Înmulțirea a două matrice: definiție și tehnica de calcul

O cofetărie are două produse și, pentru fiecare, o rețetă exprimată în kilograme de trei ingrediente, care se pot cumpăra din două depozite, la prețuri diferite. Întrebarea patronului: cât costă fiecare produs, în fiecare depozit? Datele sunt în două tablouri, iar răspunsul e tot un tablou. Ca să-l obții, înmulțești fiecare cantitate cu prețul ei și aduni: rețeta se „plimbă" peste coloana de prețuri.

Această operație de împerechere-și-însumare este înmulțirea a două matrice, cea mai importantă operație din capitol. Spre deosebire de adunare și de înmulțirea cu un scalar, ea nu se face element cu element și nu se poate face oricând: dimensiunile trebuie să se potrivească într-un anume fel. Ambele lucruri au un motiv, pe care îl vei vedea aici.

Ce vei învăța

• Vei ști condiția asupra dimensiunilor fără de care produsul a două matrice nu există.
• Vei ști să calculezi produsul unei linii cu o coloană, nucleul întregii operații.
• Vei ști regula linie pe coloană și formula elementului $c_{ij}$.
• Vei ști să așezi calculul astfel încât să nu confunzi liniile cu coloanele.
• Vei ști ce se întâmplă în cazurile speciale: matricea unitate, matricea nulă, linie ori coloană singură.
• Vei ști să recunoști situațiile în care $A\cdot B$ există, dar $B\cdot A$ nu.

Hai să descoperim împreună

1. Situația care cere operația

Rețetele, în kilograme, și prețurile pe kilogram în cele două depozite:

$$P=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 1& 4& 2\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 7\\ 12& 10\end{array}\right).$$

În $P$, liniile sunt cele două produse, iar coloanele făina, zahărul și untul; în $C$, liniile sunt cele trei ingrediente, iar coloanele cele două depozite. Costul primului produs în primul depozit: $3$ kg de făină la $5$ lei, plus $2$ kg de zahăr la $8$ lei, plus $1$ kg de unt la $12$ lei, adică $3\cdot 5+2\cdot 8+1\cdot 12=43$ lei.

Observă structura: am luat linia $1$ din $P$ și coloana $1$ din $C$, le-am înmulțit termen cu termen și am adunat. Repetând pentru toate cele patru perechi (produs, depozit):

$$P\cdot C=\left(\begin{array}{cc}43& 42\\ 61& 54\end{array}\right).$$

Al doilea depozit e mai avantajos pentru ambele produse. Vei relua acest gen de citire la lecția Matrice care modelează situații practice.

De reținut deja: numărul de coloane ale lui $P$ (trei ingrediente) a trebuit să fie egal cu numărul de linii ale lui $C$. Altfel, „împerecherea" nu s-ar fi putut face.

2. Nucleul: linie ori coloană

Fie $L=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{1,3}(\mathbb{C})$ și $K=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{C})$. Prin definiție,

$$L\cdot K=\left(\begin{array}{c}2\cdot 1+(-1)(-3)+3\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}11\end{array}\right).$$

Rezultatul e o matrice cu un singur element. Aceasta e operația elementară din care se construiește totul: orice produs de matrice e o mulțime de astfel de socoteli, făcute sistematic.

Atenție la asimetrie. Dacă schimbăm ordinea, avem $3\times 1$ înmulțit cu $1\times 3$, iar rezultatul este o matrice $3\times 3$:

$$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}3& 0& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& -2\\ 6& 0& -4\\ -3& 0& 2\end{array}\right).$$

Deci aceleași două „ingrediente" dau, după ordine, un singur număr sau un tablou de nouă numere. Ordinea factorilor contează enorm, iar consecințele ei se studiază la Proprietățile înmulțirii matricelor.

