Demonstrarea inegalităților cu ajutorul derivatelor

Care număr este mai mare, $e^{\pi }$ sau ${\pi }^e$? Amândouă sunt puteri cu bază și exponent iraționale, amândouă sunt „cam $23$", iar diferența dintre ele este mai mică decât $0,7$. Niciun calcul de mână nu le desparte, iar un calculator de buzunar dă un răspuns pe care nu-l poți justifica în lucrare. Și totuși există o demonstrație de patru rânduri, iar unealta ei nu e nici logaritmul, nici vreo inegalitate memorată: e derivata.

Ideea centrală a lecției se spune într-o propoziție. O inegalitate este o afirmație despre semnul unei funcții, iar semnul unei funcții se citește din tabelul ei de variație. Așadar, în loc să cauți artificii algebrice diferite pentru fiecare inegalitate, folosești mereu aceeași procedură: aduci totul într-un membru, derivezi, afli monotonia și compari cu o valoare cunoscută. Ai văzut deja procedura la lucru în Consecințele teoremei lui Lagrange; acum îi adaugi ce s-a construit între timp — tabelul de variație complet și noțiunea de minim global — și obții o metodă care rezolvă și inegalitățile la care simpla monotonie nu ajunge.

Ce vei învăța

• Vei ști să transformi orice inegalitate în afirmația „funcția $h$ are semn constant", prin funcția auxiliară $h=f-g$.
• Vei ști să duci demonstrația la capăt când $h$ este monotonă, folosind valoarea dintr-un capăt al intervalului.
• Vei ști să o duci la capăt și când $h$ nu e monotonă, citind minimul global din tabelul de variație.
• Vei ști să deosebești inegalitățile stricte de cele nestricte și să spui unde are loc egalitatea.
• Vei ști să reduci o inegalitate cu doi parametri la studiul unei singure funcții.

Hai să descoperim împreună

1. O inegalitate este o problemă de semn

A demonstra că $f(x)>g(x)$ pentru orice $x$ dintr-un interval $I$ înseamnă exact a demonstra că funcția $h=f-g$ este strict pozitivă pe $I$. Nimic mai mult. Iar despre semnul unei funcții derivabile știi deja tot ce trebuie: îl afli din monotonie plus o singură valoare de referință.

În lecția Consecințele teoremei lui Lagrange ai demonstrat astfel inegalitățile $\ln (1+x)<x$, $e^x>1+x$ și $\sin x<x$ pentru $x>0$, iar în Teorema lui Lagrange ai obținut, cu formula creșterilor finite, încadrarea $\frac{b-a}{b}<\ln \frac{b}{a}<\frac{b-a}{a}$ și inegalitatea $|\sin b-\sin a|\le |b-a|$. Acele rezultate rămân valabile și le vei cita, nu le vom relua. Ce se adaugă azi este pasul următor: ce faci când $h$ nu are derivată de semn constant.

O precizare de notație, ca să nu se ciocnească literele: la lecția 107 funcția-diferență a fost numită $g$. Aici cei doi membri ai inegalității se numesc $f$ și $g$, așa că funcția auxiliară (numită și funcție ajutătoare) primește litera $h$.

Merită spus, o dată, de ce metoda aceasta e superioară trucurilor algebrice. O inegalitate rezolvată prin factorizare, prin ridicare la pătrat sau prin inegalitatea mediilor cere, de fiecare dată, o idee nouă; dacă ideea nu vine, exercițiul se blochează. Metoda funcției auxiliare, dimpotrivă, are întotdeauna aceiași pași și se poate începe chiar fără să bănuiești răspunsul: derivezi, afli semnul, construiești tabelul, citești. Nu e garantat că fiecare pas iese ușor — semnul lui $h^{\prime }$ poate cere el însuși muncă —, dar drumul e cunoscut de la început. Exact de aceea baremele de Bacalaureat M1 acordă punctaj pe pași: pe scrierea funcției auxiliare, pe calculul derivatei, pe tabel și pe concluzie.

2. Metoda funcției auxiliare — patru pași

1. Scrie tot într-un membru. Inegalitatea $f(x)>g(x)$ pe $I$ devine $h(x)>0$ pe $I$, cu $h=f-g$. Precizează intervalul pe care lucrezi și verifică pe el continuitatea și derivabilitatea.
2. Derivează și află semnul lui $h^{\prime }$. Aici se face tot efortul algebric: factorizări, aducere la același numitor, rezolvarea ecuației $h^{\prime }(x)=0$.
3. Construiește tabelul de variație al lui $h$, cu valorile în punctele critice și cu limitele la capetele intervalului.
4. Citește semnul lui $h$. Dacă $h$ e monotonă, e de ajuns valoarea dintr-un capăt; dacă nu, ai nevoie de minimul global, care se vede în tabel.

