Inelul polinoamelor cu coeficienți într-un corp comutativ

Toate polinoamele pe care le-ai întâlnit până acum aveau drept coeficienți numere: întregi, raționale, reale sau complexe. Inelul polinoamelor peste un corp comutativ $K$ este mulțimea $K[X]$ a tuturor polinoamelor cu coeficienți luați din $K$, împreună cu adunarea și înmulțirea obișnuite ale polinoamelor, față de care $K[X]$ devine el însuși inel comutativ cu element unitate. Pasul pe care îl face clasa a 12-a față de clasa a X-a este unul singur, însă decisiv: corpul $K$ poate fi acum și o mulțime finită, cum este ${\mathbb{Z}}_5$. Pasul acesta nu e o joacă de notație — pe el se sprijină codurile corectoare de erori care salvează un CD zgâriat și cea mai mare parte a criptografiei care îți protejează plățile online.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Vestea bună este că nu pornim de la zero: aproape tot mecanismul de calcul îl ai deja din clasa a X-a, de la forma algebrică și gradul unui polinom. Ce e nou aici e de ce funcționează acel mecanism — și ce anume se strică atunci când coeficienții nu mai vin dintr-un corp.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești mulțimea $K[X]$ a polinoamelor cu coeficienți într-un corp comutativ $K$ și să recunoști cazurile $\mathbb{Q}[X]$, $\mathbb{R}[X]$, $\mathbb{C}[X]$, ${\mathbb{Z}}_p[X]$.
• Vei ști să aduni și să înmulțești polinoame cu coeficienți clase de resturi, reducând fiecare coeficient modulo $p$.
• Vei ști să arăți că $(K[X],+,\cdot )$ este inel comutativ, cu $K$ ca subinel al polinoamelor constante.
• Vei ști să demonstrezi formula gradului, $\mathrm{grad}(fg)=\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g$, și să spui exact unde intervine ipoteza că $K$ este corp.
• Vei ști să dai contraexemple în ${\mathbb{Z}}_4[X]$ și ${\mathbb{Z}}_6[X]$, unde formula gradului cade și apar divizori ai lui zero.
• Vei ști să determini elementele inversabile ale lui $K[X]$ și să aplici regula simplificării.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este inelul polinoamelor peste un corp?

Inelul polinoamelor peste un corp comutativ $K$ este mulțimea $K[X]$ a tuturor expresiilor de forma $f=a_n{X}^n+\cdots +a_{1}X+a_0$, cu $n\in \mathbb{N}$ și cu toți coeficienții $a_0,a_1,\dots ,a_n$ luați din $K$, înzestrată cu adunarea și înmulțirea obișnuite ale polinoamelor; față de aceste două operații, $K[X]$ este un inel comutativ cu element unitate.

Notațiile rămân exact cele fixate în clasa a X-a, ca să nu ai nimic de reînvățat: nedeterminata se scrie cu literă mare, $X$; polinoamele se notează $f,g,h$; gradul lui $f$ se scrie $\mathrm{grad}f$; coeficientul lui $X^k$ este $a_k$; termenul $a_0$ este termenul liber; dacă $a_n\ne 0$, atunci $a_n$ este coeficientul dominant, iar polinomul cu coeficientul dominant $1$ se numește monic. Polinomul nul nu are grad — aceeași convenție ca înainte.

Singura noutate este natura coeficienților. Până acum aveai lanțul $\mathbb{Z}[X]\subset \mathbb{Q}[X]\subset \mathbb{R}[X]\subset \mathbb{C}[X]$. De acum, în locul lui $\mathbb{C}$ poate sta orice corp comutativ. Corpurile pe care le folosim în acest capitol sunt cele patru din lecția despre corpuri și exemplele lor:

Ultimul rând schimbă totul. ${\mathbb{Z}}_p$ este finit, iar acest lucru va produce fenomene pe care numerele complexe nu le pot arăta. Reține de pe acum că $K[X]$ rămâne, în schimb, o mulțime infinită, oricât de mic ar fi $K$: gradele pot crește oricât.

2. Cum se calculează cu polinoame peste ${\mathbb{Z}}_p$?

Regulile de calcul sunt cele știute; noutatea e că, după fiecare adunare și după fiecare înmulțire de coeficienți, rezultatul se reduce modulo $p$, folosind operațiile cu clase de la înmulțirea claselor de resturi modulo $n$.

Fie $f=\hat{3}{X}^2+\hat{4}X+\hat{2}$ și $g=\hat{2}X+\hat{3}$, ambele în ${\mathbb{Z}}_5[X]$.

Adunarea se face coeficient cu coeficient:

$$f+g=\hat{3}{X}^2+(\hat{4}+\hat{2})X+(\hat{2}+\hat{3})=\hat{3}{X}^2+\hat{1}X+\hat{0}=\hat{3}{X}^2+\hat{1}X.$$

Observă ce s-a întâmplat cu termenul liber: $\hat{2}+\hat{3}=\hat{5}=\hat{0}$, deci a dispărut. Peste ${\mathbb{Z}}_5$ suma a doi coeficienți nenuli poate fi nulă — ceva ce nu se întâmplă niciodată cu numere pozitive.

