Inelul polinoamelor peste un corp: pe scurt

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Pentru un corp comutativ $K$, mulțimea $K[X]$ a polinoamelor cu coeficienți în $K$ formează un inel comutativ cu element unitate, în care polinoamele constante alcătuiesc o copie a lui $K$. Cazurile de lucru sunt $\mathbb{Q}[X]$, $\mathbb{R}[X]$, $\mathbb{C}[X]$ și ${\mathbb{Z}}_p[X]$, cu $p$ prim. Calculul peste ${\mathbb{Z}}_p$ decurge exact ca peste $\mathbb{C}$, cu o singură deosebire: fiecare coeficient se reduce modulo $p$ — de aceea termeni întregi pot dispărea, ca în $(X+\hat{1}{)}^2=X^2+\hat{1}$ peste ${\mathbb{Z}}_2$. Pentru polinoame nenule are loc formula gradului, $\mathrm{grad}(fg)=\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g$, iar demonstrația ei folosește exact un singur lucru: în $K$ nu există divizori ai lui zero. De aceea formula cade peste inele ca ${\mathbb{Z}}_4$ sau ${\mathbb{Z}}_6$, unde produsul a două polinoame de gradul întâi poate avea grad mai mic. Din aceeași lipsă a divizorilor lui zero rezultă că $K[X]$ este inel integru, deci se poate simplifica: din $fg=fh$ cu $f\ne 0$ urmează $g=h$. În sfârșit, $U(K[X])=K^{\ast }$: singurele polinoame inversabile sunt constantele nenule, iar $X$ nu are invers.

Exerciții din această mini-lecție

1. În ${\mathbb{Z}}_7[X]$, produsul $(\hat{5}X+\hat{4})(\hat{3}X+\hat{6})$ este:

   • a) $X^2+\hat{2}X+\hat{3}$
   • b) $X^2+\hat{4}$
   • c) $X^2+\hat{3}$
   • d) $\widehat{15}{X}^2+\widehat{42}X+\widehat{24}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $X^2+\hat{3}$

   Înmulțim și reducem fiecare coeficient modulo $7$: coeficientul lui $X^2$ este $5\cdot 3=15\equiv 1$, coeficientul lui $X$ este $5\cdot 6+4\cdot 3=42\equiv 0$, iar termenul liber este $4\cdot 6=24\equiv 3$. Rezultă $X^2+\hat{3}$. Varianta a apare când se adună un singur produs încrucișat, varianta b dintr-o reducere greșită a lui $24$, iar varianta d lasă coeficienții nereduși — clasele trebuie scrise întotdeauna între $\hat{0}$ și $\hat{6}$.

2. În ${\mathbb{Z}}_6[X]$ se calculează produsul $(\hat{3}X+\hat{1})(\hat{2}X+\hat{5})$. Gradul lui este:

   • a) $1$
   • b) $2$
   • c) $0$
   • d) produsul este polinomul nul
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $1$

   Coeficientul lui $X^2$ este $3\cdot 2=6\equiv \hat{0}$, deci termenul dominant dispare. Mai departe, coeficientul lui $X$ este $3\cdot 5+1\cdot 2=17\equiv \hat{5}$, iar termenul liber este $\hat{5}$, deci produsul este $\hat{5}X+\hat{5}$, de gradul întâi. Formula gradului cere ca inelul coeficienților să nu aibă divizori ai lui zero, iar ${\mathbb{Z}}_6$ are: $\hat{3}\cdot \hat{2}=\hat{0}$.

3. Care dintre polinoamele următoare este inversabil în inelul ${\mathbb{Z}}_5[X]$?

   • a) $X$
   • b) $\hat{3}$
   • c) $X+\hat{1}$
   • d) $\hat{0}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\hat{3}$

   Într-un inel de polinoame peste un corp, $U(K[X])=K^{\ast }$: sunt inversabile exact constantele nenule. Aici $\hat{3}\cdot \hat{2}=\hat{6}=\hat{1}$, deci $\hat{3}$ este inversabil. Polinoamele de grad cel puțin $1$ nu pot fi inversabile, pentru că gradul produsului ar fi cel puțin $1$, iar $\mathrm{grad}\hat{1}=0$; în particular $X$ nu are invers. Polinomul nul nu este inversabil în niciun inel.