Inelul: definiție, axiome și exemple

Toată aritmetica pe care o faci de la clasa întâi se sprijină pe două operații care nu se lasă despărțite: adunarea și înmulțirea. Inelul este structura formată dintr-o mulțime pe care trăiesc, împreună, două legi de compoziție — o adunare și o înmulțire —, legate între ele prin distributivitate; el este prima structură cu două operații din algebra de clasa a 12-a. Până acum ai studiat câte o lege singură — asociativitate, element neutru, simetrizabile, apoi grupul; de aici încolo studiem perechi de legi și, mai ales, firul care le leagă: distributivitatea.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Merită timpul tău din două motive: în subiectele de Bacalaureat M1 problema a doua din Subiectul al II-lea vine, an de an, din această zonă, iar ideea de structură cu două operații este exact scheletul pe care se așază, mai târziu, polinoamele.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția inelului și să numeri, fără să sari niciuna, cele opt axiome ale lui.
• Vei ști să recunoști elementul nul $0$ și elementul unitate $1$ ale unui inel, oricât de deghizate ar fi operațiile.
• Vei ști să deosebești un inel comutativ de unul necomutativ, cu un contraexemplu scris complet.
• Vei ști să verifici, pe o rețetă în trei pași, dacă o mulțime concretă cu două legi de compoziție este sau nu inel.
• Vei ști să lucrezi cu inelele-etalon ale programei: $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, ${\mathbb{Z}}_n$, ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, inelul funcțiilor reale și întregii lui Gauss.
• Vei ști să rezolvi exerciții de tip Bacalaureat M1 în care două legi definite prin formule ascund, de fapt, adunarea și înmulțirea obișnuite.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un inel și de ce avem nevoie de două operații deodată?

Uită-te la mulțimea numerelor întregi. Ea are o adunare, față de care $(\mathbb{Z},+)$ este grup comutativ: adunarea e asociativă, comutativă, are elementul neutru $0$, iar fiecare număr $a$ are opusul $-a$. Are și o înmulțire, față de care $(\mathbb{Z},\cdot )$ este monoid: înmulțirea e asociativă și are elementul neutru $1$ — dar nu e grup, pentru că doar $-1$ și $1$ au invers întreg. Și mai are ceva, un lucru pe care îl folosești de atât de mult timp încât nu-l mai vezi: legătura dintre cele două operații, $a(b+c)=ab+ac$.

Exact același tipar îl regăsești la matrice, la clasele de resturi, la funcții. Algebra procedează ca de obicei: dă un nume tiparului și îl studiază o singură dată, pentru toate cazurile deodată.

Inelul este o mulțime nevidă $A$ pe care sunt definite două legi de compoziție, o adunare și o înmulțire, astfel încât $(A,+)$ să fie grup comutativ, $(A,\cdot )$ să fie monoid, iar înmulțirea să fie distributivă față de adunare, atât la stânga, cât și la dreapta. Se scrie $(A,+,\cdot )$ și se citește „inelul $A$".

⚠️ O convenție pe care o fixăm acum, o dată pentru toată unitatea: în acest curs, ca în manualele românești și în baremele de Bacalaureat M1, orice inel are element unitate. Cu alte cuvinte, condiția „$(A,\cdot )$ este monoid" include existența lui $1$. Vei întâlni cărți în care se cere doar ca $(A,\cdot )$ să fie semigrup, iar inelele cu unitate se numesc „unitare"; noi nu folosim această variantă, tocmai ca să nu ai două definiții în cap în ziua examenului.

2. Care sunt axiomele inelului?

Fie $A$ o mulțime nevidă înzestrată cu două legi de compoziție, notate $+$ (adunarea) și $\cdot$ (înmulțirea). Spunem că $(A,+,\cdot )$ este inel dacă sunt îndeplinite următoarele axiome.

Grupul aditiv — $(A,+)$ este grup comutativ:

• A1 (asociativitate): $(x+y)+z=x+(y+z)$, oricare ar fi $x,y,z\in A$;
• A2 (comutativitate): $x+y=y+x$, oricare ar fi $x,y\in A$;
• A3 (element neutru): există $0\in A$ cu $x+0=0+x=x$, oricare ar fi $x\in A$;
• A4 (opuse): pentru orice $x\in A$ există $-x\in A$ cu $x+(-x)=(-x)+x=0$.

Monoidul multiplicativ — $(A,\cdot )$ este monoid:

• M1 (asociativitate): $(xy)z=x(yz)$, oricare ar fi $x,y,z\in A$;
• M2 (element unitate): există $1\in A$ cu $x\cdot 1=1\cdot x=x$, oricare ar fi $x\in A$.

Legătura — înmulțirea este distributivă față de adunare:

• D1 (distributivitate la stânga): $x(y+z)=xy+xz$, oricare ar fi $x,y,z\in A$;
• D2 (distributivitate la dreapta): $(y+z)x=yx+zx$, oricare ar fi $x,y,z\in A$.