Înmulțirea urmează aceeași schemă ca la clasa a X-a: fiecare termen cu fiecare, apoi se grupează după puteri, apoi se reduce modulo $5$:

$$fg=\hat{3}\hat{2}{X}^3+(\hat{3}\hat{3}+\hat{4}\hat{2})X^2+(\hat{4}\hat{3}+\hat{2}\hat{2})X+\hat{2}\hat{3}=\hat{6}{X}^3+\widehat{17}{X}^2+\widehat{16}X+\hat{6},$$

adică, reducând fiecare coeficient, $fg=X^3+\hat{2}{X}^2+X+\hat{1}$. (Scriem $X^3$ în loc de $\hat{1}{X}^3$, exact cum scrii $X^3$ în loc de $1\cdot X^3$.) Gradele: $\mathrm{grad}f=2$, $\mathrm{grad}g=1$, $\mathrm{grad}(fg)=3=2+1$ — deocamdată, totul ca acasă.

Două identități peste corpuri finite merită văzute acum, pentru că surprind pe toată lumea. În ${\mathbb{Z}}_2[X]$:

$$(X+\hat{1}{)}^2=X^2+\hat{2}X+\hat{1}=X^2+\hat{1},$$

pentru că $\hat{2}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_2$. Iar în ${\mathbb{Z}}_3[X]$, din același motiv ($\hat{3}=\hat{0}$):

$$(X+\hat{1}{)}^3=X^3+\hat{3}{X}^2+\hat{3}X+\hat{1}=X^3+\hat{1}.$$

Nu e nicio magie și nicio greșeală de calcul: formula binomului se aplică nemodificată, doar că unii coeficienți binomiali devin nuli în $K$.

3. Structura de inel a lui $K[X]$

Adunarea și înmulțirea polinoamelor sunt legi de compoziție pe $K[X]$: suma și produsul a două polinoame cu coeficienți în $K$ au tot coeficienți în $K$, pentru că $K$ e închis la adunare și înmulțire. Verificarea axiomelor de inel, în forma fixată în lecția despre definiția inelului, se face coeficient cu coeficient și se sprijină, de fiecare dată, pe proprietatea corespunzătoare din $K$:

• $(K[X],+)$ este grup comutativ: elementul neutru este polinomul nul $0$, iar opusul lui $f=\sum a_k{X}^k$ este $-f=\sum (-a_k)X^k$;
• înmulțirea este asociativă și comutativă, cu elementul unitate polinomul constant $1$;
• înmulțirea este distributivă față de adunare.

Teoremă. Dacă $K$ este un corp comutativ, atunci $(K[X],+,\cdot )$ este un inel comutativ cu element unitate.

Demonstrațiile complete sunt niște calcule lungi și lipsite de surprize; iată însă cea care arată mecanismul, asociativitatea înmulțirii. Coeficientul lui $X^m$ în produsul $fg$ este $\sum _{i+j=m}{a}_i{b}_j$. Prin urmare, coeficientul lui $X^m$ în $(fg)h$ este $\sum _{i+j+k=m}{a}_i{b}_j{c}_k$ — o sumă care nu depinde de ordinea în care grupăm factorii, tocmai pentru că înmulțirea și adunarea din $K$ sunt asociative și comutative. Același rezultat se obține pentru $f(gh)$, deci cele două produse coincid.

Observă și că polinoamele constante formează o copie a lui $K$ înăuntrul lui $K[X]$: adunarea și înmulțirea lor sunt chiar cele din $K$. Spunem că $K$ este subinel al lui $K[X]$; în particular, ${\mathbb{Z}}_5$ trăiește în ${\mathbb{Z}}_5[X]$ ca mulțime a polinoamelor de grad $0$, la care se adaugă polinomul nul.

4. De ce gradul produsului este suma gradelor?

Aici este inima lecției — și singurul loc din capitol în care ipoteza „$K$ este corp" își arată colții.

Teoremă (formula gradului). Fie $K$ un corp comutativ și $f,g\in K[X]$ două polinoame nenule. Atunci $fg\ne 0$ și

$$\mathrm{grad}(fg)=\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g.$$

Demonstrație. Fie $\mathrm{grad}f=n$ și $\mathrm{grad}g=m$, cu coeficienții dominanți $a_n\ne 0$ și $b_m\ne 0$. Desfacem produsul: fiecare termen al lui $fg$ provine dintr-un produs $a_i{b}_j{X}^{i+j}$ cu $i\le n$ și $j\le m$, deci niciun termen nu depășește gradul $n+m$. Coeficientul lui $X^{n+m}$ se obține dintr-o singură pereche, $i=n$ și $j=m$, deci este exact $a_n{b}_m$.

Rămâne pasul decisiv: de ce $a_n{b}_m\ne 0$? Pentru că $a_n$ este nenul într-un corp, deci este inversabil; înmulțind egalitatea $a_n{b}_m=0$ cu $a_n^{-1}$ am obține $b_m=0$, contradicție. Așadar coeficientul lui $X^{n+m}$ este nenul, deci $fg\ne 0$ și $\mathrm{grad}(fg)=n+m$. $■$

Cu alte cuvinte: formula gradului este adevărată pentru că într-un corp nu există divizori ai lui zero. Nu ai avut nevoie de nimic altceva. De aceea ea rămâne valabilă și în $\mathbb{Z}[X]$, deși $\mathbb{Z}$ nu e corp: $\mathbb{Z}$ este inel integru, iar atât e de ajuns. Verifică pe un exemplu:

$$(2X^2-3)(-X+5)=-2X^3+10X^2+3X-15,\mathrm{grad}=3=2+1.✓$$

Pentru sumă, în schimb, nu există egalitate, ci doar o inegalitate: dacă $f+g\ne 0$, atunci $\mathrm{grad}(f+g)\le \max (\mathrm{grad}f,\mathrm{grad}g)$, iar inegalitatea poate fi strictă, ca la $f=X^2+X$ și $g=-X^2+1$, a căror sumă are gradul $1$.

