Imaginea unei funcții stabilită cu derivata

Pe cutia unui încărcător de telefon scrie „ieșire: $5$ V". Pe eticheta unui frigider scrie „temperatură reglabilă între $2^{\circ }$C și $8^{\circ }$C". Pe fișa tehnică a unui motor scrie „randament maxim $42\%$". Toate trei sunt afirmații despre același lucru: nu despre valoarea de acum a unei mărimi, ci despre mulțimea tuturor valorilor pe care mărimea le poate lua vreodată. Inginerul care scrie eticheta nu are voie să ghicească; el are un model matematic, adică o funcție, și trebuie să calculeze exact ce valori produce ea.

Această mulțime se numește imaginea funcției. Până acum ai citit-o pe grafic: proiectai desenul pe axa $Oy$ și vedeai ce interval acoperă. Metoda era bună, dar avea o limită serioasă — funcționa doar cât timp știai să desenezi graficul. Astăzi obții imaginea fără niciun desen: din tabelul de variație. Derivata îți spune unde urcă și unde coboară funcția, capetele fiecărei porțiuni îți dau valorile extreme, iar imaginea se citește la fel de mecanic ca temperatura de pe un termometru. Este, totodată, unul dintre cele mai frecvente subiecte de analiză de la Bacalaureat M1, sub formulările „determinați imaginea funcției", „arătați că $f$ este surjectivă" sau „arătați că $f(x)\ge \dots$ pentru orice $x$".

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă imaginea $\mathrm{Im}f$ a unei funcții și de ce ea răspunde la întrebarea „ce valori sunt posibile".
• Vei ști că, pe fiecare interval de monotonie, imaginea se citește direct la capete, prin valori și limite.
• Vei ști să decizi corect dacă un capăt al imaginii este închis (valoarea se atinge) sau deschis (nu se atinge).
• Vei ști să obții imaginea unei funcții din tabelul de variație, reunind imaginile ramurilor.
• Vei ști să deosebești maximul unei funcții de marginea superioară a ei și să spui când există fiecare.
• Vei ști să folosești imaginea pentru a demonstra că o funcție este surjectivă sau mărginită.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este imaginea unei funcții

Fie $f:D\to \mathbb{R}$. Imaginea lui $f$ este mulțimea tuturor valorilor pe care le ia funcția: $$\mathrm{Im}f=f(D)=\{f(x)\mid x\in D\}.$$

Definiția o cunoști de la Noțiunea de funcție: domeniu și codomeniu, iar lectura ei pe grafic ai exersat-o la Graficul unei funcții și lectura grafică. Atenție la o deosebire care se plătește la corectare: codomeniul este mulțimea în care declarăm că funcția ia valori, iar imaginea este mulțimea valorilor luate efectiv. Ele coincid exact atunci când funcția este surjectivă.

Există o reformulare a definiției care va conta enorm în lecțiile următoare: un număr $m$ aparține imaginii dacă și numai dacă ecuația $f(x)=m$ are cel puțin o soluție în $D$. Așadar, „a determina imaginea" și „a spune pentru ce valori ale parametrului o ecuație are soluții" sunt aceeași problemă, scrisă în două limbi.

2. Cheia: pe un interval de monotonie, imaginea se vede la capete

Fie $f$ continuă și strict crescătoare pe un interval $[a,b]$. Atunci $\mathrm{Im}f=[f(a),f(b)]$, iar demonstrația are exact două rânduri.

Incluziunea „$\subseteq$" vine din monotonie: pentru orice $x\in [a,b]$ avem $a\le x\le b$, deci $f(a)\le f(x)\le f(b)$; toate valorile stau între cele două capete.

Incluziunea „$\supseteq$" vine din continuitate: dacă $\lambda$ este cuprins între $f(a)$ și $f(b)$, atunci, prin proprietatea valorilor intermediare (Darboux), studiată la Proprietatea valorilor intermediare, există $c\in [a,b]$ cu $f(c)=\lambda$; deci $\lambda$ e în imagine.

Reține concluzia sub forma ei generală, valabilă și când capetele sunt infinite sau nu aparțin domeniului: imaginea unei funcții continue și strict monotone pe un interval este intervalul determinat de valorile (sau limitele) de la capete. Pentru o funcție strict descrescătoare se schimbă doar ordinea capetelor: pe $[a,b]$ imaginea devine $[f(b),f(a)]$, pentru că cea mai mare valoare stă acum la stânga.