Elementul $0$ se numește elementul nul (sau zeroul inelului), iar $1$ se numește elementul unitate. Ele sunt unice, pentru că elementul neutru al unei legi de compoziție e unic — proprietate demonstrată la elementul neutru al unei legi de compoziție și valabilă aici de două ori, o dată pentru fiecare operație. Dacă, în plus, înmulțirea este comutativă, adică $xy=yx$ pentru orice $x,y\in A$, spunem că $(A,+,\cdot )$ este inel comutativ.

Un inel în care $1=0$ conține un singur element: din $x=x\cdot 1=x\cdot 0$ și din faptul (demonstrat în lecția următoare) că $x\cdot 0=0$ rezultă $x=0$ pentru orice $x$. El se numește inelul nul și nu e interesant, așa că toate inelele din această unitate sunt nenule, adică au $1\ne 0$.

3. Cum arăți, pas cu pas, că o mulțime dată este inel?

La Bacalaureat M1 cerința „arătați că $(A,+,\cdot )$ este inel" nu înseamnă niciodată să scrii opt demonstrații de la zero. Înseamnă să parcurgi, ordonat, trei pași.

Pasul 1 — parte stabilă. Verifici că $x+y\in A$ și $xy\in A$ pentru orice $x,y\in A$. Dacă mulțimea e dată printr-o formă („toate numerele de forma $a+b\sqrt{2}$ cu $a,b$ întregi"), aici se face tot calculul: aduci suma și produsul la aceeași formă.

Pasul 2 — moștenirea. Dacă $A$ este submulțime a unei mulțimi mai mari pe care operațiile sunt deja cunoscute ca fiind asociative, comutative și distributive (de pildă $\mathbb{C}$, sau ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$), atunci A1, A2, M1, D1, D2 se moștenesc: o egalitate adevărată pentru toate elementele mulțimii mari e adevărată, în particular, pentru elementele lui $A$. Scrii o singură frază: „asociativitatea, comutativitatea adunării și distributivitatea se moștenesc din $\mathbb{C}$". Aceasta e singura scurtătură permisă și te scutește de trei sferturi din muncă.

Pasul 3 — cele două elemente și opusele. Arăți că $0\in A$, că $1\in A$ și că opusul oricărui element din $A$ rămâne în $A$. Abia acum ai voie să scrii concluzia.

Când mulțimea nu e submulțimea niciunei structuri cunoscute, pasul 2 dispare și verifici efectiv fiecare axiomă. Când legile sunt date prin formule ciudate, cel mai bun ajutor e forma factorizată, exact ca la legile de compoziție pe mulțimi de numere: scrii $x\otimes y=(x-a)(y-a)+a$ și structura se vede singură.

4. Inelele de numere și de ce mulțimea numerelor naturale nu este inel

Primele exemple sunt cele de care te folosești zilnic: $(\mathbb{Z},+,\cdot )$, $(\mathbb{Q},+,\cdot )$, $(\mathbb{R},+,\cdot )$ și $(\mathbb{C},+,\cdot )$ sunt inele comutative, cu $0$ elementul nul și $1$ elementul unitate. Nu e nimic de demonstrat: toate cele opt axiome sunt proprietățile operațiilor pe care le folosești din gimnaziu, iar pentru numerele complexe le-ai verificat la înmulțirea numerelor complexe și puterile lui i.

În schimb, $(\mathbb{N},+,\cdot )$ nu este inel: axioma A4 cade, pentru că $2$ nu are opus în $\mathbb{N}$ (nu există număr natural $y$ cu $2+y=0$). Un singur element fără opus e destul ca să pice structura. Tot așa, mulțimea numerelor pare $2\mathbb{Z}=\{\dots ,-4,-2,0,2,4,\dots \}$ nu este inel în sensul definiției noastre: adunarea și înmulțirea nu ies din ea, opusele sunt tot pare, dar nu conține elementul unitate, fiindcă $1$ nu e par. Iată de ce contează convenția fixată la subsecțiunea 1: fără ea, $2\mathbb{Z}$ ar fi trecut drept inel.

Reține deosebirea de statut dintre cele patru inele de numere: în $\mathbb{Z}$, singurele elemente inversabile sunt $-1$ și $1$; în $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$, orice element nenul are invers. Deosebirea aceasta va primi un nume propriu în lecția a patra a unității; deocamdată o observăm și mergem mai departe.

5. Ce este inelul claselor de resturi modulo $n$?

Cel mai important inel finit al programei este ${\mathbb{Z}}_n=\{\hat{0},\hat{1},\dots ,\widehat{n-1}\}$, cu operațiile definite prin reprezentanți: $\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b}$ și $\hat{a}\cdot \hat{b}=\widehat{ab}$. Buna lor definire — faptul că rezultatul nu depinde de reprezentantul ales — ai demonstrat-o deja la înmulțirea claselor de resturi modulo n, iar acolo ai dedus și distributivitatea, din cea a numerelor întregi. Prin urmare:

Propoziție. Pentru orice $n\ge 2$, $({\mathbb{Z}}_n,+,\cdot )$ este inel comutativ, cu elementul nul $\hat{0}$ și elementul unitate $\hat{1}$.

Toate axiomele se transferă din $\mathbb{Z}$ prin reprezentanți; de exemplu, pentru A1: $(\hat{a}+\hat{b})+\hat{c}=\widehat{a+b}+\hat{c}=\widehat{(a+b)+c}=\widehat{a+(b+c)}=\hat{a}+(\hat{b}+\hat{c})$. Opusul lui $\hat{a}$ este $\widehat{n-a}$ pentru $a\ne 0$, și $\hat{0}$ pentru $a=0$.