5. Ce se strică peste ${\mathbb{Z}}_4$ și peste ${\mathbb{Z}}_6$

Ca să vezi cât de reală e ipoteza, coboară o clipă în ${\mathbb{Z}}_4[X]$, unde ${\mathbb{Z}}_4$ este inel, dar nu corp ($\hat{2}$ nu are invers). Calculează:

$$(\hat{2}X+\hat{1}{)}^2=\hat{4}{X}^2+\hat{4}X+\hat{1}=\hat{0}{X}^2+\hat{0}X+\hat{1}=\hat{1}.$$

Două polinoame de gradul întâi al căror produs are gradul $0$. Formula $2=1+1$ nu s-a respectat, pentru că exact pasul demonstrat mai sus a căzut: $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_4$. Mai mult, $\hat{2}X+\hat{1}$ se dovedește a fi inversabil în ${\mathbb{Z}}_4[X]$, fiind propriul său invers — ceva imposibil peste un corp, cum vei vedea în secțiunea 7.

În ${\mathbb{Z}}_6[X]$ situația e și mai brutală. Polinoamele $\hat{2}X$ și $\hat{3}X$ sunt amândouă nenule, dar

$$(\hat{2}X)(\hat{3}X)=\hat{6}{X}^2=\hat{0}.$$

Produsul a două polinoame nenule este polinomul nul: ${\mathbb{Z}}_6[X]$ are divizori ai lui zero, exact ca ${\mathbb{Z}}_6$ însuși, pe care i-ai întâlnit în lecția despre regulile de calcul într-un inel. Concluzia de reținut: aproape tot ce urmează în acest capitol — împărțirea cu rest, teorema restului, numărul de rădăcini — se sprijină pe formula gradului, deci pe faptul că $K$ este corp. Peste ${\mathbb{Z}}_4$ sau ${\mathbb{Z}}_6$, teoria pur și simplu nu funcționează.

6. $K[X]$ este inel integru și se poate simplifica

Propoziție. Dacă $K$ este corp comutativ, atunci $K[X]$ este inel integru (domeniu de integritate).

Demonstrație. $K[X]$ este comutativ și nenul. Fie $f,g\in K[X]$ nenule; din formula gradului, $fg\ne 0$. Deci nu există divizori ai lui zero. $■$

Consecința practică se folosește la fiecare exercițiu, adesea fără să fie numită:

Regula simplificării. Dacă $f\ne 0$ și $fg=fh$, atunci $g=h$.

Într-adevăr, $fg=fh$ dă $f(g-h)=0$; cum $f\ne 0$ și $K[X]$ e integru, rămâne $g-h=0$. Atenție: „simplificare" nu înseamnă „împărțire" — $f$ nu se inversează, doar se taie din ambii membri.

7. Care sunt elementele inversabile din $K[X]$?

Într-un inel, elementele inversabile formează un grup față de înmulțire, notat $U(A)$ — grupul unităților inelului. Pentru inelul polinoamelor răspunsul e surprinzător de sărac.

Teoremă. Dacă $K$ este corp comutativ, atunci $U(K[X]) = K^{}$:singurelepolinoameinversabiledin$K[X]$ sunt polinoamele constante nenule.*

Demonstrație. Dacă $c\in K^{\ast }$, atunci $c\cdot c^{-1}=1$, deci $c$ e inversabil în $K[X]$. Reciproc, fie $f$ inversabil, adică $fg=1$ pentru un $g\in K[X]$. Ambele sunt nenule, deci formula gradului dă $\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g=\mathrm{grad}1=0$. Fiind numere naturale cu suma $0$, ambele grade sunt $0$, deci $f$ este o constantă nenulă. $■$

Verificarea în ${\mathbb{Z}}_5[X]$ e la îndemână: căutând, printre toate polinoamele de grad cel mult $3$, pe cele care au invers, rămân exact patru — $\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}$ — adică ${\mathbb{Z}}_5^{\ast }$. Compară acum cu ${\mathbb{Z}}_4[X]$, unde $\hat{2}X+\hat{1}$ era inversabil deși are gradul $1$: încă o dovadă că teorema chiar are nevoie de ipoteza ei.

8. Câte polinoame are ${\mathbb{Z}}_p[X]$?

Peste un corp finit se pot număra polinoamele, iar numărarea e o sursă bogată de exerciții. Un polinom de grad cel mult $n$ din ${\mathbb{Z}}_p[X]$ este determinat de cei $n+1$ coeficienți ai săi, fiecare având $p$ posibilități, deci sunt $p^{n+1}$ astfel de polinoame (inclusiv polinomul nul). Dintre ele, cele de grad exact $n$ cer coeficientul dominant nenul, deci sunt $(p-1)p^n$; iar cele monice de grad $n$ sunt $p^n$.

Aici se ascunde și prima capcană serioasă a capitolului. Peste ${\mathbb{Z}}_3$ există doar $3^3=27$ funcții de la ${\mathbb{Z}}_3$ la ${\mathbb{Z}}_3$, dar o infinitate de polinoame în ${\mathbb{Z}}_3[X]$. Deci, în mod inevitabil, polinoame diferite vor da aceeași funcție — ceva ce peste $\mathbb{C}$ nu se poate întâmpla niciodată. Fenomenul, cu exemplul lui, îl studiezi în funcția polinomială și rădăcinile peste clase de resturi.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Operații în ${\mathbb{Z}}_7[X]$

Se consideră $f=\hat{3}X+\hat{5}$ și $g=\hat{5}X+\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_7[X]$. Calculați $f+g$ și $fg$ și verificați formula gradului.

