Inelul: definiție și exemple: pe scurt

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Inelul este o mulțime nevidă $A$ cu două legi de compoziție, astfel încât $(A,+)$ să fie grup comutativ, $(A,\cdot )$ să fie monoid, iar înmulțirea să fie distributivă față de adunare, la stânga și la dreapta. Cele opt axiome sunt A1–A4 (asociativitate, comutativitate, element nul $0$, opuse), M1–M2 (asociativitate, element unitate $1$) și D1–D2. În acest curs orice inel are element unitate, iar toate inelele studiate sunt nenule, adică $1\ne 0$. Când și înmulțirea e comutativă, inelul se numește comutativ.

Verificarea se face cu rețeta în trei pași: (1) parte stabilă față de ambele operații; (2) moștenirea axiomelor de calcul dintr-o structură cunoscută care conține mulțimea — singura scurtătură permisă; (3) apartenența lui $0$, a lui $1$ și a opuselor. Inelele-etalon sunt $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, ${\mathbb{Z}}_n$, ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, inelul funcțiilor reale cu operații punctuale și inelele $\mathbb{Z}[i]$, $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$; dintre ele, numai ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ cu $n\ge 2$ este necomutativ. Contraexemple: $\mathbb{N}$ nu e inel (cade A4), iar $2\mathbb{Z}$ nu e inel, pentru că nu conține elementul unitate.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre următoarele structuri nu este inel?

   • a) $(\mathbb{Z},+,\cdot )$
   • b) $(\mathbb{N},+,\cdot )$
   • c) $({\mathbb{Z}}_9,+,\cdot )$
   • d) $\left({\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),+,\cdot \right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $(\mathbb{N},+,\cdot )$

   În $\mathbb{N}$ cade axioma A4: numărul $2$ nu are opus, pentru că nu există niciun număr natural $y$ cu $2+y=0$; deci $(\mathbb{N},+)$ nu e nici măcar grup. Celelalte trei sunt inele — primul și al treilea comutative, iar inelul matricelor de ordin $2$ necomutativ, ceea ce nu-l împiedică să fie inel.

2. De ce mulțimea numerelor pare $2\mathbb{Z}$ nu este inel, în sensul fixat în această lecție?

   • a) pentru că nu conține elementul unitate
   • b) pentru că suma a două numere pare poate fi impară
   • c) pentru că nu conține opusele
   • d) pentru că înmulțirea nu este asociativă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) pentru că nu conține elementul unitate

   Adunarea și înmulțirea nu ies din $2\mathbb{Z}$, opusul unui număr par este par, iar toate axiomele de calcul se moștenesc din $\mathbb{Z}$ — singurul lucru care lipsește este $1$, care nu este par. Cum în acest curs orice inel are element unitate, structura nu se califică. Fără această convenție, $2\mathbb{Z}$ ar fi trecut drept inel.

3. Într-un inel oarecare $(A,+,\cdot )$, expresia $(a+b{)}^2$ este egală cu:

   • a) $a^2+2ab+b^2$
   • b) $a^2+b^2$
   • c) $a^2+ab+ba+b^2$
   • d) $a^2+2ba+b^2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $a^2+ab+ba+b^2$

   Desfacem parantezele cu distributivitatea, fără să schimbăm ordinea factorilor: $(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2$. Termenii $ab$ și $ba$ se strâng în $2ab$ numai dacă cele două elemente comută, deci formula de gimnaziu cere un inel comutativ. La matrice ea dă un rezultat fals, ușor de verificat pe un exemplu.