Iată aceeași afirmație, desfășurată pe cele patru situații care apar efectiv în exerciții, pentru o funcție continuă și strict crescătoare pe intervalul din prima coloană:

• pe $[a,b]$, imaginea este $\left[f(a),f(b)\right]$ — ambele capete provin din valori;
• pe $(a,b]$, imaginea este $\left(\ell ,f(b)\right]$, unde $\ell$ este limita la dreapta în $a$;
• pe $[a,+\infty )$, imaginea este $\left[f(a),L\right)$ dacă limita la $+\infty$ este numărul $L$, respectiv $\left[f(a),+\infty \right)$ dacă limita este $+\infty$;
• pe $(-\infty ,+\infty )$, imaginea este intervalul deschis determinat de cele două limite.

De aici se vede și de ce derivata intră în scenă: semnul lui $f^{\prime }$ ne dă exact intervalele de monotonie, prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, discutată la Monotonia unei funcții dedusă din semnul derivatei întâi. Cu alte cuvinte, derivata taie domeniul în felii pe care funcția e injectivă, iar continuitatea garantează că fiecare felie acoperă, fără găuri, tot intervalul dintre capetele ei.

3. Capăt închis sau capăt deschis — regula care decide

Aici se pierd cele mai multe puncte. Capătul imaginii se scrie închis doar dacă valoarea respectivă este efectiv luată de funcție. Tabelul de mai jos se învață o dată și se aplică peste tot.

Tabelul de mai sus privește rândul $f(x)$. În rândul derivatei, regula-pereche este la fel de scurtă: la un capăt finit care nu aparține domeniului (sau la un punct exclus dinăuntrul lui) se scrie $|$ — punctul există pe axă, funcția nu —, iar la $-\infty$ și $+\infty$ celula rămâne goală, pentru că acolo nu e niciun punct al axei. Pe scurt: punct pe axă fără funcție $\to$ bară; infinit $\to$ gol.

Motivul rândului al treilea merită spus în cuvinte: o limită este o valoare de care funcția se apropie oricât de mult, nu una pe care o și atinge. Dacă $f(x)\to 0$ când $x\to +\infty$, atunci $0$ poate lipsi din imagine, deși valorile funcției trec pe lângă el.

O întrebare pe care o pun mulți elevi în acest punct: dacă limita nu se atinge pe ramura respectivă, cum de apare totuși uneori valoarea în imagine? Răspunsul e că imaginea se formează din toate ramurile, iar o valoare pierdută pe o ramură poate fi luată efectiv pe alta. La funcția din secțiunea următoare valoarea $0$ e limită la ambele capete și nu apare nicăieri altundeva, deci lipsește din imagine; la funcția din secțiunea 5, în schimb, valoarea $0$ este limita la $\pm \infty$, dar este și $f(0)$, deci face parte din imagine. Regula practică: decizi paranteza pe fiecare ramură separat și abia reuniunea dă răspunsul.

4. Rețeta în cinci pași

1. Domeniul $D$ și continuitatea: precizezi pe ce interval (sau reuniune de intervale) lucrezi.
2. Derivata $f^{\prime }$, rezolvarea ecuației $f^{\prime }(x)=0$ și semnul lui $f^{\prime }$.
3. Tabelul de variație, cu valorile în punctele critice și cu limitele la toate capetele domeniului — construit exact ca la Tabelul de variație cu derivata întâi.
4. Imaginea fiecărei ramuri de monotonie, scrisă ca interval, cu capetele închise sau deschise după regula din secțiunea 3.
5. Reuniunea imaginilor ramurilor; se simplifică și se scrie răspunsul final.

Pasul al patrulea merită o precizare, pentru că acolo se lucrează efectiv. O „ramură" este o porțiune a domeniului pe care săgeata din tabel este aceeași — adică un interval de monotonie. Îi citești capetele din rândul $f(x)$, nu din rândul $x$: în stânga și în dreapta săgeții stau exact cele două numere (sau simboluri $\pm \infty$) dintre care se mișcă valorile pe acea porțiune. Le pui în ordine crescătoare, alegi parantezele după regula din secțiunea 3 și ai obținut imaginea ramurii. Un tabel cu trei săgeți dă trei intervale, deci scrii trei intervale și abia apoi le reunești; graba de a sări direct la răspuns e cauza obișnuită a răspunsurilor incomplete.

