenează pe hârtie milimetrică hiperbola $x^2-y^2=16$, apoi rotește foaia cu $45^{\circ }$ în sens trigonometric și observă că vezi graficul funcției $x\mapsto \frac{8}{x}$. Marchează pe desen, înainte de rotație, vârfurile și focarele, și verifică unde ajung după.

2. Alcătuiește un tabel cu perechile $(V,p)$ pentru legea $pV=12$, luând $V=1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$. Reprezintă punctele într-un reper și verifică, măsurând, că produsul distanțelor de la fiecare punct la cele două axe este constant.

3. Alege trei valori pentru $k$, de pildă $2$, $8$ și $18$, desenează pe același reper curbele $xy=k$ și marchează vârfurile fiecăreia. Verifică prin calcul că distanța de la origine la vârf este $\sqrt{2k}$ și explică de ce toate cele trei curbe au aceeași excentricitate.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide studiul hiperbolei și este singurul loc din programa de matematică-informatică (mate-info) a clasei a XII-a în care se face o rotație a reperului. Valoarea ei didactică depășește conicele: elevul vede, concret, că o curbă are ecuații diferite în repere diferite și că alegerea reperului este o decizie matematică, nu una de gust.

Ce verifică lecția: recunoașterea hiperbolei echilatere; scrierea corectă a formulelor rotației cu matricea de rotație, cu sensul precizat; deducerea ecuației $xy=\frac{a^2}{2}$; imaginile asimptotelor, vârfurilor și focarelor; citirea elementelor direct din $xy=k$; identificarea curbei cu graficul funcției de proporționalitate inversă.

Întrebări de control: „De ce este excentricitatea mereu $\sqrt{2}$?"; „De ce apare $\frac{a^2}{2}$, și nu $a^2$?"; „Ce devin asimptotele după rotație și de ce?"; „Focarele lui $xy=8$ sunt pe curbă?".

Semne că a înțeles: scrie rotația cu matricea, nu din memorie; verifică rezultatul pe un punct concret; recunoaște că elementele nu se schimbă pentru că rotația este izometrie; face singur legătura cu funcția $\frac{k}{x}$ din clasa a IX-a.

Dificultatea tipică: factorul $\frac{1}{2}$. Elevul scrie $xy=a^2$ pentru că „așa arată mai frumos", fără să refacă dezvoltarea. Exercițiile 5, 6 și 11 îl obligă să treacă de fiecare dată prin relația $a=\sqrt{2k}$.

Unde apare la BAC: conicele intră în examen odată cu sesiunile susținute pe programa nouă. Cerința previzibilă este cea din Exemplul 6 — rotația, elementele, verificarea definiției — cu numere alese astfel încât $\sqrt{2k}$ să fie întreg.

Întrebări frecvente

Ce este hiperbola echilateră?

Hiperbola echilateră este hiperbola cu semiaxele egale, $a=b$, deci cu ecuația canonică $x^2-y^2=a^2$. Dreptunghiul ei fundamental este un pătrat, asimptotele $y=x$ și $y=-x$ sunt perpendiculare, iar excentricitatea are aceeași valoare, $\sqrt{2}$, pentru toate hiperbolele echilatere, indiferent de mărimea lor.

Ce înseamnă „raportată la asimptote"?

Înseamnă că ecuația curbei este scrisă în reperul care are drept axe chiar asimptotele ei. La hiperbola echilateră acest lucru este posibil pentru că asimptotele sunt perpendiculare, iar trecerea de la reperul canonic la cel nou se face printr-o rotație de unghi $\frac{\pi }{4}$ în jurul originii.

Cum se face rotația cu $\frac{\pi }{4}$ a unei hiperbole?

Se folosesc formulele $X=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$ și $Y=\frac{x+y}{\sqrt{2}}$, care sunt înmulțirea cu matricea de rotație de unghi $\frac{\pi }{4}$, în sens trigonometric. Pentru a afla ecuația imaginii se înlocuiesc $x$ și $y$ prin formulele rotației inverse, $x=\frac{X+Y}{\sqrt{2}}$ și $y=\frac{Y-X}{\sqrt{2}}$.

De ce devine $x^2-y^2=a^2$ ecuația $xy=\frac{a^2}{2}$?

Pentru că, înlocuind, $x^2-y^2=\frac{(X+Y{)}^2-(Y-X{)}^2}{2}=\frac{4XY}{2}=2XY$. Condiția $x^2-y^2=a^2$ devine astfel $2XY=a^2$, adică $XY=\frac{a^2}{2}$. Factorul $\frac{1}{2}$ este cel mai des uitat pas al calculului.

Este graficul funcției $\frac{1}{x}$ o hiperbolă adevărată?

Da. Curba $xy=k$ cu $k>0$ este imaginea hiperbolei echilatere $x^2-y^2=2k$ printr-o rotație de $45^{\circ }$, deci este o conică în toată puterea cuvântului, cu focare, vârfuri și excentricitate $\sqrt{2}$. Ceea ce în clasa a IX-a se numea „hiperbolă" fără justificare capătă acum sens deplin.

Care sunt focarele hiperbolei $xy=k$?

Focarele sunt punctele $\left(\sqrt{2k},\sqrt{2k}\right)$ și $\left(-\sqrt{2k},-\sqrt{2k}\right)$, situate pe prima bisectoare, la distanța $c=2\sqrt{k}$ de origine. Ele nu aparțin curbei: produsul coordonatelor lor este $2k$, nu $k$. Pe curbă se află vârfurile, $\left(\pm \sqrt{k},\pm \sqrt{k}\right)$.

Se cere hiperbola echilateră la examen?

În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu programa nouă a clasei a XII-a, care cere explicit hiperbola echilateră raportată la asimptote prin rotația cu unghiul $\frac{\pi }{4}$. Cerințele previzibile sunt deducerea ecuației $xy=k$ și citirea elementelor din ea.