⚠️ Concluzia se formulează întotdeauna pe un interval. Dacă domeniul lui $h$ e o reuniune de intervale, tabelul rămâne unul singur (cu $|$ în coloana punctului exclus), dar concluzia se scrie pe fiecare interval separat — altfel repeți greșeala semnalată la Monotonia unei funcții dedusă din semnul derivatei întâi, unde $\frac{1}{x}$ are derivata negativă peste tot fără să fie descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

Înainte de pasul întâi merită, uneori, o transformare echivalentă a inegalității, ca funcția auxiliară să iasă mai simplă. Sunt permise, pentru că păstrează sensul: împărțirea ambilor membri printr-o expresie strict pozitivă; adunarea aceleiași cantități în ambii membri; aplicarea logaritmului natural, când amândoi membrii sunt strict pozitivi (logaritmul e strict crescător); ridicarea la pătrat, numai când amândoi membrii sunt pozitivi. Nu sunt permise, fără discuție de semn: împărțirea printr-o expresie al cărei semn nu-l cunoști și înmulțirea cu o cantitate negativă, care inversează sensul. Vei folosi prima transformare la Exemplul 3 și pe cea cu logaritmul la secțiunea 6.

3. Cazul I — valoarea de referință stă într-un capăt

Este situația cea mai simplă și cea mai frecventă: $h$ e monotonă, iar la unul dintre capete valoarea ei este $0$.

Arătăm că $\mathrm{tg}x>x$ pentru orice $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

Fie $h(x)=\mathrm{tg}x-x$, continuă pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ și derivabilă pe intervalul deschis, cu $$h^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1=\frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}={\mathrm{tg}}^{2}x>0\text{pentru }x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right).$$ Deci $h$ e strict crescătoare pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$. Cum $h(0)=\mathrm{tg}0-0=0$, rezultă $h(x)>h(0)=0$ pentru orice $x>0$ din interval, adică $\mathrm{tg}x>x$. (Verificat pe $1200$ de puncte din interval.)

Observă cele două ingrediente, amândouă indispensabile: monotonia și valoarea din capăt. Fără a doua, monotonia singură nu spune nimic despre semn.

4. Cazul II — minimul global stă în interior

Când $h^{\prime }$ își schimbă semnul, capătul nu mai ajunge. Atunci tabelul de variație îți dă minimul global al lui $h$, iar inegalitatea $h\ge 0$ e echivalentă cu „minimul global este $\ge 0$".

Arătăm că $2\sqrt{x}+\frac{1}{x}\ge 3$ pentru orice $x>0$.

Fie $h:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $h(x)=2\sqrt{x}+\frac{1}{x}-3$, derivabilă, cu $$h^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x^2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}(x\sqrt{x}-1)}{x^2\sqrt{x}}.$$ Semnul lui $h^{\prime }$ este semnul lui $x\sqrt{x}-1$, adică negativ pentru $x<1$ și pozitiv pentru $x>1$; singura rădăcină e $x=1$. Valoarea: $h(1)=2+1-3=0$. Limitele: la $0$ dinspre dreapta, $\frac{1}{x}\to +\infty$, deci $h\to +\infty$; la $+\infty$, $2\sqrt{x}\to +\infty$, deci tot $+\infty$.

Citirea tabelului: $h$ scade strict pe $(0,1]$ și crește strict pe $[1,+\infty )$, deci minimul global este $h(1)=0$; imaginea lui $h$ este $[0,+\infty )$. Prin urmare $h(x)\ge 0$ pentru orice $x>0$, cu egalitate exact în $x=1$. (Verificat pe $1200$ de puncte.)

Reține legătura cu lecția precedentă, Imaginea unei funcții stabilită cu derivata: a demonstra $h\ge 0$ înseamnă a arăta că $\mathrm{Im}h\subseteq [0,+\infty )$. Sunt două formulări ale aceleiași probleme, iar tabelul le rezolvă pe amândouă deodată.

5. Cazul III — minimul este un număr strict pozitiv

Uneori minimul nu e zero, ci un număr pozitiv. Atunci inegalitatea iese strictă, cu o „marjă" pe care o poți chiar preciza.