3. Definiția generală

Definiție. Fie $A=(a_{ik})\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$ și $B=(b_{kj})\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{C})$ — deci numărul de coloane ale lui $A$ este egal cu numărul de linii ale lui $B$. Produsul $A\cdot B$ este matricea $C=(c_{ij})\in {\mathcal{M}}_{m,p}(\mathbb{C})$ cu elementele $$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}.$$

Trei lucruri de citit din definiție:

1. Condiția de existență: $A\cdot B$ există numai dacă $A$ are exact atâtea coloane câte linii are $B$. Schematic: $(m\times \mathbf{n})\cdot (\mathbf{n}\times p)$ — numerele din mijloc trebuie să coincidă.
2. Dimensiunile rezultatului: cele „de la margini", $m\times p$; numărul $n$ a fost doar lungimea sumelor.
3. Regula de calcul: elementul de pe linia $i$, coloana $j$ se obține din linia $i$ a lui $A$ și coloana $j$ a lui $B$ — se înmulțesc termen cu termen și se adună („regula linie pe coloană").

4. Cum se așază calculul

Sursa numărul unu de greșeli e confuzia dintre linii și coloane. O elimini scriind $A$ jos-stânga și $B$ sus-dreapta: produsul se completează atunci în dreptunghiul rămas, fiecare celulă la intersecția dintre linia ei din $A$ și coloana ei din $B$.

Calculăm $A\cdot B$ pentru

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 0& 4& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -3& 0\\ 2& 5\end{array}\right).$$

Dimensiunile sunt $2\times 3$ și $3\times 2$, deci produsul are dimensiunea $2\times 2$. Cele patru elemente:

$$c_{11}=2\cdot 1+(-1)(-3)+3\cdot 2=2+3+6=11;c_{12}=2\cdot 2+(-1)\cdot 0+3\cdot 5=4+0+15=19;$$

$$c_{21}=0\cdot 1+4\cdot (-3)+1\cdot 2=0-12+2=-10;c_{22}=0\cdot 2+4\cdot 0+1\cdot 5=5.$$

$$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}11& 19\\ -10& 5\end{array}\right).$$

Un control ieftin, de folosit mereu. Adună elementele fiecărei linii a lui $B$: obții $3$, $-3$ și $7$. Suma elementelor de pe linia $i$ a produsului trebuie să fie egală cu produsul dintre linia $i$ a lui $A$ și coloana acestor sume. Linia $1$: $11+19=30$, iar $2\cdot 3+(-1)(-3)+3\cdot 7=30$ ✓. Linia $2$: $-10+5=-5$, iar $0\cdot 3+4(-3)+1\cdot 7=-5$ ✓. Controlul funcționează pentru că, adunând $c_{i1}+c_{i2}$, fiecare $a_{ik}$ se dă factor comun.

5. Când produsul există într-un sens, dar nu și în celălalt

Cu $A$ și $B$ de mai sus, $B\cdot A$ înseamnă $3\times 2$ înmulțit cu $2\times 3$: numerele din mijloc coincid și ele, deci produsul există și are dimensiunea $3\times 3$:

$$B\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}2& 7& 5\\ -6& 3& -9\\ 4& 18& 11\end{array}\right).$$

Aici cele două produse există amândouă, dar au dimensiuni diferite — deci nici nu se pune problema să fie egale.

Există însă și situații în care unul dintre produse pur și simplu nu există. Dacă $A\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{C})$ și $B\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{C})$, atunci $A\cdot B\in {\mathcal{M}}_{2,4}(\mathbb{C})$, dar $B\cdot A$ ar cere ca $4$ (coloanele lui $B$) să fie egal cu $2$ (liniile lui $A$) — fals. A scrie $B\cdot A$ într-o lucrare este o eroare, nu o neatenție.

Regula practică: înainte de orice calcul, scrie dimensiunile una lângă alta.