Rezolvare. Pentru sumă: $f+g=(\hat{3}+\hat{5})X+(\hat{5}+\hat{2})=\hat{8}X+\hat{7}=\hat{1}X+\hat{0}=X$.

Pentru produs, coeficient cu coeficient: la $X^2$ avem $\hat{3}\hat{5}=\widehat{15}=\hat{1}$; la $X$ avem $\hat{3}\hat{2}+\hat{5}\hat{5}=\hat{6}+\widehat{25}=\widehat{31}=\hat{3}$; termenul liber este $\hat{5}\hat{2}=\widehat{10}=\hat{3}$. Deci

$$fg=X^2+\hat{3}X+\hat{3}.$$

Formula gradului: $\mathrm{grad}(fg)=2=1+1$ ✓. Observă că suma a scăzut gradul (de la $1$ la $1$, dar cu termenul liber anulat), în timp ce produsul l-a respectat exact — asimetrie normală, explicată în secțiunea 4.

Exemplul 2 — Un polinom cu parametru peste ${\mathbb{Z}}_5$

Determinați $\mathrm{grad}f$, discutând după $a\in {\mathbb{Z}}_5$, pentru $f=(a+\hat{2})X^3+(a+\hat{4})X^2+\hat{3}X+\hat{1}$.

Rezolvare. Ne uităm de sus în jos, ca la clasa a X-a, și ne oprim la primul coeficient nenul.

• $a+\hat{2}\ne \hat{0}$, adică $a\ne \hat{3}$: atunci $\mathrm{grad}f=3$.
• $a=\hat{3}$: primul coeficient devine $\hat{5}=\hat{0}$, iar al doilea este $\hat{3}+\hat{4}=\hat{7}=\hat{2}\ne \hat{0}$, deci $f=\hat{2}{X}^2+\hat{3}X+\hat{1}$ și $\mathrm{grad}f=2$.

Nu există valoare a lui $a$ pentru care ambii coeficienți să se anuleze, pentru că $a=\hat{3}$ și $a=\hat{1}$ sunt clase diferite. Răspuns: gradul este $3$ pentru $a\in \{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{4}\}$ și $2$ pentru $a=\hat{3}$.

Exemplul 3 — Divizori ai lui zero într-un inel de polinoame

Arătați că ${\mathbb{Z}}_6[X]$ nu este inel integru și dați un exemplu de două polinoame nenule de gradul întâi al căror produs are gradul $1$.

Rezolvare. În ${\mathbb{Z}}_6$ avem $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{0}$, deci $\hat{2}$ și $\hat{3}$ sunt divizori ai lui zero. Atunci $\hat{2}X$ și $\hat{3}X$ sunt polinoame nenule cu

$$(\hat{2}X)(\hat{3}X)=\hat{6}{X}^2=\hat{0},$$

deci ${\mathbb{Z}}_6[X]$ nu este integru. Pentru a doua cerință, luăm $f=\hat{2}X+\hat{1}$ și $g=\hat{3}X+\hat{1}$: coeficientul lui $X^2$ este $\hat{2}\hat{3}=\hat{0}$, iar

$$fg=\hat{0}{X}^2+(\hat{2}+\hat{3})X+\hat{1}=\hat{5}X+\hat{1},$$

de grad $1$, nu $2$. În schimb $(\hat{2}X+\hat{1})(\hat{2}X+\hat{1})=\hat{4}{X}^2+\hat{4}X+\hat{1}$ are gradul $2$ — semn că peste un inel care nu e corp nu poți prezice nimic din grade.

Exemplul 4 — Numărarea polinoamelor

Câte polinoame de gradul al doilea are ${\mathbb{Z}}_3[X]$? Dintre ele, câte sunt monice și câte au termenul liber nul?

Rezolvare. Un polinom de gradul al doilea are forma $a{X}^2+bX+c$ cu $a\ne \hat{0}$. Coeficientul $a$ are $3-1=2$ alegeri, iar $b$ și $c$ au câte $3$, deci sunt $2\cdot 3\cdot 3=18$ polinoame.

Cele monice cer $a=\hat{1}$, deci rămân $3\cdot 3=9$. Cele cu termenul liber nul cer $c=\hat{0}$, deci sunt $2\cdot 3=6$. Verificare de bun-simț: cele $18$ se împart în trei familii egale după valoarea lui $a$ ($\hat{1}$ sau $\hat{2}$), iar $9+9=18$ ✓.

Exemplul 5 — Regula simplificării la lucru

În ${\mathbb{Z}}_5[X]$ se știe că $(X+\hat{2})g=(X+\hat{2})(X^2+\hat{3})$. Determinați $g$.

Rezolvare. Polinomul $X+\hat{2}$ este nenul, iar ${\mathbb{Z}}_5$ este corp, deci ${\mathbb{Z}}_5[X]$ este inel integru și se poate simplifica: din $(X+\hat{2})(g-(X^2+\hat{3}))=0$ rezultă $g-(X^2+\hat{3})=0$, adică

$$g=X^2+\hat{3}.$$

Reține de ce a fost legitim: nu am împărțit cu $X+\hat{2}$ (care nici măcar nu e inversabil în ${\mathbb{Z}}_5[X]$, conform teoremei din secțiunea 7), ci am folosit lipsa divizorilor lui zero. Peste ${\mathbb{Z}}_6[X]$ același raționament ar fi greșit.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră polinoamele $f=\hat{2}{X}^2+\hat{3}X+\hat{4}$ și $g=\hat{3}X+\hat{1}$ din ${\mathbb{Z}}_5[X]$. (Problemă în formatul Subiectului al II-lea de la Bacalaureat M1.) a) Calculați $fg$. b) Arătați că $\mathrm{grad}(fg)=\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g$ și precizați ce proprietate a lui ${\mathbb{Z}}_5$ garantează acest lucru. c) Arătați că $f$ nu este element inversabil al inelului ${\mathbb{Z}}_5[X]$.