Arătăm că $\sqrt{x}>\ln x$ pentru orice $x>0$.

Fie $h(x)=\sqrt{x}-\ln x$ pe $(0,+\infty )$, cu $$h^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}=\frac{x-2\sqrt{x}}{2x\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-2}{2x}.$$ Semnul e dat de $\sqrt{x}-2$: negativ pentru $x<4$, pozitiv pentru $x>4$, cu rădăcina $x=4$.

Citirea tabelului: minimul global este $h(4)=2-\ln 4\approx 0,6137>0$, deci $h(x)\ge 2-\ln 4>0$ pentru orice $x>0$. Am obținut mai mult decât ni se cerea: nu doar $\sqrt{x}>\ln x$, ci $\sqrt{x}-\ln x\ge 2-\ln 4$, o inegalitate mai tare. (Verificat pe $1200$ de puncte din $(0;10^4]$.)

De aici și un sfat de redactare: dacă minimul iese strict pozitiv, spune-o. Baremele apreciază precizarea, iar tu ai demonstrat oricum mai mult.

6. Inegalități cu doi parametri, aduse la o singură variabilă

Multe inegalități „cu $a$ și $b$" ascund o singură funcție. Trucul este să izolezi, de o parte și de alta, aceeași expresie, evaluată în puncte diferite; atunci inegalitatea devine o afirmație despre monotonia acelei funcții.

Arătăm că $a^b>b^a$ pentru orice $a,b$ cu $e\le a<b$.

Logaritmăm (logaritmul natural e strict crescător, deci păstrează sensul): inegalitatea cerută e echivalentă cu $b\ln a>a\ln b$, adică, împărțind prin $ab>0$, cu $$\frac{\ln a}{a}>\frac{\ln b}{b}.$$ Ambii membri sunt valori ale funcției $F(x)=\frac{\ln x}{x}$, studiată în lecția precedentă: $F^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}<0$ pentru $x>e$, deci $F$ e strict descrescătoare pe $[e,+\infty )$. Cum $e\le a<b$, rezultă $F(a)>F(b)$, ceea ce era de demonstrat.

Cazul particular $a=e$, $b=\pi$ răspunde la întrebarea din deschidere: $$e^{\pi }>{\pi }^e,\text{numeric }23,1407>22,4592.$$ (Verificat și pe $1000$ de perechi $(a,b)$ cu $e\le a<b$.)

Condiția $a\ge e$ nu e un moft de redactare, ci exact locul în care funcția $F$ își schimbă monotonia. Sub $e$, funcția $F$ crește, deci concluzia se răstoarnă: pentru $a=2$ și $b=3$ avem $2^3=8$, iar $3^2=9$, deci $a^b<b^a$. Iată de ce, în acest tip de exerciții, primul lucru de scris nu e inegalitatea, ci intervalul pe care funcția-cheie e monotonă. Când cele două numere cad de o parte și de alta a lui $e$, metoda nu decide singură și trebuie comparate direct valorile lui $F$.

7. Cele patru capcane

• Ai uitat valoarea de referință. Din „$h$ e strict crescătoare" nu rezultă „$h>0$". Trebuie și un punct în care știi semnul.
• Ai luat capătul greșit. Dacă $h$ e crescătoare și $h(a)=0$, atunci $h>0$ la dreapta lui $a$ și $h<0$ la stânga. Inegalitatea are, deci, un domeniu de valabilitate precis.
• Ai concluzionat pe o reuniune de intervale. Vezi avertismentul din secțiunea 2.
• Derivata se anulează în puncte izolate. Dacă $h^{\prime }\ge 0$ pe interval și $h^{\prime }$ se anulează doar în puncte izolate, $h$ este totuși strict crescătoare — argumentul complet e cel din lecția 107, la $x-\sin x$. Nu trata cazul ca pe unul de monotonie nestrictă.

Mai există o capcană, de redactare, care costă puncte fără să fie o greșeală de matematică: răspunsul incomplet. O demonstrație de inegalitate se încheie cu trei informații, nu cu una — inegalitatea propriu-zisă, intervalul pe care e valabilă și punctele în care are loc egalitatea. Dacă minimul global e strict pozitiv, a treia informație devine „nu există caz de egalitate", iar atunci merită să scrii și cât e marja, cum am făcut la secțiunea 5.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Suma a două exponențiale

Arătați că $e^x+e^{-x}\ge 2$ pentru orice $x$ real.