6. Produsul a două matrice pătratice

Când $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, ambele produse există și sunt tot de ordin $n$. Fie

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 3\\ 2& 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 3& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right).$$

Primul element: linia $1$ a lui $A$ ori coloana $1$ a lui $B$, adică $1\cdot 1+2\cdot 3+0\cdot 0=7$. Continuând, cu nouă socoteli de câte trei termeni:

$$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}7& 2& 2\\ 3& 7& 3\\ 2& 2& 5\end{array}\right).$$

Un produs de ordin $3$ cere $27$ de înmulțiri, iar unul de ordin $4$ ajunge la $64$. De aceea așezarea îngrijită nu e un moft.

7. Cazurile speciale

Matricea unitate. Pentru orice $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$ avem

$$I_m\cdot A=A\text{și}A\cdot I_n=A.$$

Justificare. Linia $i$ a lui $I_m$ are $1$ pe poziția $i$ și $0$ în rest, deci în suma ${\sum }_k(I_m{)}_{ik}{a}_{kj}$ supraviețuiește un singur termen, cel cu $k=i$, adică $a_{ij}$. Analog pentru cealaltă egalitate. $■$

Așadar $I_n$ joacă, la înmulțirea matricelor, rolul numărului $1$ la înmulțirea numerelor.

Matricea nulă. $A\cdot O_{n,p}=O_{m,p}$: toate sumele au numai termeni nuli.

Matricea coloană a necunoscutelor. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -1\end{array}\right)$ și $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$. Atunci $A\cdot X=\left(\begin{array}{c}2x+3y\\ x-y\end{array}\right)$: produsul unei matrice cu o coloană de necunoscute reproduce exact membrii stângi ai unui sistem de ecuații liniare. Pentru $x=2$ și $y=3$ obținem coloana $\left(\begin{array}{c}13\\ -1\end{array}\right)$. Aici se află motivul adânc al regulii de înmulțire; el se dezvoltă la Sisteme de ecuații liniare: forma matriceală.

8. De ce tocmai această regulă

Regula „linie pe coloană" nu a fost aleasă din capriciu: ea este exact ceea ce trebuie ca produsul a două matrice să corespundă compunerii a două substituții liniare. Compunerea funcțiilor o știi din clasa a IX-a, de la Operații cu funcții. Compunerea, împreună cu faptul — esențial aici — că ea nu este comutativă. Fie substituțiile

$$\{\begin{array}{l}u=x+2y\\ v=3x-y\end{array}\text{și}\{\begin{array}{l}s=2u+v\\ t=u-v\end{array}.$$

Înlocuind pe $u$ și $v$ în a doua, obținem $s=2(x+2y)+(3x-y)=5x+3y$ și $t=(x+2y)-(3x-y)=-2x+3y$. Pe de altă parte, matricele celor două substituții sunt $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$, iar produsul lor, în această ordine, este $\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ -2& 3\end{array}\right)$ — exact coeficienții găsiți prin substituție. Produsul de matrice este scrierea compactă a compunerii.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea dimensiunilor

Se dau $A\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$, $B\in {\mathcal{M}}_{4,2}(\mathbb{R})$ și $C\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$. Care dintre produsele $A\cdot B$, $B\cdot A$, $B\cdot C$, $C\cdot A$ există și ce dimensiuni au?

Rezolvare. Comparăm numerele din mijloc: $A\cdot B$ ($3\times 4$ și $4\times 2$) există, de tip $3\times 2$; $B\cdot A$ ($4\times 2$ și $3\times 4$) nu există, fiindcă $2\ne 3$; $B\cdot C$ există, de tip $4\times 3$; $C\cdot A$ există, de tip $2\times 4$.

Exemplul 2 — Produs de matrice pătratice de ordin 2

Calculați $A\cdot B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& -1\end{array}\right)$.