Iată tabla adunării în ${\mathbb{Z}}_6$:

și tabla înmulțirii:

Ambele table sunt simetrice față de diagonala principală, deci ambele operații sunt comutative; linia lui $\hat{0}$ la adunare și linia lui $\hat{1}$ la înmulțire reproduc antetul, semn că acestea sunt elementele neutre. Uită-te bine la a doua tablă: în interiorul ei apare $\hat{0}$ și în alte locuri decât pe linia și pe coloana lui $\hat{0}$ — de pildă $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{0}$. Este primul semn că într-un inel oarecare produsul a doi factori nenuli poate fi nul, fenomen studiat în regulile de calcul într-un inel și divizorii lui zero.

6. De ce inelul matricelor pătratice nu este comutativ?

Fie ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ mulțimea matricelor pătratice de ordin $n$ cu elemente reale, cu adunarea și înmulțirea matricelor. Toate axiomele se verifică din proprietățile demonstrate la clasa a XI-a, la înmulțirea a două matrice și în lecțiile care o urmează: adunarea e asociativă și comutativă, are elementul nul $O_n$ (matricea nulă) și opuse ($-A$), înmulțirea e asociativă, are elementul unitate $I_n$ (matricea unitate) și e distributivă față de adunare, de ambele părți. Prin urmare $({\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}),+,\cdot )$ este inel, cu $0=O_n$ și $1=I_n$.

Este însă un inel necomutativ pentru $n\ge 2$, iar răspunsul la întrebarea din titlu e un contraexemplu, nu o teorie. Ia

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right).$$

Atunci

$$AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right),$$

deci $AB\ne BA$. Un singur exemplu e suficient: comutativitatea e o proprietate universală, iar universalele se resping cu un contraexemplu. Ține minte perechea aceasta — o vei folosi și în lecțiile următoare.

7. Inelul funcțiilor reale definite pe $\mathbb{R}$

Fie $\mathcal{F}=\{f\mid f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\}$, mulțimea tuturor funcțiilor reale de variabilă reală, cu operațiile definite punctual:

$$(f+g)(x)=f(x)+g(x),(fg)(x)=f(x)\cdot g(x),\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}.$$

Fiecare axiomă se verifică „la nivel de $x$", adică se reduce la axioma corespunzătoare din $\mathbb{R}$. De exemplu, pentru D1: $(f(g+h))(x)=f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)=(fg+fh)(x)$, pentru orice $x$, deci $f(g+h)=fg+fh$. Elementul nul este funcția constantă nulă, $0(x)=0$, iar elementul unitate este funcția constantă $1(x)=1$; opusul lui $f$ este $(-f)(x)=-f(x)$. Așadar $(\mathcal{F},+,\cdot )$ este inel comutativ.

⚠️ Atenție la o capcană: a doua operație este înmulțirea punctuală, nu compunerea. Cu adunarea și compunerea, structura nu mai e inel — vezi ultimul exercițiu al lecției.

8. Un inel nou: întregii lui Gauss

Până acum toate exemplele erau mulțimi pe care le știai. Iată una nouă, construită anume:

$$\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{Z}\}\subset \mathbb{C},$$

numită mulțimea întregilor lui Gauss. Aplicăm rețeta în trei pași. Pasul 1: $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ și $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$; cum $a+c$, $b+d$, $ac-bd$, $ad+bc$ sunt numere întregi, ambele rezultate au din nou forma cerută. Pasul 2: asociativitatea, comutativitatea și distributivitatea se moștenesc din $\mathbb{C}$. Pasul 3: $0=0+0i\in \mathbb{Z}[i]$, $1=1+0i\in \mathbb{Z}[i]$, iar opusul lui $a+bi$ este $(-a)+(-b)i\in \mathbb{Z}[i]$. Concluzie: $(\mathbb{Z}[i],+,\cdot )$ este inel comutativ.

Aceeași rețetă merge, cuvânt cu cuvânt, pentru $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$, cu formula produsului $(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}$. Inelele acestea nu sunt curiozități: pe ele se sprijină, la Bacalaureat M1, exercițiile în care ți se cere să arăți că o mulțime „de forma cutare" e închisă la ambele operații.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Elementele nul și unitate în ${\mathbb{Z}}_6$

Determinați elementul nul, elementul unitate și opusele tuturor claselor din inelul $({\mathbb{Z}}_6,+,\cdot )$. Verificați distributivitatea pe cazul $\hat{4}(\hat{3}+\hat{5})$.

Rezolvare. Elementul nul este $\hat{0}$, iar elementul unitate este $\hat{1}$ — se citesc direct din tablele de mai sus. Opusele: $-\hat{0}=\hat{0}$, $-\hat{1}=\hat{5}$, $-\hat{2}=\hat{4}$, $-\hat{3}=\hat{3}$, $-\hat{4}=\hat{2}$, $-\hat{5}=\hat{1}$; regula generală e $-\hat{a}=\widehat{6-a}$ pentru $a\ne 0$.