Rezolvare. Fie $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=e^x+e^{-x}-2$, derivabilă, cu $h^{\prime }(x)=e^x-e^{-x}$. Ecuația $h^{\prime }(x)=0$ dă $e^x=e^{-x}$, adică $x=0$; semnul lui $h^{\prime }$ e negativ pentru $x<0$ și pozitiv pentru $x>0$. Valoarea: $h(0)=1+1-2=0$. Limitele la $\pm \infty$ sunt $+\infty$.

Minimul global este $0$, deci $h(x)\ge 0$ pentru orice $x$, cu egalitate exact în $x=0$. ✓

Exemplul 2 — Inegalitatea lui Bernoulli

Arătați că $(1+x{)}^n\ge 1+nx$ pentru orice $x>-1$ și orice număr natural $n\ge 2$.

Rezolvare. Fixăm $n$ și luăm $h:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $h(x)=(1+x{)}^n-1-nx$, cu $$h^{\prime }(x)=n(1+x{)}^{n-1}-n=n[(1+x{)}^{n-1}-1].$$ Pentru $-1<x<0$ avem $0<1+x<1$, deci $(1+x{)}^{n-1}<1$ și $h^{\prime }(x)<0$; pentru $x>0$ avem $1+x>1$, deci $h^{\prime }(x)>0$. Rădăcina e $x=0$, cu $h(0)=1-1-0=0$. La capătul din stânga, $(1+x{)}^n\to 0$ și $-1-nx\to n-1$.

Minimul global este $h(0)=0$, deci $h(x)\ge 0$, adică inegalitatea cerută, cu egalitate doar în $x=0$. Aceeași inegalitate se poate demonstra și prin metoda inducției matematice; compară cele două demonstrații — cea cu derivata nu are nevoie de pasul de trecere de la $n$ la $n+1$. (Verificat pentru $n\in \{2,3,4,5,6,10\}$, pe câte $1200$ de puncte.) ✓

Exemplul 3 — O inegalitate valabilă doar pe o parte a axei

Arătați că $3^x+4^x\ge 5^x$ pentru orice $x\le 2$.

Rezolvare. Împărțim prin $5^x>0$ — operație care păstrează sensul — și obținem inegalitatea echivalentă ${\left(\frac{3}{5}\right)}^x+{\left(\frac{4}{5}\right)}^x\ge 1$. Fie $h(x)={\left(\frac{3}{5}\right)}^x+{\left(\frac{4}{5}\right)}^x$, cu $$h^{\prime }(x)={\left(\frac{3}{5}\right)}^x\ln \frac{3}{5}+{\left(\frac{4}{5}\right)}^x\ln \frac{4}{5}<0,$$ pentru că amândoi logaritmii sunt negativi (bazele sunt subunitare), iar puterile sunt pozitive. Deci $h$ e strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$. Cum $h(2)=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$, pentru orice $x\le 2$ avem $h(x)\ge h(2)=1$, adică exact inegalitatea cerută, cu egalitate doar în $x=2$.

Merită observat că pentru $x>2$ inegalitatea se inversează: de pildă, pentru $x=2,5$ avem $3^{2,5}+4^{2,5}\approx 47,59<5^{2,5}\approx 55,90$. Domeniul de valabilitate face parte din enunț, nu e un amănunt. ✓

Exemplul 4 — Un minim negativ care devine constanta din inegalitate

Arătați că $x\ln x\ge -\frac{1}{e}$ pentru orice $x>0$.

Rezolvare. Fie $h(x)=x\ln x+\frac{1}{e}$ pe $(0,+\infty )$, cu $h^{\prime }(x)=\ln x+1$, care se anulează pentru $\ln x=-1$, adică $x=\frac{1}{e}$; semnul e negativ înainte și pozitiv după. Valoarea: $h\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\cdot (-1)+\frac{1}{e}=0$. Limita la $0$ dinspre dreapta: $\lim x\ln x=0$ (nedeterminarea $0\cdot \infty$, tratată la Nedeterminările reduse la L'Hopital), deci $h\to \frac{1}{e}$.

Minimul global este $0$, deci $h\ge 0$, adică $x\ln x\ge -\frac{1}{e}$, cu egalitate în $x=\frac{1}{e}$. Constanta $-\frac{1}{e}$ nu a fost ghicită: ea este minimul funcției $x\ln x$. ✓

Exemplul 5 — Când minimul se atinge într-un capăt

Arătați că $\sin x\ge \frac{2x}{\pi }$ pentru orice $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$.