Rezolvare. Patru socoteli de câte doi termeni:

$$c_{11}=1\cdot 0+2\cdot 2=4;c_{12}=1\cdot 1+2\cdot (-1)=-1;c_{21}=3\cdot 0+4\cdot 2=8;c_{22}=3\cdot 1+4\cdot (-1)=-1.$$

$$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 8& -1\end{array}\right).$$

Exemplul 3 — Produs dreptunghiular, în ambele ordini

Calculați $A\cdot B$ și $B\cdot A$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 0\\ 3& 5\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ -1& 3& 4\end{array}\right)$.

Rezolvare. $A$ este $3\times 2$, $B$ este $2\times 3$: produsul $A\cdot B$ e de tip $3\times 3$. Linia $1$ a lui $A$ este $(1,-1)$, deci prima linie a produsului este $(1\cdot 2+(-1)(-1),1\cdot 0+(-1)\cdot 3,1\cdot 1+(-1)\cdot 4)=(3,-3,-3)$. Continuând, iar apoi calculând $B\cdot A$ (de tip $2\times 2$):

$$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}3& -3& -3\\ 4& 0& 2\\ 1& 15& 23\end{array}\right),B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 17& 21\end{array}\right).$$

Cele două rezultate au dimensiuni diferite — o primă dovadă că ordinea factorilor nu se schimbă la voia întâmplării.

Exemplul 4 — Un singur element al produsului

Se dau $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -1\\ 3& 1& 0& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& -1& 3\\ 1& 2& 2\\ 4& 0& -1\end{array}\right)$. Determinați elementul de pe linia $2$, coloana $3$ a produsului $A\cdot B$, fără a calcula întregul produs.

Rezolvare. Elementul cerut este $c_{23}$, deci folosim linia $2$ din $A$, adică $(3,1,0,4)$, și coloana $3$ din $B$, adică $(0,3,2,-1)$:

$$c_{23}=3\cdot 0+1\cdot 3+0\cdot 2+4\cdot (-1)=-1.$$

Aceasta e cea mai frecventă cerință scurtă de examen: nu tot produsul, ci un singur element.

Exemplul 5 — Produsul cu matricea unitate

Verificați că $A\cdot I_2=I_2\cdot A=A$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 5& 1\end{array}\right)$.

Rezolvare. Prima linie a produsului $A\cdot I_2$ este $(3\cdot 1+(-2)\cdot 0,3\cdot 0+(-2)\cdot 1)=(3,-2)$, iar a doua $(5,1)$; deci $A\cdot I_2=A$. Analog, $I_2\cdot A=A$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$. a) Calculați $A\cdot B$. b) Determinați numărul real $x$ pentru care $A\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$.

Rezolvare. a) $c_{11}=1\cdot 3+2\cdot 2=7$; $c_{12}=1(-1)+2\cdot 0=-1$; $c_{21}=0\cdot 3+1\cdot 2=2$; $c_{22}=0$. Deci $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}7& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$.

b) Produsul din stânga este $\left(\begin{array}{c}x+2\\ 1\end{array}\right)$. Egalitatea a două matrice coloană înseamnă egalitate pe fiecare poziție, deci $x+2=5$, de unde $x=3$ (a doua linie se verifică automat).

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie întâi dimensiunile celor doi factori și verifică numerele din mijloc.

1. Calculează produsul dintre matricea linie $\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\end{array}\right)$ și matricea coloană $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right)$.

2. Calculează $A\cdot B$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& -1\end{array}\right)$.

3. Fie $A\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$ și $B\in {\mathcal{M}}_{4,2}(\mathbb{R})$. Ce dimensiuni are $A\cdot B$ și de ce $B\cdot A$ nu există?

4. Calculează $A\cdot B$ pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 0& 4& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -3& 0\\ 2& 5\end{array}\right)$.

5. Pentru aceleași matrice, calculează $B\cdot A$ și compară dimensiunile celor două rezultate.

6. Calculează $A\cdot B$ pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 3\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 3& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right)$.