Pentru distributivitate: $\hat{3}+\hat{5}=\hat{8}=\hat{2}$, deci membrul stâng este $\hat{4}\cdot \hat{2}=\hat{8}=\hat{2}$. Membrul drept: $\hat{4}\hat{3}+\hat{4}\hat{5}=\widehat{12}+\widehat{20}=\hat{0}+\hat{2}=\hat{2}$. Egale. ✓

Exemplul 2 — Un inel necomutativ, scris complet

Arătați că inelul ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ nu este comutativ și că, în el, $(A+B{)}^2\ne A^2+2AB+B^2$ pentru matricele din subsecțiunea 6.

Rezolvare. Necomutativitatea a fost arătată: $AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=BA$. Mai departe, $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, deci

$$(A+B{)}^2=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right).$$

Pe de altă parte $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$, $B^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$ și $2AB=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$, cu suma $\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$, diferită de $(A+B{)}^2$. Dezvoltarea corectă, valabilă în orice inel, este $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$; abia când $AB=BA$ cei doi termeni din mijloc se strâng în $2AB$.

Exemplul 3 — Inelul funcțiilor: identificarea lui $0$ și a lui $1$

În inelul $\mathcal{F}$ al funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, calculați $f+g$ și $fg$ pentru $f(x)=x^2-1$ și $g(x)=2x+3$. Precizați elementul nul, elementul unitate și opusul lui $f$.

Rezolvare. $(f+g)(x)=x^2-1+2x+3=x^2+2x+2$. Produsul: $(fg)(x)=(x^2-1)(2x+3)=2x^3+3x^2-2x-3$. Elementul nul este funcția $0(x)=0$, elementul unitate este funcția $1(x)=1$, iar opusul lui $f$ este funcția $(-f)(x)=1-x^2$. Verificare rapidă: $(f+(-f))(x)=x^2-1+1-x^2=0$ pentru orice $x$, deci $f+(-f)=0$. ✓

Exemplul 4 — $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ este inel comutativ

Arătați că $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$, cu adunarea și înmulțirea numerelor reale, este inel comutativ.

Rezolvare. Pasul 1. Fie $x=a+b\sqrt{2}$ și $y=c+d\sqrt{2}$, cu $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$. Atunci $x+y=(a+c)+(b+d)\sqrt{2}$, iar

$$xy=ac+ad\sqrt{2}+bc\sqrt{2}+bd\cdot 2=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}.$$

Cum $a+c$, $b+d$, $ac+2bd$, $ad+bc\in \mathbb{Z}$, ambele rezultate sunt în $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.

Pasul 2. Asociativitatea și comutativitatea celor două operații, precum și distributivitatea, se moștenesc din $\mathbb{R}$.

Pasul 3. $0=0+0\sqrt{2}\in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, $1=1+0\sqrt{2}\in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, iar opusul lui $a+b\sqrt{2}$ este $(-a)+(-b)\sqrt{2}\in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Prin urmare $(\mathbb{Z}[\sqrt{2}],+,\cdot )$ este inel comutativ. Exemplu numeric de control: $(1+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=3-\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2=1+2\sqrt{2}$, cu formula: $ac+2bd=3-2=1$ și $ad+bc=-1+3=2$. ✓

Exemplul 5 — Două legi deghizate pe $\mathbb{Z}$

Pe $\mathbb{Z}$ se definesc legile $x\oplus y=x+y-2$ și $x\otimes y=xy-2x-2y+6$. Arătați că $(\mathbb{Z},\oplus ,\otimes )$ este inel comutativ și determinați elementul nul și elementul unitate.

Rezolvare. Cheia e forma factorizată. Observăm că

$$x\oplus y=(x-2)+(y-2)+2,x\otimes y=(x-2)(y-2)+2,$$

pentru că $(x-2)(y-2)+2=xy-2x-2y+4+2=xy-2x-2y+6$. Notând $u=x-2$, $v=y-2$, legile devin „adună, respectiv înmulțește numerele mutate cu $2$, apoi mută rezultatul înapoi".

Asociativitatea lui $\oplus$: $(x\oplus y)\oplus z=x+y+z-4=x\oplus (y\oplus z)$. Comutativitatea e evidentă din formă. Elementul nul: căutăm $e$ cu $x\oplus e=x$, adică $x+e-2=x$, deci $e=2$. Opusul lui $x$: din $x\oplus x^{\prime }=2$ obținem $x+x^{\prime }-2=2$, adică $x^{\prime }=4-x\in \mathbb{Z}$. Deci $(\mathbb{Z},\oplus )$ este grup comutativ.