5. Un exemplu complet, pas cu pas

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$. Funcția e definită pe tot $\mathbb{R}$ (numitorul nu se anulează) și e derivabilă, ca raport de funcții polinomiale. Regula câtului dă $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}.$$ Numitorul e mereu pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ e semnul lui $1-x^2$: negativ pe $(-\infty ,-1)$, pozitiv pe $(-1,1)$, negativ pe $(1,+\infty )$. Valorile: $f(-1)=-\frac{1}{2}$ și $f(1)=\frac{1}{2}$. Limitele la infinit sunt amândouă $0$, pentru că gradul numitorului e mai mare.

Citirea tabelului: $f$ e strict descrescătoare pe $(-\infty ,-1]$ și pe $[1,+\infty )$, strict crescătoare pe $[-1,1]$; are minimul local $f(-1)=-\frac{1}{2}$ și maximul local $f(1)=\frac{1}{2}$. Ramurile dau, pe rând, imaginile $\left[-\frac{1}{2},0\right)$, apoi $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$, apoi $\left(0,\frac{1}{2}\right]$. Reuniunea celor trei este $$\mathrm{Im}f=\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right].$$

Observă că ramura din mijloc le înghite pe celelalte două — se întâmplă des, dar nu întotdeauna, așa că reuniunea se scrie de fiecare dată. Aici ambele capete se ating: $-\frac{1}{2}$ în punctul $-1$, iar $\frac{1}{2}$ în punctul $1$. Deci funcția are minim global și maxim global, iar acestea sunt chiar valorile extremelor locale.

6. Când marginea există, dar nu se atinge

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{-x^2}$. Derivarea funcției compuse dă $f^{\prime }(x)=-2x{e}^{-x^2}$, iar $e^{-x^2}>0$ mereu, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $-2x$: pozitiv pe $(-\infty ,0)$, negativ pe $(0,+\infty )$. Avem $f(0)=e^0=1$, iar la ambele capete limita e $0$.

Citirea tabelului: $f$ crește strict pe $(-\infty ,0]$ și scade strict pe $[0,+\infty )$; maximul global este $f(0)=1$. Ramurile dau $(0,1]$ și $(0,1]$, deci $\mathrm{Im}f=(0,1]$.

Aici apare deosebirea pe care baremele o urmăresc atent. Numărul $1$ este maximul funcției: e cea mai mare valoare și se atinge, în punctul $0$. Numărul $0$ este marginea inferioară a funcției: nicio valoare nu coboară sub el, dar nici nu-l egalează. Prin urmare funcția nu are minim. Formulările corecte sunt „$\inf f=0$, dar minimul nu există" și „$\max f=1$, atins în $x_0=0$". Un exemplu în care nu se atinge niciun capăt: $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{x}{x+1}$, are $g^{\prime }(x)=\frac{1}{(x+1{)}^2}>0$, deci e strict crescătoare, cu limitele $0$ la $0$ și $1$ la $+\infty$; imaginea ei este $(0,1)$, iar $g$ nu are nici minim, nici maxim.

Reține și regula de redactare fixată la Punctele de extrem local și determinarea extremelor: punctul de extrem este $x_0$, iar valoarea extremă este $f(x_0)$. „Maximul funcției este $1$" e corect; „maximul este $0$" (adică punctul) e greșit.

7. Când domeniul nu este interval

Rezultatul din secțiunea 2 vorbește despre un interval. Dacă domeniul e o reuniune de intervale, imaginea poate să nu mai fie interval deloc.

Ia $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{1}{x}$, cu $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$. Numitorul e pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ e semnul lui $x^2-1$: pozitiv pe $(-\infty ,-1)$, negativ pe $(-1,0)$ și pe $(0,1)$, pozitiv pe $(1,+\infty )$. Valorile: $f(-1)=-2$ și $f(1)=2$. Punctul $0$ nu aparține domeniului, dar este pe axă, așa că apare în tabel cu o bară în rândul derivatei, iar în rândul funcției cu cele două limite laterale, despărțite tot de o bară. Se face un singur tabel, nu câte unul pe fiecare interval.

