Imaginea unei funcții, cu derivata: pe scurt

Imaginea unei funcții este mulțimea valorilor pe care le ia efectiv: $\mathrm{Im}f=\{f(x)\mid x\in D\}$. Ea nu se confundă cu codomeniul, care e doar declarat în enunț; cele două coincid exact când funcția este surjectivă. O reformulare de care te vei folosi mereu: numărul $m$ este în imagine dacă și numai dacă ecuația $f(x)=m$ are măcar o soluție.

Ideea de lucru: pe un interval pe care $f$ este continuă și strict monotonă, imaginea este intervalul determinat de valorile (sau limitele) de la capete — incluziunea într-un sens vine din monotonie, cealaltă din proprietatea valorilor intermediare (Darboux). Derivata taie domeniul exact în asemenea felii.

Rețeta: domeniul, derivata și semnul ei, tabelul de variație cu limitele la toate capetele, imaginea fiecărei ramuri, apoi reuniunea lor.

Decizia care aduce cele mai multe puncte pierdute este paranteza. Un capăt provenit dintr-o valoare atinsă se scrie închis; unul provenit dintr-o limită se scrie deschis. Paranteza se hotărăște pe fiecare ramură separat, pentru că o valoare ratată pe o ramură poate fi luată pe alta.

Imaginea răspunde dintr-o mișcare la mai multe cerințe: $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$ înseamnă surjectivitate, o imagine mărginită înseamnă funcție mărginită, iar $\mathrm{Im}f=[a,b]$ dă gata inegalitatea $a\le f(x)\le b$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{x^2+3}$, este:

   • a) $[0,1)$
   • b) $[0,1]$
   • c) $(0,1)$
   • d) $[0,+\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $[0,1)$

   $f^{\prime }(x)=\frac{6x}{{\left(x^2+3\right)}^2}$ are semnul lui $x$, deci $f$ scade pe $(-\infty ,0]$ și crește pe $[0,+\infty )$, cu minimul $f(0)=0$. La $\pm \infty$ limita este $1$, dar nicio valoare nu o atinge, pentru că $x^2<x^2+3$. Capătul care vine dintr-o valoare se scrie închis, cel care vine dintr-o limită — deschis.

2. Despre funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x+2}$, este adevărat că:

   • a) are minimul $0$ și maximul $1$
   • b) nu are nici minim, nici maxim
   • c) are maximul $1$, atins pentru $x$ foarte mare
   • d) are imaginea $[0,1]$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) nu are nici minim, nici maxim

   $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+2{)}^2}>0$, deci $f$ este strict crescătoare, iar limitele la capete sunt $0$ (la dreapta lui $0$) și $1$ (la $+\infty$). Imaginea este $(0,1)$: ambele capete provin din limite, deci nu se ating. Numerele $0$ și $1$ sunt marginea inferioară, respectiv superioară, dar funcția nu are extreme.

3. Imaginea funcției $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{9}{x}$, este:

   • a) $\mathbb{R}$
   • b) $[-6,6]$
   • c) $(-\infty ,-6)\cup (6,+\infty )$
   • d) $(-\infty ,-6]\cup [6,+\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $(-\infty ,-6]\cup [6,+\infty )$

   $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-9}{x^2}$ se anulează în $\pm 3$, cu $f(-3)=-6$ maxim local și $f(3)=6$ minim local. Ramurile dau $(-\infty ,-6]$ de două ori și $[6,+\infty )$ de două ori, iar capetele se ating, în $-3$ și în $3$. Domeniul nefiind interval, imaginea nu este interval: între $-6$ și $6$ funcția nu ia nicio valoare, deci ecuația $x+\frac{9}{x}=2$ nu are soluții reale.