Încadrarea și compararea integralelor; inegalități cu integrale

Există integrale definite pe care nimeni nu le poate calcula exact — nu pentru că nu am învățat destule metode, ci pentru că primitiva funcției nu se poate scrie cu funcțiile din tabel. Cel mai cunoscut exemplu de clasa a 12-a este ${\int }_0^1{e}^{x^2}dx$: funcția $e^{x^2}$ este continuă, deci integrabilă, integrala ei este un număr perfect determinat, dar nicio combinație de puteri, logaritmi, exponențiale și funcții trigonometrice nu îi dă primitiva.

Și totuși despre acel număr se pot spune lucruri precise. Poți arăta, în trei rânduri, că el se află între $\frac{4}{3}$ și $e-1$ — iar aceasta e adesea exact ce ți se cere. Tehnica se numește încadrarea integralei și este, alături de compararea a două integrale, principalul instrument din subiectele de Bacalaureat M1 care conțin inegalități. Amândouă se sprijină pe o singură proprietate, monotonia integralei, demonstrată în lecția despre proprietățile integralei definite.

Ce vei învăța

• Vei ști să încadrezi o integrală între două constante, pornind de la marginile funcției de sub integrală.
• Vei ști să compari două integrale fără a calcula niciuna dintre ele, folosind monotonia.
• Vei ști să rafinezi o încadrare prea largă, comparând integrandul cu funcții pe care le poți integra.
• Vei ști să folosești consecința de modul, $\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b|f|$, pentru a mărgini integrale oscilante.
• Vei ști să aproximezi valoarea unei integrale prin mijlocul unei încadrări și să dai marginea erorii.
• Vei ști să redactezi inegalitățile clasice de tip Bacalaureat M1 în forma cerută de barem.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să încadrezi o integrală?

Pornim de la două proprietăți deja demonstrate. Prima: integrala unei constante, ${\int }_a^{b}kdx=k(b-a)$. A doua: monotonia, adică dacă $f(x)\le g(x)$ pentru orice $x\in [a,b]$ și $a<b$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$. Punându-le împreună obținem instrumentul de bază al lecției.

Încadrarea integralei este procedeul prin care mărginim o integrală definită între două constante, folosind numai marginile funcției de sub integrală: dacă $f$ este integrabilă pe $[a,b]$, $a<b$, și există numerele $m$ și $M$ cu $m\le f(x)\le M$ pentru orice $x\in [a,b]$, atunci $$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a).$$

Demonstrația e imediată: aplici monotonia de două ori, o dată pentru perechea de funcții $x\mapsto m$ și $f$, o dată pentru $f$ și $x\mapsto M$, apoi calculezi cele două integrale de constante. Ai regăsit, de altfel, pasul $2$ din demonstrația teoremei de medie — de data aceasta ca metodă de sine stătătoare.

Metoda are sens tocmai pentru că multe integrale nu se pot calcula exact. Alături de $e^{x^2}$, funcții precum $e^{-x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ sau $\sqrt{1+x^4}$ sunt continue — deci integrabile, conform criteriilor din lecția despre clasele de funcții integrabile — dar primitivele lor nu se pot scrie cu funcțiile din tabelul primitivelor. Pentru ele, încadrarea nu e o soluție de rezervă, ci singura cale.

Două precizări care se cer știute. Întâi: $m$ și $M$ nu trebuie neapărat să fie minimul și maximul funcției; orice margini valabile merg, dar cu cât sunt mai strânse, cu atât încadrarea e mai bună. Apoi: condiția $a<b$ e esențială — la o integrală cu limitele inversate, convenția ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$ răstoarnă toate inegalitățile.

2. Care sunt cele trei etape ale rețetei încadrării?

Redactarea cerută la Bacalaureat M1 are trei etape. Ele nu formează o schemă nouă — sunt doar pașii de scriere ai inegalității de mai sus.

Etapa 1 — găsești marginile lui $f$ pe $[a,b]$. Dacă funcția e monotonă, marginile sunt valorile din capete. Dacă nu, le afli din inegalități elementare aplicate pe interval sau din studiul semnului derivatei.

Etapa 2 — scrii dubla inegalitate $m\le f(x)\le M$ pentru orice $x\in [a,b]$, cu justificarea de la etapa $1$.

Etapa 3 — integrezi și obții $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$, apoi înlocuiești numerele.

Exemplu. Încadrează ${\int }_0^1\frac{1}{1+x^3}dx$. Pentru $x\in [0,1]$ avem $0\le x^3\le 1$, deci $1\le 1+x^3\le 2$ și, prin trecerea la inverse (care schimbă sensul, numitorii fiind pozitivi), $\frac{1}{2}\le \frac{1}{1+x^3}\le 1$. Integrând pe un interval de lungime $1$: $$\frac{1}{2}\le {\int }_0^1\frac{1}{1+x^3}dx\le 1.$$ Valoarea reală este $\approx 0,8356488$, deci încadrarea e corectă, dar largă.