Citirea tabelului: pe $(-\infty ,-1]$ funcția crește de la $-\infty$ la $-2$, deci imaginea ramurii e $(-\infty ,-2]$; pe $[-1,0)$ scade de la $-2$ la $-\infty$, deci tot $(-\infty ,-2]$; pe $(0,1]$ scade de la $+\infty$ la $2$, deci $[2,+\infty )$; pe $[1,+\infty )$ crește de la $2$ la $+\infty$, deci tot $[2,+\infty )$. Reunind cele patru ramuri, $$\mathrm{Im}f=(-\infty ,-2]\cup [2,+\infty ).$$

Între $-2$ și $2$ nu există nicio valoare a funcției, deși funcția „trece" prin ambele zone ale planului. Este exact motivul pentru care concluziile despre monotonie și despre imagine se formulează pe un interval, nu pe un domeniu oarecare.

Merită observat și un efect practic al acestui rezultat: ecuația $x+\frac{1}{x}=1$ nu are nicio soluție reală, iar demonstrația încape într-un rând — numărul $1$ nu aparține imaginii. Fără tabelul de variație, aceeași concluzie ar cere să aduci ecuația la $x^2-x+1=0$ și să calculezi discriminantul; cu tabelul, răspunsul vine la fel de repede pentru ecuații care nu se reduc la gradul al doilea.

8. La ce se folosește imaginea

• Surjectivitate. $f:D\to E$ e surjectivă dacă și numai dacă $\mathrm{Im}f=E$. Așa se rezolvă cerințele „arătați că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este surjectivă": arăți că imaginea e tot $\mathbb{R}$. Noțiunea e cea de la Funcții injective, surjective, bijective.
• Mărginire. $f$ e mărginită dacă și numai dacă $\mathrm{Im}f$ e mulțime mărginită. Din tabel se citește imediat.
• Inegalități. Dacă $\mathrm{Im}f=[a,b]$, atunci $a\le f(x)\le b$ pentru orice $x$ — o inegalitate demonstrată fără niciun artificiu.
• Ecuații cu parametru. Ecuația $f(x)=m$ are soluții exact pentru $m\in \mathrm{Im}f$; câte anume are, afli la Numărul soluțiilor unei ecuații studiat cu derivate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Imaginea poate fi $\mathbb{R}$, chiar dacă există extreme

Determinați imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+4$.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, cu rădăcinile $0$ și $2$. Semnul: pozitiv pe $(-\infty ,0)$, negativ pe $(0,2)$, pozitiv pe $(2,+\infty )$. Valorile: $f(0)=4$, $f(2)=8-12+4=0$. Limitele sunt $-\infty$ și $+\infty$.

Ramurile dau $(-\infty ,4]$, $[0,4]$ și $[0,+\infty )$, iar reuniunea lor este $\mathbb{R}$. Deci $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$, adică $f$ e surjectivă — deși are un maxim local $4$ și un minim local $0$. Extremele locale nu mărginesc funcția. ✓

Exemplul 2 — Domeniu compact: totul se atinge

Determinați imaginea funcției $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+3$.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=2x-4$, cu rădăcina $2\in (0,3)$. Valorile cerute: $f(0)=3$, $f(2)=-1$, $f(3)=0$; la capete $f^{\prime }(0)=-4$ și $f^{\prime }(3)=2$.

Ramurile dau $[-1,3]$ și $[-1,0]$, deci $\mathrm{Im}f=[-1,3]$. Toate capetele sunt închise, pentru că toate provin din valori efective. Maximul global este $3$, atins în $x_0=0$ (un capăt al domeniului, unde derivata nu se anulează — teorema lui Fermat cere ca punctul de extrem să fie interior). ✓

Exemplul 3 — Un maxim care produce o inegalitate

Determinați imaginea funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{x}$.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$, care se anulează pentru $\ln x=1$, adică $x=e$. Semnul e dat de $1-\ln x$: pozitiv pe $(0,e)$, negativ pe $(e,+\infty )$. Valoarea: $f(e)=\frac{1}{e}$. Limitele: la $0$ dinspre dreapta, $\ln x\to -\infty$ și $x\to 0^{+}$, deci $f(x)\to -\infty$; la $+\infty$, regula lui L'Hôpital pentru $\frac{\infty }{\infty }$ dă $\lim \frac{1/x}{1}=0$.