7. Verifică, pentru matricea $A$ de la exercițiul anterior, egalitățile $A\cdot I_3=A$ și $I_3\cdot A=A$.

8. Calculează $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}3& 0& -2\end{array}\right)$ și spune ce dimensiuni are rezultatul.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Produsul $A\cdot B$ există ori de câte ori $A$ și $B$ au același număr de linii."

10. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -1\end{array}\right)$ și $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$. Scrie coloana $A\cdot X$ și verifică faptul că, pentru $x=2$, $y=3$, se obține $\left(\begin{array}{c}13\\ -1\end{array}\right)$.

11. (Problemă aplicată.) Pentru două produse, cofetăria folosește cantitățile din $P=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 1& 4& 2\end{array}\right)$ (kg de făină, zahăr, unt), iar prețurile pe kilogram în două depozite sunt $C=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 7\\ 12& 10\end{array}\right)$ (lei). Calculează $P\cdot C$ și spune ce depozit e mai avantajos.

12. Calculează $A\cdot B$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 0\\ 3& 5\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ -1& 3& 4\end{array}\right)$.

13. Pentru aceleași matrice, calculează $B\cdot A$.

14. Determină doar elementul de pe linia $2$, coloana $3$ al produsului $A\cdot B$, unde $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -1\\ 3& 1& 0& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& -1& 3\\ 1& 2& 2\\ 4& 0& -1\end{array}\right)$.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $A\cdot B$ și $B\cdot A$ există amândouă, atunci ele au aceleași dimensiuni."

16. (Problemă aplicată.) Un elev cumpără $2$ caiete, $5$ pixuri și $3$ mape, la $10$, $4$ și $7$ lei. Scrie calculul ca produs linie-coloană și află suma plătită.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$. a) Calculați $B\cdot A$. b) Determinați numărul real $y$ pentru care $B\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$.

18. (Provocare.) Determină matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right)$, scriind $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ și identificând elementele.

Răspunsuri și explicații

1. $2\cdot 1+(-1)(-3)+3\cdot 2=11$. Rezultatul este matricea $\left(\begin{array}{c}11\end{array}\right)$, de tip $1\times 1$, pentru că $1\times 3$ ori $3\times 1$ dă $1\times 1$.

2. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 8& -1\end{array}\right)$, din $1\cdot 0+2\cdot 2=4$, $1\cdot 1+2(-1)=-1$, $3\cdot 0+4\cdot 2=8$, $3\cdot 1+4(-1)=-1$.

3. $A\cdot B$ este $3\times 4$ ori $4\times 2$, deci există, de tip $3\times 2$. Pentru $B\cdot A$ ar trebui ca $2$ (coloanele lui $B$) să fie egal cu $3$ (liniile lui $A$) — fals, deci produsul nu e definit.

4. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}11& 19\\ -10& 5\end{array}\right)$. Control cu sumele pe linii: $11+19=30=2\cdot 3+(-1)(-3)+3\cdot 7$ ✓.

5. $B\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}2& 7& 5\\ -6& 3& -9\\ 4& 18& 11\end{array}\right)$, de tip $3\times 3$, față de $2\times 2$ cât avea $A\cdot B$. Ambele există, dar nu pot fi egale.

6. $A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}7& 2& 2\\ 3& 7& 3\\ 2& 2& 5\end{array}\right)$; de exemplu $c_{23}=0\cdot 2+1\cdot 0+3\cdot 1=3$.

7. Ambele produse dau $A$: linia $i$ a lui $I_3$ selectează din sumă exact termenul de pe poziția $i$, restul înmulțindu-se cu $0$.

8. $\left(\begin{array}{ccc}3& 0& -2\\ 6& 0& -4\\ -3& 0& 2\end{array}\right)$, de tip $3\times 3$, pentru că $3\times 1$ ori $1\times 3$ dă $3\times 3$; fiecare sumă are un singur termen.