Margini bune și margini inutile. Orice pereche de margini valabile dă o încadrare corectă, dar nu orice încadrare e folositoare. Pentru integrala de mai sus ar fi la fel de adevărat să scrii $0\le f(x)\le 5$, de unde $0\le I\le 5$ — o afirmație corectă și complet nefolositoare. La examen, marginile se caută cât mai apropiate de minimul și maximul funcției; când funcția e monotonă, ele sunt chiar valorile din capete și nu se poate mai bine.

Exemplu — funcție monotonă. Încadrează ${\int }_1^3\frac{1}{x+2}dx$. Funcția $f(x)=\frac{1}{x+2}$ e strict descrescătoare pe $[1,3]$, deci $f(3)\le f(x)\le f(1)$, adică $\frac{1}{5}\le f(x)\le \frac{1}{3}$. Intervalul are lungimea $2$, deci $\frac{2}{5}\le {\int }_1^3\frac{1}{x+2}dx\le \frac{2}{3}$. Aici integrala se poate calcula: $\ln \frac{5}{3}\approx 0,5108256$, valoare care se află într-adevăr între $0,4$ și $0,6\overline{6}$.

3. Cum compari două integrale fără să le calculezi?

Monotonia se folosește și direct, ca să pui în ordine două integrale pe același interval.

Regula. Dacă $f(x)\le g(x)$ pentru orice $x\in [a,b]$ și $a<b$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$. În particular, dacă $f\ge 0$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$.

Toată dificultatea se mută în compararea celor două funcții, care e o inegalitate obișnuită, de clasa a IX-a sau a XI-a.

Exemplu. Pe $[0,1]$ avem $x^3\le x^2$ (pentru că $x^2(x-1)\le 0$), deci ${\int }_0^1{x}^{3}dx\le {\int }_0^1{x}^{2}dx$, adică $\frac{1}{4}\le \frac{1}{3}$. Pe $[1,2]$ inegalitatea dintre funcții se răstoarnă, $x^2\le x^3$, și odată cu ea și cea dintre integrale: $\frac{7}{3}\le \frac{15}{4}$. Comparația depinde de interval, nu doar de formulele funcțiilor.

Exemplu. Pe $[0,1]$ avem $x^2\le x$, deci $1+x^2\le 1+x$ și $\frac{1}{1+x}\le \frac{1}{1+x^2}$. Integrând, $$\ln 2={\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx\le {\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi }{4}.$$ Am obținut inegalitatea numerică $\ln 2<\frac{\pi }{4}$, adică $0,6931472<0,7853982$, printr-un argument fără niciun calcul aproximativ.

Exemplu. Din $e^u\ge 1+u$, luând $u=x$, obținem $e^x\ge 1+x$ pentru orice $x$, deci, pentru $x>-1$, $e^{-x}\le \frac{1}{1+x}$. Integrând pe $[0,1]$: $$1-\frac{1}{e}={\int }_0^1{e}^{-x}dx\le {\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx=\ln 2,$$ adică $0,6321206\le 0,6931472$. Observă tiparul: o inegalitate elementară între funcții, integrată, produce o inegalitate între două constante celebre.

Când e strictă inegalitatea? Dacă $f$ și $g$ sunt continue, $f\le g$ pe $[a,b]$ și există măcar un punct în care $f<g$, atunci integralele sunt strict ordonate. Motivul e provocarea de la finalul lecției despre teorema de medie: o funcție continuă, nenegativă, cu integrala nulă, este identic nulă. Aplicată lui $g-f$, ea arată că egalitatea integralelor ar forța $f=g$ peste tot.

4. Cum rafinezi o încadrare prea largă?

Încadrarea de bază folosește doar două constante, deci e adesea grosolană. O strângi comparând integrandul nu cu constante, ci cu funcții pe care știi să le integrezi.

Reluăm integrala din deschidere, $I={\int }_0^1{e}^{x^2}dx$. Încadrarea de bază: pe $[0,1]$ avem $0\le x^2\le 1$, deci $1\le e^{x^2}\le e$ și $1\le I\le e\approx 2,7182818$.

Marginea de jos, rafinată. Din inegalitatea $e^u\ge 1+u$, valabilă pentru orice $u$ real (demonstrată cu teorema lui Lagrange în clasa a XI-a), luând $u=x^2$ obținem $e^{x^2}\ge 1+x^2$. Integrând pe $[0,1]$: $$I\ge {\int }_0^1(1+x^2)dx=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\approx 1,3333333.$$

Marginea de sus, rafinată. Pe $[0,1]$ avem $x^2\le x$, iar exponențiala e crescătoare, deci $e^{x^2}\le e^x$. Integrând: $$I\le {\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1\approx 1,7182818.$$

Am strâns intervalul de la $[1;2,7182818]$ la $\left[\frac{4}{3};e-1\right]$, adică de la o lățime de $1,72$ la una de $0,39$. Valoarea reală este $\approx 1,4626517$.