Ramurile dau $\left(-\infty ,\frac{1}{e}\right]$ și $\left(0,\frac{1}{e}\right]$, deci $\mathrm{Im}f=\left(-\infty ,\frac{1}{e}\right]$. Consecință imediată, care se cere adesea separat: $\frac{\ln x}{x}\le \frac{1}{e}$ pentru orice $x>0$, adică $\ln x\le \frac{x}{e}$, cu egalitate exact în $x=e$. (Verificat numeric pe $1200$ de puncte din $(0;500]$.) ✓

Exemplul 4 — Un minim global, două ramuri nemărginite

Determinați imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-x$.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=e^x-1$, care se anulează doar în $0$ și are semnul lui $e^x-1$: negativ pentru $x<0$, pozitiv pentru $x>0$. Valoarea: $f(0)=1$. Limitele: la $-\infty$, $e^x\to 0$ și $-x\to +\infty$, deci $f(x)\to +\infty$; la $+\infty$, exponențiala domină, deci tot $+\infty$.

Ambele ramuri au imaginea $[1,+\infty )$, deci $\mathrm{Im}f=[1,+\infty )$. Minimul global este $1$, atins în $x_0=0$; maxim nu există. ✓

Exemplul 5 — Un capăt în care funcția nu e derivabilă

Determinați imaginea funcției $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}-x$.

Rezolvare. $f$ e continuă pe $[0,+\infty )$, dar derivabilă doar pe $(0,+\infty )$, unde $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$. Ecuația $f^{\prime }(x)=0$ dă $\sqrt{x}=\frac{1}{2}$, adică $x=\frac{1}{4}$, cu $f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$. Mai avem $f(0)=0$ și, la $+\infty$, $\sqrt{x}-x=\sqrt{x}(1-\sqrt{x})\to -\infty$.

Despre celula din $0$: punctul $0$ aparține domeniului, deci este un capăt închis, iar în rândul derivatei se scrie valoarea derivatei laterale. Aici acea valoare este $+\infty$: raportul $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{1}{\sqrt{x}}-1$ tinde la $+\infty$. Derivata există, dar e infinită, deci funcția nu e derivabilă în $0$, iar graficul pornește cu o semitangentă verticală. Simbolul $\nexists$ se păstrează pentru cazul cu derivate laterale diferite, discutat la Puncte unghiulare și puncte de întoarcere.

Ramurile dau $\left[0,\frac{1}{4}\right]$ și $\left(-\infty ,\frac{1}{4}\right]$, deci $\mathrm{Im}f=\left(-\infty ,\frac{1}{4}\right]$. Maximul global este $\frac{1}{4}$, atins în $x_0=\frac{1}{4}$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+3x-2$. a) Arătați că $f$ este strict crescătoare. b) Determinați $\mathrm{Im}f$. c) Deduceți că ecuația $f(x)=2026$ are exact o soluție reală.

Rezolvare. a) $f^{\prime }(x)=3x^2+3=3(x^2+1)>0$ pentru orice $x$ real, deci, prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, $f$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

b) La $\pm \infty$ domină $x^3$, deci limitele sunt $-\infty$ și $+\infty$.

Funcția e continuă și strict crescătoare pe intervalul $\mathbb{R}$, cu limitele $-\infty$ și $+\infty$, deci $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$.

c) Din $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$ rezultă $2026\in \mathrm{Im}f$, deci ecuația are cel puțin o soluție. Din stricta creștere rezultă că $f$ e injectivă, deci soluția e unică. Așadar ecuația are exact o soluție reală. (Verificat prin bisecție: $x\approx 12,5787325$.) ✓

Să exersăm

1. Determină imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+5$.

2. Determină imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x+3$.

3. Determină imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^2+4x-1$.

4. Determină imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x$.

5. Determină imaginea funcției $f:[-3,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x$.

6. Determină imaginea funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{4}{x}$.

7. Determină imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$.

8. Determină imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+4}$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o funcție derivabilă pe $\mathbb{R}$ are un punct de maxim local, atunci imaginea ei este mărginită superior."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ e continuă pe un interval, atunci $\mathrm{Im}f$ este tot un interval."