Rezolvare. a) Coeficientul lui $X^3$ este $\hat{2}\hat{3}=\hat{6}=\hat{1}$; al lui $X^2$ este $\hat{2}\hat{1}+\hat{3}\hat{3}=\hat{2}+\hat{9}=\widehat{11}=\hat{1}$; al lui $X$ este $\hat{3}\hat{1}+\hat{4}\hat{3}=\hat{3}+\widehat{12}=\widehat{15}=\hat{0}$; termenul liber este $\hat{4}\hat{1}=\hat{4}$. Așadar

$$fg=X^3+X^2+\hat{4}.$$

b) $\mathrm{grad}f=2$, $\mathrm{grad}g=1$, $\mathrm{grad}(fg)=3=2+1$ ✓. Motivul: ${\mathbb{Z}}_5$ este corp, deci nu are divizori ai lui zero, iar produsul coeficienților dominanți, $\hat{2}\hat{3}=\hat{1}$, este nenul. (Comparativ, în ${\mathbb{Z}}_6$ produsul $\hat{2}\hat{3}$ ar fi fost $\hat{0}$ și gradul ar fi scăzut.)

c) Dacă $f$ ar fi inversabil, ar exista $h$ cu $fh=1$; formula gradului ar da $\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}h=0$, imposibil pentru că $\mathrm{grad}f=2>0$. Deci $f\notin U({\mathbb{Z}}_5[X])={\mathbb{Z}}_5^{\ast }$.

Să exersăm

La fiecare calcul peste ${\mathbb{Z}}_p$, redu fiecare coeficient modulo $p$ înainte de a scrie rezultatul și verifică la final formula gradului.

1. În ${\mathbb{Z}}_5[X]$, calculează $f+g$ și $fg$ pentru $f=X^2+\hat{4}X$ și $g=\hat{2}X+\hat{3}$.

2. În ${\mathbb{Z}}_7[X]$, calculează $(\hat{4}X+\hat{3})(\hat{2}X+\hat{5})$.

3. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, calculează $(X+\hat{2}{)}^2$ și $(X+\hat{2}{)}^3$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În ${\mathbb{Z}}_5[X]$, suma a două polinoame de gradul al doilea are întotdeauna gradul al doilea."

5. Determină $\mathrm{grad}f$, discutând după $a\in {\mathbb{Z}}_7$, pentru $f=(a+\hat{5})X^2+\hat{3}X+\hat{6}$.

6. Câte polinoame de grad cel mult $3$ are ${\mathbb{Z}}_2[X]$? Câte dintre ele sunt monice de gradul al treilea?

7. Arată că în ${\mathbb{Z}}_4[X]$ polinoamele $\hat{2}X+\hat{2}$ și $\hat{2}X$ sunt nenule, dar produsul lor este polinomul nul.

8. În ${\mathbb{Z}}_5[X]$, determină toate polinoamele inversabile de grad cel mult $2$.

9. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, verifică pe un exemplu că $(f+g{)}^3=f^3+g^3$ pentru $f=X$ și $g=\hat{1}$.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un inel de polinoame $K[X]$ cu $K$ corp, orice polinom nenul este inversabil."

11. În ${\mathbb{Z}}_6[X]$, calculează $(\hat{4}X+\hat{1})(\hat{3}X+\hat{2})$ și explică de ce gradul produsului nu este $2$.

12. Arată că polinoamele constante formează un subinel al lui $K[X]$ izomorf cu $K$.

13. (Problemă aplicată.) Un cod corector transmite mesaje ca polinoame din ${\mathbb{Z}}_2[X]$ de grad cel mult $4$. Câte mesaje diferite se pot transmite?

14. În ${\mathbb{Z}}_5[X]$, rezolvă ecuația $(X+\hat{1})g=(X+\hat{1})(\hat{3}X+\hat{2})$, precizând ce proprietate ai folosit.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f=\hat{3}{X}^2+X+\hat{2}$ și $g=\hat{4}X+\hat{3}$ în ${\mathbb{Z}}_5[X]$. a) Calculează $fg$. b) Verifică formula gradului. c) Arată că $g$ nu este inversabil în ${\mathbb{Z}}_5[X]$.

16. Explică, în două-trei fraze, de ce $\mathbb{Z}[X]$ este inel integru deși $\mathbb{Z}$ nu este corp.

17. În ${\mathbb{Z}}_7[X]$, câte polinoame de gradul al doilea au termenul liber egal cu $\hat{1}$?

18. (Provocare.) Arată că în ${\mathbb{Z}}_4[X]$ polinomul $\hat{2}X+\hat{1}$ este inversabil și determină-i inversul. Explică apoi ce ipoteză din teorema $U(K[X])=K^{\ast }$ nu este îndeplinită aici.