Rezolvare. Fie $h(x)=\sin x-\frac{2x}{\pi }$ pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, cu $h^{\prime }(x)=\cos x-\frac{2}{\pi }$. Pe acest interval cosinusul este strict descrescător, de la $1$ la $0$, iar $\frac{2}{\pi }\approx 0,6366$, deci ecuația $\cos x=\frac{2}{\pi }$ are exact o soluție $c\approx 0,8806$; $h^{\prime }$ e pozitivă înainte de $c$ și negativă după. Valorile la capete: $h(0)=0$ și $h\left(\frac{\pi }{2}\right)=1-1=0$.

Funcția crește de la $0$ până la un maxim și coboară înapoi la $0$, deci minimul ei pe interval este $0$, atins în amândouă capetele. Prin urmare $h(x)\ge 0$ pe tot intervalul. Observă că aici nu punctul critic a decis, ci capetele: când intervalul e închis, minimul se caută printre valorile din punctele critice și cele din capete. (Verificat pe $1200$ de puncte; $h(c)\approx 0,2105$.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Arătați că $\frac{1}{x}+\ln x\ge 1$ pentru orice $x>0$.

Rezolvare. Fie $h:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $h(x)=\frac{1}{x}+\ln x-1$, derivabilă, cu $$h^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x^2}.$$ Numitorul e pozitiv, deci semnul lui $h^{\prime }$ e semnul lui $x-1$: negativ pe $(0,1)$, pozitiv pe $(1,+\infty )$. Valoarea: $h(1)=1+0-1=0$. Limitele: la $0$ dinspre dreapta, $\frac{1}{x}\to +\infty$ domină $\ln x\to -\infty$, deci $h\to +\infty$; la $+\infty$, $\ln x\to +\infty$, deci $h\to +\infty$.

Minimul global este $h(1)=0$, deci $h(x)\ge 0$ pentru orice $x>0$, adică $\frac{1}{x}+\ln x\ge 1$, cu egalitate exact în $x=1$. (Verificat pe $1200$ de puncte.) ✓

Să exersăm

1. Arată că $x^4+3\ge 4x$ pentru orice $x$ real.

2. Arată că $x^3+4\ge 3x^2$ pentru orice $x\ge 0$.

3. Arată că $e^x\ge ex$ pentru orice $x$ real și precizează unde are loc egalitatea.

4. Arată că $x+\frac{1}{x}\ge 2$ pentru orice $x>0$.

5. Arată că $2^x\ge 1+x\ln 2$ pentru orice $x$ real.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $h^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x>0$ și $h(1)=0$, atunci $h(x)>0$ pentru orice $x>0$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $h^{\prime }(x)\ge 0$ pe un interval $I$ și $h^{\prime }$ se anulează doar în puncte izolate, atunci $h$ este strict crescătoare pe $I$."

8. Arată că $x^3\ge 3x-2$ pentru orice $x\ge 0$.

9. Arată că $\ln (1+x^2)\le x^2$ pentru orice $x$ real.

10. Arată că $x{e}^x\ge -\frac{1}{e}$ pentru orice $x$ real.

11. Arată că $x^3-3x+4>0$ pentru orice $x>-2$ și precizează cea mai mică valoare pe care o ia expresia.

12. (Problemă aplicată.) Costul mediu de producție al unei fabrici, pentru $x$ tone de marfă pe zi, este $C(x)=x+\frac{100}{x}+20$ lei pe tonă, $x>0$. Arată că nu poate coborî sub $40$ de lei pe tonă și află producția la care se atinge acest cost.

13. Determină cea mai mare valoare a lui $m$ pentru care $x+\frac{4}{x}\ge m$ pentru orice $x>0$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Arată că $x^2+\frac{2}{x}\ge 3$ pentru orice $x>0$.

15. Arată că $\ln x\le \frac{x^2-1}{2x}$ pentru orice $x\ge 1$.

16. Determină cea mai mare valoare a lui $k$ pentru care $e^x\ge kx$ pentru orice $x>0$.

17. Compară numerele $2026^{2027}$ și $2027^{2026}$.

18. (Provocare.) Determină valorile lui $a>0$ pentru care $a^x\ge x^a$ pentru orice $x>0$.