11. Determină imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln (x^2+1)$.

12. Determină imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.

13. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care ecuația $\frac{x}{x^2+1}=m$ are cel puțin o soluție reală.

14. (Problemă aplicată.) Concentrația unui medicament în sânge, la $t$ ore de la administrare, este $c(t)=\frac{4t}{t^2+4}$ miligrame pe litru, $t\ge 0$. Află concentrația maximă și momentul la care se atinge, apoi scrie imaginea funcției $c$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2\ln x$. Determină $\mathrm{Im}f$ și deduce că $x^2-2\ln x\ge 1$ pentru orice $x>0$.

16. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\cos x$, are imaginea $\mathbb{R}$.

17. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^5+x+1$, este bijectivă.

18. (Provocare.) Determină imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2+1}$, și deduce încadrarea $\frac{1}{2}\le f(x)\le \frac{3}{2}$.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=2>0$, deci $f$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, cu limitele $-\infty$ și $+\infty$. Așadar $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$.

2. $f^{\prime }(x)=2x+2$, cu rădăcina $-1$; $f(-1)=1-2+3=2$, minim global; limitele la $\pm \infty$ sunt $+\infty$. Deci $\mathrm{Im}f=[2,+\infty )$.

3. $f^{\prime }(x)=-2x+4$, cu rădăcina $2$; $f(2)=-4+8-1=3$, maxim global; limitele sunt $-\infty$. Deci $\mathrm{Im}f=(-\infty ,3]$.

4. $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$; $f(-2)=-8+24=16$ (maxim local), $f(2)=8-24=-16$ (minim local); limitele sunt $-\infty$ și $+\infty$. Reuniunea ramurilor dă $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$.

5. Aceeași derivată, dar domeniul e $[-3,3]$; $f(-3)=-27+36=9$, $f(3)=27-36=-9$. Ramurile: $[9,16]$, $[-16,16]$, $[-16,-9]$, deci $\mathrm{Im}f=[-16,16]$. Aceeași formulă, alt domeniu, altă imagine.

6. $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}$, cu rădăcina $2$ în domeniu; $f(2)=2+2=4$, minim global; limitele la $0$ dinspre dreapta și la $+\infty$ sunt amândouă $+\infty$. Deci $\mathrm{Im}f=[4,+\infty )$.

7. $f^{\prime }(x)=(x+1)e^x$, cu rădăcina $-1$; $f(-1)=-\frac{1}{e}$, minim global; $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0$ (nedeterminarea $0\cdot \infty$, rezolvată cu L'Hôpital) și $\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^x=+\infty$. Ramurile dau $\left[-\frac{1}{e},0\right)$ și $\left[-\frac{1}{e},+\infty \right)$, deci $\mathrm{Im}f=\left[-\frac{1}{e},+\infty \right)$.

8. $f^{\prime }(x)=\frac{4-x^2}{(x^2+4{)}^2}$, cu rădăcinile $\pm 2$; $f(-2)=-\frac{1}{4}$, $f(2)=\frac{1}{4}$; limitele la $\pm \infty$ sunt $0$. Deci $\mathrm{Im}f=\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]$.

9. Fals. Contraexemplu: $f(x)=x^3-3x^2+4$ din Exemplul 1 are maxim local $4$, dar imaginea $\mathbb{R}$. Un maxim local compară valoarea doar cu o vecinătate a punctului, nu cu tot domeniul.

10. Adevărat. Este exact conținutul proprietății valorilor intermediare: dacă $f$ ia două valori, atunci le ia și pe toate cele dintre ele, iar o mulțime cu această proprietate este un interval. Atenție: ipoteza „pe un interval" e obligatorie — vezi $x+\frac{1}{x}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ din secțiunea 7.

11. $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}$, cu rădăcina $0$; $f(0)=\ln 1=0$, minim global; limitele la $\pm \infty$ sunt $+\infty$. Deci $\mathrm{Im}f=[0,+\infty )$.

12. $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, cu rădăcina $0$; $f(0)=1$, minim global; limitele sunt $+\infty$. Deci $\mathrm{Im}f=[1,+\infty )$.

13. Ecuația are soluții exact pentru $m\in \mathrm{Im}f$, iar imaginea a fost calculată în secțiunea 5: $m\in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$.