Aceeași idee funcționează cu radicali. Pentru $u\ge 0$ are loc $\sqrt{1+u}\le 1+\frac{u}{2}$ (ridici la pătrat: $1+u\le 1+u+\frac{u^2}{4}$). Cu $u=x^2$ obținem, pe $[0,1]$, $$1\le {\int }_0^1\sqrt{1+x^2}dx\le {\int }_0^1\left(1+\frac{x^2}{2}\right)dx=1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6},$$ adică $1\le I\le 1,1\overline{6}$, față de valoarea reală $\approx 1,1477936$.

5. Cum se folosește consecința de modul?

Din monotonie mai rezultă un instrument, enunțat și demonstrat în lecția despre proprietățile integralei definite sub numele de inegalitatea modulului: pentru $f$ integrabilă pe $[a,b]$, cu $a<b$, $$\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx.$$ Ea provine din dubla inegalitate $-|f(x)|\le f(x)\le |f(x)|$, integrată termen cu termen.

Forma echivalentă, adesea mai comodă în redactare, este dubla inegalitate $-{\int }_a^b|f|\le {\int }_a^{b}f\le {\int }_a^b|f|$: ea încadrează direct integrala, fără să mai treci prin modul.

Inegalitatea poate fi foarte departe de egalitate. Pe $[0,\pi ]$, funcția $\sin 2x$ este pozitivă pe prima jumătate și negativă pe a doua, iar cele două arii se anulează: $${\int }_0^{\pi }\sin 2xdx=0,{\int }_0^{\pi }|\sin 2x|dx=2.$$ Așadar $0\le 2$ — o inegalitate adevărată, dar cu o prăpastie între membri. Tocmai de aceea consecința e utilă: ea transformă o integrală oscilantă, greu de estimat, într-una cu integrandul pozitiv, ușor de încadrat.

Exemplu. Arată că $\left|{\int }_0^{\pi }\frac{\sin 3x}{x+2}dx\right|\le \ln \frac{\pi +2}{2}$. Cum $|\sin 3x|\le 1$ și $x+2>0$, avem $\left|\frac{\sin 3x}{x+2}\right|\le \frac{1}{x+2}$, deci $$\left|{\int }_0^{\pi }\frac{\sin 3x}{x+2}dx\right|\le {\int }_0^{\pi }\frac{1}{x+2}dx=\ln (x+2){|}_0^{\pi }=\ln \frac{\pi +2}{2}\approx 0,9443065.$$ Valoarea reală a integralei este $\approx 0,0966$, deci marginea e largă, dar corectă — și, mai ales, obținută fără să calculezi nimic din integrala inițială.

6. Cum aproximezi o integrală pe care nu știi s-o calculezi?

Programa cere explicit „aproximarea valorii unei integrale definite prin încadrarea acesteia între două constante". Rețeta e simplă: dacă ai stabilit $j\le I\le s$, atunci cea mai bună alegere pentru o valoare aproximativă este mijlocul intervalului, iar eroarea nu depășește jumătate din lățimea lui: $$I\approx \frac{j+s}{2},\left|I-\frac{j+s}{2}\right|\le \frac{s-j}{2}.$$

Alegerea mijlocului nu e arbitrară: pentru orice altă valoare din intervalul $[j,s]$, distanța maximă până la $I$ ar fi mai mare decât $\frac{s-j}{2}$. Mijlocul este singurul punct pentru care marginea de eroare este cea mai mică posibilă, în lipsa oricărei alte informații despre $I$.

Pe exemplul din secțiunea $4$: încadrarea largă $1\le I\le e$ dă aproximarea $\frac{1+e}{2}\approx 1,8591409$, cu eroarea garantată sub $\frac{e-1}{2}\approx 0,8591409$ — practic inutilă. Încadrarea strânsă $\frac{4}{3}\le I\le e-1$ dă aproximarea $\approx 1,5258076$, cu eroarea garantată sub $\approx 0,1924742$. Cum valoarea reală este $\approx 1,4626517$, eroarea efectivă este $\approx 0,0631559$, mult sub marginea promisă.

Concluzia de reținut: încadrarea nu e doar o cerință de examen, ci prima metodă de aproximare a unei integrale, cu marginea de eroare inclusă în răspuns.

7. Repertoriul de inegalități de tip Bacalaureat M1

Subiectele reiau, cu variații, câteva tipare. Merită recunoscute din prima privire.

Tiparul $\frac{x^n}{1+x}$ pe $[0,1]$. Pentru $x\in [0,1]$ avem $1\le 1+x\le 2$, deci $\frac{x^n}{2}\le \frac{x^n}{1+x}\le x^n$. Integrând și folosind ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$: $$\frac{1}{2(n+1)}\le {\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx\le \frac{1}{n+1}.$$ Pentru $n=6$, de pildă, $\frac{1}{14}\le {\int }_0^1\frac{x^6}{1+x}dx\le \frac{1}{7}$, iar valoarea reală este $\approx 0,0764805$. Aceleași integrale, privite ca șir cu $n$ variabil, sunt subiectul lecției despre șiruri de integrale; aici $n$ e fixat, iar cerința e doar inegalitatea.