Pentru $\otimes$: asociativitatea rezultă din $(x\otimes y)\otimes z=((x-2)(y-2)(z-2))+2=x\otimes (y\otimes z)$, iar comutativitatea, din simetria produsului. Elementul unitate: $x\otimes u=x$ înseamnă $(x-2)(u-2)+2=x$, adică $(x-2)(u-2)=x-2$ pentru orice $x$, deci $u-2=1$ și $u=3$. Distributivitatea: $x\otimes (y\oplus z)=(x-2)((y-2)+(z-2))+2$, iar $(x\otimes y)\oplus (x\otimes z)=(x-2)(y-2)+(x-2)(z-2)+2$ — egale, prin distributivitatea din $\mathbb{Z}$. Așadar $(\mathbb{Z},\oplus ,\otimes )$ este inel comutativ, cu elementul nul $2$ și elementul unitate $3$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pe mulțimea $\mathbb{Z}$ se consideră legile de compoziție $x\oplus y=x+y+3$ și $x\otimes y=xy+3x+3y+6$. a) Arătați că $x\otimes y=(x+3)(y+3)-3$, pentru orice $x,y\in \mathbb{Z}$. b) Arătați că $(\mathbb{Z},\oplus ,\otimes )$ este inel comutativ. c) Determinați elementul nul, opusul unui element oarecare și elementul unitate ale acestui inel.

Rezolvare. Este tipul de problemă care apare, în format de trei subpuncte, în Subiectul al II-lea de la Bacalaureat M1.

a) $(x+3)(y+3)-3=xy+3x+3y+9-3=xy+3x+3y+6=x\otimes y$. ✓ Observăm și că $x\oplus y=(x+3)+(y+3)-3$.

b) Verificăm axiomele direct, folosind de fiecare dată forma factorizată de la punctul a). Asociativitatea lui $\oplus$: $(x\oplus y)\oplus z=x+y+z+6=x\oplus (y\oplus z)$; comutativitatea e clară. Asociativitatea lui $\otimes$: ambii membri se scriu $(x+3)(y+3)(z+3)-3$; comutativitatea, la fel. Distributivitatea: $x\otimes (y\oplus z)=(x+3)((y+3)+(z+3))-3=[(x+3)(y+3)-3]\oplus [(x+3)(z+3)-3]=(x\otimes y)\oplus (x\otimes z)$. Cum ambele legi sunt comutative, distributivitatea la dreapta rezultă imediat. Rămâne existența nulului, a opuselor și a unității, la punctul c).

c) Elementul nul: $x\oplus e=x\Rightarrow x+e+3=x\Rightarrow e=-3$. Opusul lui $x$: $x\oplus x^{\prime }=-3\Rightarrow x+x^{\prime }+3=-3\Rightarrow x^{\prime }=-6-x\in \mathbb{Z}$. Elementul unitate: $x\otimes u=x\Rightarrow (x+3)(u+3)-3=x\Rightarrow (x+3)(u+3)=x+3$ pentru orice $x$, deci $u+3=1$ și $u=-2$. Verificare: $x\otimes (-2)=-2x+3x-6+6=x$. ✓ Prin urmare $(\mathbb{Z},\oplus ,\otimes )$ este inel comutativ, cu $0=-3$ și $1=-2$.

Să exersăm

La fiecare exercițiu de tip „arătați că este inel", scrie explicit cei trei pași ai rețetei și subliniază unde folosești moștenirea. Nu declara niciodată structura înainte de a fi găsit ambele elemente neutre.

1. Este $(\mathbb{N},+,\cdot )$ inel? Justifică arătând exact ce axiomă cade.

2. Scrie elementul nul, elementul unitate și opusele tuturor claselor din ${\mathbb{Z}}_7$.

3. Scrie tabla înmulțirii în ${\mathbb{Z}}_5$ și citește din ea elementul unitate.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un inel, elementul unitate este obligatoriu diferit de elementul nul."

5. Arată că mulțimea numerelor pare, cu adunarea și înmulțirea obișnuite, nu este inel în sensul definiției din această lecție.

6. Arată că $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]=\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ este inel comutativ și scrie formula produsului a două elemente.

7. Calculează $AB$ și $BA$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$, apoi spune dacă cele două matrice comută.

8. Verifică distributivitatea în ${\mathbb{Z}}_8$ pe cazul $\hat{5}(\hat{6}+\hat{7})$, calculând separat cei doi membri.

9. (Problemă aplicată.) Zilele săptămânii se numerotează de la $\hat{0}$ (luni) la $\hat{6}$ (duminică), în ${\mathbb{Z}}_7$. Dacă azi e $\hat{3}$, în ce zi cade a $100$-a zi de acum înainte? Ce operație din inel folosești?

10. În inelul funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, calculează $f+g$, $fg$ și $-f$ pentru $f(x)=3x-1$ și $g(x)=x^2$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice inel este comutativ."

12. Pe $\mathbb{Z}$ se definesc $x\oplus y=x+y-5$ și $x\otimes y=xy-5x-5y+30$. Scrie forma factorizată a lui $\otimes$ și determină elementul nul, opusul lui $x$ și elementul unitate.

13. Scrie ambele table ale lui ${\mathbb{Z}}_4$ și verifică pe ele comutativitatea celor două operații.

14. Determină opusele tuturor claselor din ${\mathbb{Z}}_9$ și verifică regula $-\hat{a}=\widehat{9-a}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $\mathcal{D}=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)\mid a,b\in \mathbb{R}\right\}$. Arată că $\mathcal{D}$, cu adunarea și înmulțirea matricelor, este inel comutativ și precizează elementul nul și elementul unitate.

16. Calculează $(2+3i)(1-4i)$ și verifică pe acest exemplu că produsul a doi întregi ai lui Gauss rămâne în $\mathbb{Z}[i]$.