Răspunsuri și explicații

1. $h(x)=x^4-4x+3$, $h^{\prime }(x)=4x^3-4=4(x^3-1)$, cu unica rădăcină reală $x=1$; $h^{\prime }$ e negativă înainte, pozitivă după. $h(1)=1-4+3=0$ e minim global, deci $h\ge 0$, cu egalitate în $x=1$.

2. $h(x)=x^3-3x^2+4$, $h^{\prime }(x)=3x(x-2)$; pe $[0,+\infty )$ semnul e negativ pe $(0,2)$ și pozitiv după. $h(2)=8-12+4=0$ e minim global pe $[0,+\infty )$, iar $h(0)=4>0$. Deci $h\ge 0$ acolo, cu egalitate în $x=2$.

3. $h(x)=e^x-ex$, $h^{\prime }(x)=e^x-e$, cu rădăcina $x=1$; negativă înainte, pozitivă după. $h(1)=e-e=0$ e minim global, deci $e^x\ge ex$ pentru orice $x$, cu egalitate exact în $x=1$.

4. $h(x)=x+\frac{1}{x}-2$, $h^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$, cu rădăcina $x=1$ în domeniu; $h(1)=0$ e minim global pe $(0,+\infty )$. Egalitate în $x=1$.

5. $h(x)=2^x-1-x\ln 2$, $h^{\prime }(x)=2^x\ln 2-\ln 2=\ln 2(2^x-1)$, cu rădăcina $x=0$; negativă înainte, pozitivă după. $h(0)=1-1-0=0$ e minim global, deci inegalitatea are loc, cu egalitate în $x=0$.

6. Fals. Contraexemplu: $h(x)=\ln x$ are $h^{\prime }(x)=\frac{1}{x}>0$ pe $(0,+\infty )$ și $h(1)=0$, dar $h(0,5)=\ln 0,5\approx -0,6931<0$. Din monotonie rezultă doar $h>0$ la dreapta lui $1$; la stânga, semnul se schimbă.

7. Adevărat. Din $h^{\prime }\ge 0$ rezultă că $h$ e crescătoare. Dacă ar exista $x_1<x_2$ cu $h(x_1)=h(x_2)$, atunci $h$ ar fi constantă pe $[x_1,x_2]$, deci, prin Consecința 1 a teoremei lui Lagrange, $h^{\prime }$ ar fi identic nulă acolo — imposibil, pentru că $h^{\prime }$ se anulează doar în puncte izolate. Este exact argumentul folosit în lecția 107.

8. $h(x)=x^3-3x+2$, $h^{\prime }(x)=3(x^2-1)$; pe $[0,+\infty )$ e negativă pe $(0,1)$ și pozitivă după. $h(1)=1-3+2=0$ e minim global acolo, iar $h(0)=2>0$. Deci $x^3\ge 3x-2$ pentru $x\ge 0$, cu egalitate în $x=1$.

9. $h(x)=x^2-\ln (1+x^2)$, $h^{\prime }(x)=2x-\frac{2x}{1+x^2}=\frac{2x^3}{1+x^2}$, care are semnul lui $x$; rădăcina e $0$, cu $h(0)=0$ minim global. Deci $h\ge 0$, cu egalitate doar în $x=0$.

10. $h(x)=x{e}^x+\frac{1}{e}$, $h^{\prime }(x)=(x+1)e^x$, cu rădăcina $x=-1$; negativă înainte, pozitivă după. $h(-1)=-\frac{1}{e}+\frac{1}{e}=0$ e minim global, deci $x{e}^x\ge -\frac{1}{e}$, cu egalitate în $x=-1$. (Regăsim marginea inferioară a imaginii calculate la lecția 113.)

11. $h(x)=x^3-3x+4$, $h^{\prime }(x)=3(x^2-1)$, cu rădăcinile $\pm 1$. Pe $(-2,-1]$ $h$ crește de la $h(-2)=2$ la $h(-1)=6$, pe $[-1,1]$ scade la $h(1)=2$, apoi crește. Minimul pe $(-2,+\infty )$ este $2$, atins în $x=1$, deci $h(x)\ge 2>0$; cea mai mică valoare a expresiei este $2$.

12. $C^{\prime }(x)=1-\frac{100}{x^2}=\frac{x^2-100}{x^2}$, cu rădăcina $x=10$ în domeniu; $C$ scade pe $(0,10]$ și crește pe $[10,+\infty )$, deci minimul global este $C(10)=10+10+20=40$ de lei pe tonă, atins la o producție de $10$ tone pe zi.