Tiparul $e^{\pm x^2}$ pe $[0,1]$. Marginile de bază vin din $0\le x^2\le 1$; rafinările, din $e^u\ge 1+u$.

Tiparul $\frac{1}{1+x^k}$ pe $[0,1]$. Marginile de bază sunt $\frac{1}{2}$ și $1$, oricare ar fi $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; rafinarea de jos vine din $\frac{1}{1+u}\ge 1-u$ pentru $u\ge 0$, echivalentă cu $1\ge 1-u^2$.

Tiparul pe un interval de lungime diferită de $1$. Aici se pierd cele mai multe puncte, pentru că factorul $b-a$ se uită. De pildă, pe $[2,4]$ funcția $\frac{1}{x^2+1}$ e descrescătoare, deci $\frac{1}{17}\le \frac{1}{x^2+1}\le \frac{1}{5}$; intervalul are lungimea $2$, deci $$\frac{2}{17}\le {\int }_2^4\frac{1}{x^2+1}dx\le \frac{2}{5}.$$ Valoarea reală este $\mathrm{arctg}4-\mathrm{arctg}2\approx 0,2186751$, într-adevăr între $0,1176471$ și $0,4$.

Redactarea câștigătoare e mereu aceeași: întâi inegalitatea dintre funcții, cu justificare, apoi integrarea ei. Baremele acordă puncte separat pentru cei doi pași.

O ultimă observație de perspectivă: toate inegalitățile de aici privesc integrale cu ambele limite fixate. Când capătul de sus devine variabil, integrala se transformă într-o funcție, iar încadrările de mai sus devin instrumente de studiu al acelei funcții — este obiectul lecției despre funcția integrală și existența primitivelor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Încadrarea de bază

Arătați că $\frac{1}{2}\le {\int }_0^1\frac{1}{1+x^5}dx\le 1$.

Rezolvare. Pentru $x\in [0,1]$ avem $0\le x^5\le 1$, deci $1\le 1+x^5\le 2$. Numitorii fiind pozitivi, trecerea la inverse schimbă sensul: $\frac{1}{2}\le \frac{1}{1+x^5}\le 1$. Integrăm pe $[0,1]$, interval de lungime $1$, și obținem exact dubla inegalitate cerută. (Valoarea reală este $\approx 0,8883136$.) ✓

Exemplul 2 — Încadrare cu ajutorul monotoniei funcției

Încadrați ${\int }_1^3\frac{1}{x+2}dx$ între două numere raționale.

Rezolvare. Funcția $f(x)=\frac{1}{x+2}$ e continuă și strict descrescătoare pe $[1,3]$ (numitorul crește, rămânând pozitiv). Deci $f(3)\le f(x)\le f(1)$, adică $\frac{1}{5}\le f(x)\le \frac{1}{3}$ pentru orice $x\in [1,3]$. Lungimea intervalului este $2$, deci $$\frac{2}{5}\le {\int }_1^3\frac{1}{x+2}dx\le \frac{2}{3}.$$ (Valoarea exactă e $\ln \frac{5}{3}\approx 0,5108256$, într-adevăr între $0,4$ și $0,6\overline{6}$.) ✓

Exemplul 3 — Compararea a două integrale

Arătați, fără a calcula vreo integrală, că ${\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx\le {\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$, apoi deduceți că $\ln 2<\frac{\pi }{4}$.

Rezolvare. Pentru $x\in [0,1]$ avem $x^2\le x$, deci $1+x^2\le 1+x$. Cum ambii numitori sunt pozitivi, $\frac{1}{1+x}\le \frac{1}{1+x^2}$ pe tot intervalul. Prin monotonia integralei rezultă inegalitatea cerută.

Calculând cele două integrale cu tabelul primitivelor, ${\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx=\ln |1+x|{|}_0^1=\ln 2$ și ${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\mathrm{arctg}x{|}_0^1=\frac{\pi }{4}$. Deci $\ln 2\le \frac{\pi }{4}$; inegalitatea e strictă, pentru că funcțiile sunt continue și diferă, de pildă, în $x=\frac{1}{2}$. Numeric: $0,6931472<0,7853982$. ✓

Exemplul 4 — Rafinarea unei încadrări

Arătați că $\frac{4}{3}\le {\int }_0^1{e}^{x^2}dx\le e-1$.

Rezolvare. Marginea de jos. Din $e^u\ge 1+u$ pentru orice $u$ real, cu $u=x^2$, obținem $e^{x^2}\ge 1+x^2$ pe $[0,1]$. Integrând, ${\int }_0^1{e}^{x^2}dx\ge {\int }_0^1(1+x^2)dx=\left(x+\frac{x^3}{3}\right){|}_0^1=\frac{4}{3}$.

Marginea de sus. Pentru $x\in [0,1]$ avem $x^2\le x$, iar funcția exponențială e strict crescătoare, deci $e^{x^2}\le e^x$. Integrând, ${\int }_0^1{e}^{x^2}dx\le {\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1$.