17. Determină toate clasele $\hat{x}\in {\mathbb{Z}}_8$ pentru care $\hat{x}+\hat{x}=\hat{0}$.

18. (Provocare.) Pe mulțimea funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ se consideră adunarea punctuală și compunerea funcțiilor. Arată, cu un contraexemplu, că distributivitatea la stânga cade, deci structura nu este inel.

Răspunsuri și explicații

1. Nu. Axiomele A1, A2, A3, M1, M2, D1, D2 sunt îndeplinite, dar A4 cade: pentru $a=2$ nu există $y\in \mathbb{N}$ cu $2+y=0$. Fără opuse, $(\mathbb{N},+)$ nu e grup, deci $(\mathbb{N},+,\cdot )$ nu e inel.

2. Elementul nul este $\hat{0}$, elementul unitate este $\hat{1}$. Opusele: $-\hat{0}=\hat{0}$, $-\hat{1}=\hat{6}$, $-\hat{2}=\hat{5}$, $-\hat{3}=\hat{4}$, $-\hat{4}=\hat{3}$, $-\hat{5}=\hat{2}$, $-\hat{6}=\hat{1}$.

3. Liniile tablei, pentru $\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}$, sunt: $\hat{0}\hat{0}\hat{0}\hat{0}\hat{0}$; $\hat{0}\hat{1}\hat{2}\hat{3}\hat{4}$; $\hat{0}\hat{2}\hat{4}\hat{1}\hat{3}$; $\hat{0}\hat{3}\hat{1}\hat{4}\hat{2}$; $\hat{0}\hat{4}\hat{3}\hat{2}\hat{1}$. Linia care reproduce antetul este cea a lui $\hat{1}$, deci $\hat{1}$ e elementul unitate.

4. Fals în general: inelul cu un singur element, $\{0\}$, are $1=0$. Afirmația devine adevărată dacă adaugi ipoteza „inel nenul" — și exact așa procedăm noi, cerând $1\ne 0$ pentru toate inelele din unitate.

5. Mulțimea $2\mathbb{Z}$ e parte stabilă la ambele operații (suma și produsul a două numere pare sunt pare), opusul unui număr par e par, iar $0$ e par. Cade însă M2: elementul unitate ar trebui să fie $1$, care nu e par, iar niciun număr par nu poate juca rolul lui. Deci $2\mathbb{Z}$ nu e inel în sensul definiției noastre.

6. $(a+b\sqrt{3})+(c+d\sqrt{3})=(a+c)+(b+d)\sqrt{3}$ și $(a+b\sqrt{3})(c+d\sqrt{3})=(ac+3bd)+(ad+bc)\sqrt{3}$, ambele de forma cerută. Asociativitatea, comutativitatea și distributivitatea se moștenesc din $\mathbb{R}$; $0=0+0\sqrt{3}$, $1=1+0\sqrt{3}$, iar opusul lui $a+b\sqrt{3}$ este $(-a)+(-b)\sqrt{3}$. Deci e inel comutativ.

7. $AB=\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 3& 1\end{array}\right)$, $BA=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)$. Cele două matrice nu comută, ceea ce reconfirmă că ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ este inel necomutativ.

8. $\hat{6}+\hat{7}=\widehat{13}=\hat{5}$, deci membrul stâng este $\hat{5}\cdot \hat{5}=\widehat{25}=\hat{1}$. Membrul drept: $\hat{5}\hat{6}+\hat{5}\hat{7}=\widehat{30}+\widehat{35}=\hat{6}+\hat{3}=\hat{9}=\hat{1}$. Egale. ✓

9. Se folosește adunarea din ${\mathbb{Z}}_7$: $\hat{3}+\widehat{100}=\widehat{103}$, iar $103=14\cdot 7+5$, deci rezultatul este $\hat{5}$, adică sâmbătă. Operația e adunarea inelului ${\mathbb{Z}}_7$, adică adunarea claselor de resturi.

10. $(f+g)(x)=x^2+3x-1$; $(fg)(x)=3x^3-x^2$; $(-f)(x)=1-3x$. Verificare: $(f+(-f))(x)=0$ pentru orice $x$. ✓

11. Fals. Contraexemplul standard este ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ am obținut $AB\ne BA$. Comutativitatea înmulțirii este o axiomă suplimentară, nu o consecință.

12. $x\otimes y=(x-5)(y-5)+5$, pentru că $(x-5)(y-5)+5=xy-5x-5y+25+5$. Elementul nul: $x+e-5=x\Rightarrow e=5$. Opusul: $x+x^{\prime }-5=5\Rightarrow x^{\prime }=10-x$. Elementul unitate: $(x-5)(u-5)=x-5$ pentru orice $x$, deci $u=6$.

13. Tabla adunării în ${\mathbb{Z}}_4$ are liniile $\hat{0}\hat{1}\hat{2}\hat{3}$; $\hat{1}\hat{2}\hat{3}\hat{0}$; $\hat{2}\hat{3}\hat{0}\hat{1}$; $\hat{3}\hat{0}\hat{1}\hat{2}$. Tabla înmulțirii are liniile $\hat{0}\hat{0}\hat{0}\hat{0}$; $\hat{0}\hat{1}\hat{2}\hat{3}$; $\hat{0}\hat{2}\hat{0}\hat{2}$; $\hat{0}\hat{3}\hat{2}\hat{1}$. Ambele sunt simetrice față de diagonala principală, deci ambele operații sunt comutative.