14. $c^{\prime }(t)=\frac{4(t^2+4)-4t\cdot 2t}{(t^2+4{)}^2}=\frac{16-4t^2}{(t^2+4{)}^2}$, cu rădăcina $t=2$ în domeniu. Concentrația crește pe $[0,2]$ și scade pe $[2,+\infty )$, cu $c(2)=\frac{8}{8}=1$. Deci concentrația maximă este $1$ miligram pe litru, atinsă la $2$ ore. Cum $c(0)=0$ și $c(t)\to 0$ la $+\infty$, imaginea este $[0,1]$.

15. $f^{\prime }(x)=2x-\frac{2}{x}=\frac{2(x^2-1)}{x}$; pe $(0,+\infty )$ semnul e dat de $x^2-1$, deci $f$ scade pe $(0,1]$ și crește pe $[1,+\infty )$, cu $f(1)=1$. Limitele: la $0$ dinspre dreapta, $-2\ln x\to +\infty$; la $+\infty$, $x^2$ domină, deci tot $+\infty$. Așadar $\mathrm{Im}f=[1,+\infty )$, ceea ce înseamnă exact $f(x)\ge 1$ pentru orice $x>0$.

16. $f^{\prime }(x)=1-\sin x\ge 0$, cu egalitate doar în punctele izolate $\frac{\pi }{2}+2k\pi$, deci $f$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. Din $x-1\le f(x)\le x+1$ rezultă că limitele la $\pm \infty$ sunt $-\infty$ și $+\infty$, deci $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$.

17. $f^{\prime }(x)=5x^4+1>0$, deci $f$ e strict crescătoare, prin urmare injectivă. Limitele la $\pm \infty$ fiind $-\infty$ și $+\infty$, avem $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$, deci $f$ e și surjectivă. Fiind injectivă și surjectivă, e bijectivă.

18. $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+1)(x^2+1)-(x^2+x+1)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$, cu rădăcinile $\pm 1$; $f(-1)=\frac{1}{2}$ (minim local), $f(1)=\frac{3}{2}$ (maxim local); limitele la $\pm \infty$ sunt $1$. Ramurile dau $\left[\frac{1}{2},1\right)$, $\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]$ și $\left(1,\frac{3}{2}\right]$, deci $\mathrm{Im}f=\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]$, ceea ce este chiar încadrarea cerută.

De reținut

• $\mathrm{Im}f=\{f(x)\mid x\in D\}$; un număr $m$ e în imagine dacă și numai dacă ecuația $f(x)=m$ are soluție.
• Pe un interval pe care $f$ e continuă și strict monotonă, imaginea este intervalul determinat de valorile sau limitele de la capete.
• Imaginea întregii funcții este reuniunea imaginilor ramurilor de monotonie citite din tabelul de variație.
• Capătul imaginii e închis doar dacă valoarea se atinge efectiv; o limită dă întotdeauna capăt deschis.
• $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$ înseamnă surjectivitate; $\mathrm{Im}f$ mărginită înseamnă funcție mărginită; $\mathrm{Im}f=[a,b]$ dă direct inegalitatea $a\le f(x)\le b$.

Greșeli frecvente

• Confunzi imaginea cu codomeniul. Codomeniul e declarat în enunț, imaginea se calculează. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, codomeniul e $\mathbb{R}$, dar imaginea e $[0,+\infty )$.
• Închizi un capăt care vine dintr-o limită. Pentru $f(x)=e^{-x^2}$, imaginea e $(0,1]$, nu $[0,1]$ — valoarea $0$ nu se atinge niciodată.
• Confunzi punctul cu valoarea. Maximul funcției din secțiunea 5 este $\frac{1}{2}$ (valoarea), atins în punctul $x_0=1$. Răspunsul „maximul este $1$" e greșit.
• Crezi că un extrem local mărginește funcția. Extremele locale compară valori doar pe o vecinătate; $x^3-3x^2+4$ are maxim local, dar imaginea $\mathbb{R}$.
• Tragi o concluzie unică pe un domeniu care nu e interval. Tabelul lui $x+\frac{1}{x}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ e unul singur, cu bară în coloana lui $0$, dar monotonia și imaginea se citesc pe fiecare ramură; imaginea iese $(-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$, nu un interval.

