Înmulțirea a două matrice: pe scurt

Produsul $A\cdot B$ există numai dacă numărul de coloane ale lui $A$ este egal cu numărul de linii ale lui $B$. Schematic, $(m\times \mathbf{n})\cdot (\mathbf{n}\times p)$: numerele din mijloc trebuie să coincidă, iar rezultatul primește dimensiunile „de la margini”, $m\times p$. Numărul $n$ a fost doar lungimea sumelor și dispare.

Regula linie pe coloană: elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al produsului se obține din linia $i$ a primului factor și coloana $j$ a celui de-al doilea, înmulțite termen cu termen și adunate: $$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}.$$ Produsul nu se face element cu element, ca adunarea: fiecare element al rezultatului este o sumă de produse, iar numărul termenilor este exact numărul din mijloc. Ca să nu confunzi liniile cu coloanele, scrie întâi dimensiunile una lângă alta — controlul acesta prinde majoritatea greșelilor înainte de primul calcul.

Cazurile speciale se rețin: $I_m\cdot A=A\cdot I_n=A$, deci matricea unitate joacă rolul numărului $1$; înmulțirea cu matricea nulă dă matrice nulă; iar produsul unei matrice cu o coloană de necunoscute, $A\cdot X$, reproduce exact membrii stângi ai unui sistem de ecuații liniare. Ordinea contează: uneori $B\cdot A$ nici nu există, alteori are alte dimensiuni decât $A\cdot B$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră $A\in {\mathcal{M}}_{3,5}(\mathbb{C})$ și $B\in {\mathcal{M}}_{5,2}(\mathbb{C})$. Produsul $A\cdot B$:

   • a) există și este de tipul $3\times 2$
   • b) există și este de tipul $5\times 5$
   • c) există și este de tipul $2\times 3$
   • d) nu există
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) există și este de tipul $3\times 2$

   Comparăm numerele din mijloc: $(3\times 5)\cdot (5\times 2)$ — ele coincid, deci produsul există. Dimensiunile rezultatului sunt cele de la margini: $3\times 2$. Numărul $5$ a fost doar lungimea sumelor, adică numărul de termeni ai fiecărui element.

2. Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 4& 2& -1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ -3& 1\\ 0& -4\end{array}\right)$. Elementul de pe linia $2$, coloana $1$ al produsului $A\cdot B$ este:

   • a) $-9$
   • b) $2$
   • c) $8$
   • d) $26$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $2$

   Folosim linia $2$ din $A$, adică $(4,2,-1)$, și coloana $1$ din $B$, adică $(2,-3,0)$: $c_{21}=4\cdot 2+2\cdot (-3)+(-1)\cdot 0=8-6=2$. Varianta $-9$ este $c_{12}$ (indici inversați), $8$ este $c_{11}$, iar $26$ este $c_{22}$.

3. Produsul $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -2\end{array}\right)$ este o matrice de tipul:

   • a) $1\times 1$
   • b) $3\times 1$
   • c) $3\times 3$
   • d) produsul nu există
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $3\times 3$

   Primul factor este de tipul $3\times 1$, al doilea $1\times 3$: numerele din mijloc coincid, deci produsul există și are dimensiunile $3\times 3$. Fiecare element este o sumă cu un singur termen. În ordinea inversă s-ar fi obținut o matrice $1\times 1$ — de aici $1\times 1$ ca variantă greșită.