Încadrarea și compararea integralelor: pe scurt

Multe integrale nu se pot calcula, dar se pot încadra. Rețeta are trei etape: Etapa 1 — determini marginile funcției pe interval, $m\le f(x)\le M$; Etapa 2 — integrezi inegalitatea; Etapa 3 — scrii încadrarea $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$. Factorul $b-a$ nu se pierde: el dispare doar când intervalul are lungimea $1$, tocmai cazul care creează obișnuința greșită.

Compararea a două integrale se face fără calcul: din $f\le g$ pe $[a,b]$, cu $a<b$, rezultă ${\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g$. Inegalitatea dintre funcții trebuie verificată pe tot intervalul, iar cele două integrale trebuie să aibă aceleași limite. Reciproca nu este validă: două funcții foarte diferite pot avea aceeași integrală.

O încadrare prea largă se rafinează comparând integrandul cu funcții pe care le poți integra, pornind de la inegalități cunoscute precum $e^u\ge 1+u$, $\ln (1+u)\le u$ sau $\sqrt{1+u}\le 1+\frac{u}{2}$. Atenție la trecerea la inverse: din $1\le 1+x^3\le 2$ rezultă $\frac{1}{2}\le \frac{1}{1+x^3}\le 1$, cu sensul schimbat.

Inegalitatea modulului, $\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b|f|$, transformă o integrală oscilantă într-una cu integrand pozitiv. Dintr-o încadrare $j\le I\le s$ se obține aproximarea $I\approx \frac{j+s}{2}$, cu eroarea cel mult $\frac{s-j}{2}$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Din $1\le 1+x^2\le 2$, pentru $x\in [0,1]$, rezultă:

   • a) $\frac{1}{3}\le {\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}\le 1$
   • b) $1\le {\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}\le 2$
   • c) $\frac{1}{2}\le {\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}\le 2$
   • d) $\frac{1}{2}\le {\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}\le 1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\frac{1}{2}\le {\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}\le 1$

   La numitori pozitivi, cine este mai mare are inversul mai mic: din $1\le 1+x^2\le 2$ rezultă $\frac{1}{2}\le \frac{1}{1+x^2}\le 1$, iar lungimea intervalului fiind $1$, încadrarea integralei este aceeași. Valoarea exactă, $\frac{\pi }{4}\approx 0,785$, se află într-adevăr între $0,5$ și $1$.

2. Pe intervalul $[0,1]$ are loc:

   • a) ${\int }_0^1{x}^{3}dx\le {\int }_0^1{x}^{2}dx$
   • b) ${\int }_0^1{x}^{2}dx\le {\int }_0^1{x}^{3}dx$
   • c) cele două integrale sunt egale
   • d) nu se pot compara fără a le calcula
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) ${\int }_0^1{x}^{3}dx\le {\int }_0^1{x}^{2}dx$

   Pentru $x\in [0,1]$ avem $x^3\le x^2$, iar monotonia integralei transmite inegalitatea: $\frac{1}{4}\le \frac{1}{3}$. Pe $[1,2]$ inegalitatea dintre funcții se schimbă, deci și cea dintre integrale — de aceea comparația se face întotdeauna pe intervalul dat.

3. Dacă $2\le f(x)\le 5$ pentru orice $x\in [1,7]$, atunci:

   • a) $2\le {\int }_1^{7}f(x)dx\le 5$
   • b) $12\le {\int }_1^{7}f(x)dx\le 30$
   • c) $14\le {\int }_1^{7}f(x)dx\le 35$
   • d) $12\le {\int }_1^{7}f(x)dx\le 35$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $12\le {\int }_1^{7}f(x)dx\le 30$

   Se înmulțesc marginile cu lungimea intervalului, $b-a=6$: $2\cdot 6=12$ și $5\cdot 6=30$. Varianta a) uită factorul $b-a$, iar varianta c) folosește $b=7$ în loc de $b-a$.