Răspunsuri și explicații

1. $f+g=X^2+(\hat{4}+\hat{2})X+\hat{3}=X^2+X+\hat{3}$. Pentru produs: la $X^3$, $\hat{1}\hat{2}=\hat{2}$; la $X^2$, $\hat{1}\hat{3}+\hat{4}\hat{2}=\hat{3}+\hat{8}=\widehat{11}=\hat{1}$; la $X$, $\hat{4}\hat{3}=\widehat{12}=\hat{2}$; termen liber $\hat{0}$. Deci $fg=\hat{2}{X}^3+X^2+\hat{2}X$, de grad $3=2+1$ ✓.

2. La $X^2$: $\hat{4}\hat{2}=\hat{8}=\hat{1}$. La $X$: $\hat{4}\hat{5}+\hat{3}\hat{2}=\widehat{20}+\hat{6}=\widehat{26}=\hat{5}$. Termen liber: $\hat{3}\hat{5}=\widehat{15}=\hat{1}$. Deci produsul este $X^2+\hat{5}X+\hat{1}$.

3. $(X+\hat{2}{)}^2=X^2+\hat{4}X+\hat{4}=X^2+X+\hat{1}$, pentru că $\hat{4}=\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_3$. Apoi $(X+\hat{2}{)}^3=(X^2+X+\hat{1})(X+\hat{2})=X^3+\hat{3}{X}^2+\hat{3}X+\hat{8}=X^3+\hat{2}$.

4. Fals. Coeficienții dominanți se pot anula reciproc: pentru $f=X^2+X$ și $g=\hat{4}{X}^2+\hat{1}$ avem $f+g=X+\hat{1}$, de gradul întâi. La sumă are loc doar inegalitatea $\mathrm{grad}(f+g)\le \max (\mathrm{grad}f,\mathrm{grad}g)$.

5. Coeficientul dominant este $a+\hat{5}$, care se anulează pentru $a=\hat{2}$. Deci: pentru $a\ne \hat{2}$, $\mathrm{grad}f=2$; pentru $a=\hat{2}$, $f=\hat{3}X+\hat{6}$ și $\mathrm{grad}f=1$.

6. Un polinom de grad cel mult $3$ are $4$ coeficienți, fiecare cu $2$ alegeri, deci $2^4=16$ polinoame (inclusiv cel nul). Monice de gradul al treilea: coeficientul dominant e fixat la $\hat{1}$, ceilalți trei sunt liberi, deci $2^3=8$.

7. Ambele sunt nenule (au coeficientul dominant $\hat{2}\ne \hat{0}$). Produsul: la $X^2$, $\hat{2}\hat{2}=\hat{4}=\hat{0}$; la $X$, $\hat{2}\hat{2}=\hat{0}$; termen liber $\hat{0}$. Deci produsul este polinomul nul, iar ${\mathbb{Z}}_4[X]$ nu este inel integru.

8. Din teorema $U(K[X])=K^{\ast }$, singurele inversabile sunt constantele nenule: $\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}$. Inversele lor sunt, respectiv, $\hat{1},\hat{3},\hat{2},\hat{4}$ (de exemplu $\hat{2}\hat{3}=\hat{6}=\hat{1}$).

9. $(X+\hat{1}{)}^3=X^3+\hat{3}{X}^2+\hat{3}X+\hat{1}=X^3+\hat{1}$, pentru că $\hat{3}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_3$. Pe de altă parte $f^3+g^3=X^3+\hat{1}$. Cele două coincid ✓. (Identitatea e adevărată în orice ${\mathbb{Z}}_p[X]$, cu exponentul $p$.)

10. Fals. Inversabile sunt numai constantele nenule. De exemplu $X$ este nenul, dar dacă $Xh=1$ atunci $1+\mathrm{grad}h=0$, imposibil în $\mathbb{N}$. Confuzia vine din $K$, unde într-adevăr orice element nenul e inversabil.

11. Coeficientul lui $X^2$ este $\hat{4}\hat{3}=\widehat{12}=\hat{0}$; cel al lui $X$ este $\hat{4}\hat{2}+\hat{1}\hat{3}=\hat{8}+\hat{3}=\widehat{11}=\hat{5}$; termenul liber este $\hat{2}$. Deci produsul este $\hat{5}X+\hat{2}$, de gradul întâi. Gradul a scăzut pentru că $\hat{4}$ și $\hat{3}$ sunt divizori ai lui zero în ${\mathbb{Z}}_6$, iar ${\mathbb{Z}}_6$ nu este corp.

12. Mulțimea $C$ a polinoamelor constante conține $0$ și $1$, iar suma, opusul și produsul a două constante sunt tot constante, deci $C$ este subinel. Aplicația $K\to C$, $c\mapsto c$ (polinomul constant $c$) este bijectivă și duce suma în sumă, produsul în produs și $1$ în $1$, deci este izomorfism de inele.

13. Un polinom de grad cel mult $4$ din ${\mathbb{Z}}_2[X]$ are $5$ coeficienți, fiecare cu $2$ valori posibile, deci $2^5=32$ mesaje diferite.

14. Polinomul $X+\hat{1}$ este nenul, iar ${\mathbb{Z}}_5[X]$ este inel integru (pentru că ${\mathbb{Z}}_5$ e corp), deci se poate simplifica: $g=\hat{3}X+\hat{2}$. Proprietatea folosită: lipsa divizorilor lui zero, nu inversabilitatea lui $X+\hat{1}$.