14. $-\hat{0}=\hat{0}$, $-\hat{1}=\hat{8}$, $-\hat{2}=\hat{7}$, $-\hat{3}=\hat{6}$, $-\hat{4}=\hat{5}$, $-\hat{5}=\hat{4}$, $-\hat{6}=\hat{3}$, $-\hat{7}=\hat{2}$, $-\hat{8}=\hat{1}$. Regula se verifică pentru fiecare $a\ne 0$, pentru că $\hat{a}+\widehat{9-a}=\hat{9}=\hat{0}$.

15. Suma a două matrice diagonale este diagonală, iar produsul lor este $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& 0\\ 0& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac& 0\\ 0& bd\end{array}\right)$, tot diagonală. Asociativitatea și distributivitatea se moștenesc din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Elementul nul este $O_2$, elementul unitate este $I_2$ (care e diagonală), iar opusul se obține schimbând semnele. Comutativitatea se vede din formula produsului: $ac=ca$ și $bd=db$. Deci $\mathcal{D}$ este inel comutativ.

16. $(2+3i)(1-4i)=2-8i+3i-12i^2=2-5i+12=14-5i$. Partea reală $14$ și cea imaginară $-5$ sunt numere întregi, deci rezultatul aparține lui $\mathbb{Z}[i]$, conform formulei $(ac-bd)+(ad+bc)i$ cu $a=2$, $b=3$, $c=1$, $d=-4$.

17. Condiția $\hat{x}+\hat{x}=\hat{0}$ înseamnă $8\mid 2x$, deci $4\mid x$. Soluțiile sunt $\hat{x}\in \{\hat{0},\hat{4}\}$.

18. Fie $f(x)=x^2$, $g(x)=h(x)=x$. Atunci $(f\circ (g+h))(x)=f(2x)=4x^2$, în timp ce $(f\circ g+f\circ h)(x)=x^2+x^2=2x^2$. Cele două funcții diferă (de exemplu în $x=1$), deci compunerea nu e distributivă la stânga față de adunare și structura nu este inel. Curios este că distributivitatea la dreapta funcționează: $((f+g)\circ h)(x)=f(h(x))+g(h(x))$ mereu.

De reținut

• Un inel este o mulțime nevidă $A$ cu două legi de compoziție, în care $(A,+)$ este grup comutativ, $(A,\cdot )$ este monoid, iar înmulțirea este distributivă față de adunare de ambele părți.
• În acest curs orice inel are element unitate, notat $1$, iar elementul nul se notează $0$; toate inelele studiate sunt nenule, adică au $1\ne 0$.
• Un inel se numește comutativ atunci când, în plus, înmulțirea este comutativă; adunarea unui inel este comutativă întotdeauna, prin definiție.
• Inelele-etalon ale programei sunt $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, ${\mathbb{Z}}_n$, ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, inelul funcțiilor reale și inelele de tipul $\mathbb{Z}[i]$ sau $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$; dintre ele, numai ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ cu $n\ge 2$ este necomutativ.
• Verificarea faptului că o mulțime este inel se face în trei pași: partea stabilă la ambele operații, moștenirea axiomelor de calcul dintr-o structură cunoscută și existența lui $0$, a lui $1$ și a opuselor în mulțimea dată.

Greșeli frecvente

• Se uită că adunarea trebuie să fie comutativă. Axioma A2 face parte din definiție, nu e opțională. Într-o lucrare, „$(A,+)$ este grup" fără cuvântul „comutativ" costă puncte.
• Se demonstrează distributivitatea într-un singur sens. Când înmulțirea nu e comutativă (cazul matricelor), D1 și D2 sunt afirmații diferite și amândouă trebuie verificate. Într-un inel comutativ, una o dă pe cealaltă — dar spune-o.
• Se declară structura de inel fără a găsi elementul unitate. Cel mai frecvent caz este $2\mathbb{Z}$ sau o mulțime de matrice fără $I_2$. Pasul 3 al rețetei există tocmai ca să nu sari peste M2.
• Se aplică formula $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ într-un inel oarecare. Ea cere $ab=ba$. Corect, în orice inel, este $(a+b{)}^2=a^2+ab+ba+b^2$; abia comutativitatea strânge mijlocul în $2ab$.
• Se confundă înmulțirea punctuală a funcțiilor cu compunerea. Inelul funcțiilor folosește $(fg)(x)=f(x)g(x)$. Cu adunarea și compunerea, distributivitatea la stânga cade, deci nu se obține un inel.

Aplică acasă

1. Ceasul ca inel. Scrie pe o foaie tabla adunării și tabla înmulțirii în ${\mathbb{Z}}_{12}$ (orele ceasului). Marchează cu o culoare toate locurile din tabla înmulțirii unde apare $\hat{0}$ fără ca vreunul dintre factori să fie $\hat{0}$. Numără-le — vei avea nevoie de lista lor la lecția următoare.