Cele două margini dau $\frac{4}{3}\approx 1,3333333\le I\le e-1\approx 1,7182818$. (Valoarea reală: $\approx 1,4626517$.) ✓

Exemplul 5 — O integrală oscilantă

Arătați că $\left|{\int }_0^{\pi }\frac{\sin 3x}{x+2}dx\right|\le \ln \frac{\pi +2}{2}$.

Rezolvare. Aplicăm consecința de modul, apoi încadrăm integrandul pozitiv obținut. Pentru orice $x\in [0,\pi ]$ avem $|\sin 3x|\le 1$ și $x+2\ge 2>0$, deci $\left|\frac{\sin 3x}{x+2}\right|\le \frac{1}{x+2}$. Prin urmare $$\left|{\int }_0^{\pi }\frac{\sin 3x}{x+2}dx\right|\le {\int }_0^{\pi }\left|\frac{\sin 3x}{x+2}\right|dx\le {\int }_0^{\pi }\frac{1}{x+2}dx=\ln (x+2){|}_0^{\pi }=\ln \frac{\pi +2}{2}.$$ Numeric, marginea este $\approx 0,9443065$, iar integrala inițială $\approx 0,0966$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{1+x^3}$, și numărul $I={\int }_0^{1}f(x)dx$. a) Arătați că $\frac{1}{2}\le f(x)\le 1$ pentru orice $x\in [0,1]$. b) Deduceți că $\frac{1}{2}\le I\le 1$. c) Arătați că $I\ge \frac{3}{4}$.

Rezolvare.

a) Pentru $x\in [0,1]$ avem $0\le x^3\le 1$, deci $1\le 1+x^3\le 2$. Trecând la inverse (numitori pozitivi, sensul se schimbă), $\frac{1}{2}\le \frac{1}{1+x^3}\le 1$. ✓

b) Integrăm dubla inegalitate de la punctul a) pe intervalul $[0,1]$, de lungime $1$. Din monotonia integralei, $\frac{1}{2}\cdot 1\le I\le 1\cdot 1$, adică $\frac{1}{2}\le I\le 1$. ✓

c) Pentru orice $u\ge 0$ are loc $\frac{1}{1+u}\ge 1-u$: înmulțind cu $1+u>0$, inegalitatea devine $1\ge 1-u^2$, adevărată. Cu $u=x^3$ obținem $f(x)\ge 1-x^3$ pe $[0,1]$, deci $$I\ge {\int }_0^1(1-x^3)dx=\left(x-\frac{x^4}{4}\right){|}_0^1=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.$$ (Valoarea reală este $\approx 0,8356488$, deci marginea $\frac{3}{4}$ e corectă și mult mai bună decât $\frac{1}{2}$.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. Scrie de fiecare dată întâi inegalitatea dintre funcții, cu justificarea ei, și abia apoi integrarea — este ordinea punctată de barem.

1. Încadrează ${\int }_0^1{e}^{-x^2}dx$ folosind marginile funcției pe $[0,1]$.

2. Încadrează ${\int }_0^1\sqrt{1+x^3}dx$.

3. Încadrează ${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x^4}}dx$.

4. Încadrează ${\int }_0^1\frac{1}{1+x^5}dx$.

5. Încadrează ${\int }_0^1\frac{x}{1+x^2}dx$, știind că funcția este crescătoare pe $[0,1]$.

6. Încadrează ${\int }_0^1\ln (1+x)dx$ folosind monotonia funcției de sub integrală.

7. Compară ${\int }_0^1{x}^{4}dx$ cu ${\int }_0^1{x}^{5}dx$ și justifică.

8. Compară ${\int }_1^2{x}^{4}dx$ cu ${\int }_1^2{x}^{5}dx$ și explică de ce răspunsul diferă de cel de la exercițiul precedent.

9. Arată că ${\int }_0^1\sin xdx\le \frac{1}{2}$.

10. Arată că ${\int }_0^1\ln (1+x)dx\le \frac{1}{2}$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f(x)\le g(x)$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g$, indiferent de ordinea limitelor de integrare."

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă ${\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g$, atunci $f(x)\le g(x)$ pentru orice $x\in [a,b]$."

13. Arată că $\frac{1}{14}\le {\int }_0^1\frac{x^6}{1+x}dx\le \frac{1}{7}$.

14. Calculează ${\int }_0^{\pi }\sin 2xdx$ și ${\int }_0^{\pi }|\sin 2x|dx$ și verifică pe ele consecința de modul.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $I={\int }_0^1{e}^{-x^2}dx$. a) Arată că $1-x^2\le e^{-x^2}\le 1$ pentru orice $x\in [0,1]$. b) Deduce că $\frac{2}{3}\le I\le 1$. c) Aproximează $I$ prin mijlocul acestei încadrări și indică marginea erorii.

16. (Problemă aplicată.) Viteza unui tren pe un tronson parcurs în $30$ de secunde satisface $12\le v(t)\le 20$ (metri pe secundă). Încadrează distanța parcursă, ${\int }_0^{30}v(t)dt$.