15. a) La $X^3$: $\hat{3}\hat{4}=\widehat{12}=\hat{2}$. La $X^2$: $\hat{3}\hat{3}+\hat{1}\hat{4}=\hat{9}+\hat{4}=\widehat{13}=\hat{3}$. La $X$: $\hat{1}\hat{3}+\hat{2}\hat{4}=\hat{3}+\hat{8}=\widehat{11}=\hat{1}$. Termen liber: $\hat{2}\hat{3}=\hat{6}=\hat{1}$. Deci $fg=\hat{2}{X}^3+\hat{3}{X}^2+X+\hat{1}$. b) $\mathrm{grad}(fg)=3=2+1$ ✓, pentru că $\hat{3}\hat{4}=\hat{2}\ne \hat{0}$ în corpul ${\mathbb{Z}}_5$. c) $g$ are gradul $1>0$, iar inversabile sunt doar constantele nenule.

16. Pentru că demonstrația formulei gradului cere un singur lucru: produsul coeficienților dominanți să fie nenul. În $\mathbb{Z}$ acest lucru e adevărat, fiindcă $\mathbb{Z}$ nu are divizori ai lui zero — este inel integru, chiar dacă majoritatea elementelor sale nu sunt inversabile. „Corp" este o ipoteză comodă, dar mai tare decât strictul necesar.

17. Forma este $a{X}^2+bX+\hat{1}$, cu $a\ne \hat{0}$. Sunt $6$ alegeri pentru $a$ și $7$ pentru $b$, deci $6\cdot 7=42$ polinoame.

18. $(\hat{2}X+\hat{1}{)}^2=\hat{4}{X}^2+\hat{4}X+\hat{1}=\hat{1}$, deci $\hat{2}X+\hat{1}$ este propriul său invers. Ipoteza care cade este chiar cea centrală: ${\mathbb{Z}}_4$ nu este corp ($\hat{2}$ nu are invers), deci are divizori ai lui zero, formula gradului nu se aplică și argumentul „gradele se adună, deci ambele sunt nule" nu mai poate fi făcut.

De reținut

• Inelul polinoamelor $K[X]$ peste un corp comutativ $K$ este format din toate polinoamele cu coeficienți în $K$ și este un inel comutativ cu element unitate, în care polinoamele constante formează o copie a lui $K$.
• Calculul peste ${\mathbb{Z}}_p$ decurge la fel ca peste $\mathbb{C}$, cu o singură deosebire: fiecare coeficient se reduce modulo $p$ — motiv pentru care termeni pot dispărea, ca în $(X+\hat{1}{)}^2=X^2+\hat{1}$ peste ${\mathbb{Z}}_2$.
• Pentru polinoame nenule peste un corp are loc formula gradului $\mathrm{grad}(fg)=\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g$, iar demonstrația ei folosește exact un singur lucru: în $K$ nu există divizori ai lui zero.
• $K[X]$ este inel integru, deci în el se poate simplifica: din $fg=fh$ cu $f\ne 0$ rezultă $g=h$, fără ca $f$ să fie inversabil.
• Singurele polinoame inversabile din $K[X]$ sunt constantele nenule, adică $U(K[X])=K^{\ast }$ — în particular $X$ nu are invers în $K[X]$.

Greșeli frecvente

• Uitarea reducerii modulo $p$. Se scrie $(\hat{3}X)(\hat{4}X)=\widehat{12}{X}^2$ și se lasă așa. În ${\mathbb{Z}}_5[X]$ răspunsul corect este $\hat{2}{X}^2$: fiecare coeficient se aduce la una dintre cele $p$ clase.
• Credința că formula gradului este universală. Ea cere ca inelul coeficienților să nu aibă divizori ai lui zero. În ${\mathbb{Z}}_4[X]$, $(\hat{2}X+\hat{1}{)}^2=\hat{1}$ — gradul a scăzut de la $2$ la $0$.
• Confuzia dintre grad la sumă și grad la produs. La produs are loc egalitate; la sumă, doar $\mathrm{grad}(f+g)\le \max (\mathrm{grad}f,\mathrm{grad}g)$, iar coeficienții dominanți se pot anula.
• „$K$ e corp, deci $K[X]$ e corp." Fals: $K[X]$ este doar inel integru. Elementele inversabile sunt exclusiv constantele nenule, iar $X$ nu are invers.
• Simplificarea confundată cu împărțirea. Din $fg=fh$ cu $f\ne 0$ se deduce $g=h$ prin integritate, nu împărțind cu $f$ — o împărțire care, de regulă, nici nu e posibilă în $K[X]$.

Aplică acasă

1. Tabla înmulțirii pentru polinoame mici. Scrie toate cele $4$ polinoame de grad cel mult $1$ din ${\mathbb{Z}}_2[X]$ și alcătuiește tabla înmulțirii lor, reducând modulo $2$. Identifică elementul unitate și verifică ce polinoame apar ca produse.

2. Vânătoarea de divizori ai lui zero. Ia ${\mathbb{Z}}_6[X]$ și caută cinci perechi de polinoame nenule al căror produs este polinomul nul. Ce au în comun coeficienții lor dominanți? Repetă apoi în ${\mathbb{Z}}_4[X]$.

3. Numărătoarea completă. Într-o foaie de calcul, generează toate cele $27$ de polinoame de grad cel mult $2$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$. Marchează-le pe cele monice, pe cele de grad exact $2$ și pe cele cu termen liber nul; compară numerele obținute cu formulele $p^{n+1}$, $(p-1)p^n$ și $p^n$.

