Inegalități demonstrate cu derivate: pe scurt

O inegalitate este, în fond, o afirmație despre semnul unei funcții. De aceea toate se rezolvă cu aceeași procedură, nu cu artificii diferite: muți totul într-un membru și studiezi funcția auxiliară $h=f-g$ pe intervalul din enunț.

Rețeta are patru pași: scrii $h$ și precizezi intervalul, cu continuitatea și derivabilitatea pe el; afli semnul lui $h^{\prime }$, de obicei prin factorizare; construiești tabelul de variație, cu valorile în punctele critice și limitele la capete; citești semnul lui $h$.

Ultimul pas are două variante. Dacă $h$ este monotonă, îți ajunge valoarea dintr-un capăt: din $h$ strict crescătoare și $h(a)=0$ rezultă $h>0$ la dreapta lui $a$ — și, atenție, $h<0$ la stânga. Dacă $h^{\prime }$ își schimbă semnul, ai nevoie de minimul global din tabel: $h\ge 0$ peste tot revine la „minimul global este $\ge 0$".

Minimul global este chiar constanta optimă a inegalității, deci merită spus cât e: dacă iese strict pozitiv, ai demonstrat mai mult decât ți s-a cerut. Un răspuns complet conține trei lucruri: inegalitatea, intervalul pe care e valabilă și punctele de egalitate — acestea din urmă sunt exact punctele în care $h$ își atinge minimul $0$.

Inegalitățile cu doi parametri se aduc, când se poate, la aceeași funcție evaluată în două puncte; atunci totul se decide din monotonia ei.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru a demonstra că $x^3+16\ge 12x$ pentru orice $x\ge 0$ se folosește funcția auxiliară $h(x)=x^3-12x+16$. Minimul global al lui $h$ pe $[0,+\infty )$ este:

   • a) $16$, atins în $x=0$
   • b) $-2$, atins în $x=-2$
   • c) $0$, atins în $x=2$
   • d) nu există, pentru că $h$ nu este mărginită inferior
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $0$, atins în $x=2$

   $h^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$, iar pe $[0,+\infty )$ rămâne doar rădăcina $2$: derivata este negativă pe $(0,2)$ și pozitivă după. Deci $2$ este punct de minim, cu $h(2)=8-24+16=0$. Valoarea $16$ este $h(0)$, dintr-un capăt în care funcția abia începe să coboare. Inegalitatea are loc, cu egalitate exact în $x=2$.

2. Fie $h$ derivabilă pe $(0,+\infty )$, cu $h^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x>0$ și $h(2)=0$. Atunci:

   • a) $h(x)>0$ pentru orice $x>0$
   • b) $h(x)<0$ pentru orice $x>0$
   • c) $h$ are un minim global în $x=2$
   • d) $h(x)>0$ pentru $x>2$ și $h(x)<0$ pentru $0<x<2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $h(x)>0$ pentru $x>2$ și $h(x)<0$ pentru $0<x<2$

   Monotonia singură nu dă semnul; ea spune doar cum se compară valorile între ele. Din stricta creștere rezultă $h(x)>h(2)=0$ la dreapta lui $2$ și $h(x)<h(2)=0$ la stânga. Punctul $2$ nu este de extrem, pentru că derivata nu își schimbă semnul acolo. Concluzia „$h>0$ peste tot" ar fi capcana clasică a valorii de referință luate din capătul greșit.

3. Cea mai mare valoare a lui $m$ pentru care $x^2+\frac{16}{x}\ge m$ pentru orice $x>0$ este:

   • a) $12$
   • b) $8$
   • c) $16$
   • d) $6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $12$

   Constanta optimă este chiar minimul global al membrului stâng. Cu $h(x)=x^2+\frac{16}{x}$ avem $h^{\prime }(x)=\frac{2x^3-16}{x^2}$, care se anulează pentru $x^3=8$, adică $x=2$, cu semnele $-$ și $+$. Minimul este $h(2)=4+8=12$, deci inegalitatea ține pentru orice $m\le 12$, iar $12$ este valoarea maximă.