9. Fals. Condiția corectă este ca numărul de coloane ale lui $A$ să fie egal cu numărul de linii ale lui $B$. Contraexemplu: $A,B\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$ au același număr de linii, dar $A\cdot B$ nu există, fiindcă $3\ne 2$.

10. $A\cdot X=\left(\begin{array}{c}2x+3y\\ x-y\end{array}\right)$. Pentru $x=2$, $y=3$: $2\cdot 2+3\cdot 3=13$ și $2-3=-1$, deci coloana $\left(\begin{array}{c}13\\ -1\end{array}\right)$ ✓.

11. $P\cdot C=\left(\begin{array}{cc}43& 42\\ 61& 54\end{array}\right)$: primul produs costă $43$ lei în depozitul $1$ și $42$ în depozitul $2$, al doilea $61$, respectiv $54$. Depozitul $2$ e mai ieftin pentru amândouă.

12. $A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}3& -3& -3\\ 4& 0& 2\\ 1& 15& 23\end{array}\right)$. Ultima linie: $3\cdot 2+5(-1)=1$, $3\cdot 0+5\cdot 3=15$, $3\cdot 1+5\cdot 4=23$.

13. $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 17& 21\end{array}\right)$; de pildă $c_{21}=(-1)\cdot 1+3\cdot 2+4\cdot 3=17$.

14. $c_{23}=3\cdot 0+1\cdot 3+0\cdot 2+4\cdot (-1)=-1$, din linia $2$ a lui $A$ și coloana $3$ a lui $B$. (Produsul complet ar fi $\left(\begin{array}{ccc}0& 5& 5\\ 22& 2& -1\end{array}\right)$, dar nu era nevoie de el.)

15. Fals. Pentru $A\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$ și $B\in {\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{R})$, $A\cdot B$ e de tip $2\times 2$, iar $B\cdot A$ de tip $3\times 3$. Afirmația e adevărată doar dacă $A$ și $B$ sunt pătratice de același ordin.

16. $\left(\begin{array}{ccc}2& 5& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}61\end{array}\right)$, deci $61$ de lei. Cantitățile stau pe linie, prețurile pe coloană — altfel produsul nici nu s-ar putea forma.

17. a) $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 2& 4\end{array}\right)$, din $3\cdot 1+(-1)\cdot 0=3$, $3\cdot 2+(-1)\cdot 1=5$, $2\cdot 1=2$, $2\cdot 2=4$. Compară cu $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}7& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$ din Exemplul 6: matrice complet diferite. b) $B\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3-y\\ 2\end{array}\right)$; din $3-y=1$ obținem $y=2$.

18. Produsul este $\left(\begin{array}{cc}a+2c& b+2d\\ c& d\end{array}\right)$. Identificând cu $\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right)$: $c=1$, $d=2$, apoi $a+2=3$ dă $a=1$ și $b+4=4$ dă $b=0$, deci $X=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$. Ecuațiile de acest tip primesc o metodă generală la Ecuații matriceale.

De reținut

• Condiția de existență: $A\cdot B$ are sens numai dacă numărul de coloane ale lui $A$ e egal cu numărul de linii ale lui $B$.
• Dimensiunea rezultatului: $(m\times n)\cdot (n\times p)=(m\times p)$ — numerele de la margini rămân.
• Regula linie pe coloană: $c_{ij}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$, linia $i$ din $A$ împerecheată cu coloana $j$ din $B$.
• Matricea unitate e element neutru: $I_m\cdot A=A\cdot I_n=A$; matricea nulă dă matrice nulă.
• Ordinea contează. Uneori $B\cdot A$ nici nu există, alteori are alte dimensiuni; chiar și când sunt de același tip, pot diferi — subiectul lecției următoare.