Pentru părinți și profesori

Lecția face trecerea de la „polinoame cu coeficienți numere" la „polinoame cu coeficienți într-un corp", iar miza reală nu e notația, ci conștientizarea ipotezelor. Un elev bun de clasa a X-a calculează corect cu polinoame fără să se întrebe vreodată de ce gradul produsului este suma gradelor; aici întrebarea devine centrală, pentru că răspunsul (lipsa divizorilor lui zero) susține tot restul capitolului: împărțirea cu rest, teorema restului, numărul de rădăcini.

De verificat în caiet: (1) fiecare coeficient e redus modulo $p$, iar rezultatul e scris cu clase, nu cu numere întregi oarecare; (2) discuția de grad la polinoame cu parametru trece prin toate cazurile; (3) în demonstrația formulei gradului apare explicit pasul „$a_n{b}_m\ne 0$ pentru că $K$ este corp"; (4) elevul nu confundă $U(K[X])=K^{\ast }$ cu „orice polinom nenul e inversabil". Întrebări de control: „De ce $(X+\hat{1}{)}^2=X^2+\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_2[X]$?"; „Dă un contraexemplu la formula gradului"; „Care sunt inversabilele din $\mathbb{Q}[X]$?".

La Bacalaureat M1, tema apare aproape întotdeauna în Subiectul al II-lea, ca punct a) sau b) al unei probleme de structuri algebrice: un calcul într-un ${\mathbb{Z}}_p[X]$ concret, urmat de o întrebare de justificare. Semn că elevul a înțeles: când i se cere un produs în ${\mathbb{Z}}_5[X]$, reduce coeficienții pe măsură ce calculează, nu la sfârșit, și verifică singur gradul rezultatului. Pentru cei care merg la olimpiadă sau la BAC cu ambiție de $10$, contraexemplul din ${\mathbb{Z}}_4[X]$ merită învățat pe de rost.

Întrebări frecvente

Ce este inelul polinoamelor cu coeficienți într-un corp? Este mulțimea $K[X]$ a tuturor polinoamelor ai căror coeficienți aparțin corpului comutativ $K$, împreună cu adunarea și înmulțirea obișnuite ale polinoamelor. Față de aceste operații, $K[X]$ este inel comutativ cu element unitate: adunarea dă un grup comutativ, înmulțirea e asociativă și comutativă cu unitatea $1$, iar înmulțirea e distributivă față de adunare.

Cum se înmulțesc două polinoame cu coeficienți clase de resturi? Se înmulțește fiecare termen cu fiecare, exact ca peste numerele reale, iar apoi fiecare coeficient obținut se reduce modulo $p$. De exemplu, în ${\mathbb{Z}}_5[X]$, $(\hat{3}X+\hat{4})(\hat{2}X+\hat{1})=\hat{6}{X}^2+\widehat{11}X+\hat{4}=X^2+X+\hat{4}$. Reducerea se face de preferință pe parcurs, nu la sfârșit, ca să lucrezi cu numere mici.

De ce gradul produsului este egal cu suma gradelor? Pentru că singurul termen de grad maxim al produsului este $a_n{b}_m{X}^{n+m}$, iar coeficientul lui, $a_n{b}_m$, este nenul. Aici intervine ipoteza: într-un corp, $a_n\ne 0$ este inversabil, deci din $a_n{b}_m=0$ ar rezulta $b_m=0$, contradicție. Fără această ipoteză, formula poate să cadă.

Formula gradului este adevărată în orice inel de polinoame? Nu. Ea cere ca inelul coeficienților să nu aibă divizori ai lui zero. În ${\mathbb{Z}}_4[X]$ avem $(\hat{2}X+\hat{1}{)}^2=\hat{1}$, deci produsul a două polinoame de gradul întâi are gradul $0$. Formula rămâne însă valabilă în $\mathbb{Z}[X]$, pentru că $\mathbb{Z}$ este inel integru, chiar dacă nu este corp.

Care sunt elementele inversabile din $K[X]$? Exact polinoamele constante nenule, adică $U(K[X])=K^{\ast }$. Demonstrația e imediată din formula gradului: dacă $fg=1$, atunci $\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g=0$, iar o sumă de numere naturale este nulă doar dacă ambele sunt nule. Prin urmare $X$, $X+\hat{1}$ și orice polinom de grad cel puțin $1$ nu au invers.

Ce înseamnă că $K[X]$ este inel integru? Înseamnă că produsul a două polinoame nenule este întotdeauna nenul, adică $K[X]$ nu are divizori ai lui zero. Consecința practică e regula simplificării: dacă $fg=fh$ și $f\ne 0$, atunci $g=h$. Proprietatea se moștenește din corpul $K$ și se pierde imediat ce coeficienții provin dintr-un inel cu divizori ai lui zero, cum e ${\mathbb{Z}}_6$.

Câte polinoame de grad dat există peste ${\mathbb{Z}}_p$? Un polinom de grad cel mult $n$ este determinat de $n+1$ coeficienți, deci sunt $p^{n+1}$ astfel de polinoame. Dintre ele, cele de grad exact $n$ sunt $(p-1)p^n$, pentru că primul coeficient trebuie să fie nenul, iar cele monice de grad $n$ sunt $p^n$. Peste ${\mathbb{Z}}_3$, de pildă, există $9$ polinoame monice de gradul al doilea.

Unde apare inelul polinoamelor la Bacalaureat M1? În Subiectul al II-lea, la problemele de structuri algebrice din suplimentul de programă valabil pentru sesiunile 2027–2029. Cerințele tipice sunt un calcul concret în ${\mathbb{Z}}_p[X]$, o verificare a formulei gradului și o justificare a faptului că un polinom de grad pozitiv nu este inversabil. Continuarea firească este împărțirea polinoamelor peste un corp.