13. $h(x)=x+\frac{4}{x}$ are $h^{\prime }(x)=\frac{x^2-4}{x^2}$, cu rădăcina $x=2$, și minimul global $h(2)=4$. Deci inegalitatea are loc pentru orice $m\le 4$, iar cea mai mare valoare este $m=4$.

14. $h(x)=x^2+\frac{2}{x}-3$, $h^{\prime }(x)=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{2(x^3-1)}{x^2}$, cu rădăcina $x=1$; negativă pe $(0,1)$, pozitivă după. $h(1)=1+2-3=0$ e minim global, deci $x^2+\frac{2}{x}\ge 3$ pentru orice $x>0$, cu egalitate în $x=1$.

15. $h(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}-\ln x$, cu $h^{\prime }(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{x}=\frac{x^2-2x+1}{2x^2}=\frac{(x-1{)}^2}{2x^2}\ge 0$, deci $h$ e crescătoare pe $[1,+\infty )$ (strict, pentru că $h^{\prime }$ se anulează doar în $x=1$). Cum $h(1)=0$, rezultă $h(x)\ge 0$, adică inegalitatea cerută. Atenție: pentru $0<x<1$ inegalitatea se inversează, tot din monotonia lui $h$.

16. Din exercițiul 3, $e^x\ge ex$ pentru orice $x$, deci $k=e$ merge. Nu se poate mai mult: pentru $k>e$, în $x=1$ am avea $e\ge k$, fals. Cea mai mare valoare este $k=e$.

17. Ambele numere sunt de forma din secțiunea 6, cu $a=2026$ și $b=2027$, iar $e\le 2026<2027$. Deci $a^b>b^a$, adică $2026^{2027}>2027^{2026}$. (Control numeric: $2027\ln 2026\approx 15428,9$, iar $2026\ln 2027\approx 15428,5$.)

18. Logaritmând, $a^x\ge x^a$ pentru orice $x>0$ e echivalent cu $x\ln a\ge a\ln x$, adică $\frac{\ln a}{a}\ge \frac{\ln x}{x}$ pentru orice $x>0$. Deci $\frac{\ln a}{a}$ trebuie să fie maximul funcției $F(x)=\frac{\ln x}{x}$, care, după lecția 113, este $\frac{1}{e}$, atins doar în $x=e$. Singura valoare este $a=e$.

De reținut

• Orice inegalitate $f(x)>g(x)$ pe un interval devine „funcția auxiliară $h=f-g$ este strict pozitivă acolo".
• Rețeta: domeniu și continuitate $\to$ $h^{\prime }$ și semnul ei $\to$ tabelul de variație $\to$ valoarea de referință.
• Dacă $h$ e monotonă, e de ajuns valoarea dintr-un capăt; dacă nu, ai nevoie de minimul global din tabel.
• Minimul global al lui $h$ este chiar constanta optimă a inegalității: $h\ge \min h$ e cea mai tare formă posibilă.
• Egalitatea are loc exact în punctele în care $h$ își atinge minimul; pe un interval închis, minimul se caută și în capete.

Greșeli frecvente

• Concluzionezi din monotonie, fără valoarea de referință. „$h$ crește, deci $h>0$" e fals: $h(x)=x-5$ crește și e negativă pe $(0,5)$.
• Uiți domeniul de valabilitate. $3^x+4^x\ge 5^x$ e adevărată doar pentru $x\le 2$; scrisă „pentru orice $x$", e falsă.
• Cauți minimul doar în punctele critice. Pe un interval închis, capetele sunt tot candidați — vezi Exemplul 5, unde minimul e chiar în capete.
• Scrii inegalitate strictă acolo unde e egalitate. La $2\sqrt{x}+\frac{1}{x}\ge 3$, în $x=1$ are loc egalitate, deci semnul $>$ ar fi greșit.
• Aplici concluzia pe o reuniune de intervale. Semnul lui $h$ se stabilește pe fiecare interval separat, cu propria valoare de referință.