17. Arată că, pentru un număr natural $n\ge 1$ fixat, $\frac{1}{2(n+1)}\le {\int }_0^1\frac{x^n}{1+x^2}dx\le \frac{1}{n+1}$.

18. (Provocare.) Fie $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ continuă, cu $0\le f(x)\le 1$ pentru orice $x$. Arată că ${\int }_0^1{f}^2(x)dx\le {\int }_0^{1}f(x)dx$ și stabilește când are loc egalitatea.

Răspunsuri și explicații

1. Pentru $x\in [0,1]$ avem $0\le x^2\le 1$, deci $-1\le -x^2\le 0$ și, exponențiala fiind crescătoare, $\frac{1}{e}\le e^{-x^2}\le 1$. Integrând, $\frac{1}{e}\approx 0,3678794\le I\le 1$. (Valoarea reală: $\approx 0,7468241$.)

2. Din $0\le x^3\le 1$ rezultă $1\le 1+x^3\le 2$ și, radicalul fiind crescător, $1\le \sqrt{1+x^3}\le \sqrt{2}$. Deci $1\le I\le \sqrt{2}\approx 1,4142136$. (Valoarea reală: $\approx 1,1114480$.)

3. Din $1\le 1+x^4\le 2$ rezultă $1\le \sqrt{1+x^4}\le \sqrt{2}$, deci $\frac{1}{\sqrt{2}}\le \frac{1}{\sqrt{1+x^4}}\le 1$. Așadar $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,7071068\le I\le 1$. (Valoarea reală: $\approx 0,9270373$.)

4. $\frac{1}{2}\le I\le 1$ — vezi Exemplul $1$.

5. Funcția fiind crescătoare pe $[0,1]$, marginile sunt valorile din capete: $f(0)=0$ și $f(1)=\frac{1}{2}$. Deci $0\le I\le \frac{1}{2}$. (Valoarea reală: $\frac{\ln 2}{2}\approx 0,3465736$.)

6. Funcția $\ln (1+x)$ e strict crescătoare pe $[0,1]$, deci $\ln 1\le \ln (1+x)\le \ln 2$, adică $0\le \ln (1+x)\le \ln 2$. Prin urmare $0\le I\le \ln 2\approx 0,6931472$. (Valoarea reală: $\approx 0,3862944$.)

7. Pe $[0,1]$ avem $x^5\le x^4$, pentru că $x^4(x-1)\le 0$. Deci ${\int }_0^1{x}^{5}dx\le {\int }_0^1{x}^{4}dx$, adică $\frac{1}{6}\le \frac{1}{5}$.

8. Pe $[1,2]$ avem $x\ge 1$, deci $x^4(x-1)\ge 0$ și $x^4\le x^5$: inegalitatea se răstoarnă. Rezultă ${\int }_1^2{x}^{4}dx\le {\int }_1^2{x}^{5}dx$, adică $\frac{31}{5}=6,2\le \frac{63}{6}=10,5$. Diferența față de exercițiul $7$ vine din faptul că puterile își schimbă ordinea la trecerea peste $1$.

9. Pe $[0,1]$ are loc $\sin x\le x$ (inegalitate cunoscută pentru $x\ge 0$). Integrând, ${\int }_0^1\sin xdx\le {\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$. (Membrul stâng este $1-\cos 1\approx 0,4596977$.)

10. Pentru $x\ge 0$ are loc $\ln (1+x)\le x$ (consecință a inegalității $e^u\ge 1+u$). Integrând pe $[0,1]$, ${\int }_0^1\ln (1+x)dx\le \frac{1}{2}$. (Membrul stâng: $\approx 0,3862944$.)

11. Fals. Monotonia se enunță pentru $a<b$. Dacă limitele sunt inversate, convenția ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$ schimbă semnul ambilor membri și inegalitatea se răstoarnă. Exemplu: $0\le x$ pe $[0,1]$, dar ${\int }_1^{0}0dx=0\ge -\frac{1}{2}={\int }_1^{0}xdx$.

12. Fals — este reciproca, iar ea nu are loc. Pe $[0,2]$, funcțiile $f(x)=x$ și $g(x)=1$ au ${\int }_0^{2}f=2={\int }_0^{2}g$, deci integralele sunt ordonate (chiar egale), dar $f(2)=2>1=g(2)$.

13. Pentru $x\in [0,1]$ avem $1\le 1+x\le 2$, deci $\frac{x^6}{2}\le \frac{x^6}{1+x}\le x^6$. Integrând și folosind ${\int }_0^1{x}^{6}dx=\frac{1}{7}$, obținem $\frac{1}{14}\le I\le \frac{1}{7}$. (Valoarea reală: $\approx 0,0764805$.)

14. ${\int }_0^{\pi }\sin 2xdx=\left(-\frac{\cos 2x}{2}\right){|}_0^{\pi }=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$. Pentru integrala modulului, $|\sin 2x|$ este $\sin 2x$ pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ și $-\sin 2x$ pe $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$; prin aditivitate la interval, fiecare bucată dă $1$, deci totalul e $2$. Consecința de modul spune $|0|\le 2$ — adevărat, dar foarte departe de egalitate.