Aplică acasă

1. Eticheta unui produs. Alege un obiect din casă care are pe etichetă un interval de valori (temperatură de funcționare, tensiune, presiune). Scrie o funcție simplă de gradul al doilea care ar putea modela mărimea respectivă în timp și verifică, prin tabel de variație, dacă imaginea ei se potrivește cu intervalul de pe etichetă.
2. Aceeași formulă, patru domenii. Ia $f(x)=x^3-3x$ și determină imaginea pe fiecare dintre domeniile $\mathbb{R}$, $[-2,2]$, $[0,3]$ și $[1,+\infty )$. Compară cele patru răspunsuri și explică în două rânduri de ce diferă.
3. Vânătoare de margini neatinse. Găsește trei funcții a căror imagine are cel puțin un capăt deschis și arată, pentru fiecare, care este marginea și de ce nu se atinge. Verifică numeric, calculând valorile funcției în puncte tot mai depărtate.

Pentru părinți și profesori

Lecția pune la lucru, pe o singură sarcină bine definită, tot lanțul construit în ultimele lecții: derivată, semnul derivatei, monotonie, tabel de variație. Programa cere explicit, la competența XI.CS.5.6, „interpretarea datelor din tabelul de variație și evidențierea celor mai importante rezultate (valori minime, valori maxime…)", iar determinarea imaginii este forma cea mai completă a acestei interpretări.

Ce verifică lecția: (1) deosebirea dintre imagine și codomeniu; (2) citirea imaginii unei ramuri de monotonie din valorile și limitele de la capete; (3) decizia corectă închis/deschis; (4) reunirea ramurilor; (5) folosirea imaginii pentru surjectivitate, mărginire și inegalități.

Întrebări bune de control: „De ce limita de la $+\infty$ dă un capăt deschis?", „Poate o funcție cu maxim local să aibă imaginea $\mathbb{R}$?", „Ce se schimbă dacă restrângem domeniul la un interval închis?". La BAC M1 cerința apare frecvent ca „determinați imaginea funcției" sau, echivalent, „arătați că $f(x)\ge \dots$ pentru orice $x$" ori „determinați valorile lui $m$ pentru care ecuația are soluții". Semn că elevul a înțeles: scrie de la sine limitele în tabel înainte de a formula răspunsul și motivează fiecare paranteză deschisă.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă imaginea unei funcții? Este mulțimea tuturor valorilor pe care funcția le ia efectiv, notată $\mathrm{Im}f$ sau $f(D)$. Practic, răspunde la întrebarea „ce numere pot să apară ca rezultat".

Cum determin imaginea unei funcții cu ajutorul derivatei? Calculezi derivata, afli semnul ei, construiești tabelul de variație cu valorile în punctele critice și cu limitele la capetele domeniului, scrii imaginea fiecărei ramuri de monotonie și le reunești.

De ce trebuie neapărat limitele la capete? Pentru că ele arată către ce valori se apropie funcția acolo unde nu are valori efective. Fără limite nu poți spune nici cât de sus urcă, nici cât de jos coboară ramura respectivă.

Când scriu paranteză rotundă și când scriu paranteză dreaptă? Dreaptă când valoarea se atinge (provine dintr-un punct al domeniului), rotundă când valoarea provine dintr-o limită și nu este luată de funcție.

Care e diferența dintre maximul funcției și marginea superioară? Marginea superioară este cea mai mică valoare care nu poate fi depășită; maximul este o margine superioară care se și atinge. Orice maxim e margine superioară, dar nu invers: $e^{-x^2}$ are marginea inferioară $0$ fără să aibă minim.

Imaginea unei funcții este mereu un interval? Nu. Este interval dacă funcția e continuă și domeniul e un interval. Pe un domeniu format din mai multe intervale, imaginea poate fi o reuniune, ca la $x+\frac{1}{x}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

Cum arăt că o funcție este surjectivă folosind derivata? Determini imaginea prin tabelul de variație și verifici dacă ea coincide cu codomeniul din enunț. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, e suficient ca funcția să fie continuă pe $\mathbb{R}$ și să aibă limitele $-\infty$ și $+\infty$.

La ce îmi folosește imaginea la un exercițiu cu parametru? Ecuația $f(x)=m$ are soluții exact pentru valorile $m$ din imagine. Deci, determinând o dată imaginea, ai răspuns dintr-o singură mișcare la întreaga discuție „pentru ce $m$ există soluții".