Aplică acasă

1. Constanta optimă. Ia inegalitatea $x+\frac{9}{x}\ge m$ pentru $x>0$ și află cea mai mare valoare a lui $m$ pentru care e adevărată. Repetă cu $\frac{16}{x}$ și cu $\frac{25}{x}$, apoi formulează o regulă generală pentru $\frac{c}{x}$, cu $c>0$.
2. Trei inegalități, aceeași rețetă. Demonstrează, cu metoda funcției auxiliare, că $x^2\ge 2x-1$ pentru orice $x$ real, că $\sqrt{x}\le \frac{x+1}{2}$ pentru $x\ge 0$ și că $\sqrt[3]{x}\le \frac{x+2}{3}$ pentru $x\ge 0$. Pentru fiecare, precizează unde are loc egalitatea și verifică rezultatul numeric în trei puncte.
3. Comparații fără calculator. Decide, folosind funcția $\frac{\ln x}{x}$, care număr e mai mare în perechile $\left(3^4,4^3\right)$, $\left(5^6,6^5\right)$ și $\left(10^{11},11^{10}\right)$. Scrie apoi, într-o frază, regula pe care ai descoperit-o.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă un capitol care în manuale apare adesea ca o colecție de trucuri într-o procedură unică, verificabilă pas cu pas. Programa cere, la competența XI.CS.3.6, „utilizarea regulilor de derivare și a concluziilor teoremelor studiate în analizarea variației funcțiilor", iar demonstrarea inegalităților este aplicația cea mai directă a acestei competențe.

Ce verifică lecția: (1) construirea corectă a funcției auxiliare și precizarea intervalului; (2) determinarea semnului derivatei prin factorizare; (3) folosirea valorii de referință dintr-un capăt; (4) citirea minimului global din tabel atunci când funcția nu e monotonă; (5) formularea exactă a cazului de egalitate și a domeniului de valabilitate.

Întrebări bune de control: „De ce nu e suficient să știm că $h$ este crescătoare?", „Unde are loc egalitatea și de ce?", „Ce se schimbă dacă intervalul e închis?". La BAC M1, cerința apare la subiectul al treilea, de obicei în forma „arătați că $f(x)\ge \dots$ pentru orice $x\in \dots$", uneori cu punctul anterior cerând tocmai monotonia sau extremele funcției auxiliare. Semn că elevul a înțeles: scrie de la sine, la final, unde are loc egalitatea, fără să i se ceară.

Întrebări frecvente

Cum demonstrez o inegalitate folosind derivatele? Muți totul într-un membru și notezi diferența cu $h$, precizând intervalul. Studiezi semnul lui $h^{\prime }$, construiești tabelul de variație și compari cu o valoare cunoscută: fie valoarea dintr-un capăt, fie minimul global.

Ce este funcția auxiliară și cum o aleg? Este $h=f-g$, adică diferența dintre cei doi membri ai inegalității. Nu se alege — se obține automat, mutând totul în stânga. Uneori merită întâi o transformare echivalentă (împărțire printr-un număr pozitiv, logaritmare), ca $h$ să iasă mai simplă.

De ce nu e suficient să arăt că $h$ este crescătoare? Pentru că monotonia spune doar cum se schimbă valorile, nu și ce semn au. O funcție crescătoare poate fi negativă peste tot. Ai nevoie de un punct în care semnul lui $h$ e cunoscut.

Când folosesc capătul intervalului și când minimul global? Capătul, când $h$ e monotonă pe tot intervalul. Minimul global, când $h^{\prime }$ își schimbă semnul: atunci minimul e cea mai mică valoare posibilă, iar dacă el e $\ge 0$, întreaga funcție e $\ge 0$.

Cum știu unde are loc egalitatea? În punctele în care $h$ se anulează, adică acolo unde își atinge minimul (dacă minimul e $0$). Dacă minimul e strict pozitiv, inegalitatea e strictă peste tot și nu există caz de egalitate.

Ce fac dacă inegalitatea are doi parametri? Încerci să aduci fiecare membru la forma „aceeași funcție, evaluată în puncte diferite". Atunci inegalitatea devine o afirmație despre monotonia acelei funcții, ca la comparația dintre $e^{\pi }$ și ${\pi }^e$.

Pot folosi derivata a doua ca să demonstrez o inegalitate? La clasa a XI-a metoda standard, cerută de programă și de baremele de Bacalaureat M1, este cea din această lecție: derivata întâi, monotonia și valoarea de referință. Derivata a doua intră în scenă mai târziu, la studiul convexității.

De ce contează atât de mult intervalul pe care lucrez? Pentru că aceeași diferență poate fi pozitivă pe o parte a punctului de referință și negativă pe cealaltă. Inegalitatea $3^x+4^x\ge 5^x$ e adevărată pentru $x\le 2$ și falsă pentru $x>2$ — intervalul face parte din enunț.