15. a) Din $0\le x^2\le 1$ rezultă $e^{-x^2}\le e^0=1$; pe de altă parte, din $e^u\ge 1+u$ cu $u=-x^2$ rezultă $e^{-x^2}\ge 1-x^2$. b) Integrând pe $[0,1]$: ${\int }_0^1(1-x^2)dx=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\le I\le 1$. c) Aproximarea prin mijloc: $I\approx \frac{2/3+1}{2}=\frac{5}{6}\approx 0,8333333$, cu eroarea garantată sub $\frac{1-2/3}{2}=\frac{1}{6}\approx 0,1666667$. (Valoarea reală $\approx 0,7468241$; eroarea efectivă $\approx 0,0865092$, sub marginea promisă.)

16. Aplicăm încadrarea pe $[0,30]$, interval de lungime $30$: $12\cdot 30\le {\int }_0^{30}v(t)dt\le 20\cdot 30$, adică distanța parcursă este între $360$ și $600$ de metri.

17. Pentru $x\in [0,1]$ avem $1\le 1+x^2\le 2$, deci $\frac{x^n}{2}\le \frac{x^n}{1+x^2}\le x^n$. Integrând și folosind ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$, obținem exact dubla inegalitate cerută. Verificare pentru $n=1$: $\frac{1}{4}=0,25\le \frac{\ln 2}{2}\approx 0,3465736\le \frac{1}{2}$.

18. Din $0\le f(x)\le 1$ rezultă $f^2(x)\le f(x)$ pentru orice $x$ (înmulțești $f(x)\le 1$ cu $f(x)\ge 0$). Prin monotonia integralei, ${\int }_0^1{f}^2\le {\int }_0^{1}f$. Egalitatea are loc dacă și numai dacă ${\int }_0^{1}f(1-f)=0$; funcția $f(1-f)$ fiind continuă și nenegativă, ea trebuie să fie identic nulă, deci în fiecare punct $f(x)\in \{0,1\}$. Cum $f$ e continuă pe un interval, imaginea ei e un interval, deci $f\equiv 0$ sau $f\equiv 1$.

De reținut

• Încadrarea integralei: dacă $m\le f(x)\le M$ pe $[a,b]$ și $a<b$, atunci $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$.
• Compararea integralelor: dacă $f(x)\le g(x)$ pe $[a,b]$ și $a<b$, atunci ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$ — comparația funcțiilor se transmite integralelor, dar numai pe același interval și în ordinea corectă a limitelor.
• Rafinarea unei încadrări prea largi se face comparând integrandul cu funcții integrabile explicit, nu cu constante; inegalitățile de pornire sunt $e^u\ge 1+u$, $\ln (1+u)\le u$, $\sqrt{1+u}\le 1+\frac{u}{2}$, $\frac{1}{1+u}\ge 1-u$.
• Consecința de modul, $\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b|f|$, transformă o integrală oscilantă într-una cu integrand pozitiv, care se încadrează ușor.
• Aproximarea prin încadrare: dacă $j\le I\le s$, atunci $I\approx \frac{j+s}{2}$ cu eroarea cel mult $\frac{s-j}{2}$; cu cât încadrarea e mai strânsă, cu atât aproximarea e mai bună.

Greșeli frecvente

• Inversezi sensul la trecerea la inverse. Din $1\le 1+x^3\le 2$ NU rezultă $1\le \frac{1}{1+x^3}\le 2$, ci $\frac{1}{2}\le \frac{1}{1+x^3}\le 1$: la numitori pozitivi, cine e mai mare are inversul mai mic.
• Compari integrale pe intervale diferite. Monotonia se aplică numai când cele două integrale au aceleași limite. Pe intervale diferite, comparația funcțiilor nu spune nimic despre integrale.
• Uiți factorul $b-a$. Din $m\le f\le M$ rezultă $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$, nu $m\le {\int }_a^{b}f\le M$. Cele două coincid doar când intervalul are lungimea $1$ — exact cazul care creează obișnuința greșită.
• Folosești reciproca monotoniei. Din ordonarea integralelor NU rezultă ordonarea funcțiilor: două funcții foarte diferite pot avea aceeași integrală.
• Integrezi o inegalitate valabilă doar pe o parte a intervalului. Inegalitatea dintre funcții trebuie verificată pe tot $[a,b]$. Pe $[0,2]$, de pildă, $x^3\le x^2$ e adevărată doar pe $[0,1]$, așa că nu se poate integra pe tot intervalul.

Aplică acasă

1. Cât de bună e încadrarea? Alege trei valori ale lui $k$ (de pildă $2$, $4$ și $10$) și încadrează ${\int }_0^1\frac{1}{1+x^k}dx$ cu marginile $\frac{1}{2}$ și $1$. Apoi, cu un calculator sau cu o foaie de calcul, estimează integralele prin sume cu $100$ de dreptunghiuri și vezi cum se apropie valorile de $1$ când $k$ crește. Explică fenomenul privind graficul.