2. Vânătoare de inele. Ia trei mulțimi la alegere dintre: numerele impare, matricele de forma $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)$ cu $a,b\in \mathbb{R}$, funcțiile polinomiale de grad cel mult $2$, numerele de forma $a+b\sqrt{5}$ cu $a,b$ întregi. Pentru fiecare, aplică rețeta în trei pași și scrie verdictul cu justificarea axiomei care cade, dacă e cazul.

3. Legea deghizată. Inventează un număr întreg $a$ și scrie legile $x\oplus y=x+y-a$, $x\otimes y=xy-ax-ay+a^2+a$. Verifică pe hârtie că elementul nul este $a$ și elementul unitate este $a+1$, apoi controlează pe două-trei perechi de numere concrete.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea de structuri cu două operații și e, în esență, o lecție de definiție riguroasă și de verificare disciplinată. Ea aparține suplimentului pe programa veche, marcat ca atare în deschidere, deci elevii de azi îi datorează timp.

De verificat în caiet: (1) definiția e scrisă complet, cu toate cele opt axiome și cu mențiunea că adunarea e comutativă; (2) la fiecare exercițiu de tip „arătați că este inel" apar cei trei pași, iar moștenirea e invocată explicit, nu subînțeleasă; (3) elementul nul și elementul unitate sunt determinate prin ecuație, nu ghicite; (4) contraexemplul de necomutativitate este scris cu ambele produse calculate. Întrebări de control: „Ce înseamnă că $(A,\cdot )$ este monoid?"; „De ce $\mathbb{N}$ nu e inel?"; „Care e elementul unitate al inelului funcțiilor?"; „Cum arăți că un inel nu e comutativ?".

La BAC M1, această materie apare aproape întotdeauna în problema a doua din Subiectul al II-lea, sub forma unei perechi de legi definite prin formule pe $\mathbb{R}$ sau pe $\mathbb{Z}$, cu subpuncte a), b), c). Semn că elevul a înțeles: găsește singur forma factorizată a celei de-a doua legi și, din ea, citește nulul și unitatea în câteva secunde, fără să reverifice toate axiomele.

Întrebări frecvente

Ce este un inel la clasa a 12-a? Un inel este o mulțime nevidă înzestrată cu două legi de compoziție, o adunare și o înmulțire, astfel încât mulțimea să fie grup comutativ față de adunare, monoid față de înmulțire, iar înmulțirea să fie distributivă față de adunare, atât la stânga, cât și la dreapta. Se notează $(A,+,\cdot )$ și se studiază la clasa a 12-a, la profilul matematică-informatică.

Care sunt axiomele unui inel? Sunt opt: asociativitatea și comutativitatea adunării, existența elementului nul $0$, existența opusului fiecărui element, asociativitatea înmulțirii, existența elementului unitate $1$ și cele două distributivități, la stânga și la dreapta. Primele patru spun că $(A,+)$ e grup comutativ, următoarele două că $(A,\cdot )$ e monoid, iar ultimele două leagă operațiile între ele.

Ce înseamnă inel comutativ? Înseamnă un inel în care și înmulțirea este comutativă, adică $xy=yx$ pentru orice două elemente. Adunarea unui inel e comutativă oricum, prin definiție, așa că adjectivul se referă exclusiv la a doua operație. Inelele $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ și ${\mathbb{Z}}_n$ sunt comutative, iar ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ cu $n\ge 2$ nu este.

Cum arăt că o mulțime este inel? Se parcurg trei pași: verifici că mulțimea e parte stabilă față de ambele operații, invoci moștenirea axiomelor de calcul dintr-o structură cunoscută care o conține, apoi arăți că elementul nul, elementul unitate și opusul fiecărui element aparțin mulțimii. Doar după al treilea pas se scrie concluzia. Când mulțimea nu e inclusă într-o structură cunoscută, verifici efectiv fiecare axiomă.

De ce mulțimea numerelor naturale nu este inel? Pentru că axioma opuselor cade: niciun număr natural nenul nu are opus în $\mathbb{N}$, deci $(\mathbb{N},+)$ nu este grup. Toate celelalte șapte axiome sunt îndeplinite, dar e suficient ca una singură să pice. Din același motiv, $\mathbb{N}$ nu apare niciodată ca exemplu de inel în subiectele de Bacalaureat M1.

Este ${\mathbb{Z}}_n$ un inel pentru orice $n$? Da, $({\mathbb{Z}}_n,+,\cdot )$ este inel comutativ pentru orice $n\ge 2$, cu elementul nul $\hat{0}$ și elementul unitate $\hat{1}$. Toate axiomele se transferă din $\mathbb{Z}$ prin reprezentanți, iar buna definire a operațiilor a fost demonstrată în unitatea despre legi de compoziție. Ce se schimbă odată cu $n$ nu este structura de inel, ci comportarea produsului: în unele cazuri doi factori nenuli pot da produsul $\hat{0}$.

De ce inelul matricelor nu este comutativ? Pentru că înmulțirea matricelor nu e comutativă începând cu ordinul $2$, iar comutativitatea se respinge cu un singur contraexemplu. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ se obține $AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, dar $BA=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$. Toate celelalte axiome de inel sunt însă îndeplinite.