2. Turnirul inegalităților. Scrie pe fișe cinci inegalități elementare ($e^u\ge 1+u$, $\ln (1+u)\le u$, $\sin u\le u$ pentru $u\ge 0$, $\sqrt{1+u}\le 1+\frac{u}{2}$, $\frac{1}{1+u}\ge 1-u$) și, pentru fiecare, construiește o integrală pe $[0,1]$ pe care ea o încadrează. Verifică fiecare rezultat comparând cu o estimare numerică.

3. Eroarea promisă și eroarea reală. Pentru ${\int }_0^1{e}^{x^2}dx$, notează cele două încadrări din lecție, calculează mijloacele și marginile de eroare, apoi compară cu valoarea $\approx 1,4626517$. Notează într-un tabel cât de mult se strânge eroarea garantată când treci de la încadrarea largă la cea rafinată.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă trei cerințe explicite ale programei, toate din competența XII.CS.4.6: „aproximarea valorii unei integrale definite prin încadrarea acesteia între două constante, folosind monotonia integralei și teorema de medie", „folosirea monotoniei pentru compararea unor integrale definite" și, implicit, redactarea inegalităților cu integrale. Este capitolul în care elevul învață că despre un număr se pot spune lucruri exacte fără a-l calcula — o idee cu bătaie lungă, care revine la șiruri de integrale și la analiza numerică.

Ce verifică lecția: (1) enunțul corect al încadrării, cu factorul $b-a$; (2) găsirea marginilor, prin monotonie sau prin inegalități elementare; (3) compararea a două integrale pe același interval; (4) rafinarea unei încadrări prin comparare cu funcții integrabile; (5) folosirea consecinței de modul; (6) aproximarea cu marginea de eroare.

Întrebări bune de control: „De ce se schimbă sensul când treci la inverse?", „Ce se întâmplă cu inegalitatea dacă schimbi ordinea limitelor?", „Din ordonarea integralelor rezultă ordonarea funcțiilor?". La BAC M1 tiparul apare aproape întotdeauna în Subiectul al III-lea, cu structura a), b), c): întâi inegalitatea dintre funcții, apoi integrarea ei, apoi o rafinare. Semn că elevul a înțeles: scrie inegalitatea dintre funcții înainte de a integra și justifică fiecare pas, în loc să sară direct la concluzie.

Întrebări frecvente

Cum încadrezi o integrală fără să o calculezi? Găsești două numere $m$ și $M$ cu $m\le f(x)\le M$ pe tot intervalul $[a,b]$, apoi integrezi dubla inegalitate. Rezultă $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$. Marginile se obțin din monotonia funcției sau din inegalități elementare aplicate pe interval.

Ce este monotonia integralei? Este proprietatea care spune că, dacă $f(x)\le g(x)$ pentru orice $x$ din $[a,b]$ și $a<b$, atunci integrala lui $f$ pe acel interval este mai mică sau egală cu integrala lui $g$. Ea transmite ordinea de la funcții la integrale și stă la baza tuturor inegalităților din lecție.

De ce se schimbă sensul inegalității când trec la inverse? Pentru că funcția $u\mapsto \frac{1}{u}$ este descrescătoare pe intervalul numerelor pozitive. Din $1\le 1+x^3\le 2$ rezultă $\frac{1}{2}\le \frac{1}{1+x^3}\le 1$. Regula funcționează doar dacă toți numitorii au același semn, altfel trecerea la inverse nu se poate face direct.

Cum aproximez o integrală pe care nu știu să o calculez? O încadrezi cât mai strâns între două constante $j$ și $s$, apoi iei ca aproximare mijlocul, $\frac{j+s}{2}$. Eroarea nu depășește jumătate din lățimea încadrării, adică $\frac{s-j}{2}$. Răspunsul complet cuprinde și valoarea aproximativă, și marginea erorii.

Din faptul că o integrală e mai mică decât alta rezultă că și funcțiile sunt ordonate? Nu. Reciproca monotoniei este falsă. Pe $[0,2]$, funcțiile $f(x)=x$ și $g(x)=1$ au integrale egale, deși $f$ e uneori mai mică și uneori mai mare decât $g$. Ordinea se transmite de la funcții la integrale, niciodată invers.

Când e utilă inegalitatea modulului la integrale? Când integrandul își schimbă semnul și estimarea directă e grea. Înlocuind $f$ cu $|f|$ obții un integrand pozitiv, pe care îl încadrezi ușor, iar $\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b|f|$ transferă marginea la integrala inițială.

Ce inegalități elementare merită învățate pe de rost pentru acest tip de exerciții? Patru sunt suficiente pentru aproape toate subiectele de Bacalaureat M1: $e^u\ge 1+u$, $\ln (1+u)\le u$ pentru $u>-1$, $\sqrt{1+u}\le 1+\frac{u}{2}$ pentru $u\ge 0$ și $\frac{1}{1+u}\ge 1-u$ pentru $u\ge 0$. Din ele se obțin toate rafinările folosite în lecție.