Greșeli frecvente

• Înmulțirea element cu element. Cea mai gravă: produsul nu se face poziție cu poziție, ca adunarea; fiecare element al rezultatului e o sumă de produse.
• Începerea calculului fără verificarea dimensiunilor. Scrie întâi $(m\times n)\cdot (n\times p)$ și compară numerele din mijloc.
• Confuzia linie/coloană. Pentru $c_{ij}$ se ia linia $i$ din primul factor și coloana $j$ din al doilea, niciodată invers.
• Sume incomplete. Numărul de termeni e exact numărul din mijloc: la $(2\times 4)\cdot (4\times 3)$ fiecare element are patru termeni.
• Scrierea „$A\cdot B=B\cdot A$" din obișnuință. Cu matricele nu ai voie, nici măcar când ambele produse există.

Aplică acasă

1. Coșul de cumpărături. Notează pe o linie cantitățile a patru produse pe care le cumperi des și, într-o matrice cu patru linii și două coloane, prețurile lor din două magazine. Produsul îți spune direct unde ai plăti mai puțin.

2. Orarul. Scrie o matrice cu numărul de ore pe săptămână la trei materii, pentru două clase, și o coloană cu numărul de săptămâni dintr-un semestru. Produsul dă totalul de ore.

3. Verificarea prin sume. Ia orice produs pe care l-ai calculat și aplică-i controlul din secțiunea 4. Dacă nu iese, ai găsit greșeala fără să reiei tot calculul.

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lecția-cheie a întregii unități. Toată algebra matriceală de mai departe — puteri, inversă, ecuații matriceale, sisteme — se sprijină pe regula de aici. Nu treceți mai departe până când calculul unui produs $3\times 3$ nu iese corect de trei ori la rând.

De verificat în caiet: (1) dimensiunile au fost scrise înainte de calcul; (2) fiecare element al rezultatului e o sumă cu numărul corect de termeni; (3) rezultatul are dimensiunile „de la margini"; (4) nu s-a inversat rolul liniilor și al coloanelor. Întrebări de control: „Când există $A\cdot B$?"; „Ce dimensiuni are rezultatul?"; „Din ce se calculează $c_{23}$?".

La BAC M1, produsul apare în aproape fiecare subiect cu matrice: direct, într-o cerință cu un singur element sau ca pas dintr-o problemă mai lungă. Semn că elevul a înțeles: verifică dimensiunile automat și poate calcula un element izolat fără a calcula tot produsul.

Întrebări frecvente

Când se pot înmulți două matrice? Numai când numărul de coloane al primei matrice este egal cu numărul de linii al celei de-a doua. Altfel produsul nu există — nu e „egal cu zero", pur și simplu nu se poate scrie.

Ce dimensiuni are produsul a două matrice? Numărul de linii al primului factor și numărul de coloane al celui de-al doilea: $(m\times n)\cdot (n\times p)$ dă o matrice de tip $m\times p$.

Cum se calculează un element al produsului? Se ia linia $i$ din prima matrice și coloana $j$ din a doua, se înmulțesc termen cu termen și se adună: $c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}$.

De ce nu se înmulțesc matricele element cu element? Pentru că produsul a fost construit ca să descrie compunerea a două transformări liniare, iar acolo apar sume de produse. Înmulțirea element cu element ar fi posibilă, dar nu ar avea nicio legătură cu sistemele de ecuații și cu compunerea.

Se poate schimba ordinea factorilor la înmulțirea matricelor? Nu. Uneori produsul în cealaltă ordine nici nu există, alteori are alte dimensiuni, iar chiar și când ambele au același tip, ele diferă de regulă. Este subiectul lecției următoare.

Ce se întâmplă când înmulțesc o matrice cu matricea unitate? Matricea rămâne neschimbată: $I_m\cdot A=A$ și $A\cdot I_n=A$. Matricea unitate joacă rolul numărului $1$ din înmulțirea obișnuită.

Cum apare înmulțirea matricelor în subiectele de Bacalaureat M1? Foarte des: ca cerință directă de calcul, ca determinare a unui singur element al produsului, ca verificare a unei egalități de tipul $A\cdot B=B\cdot A$ și ca pas într-o problemă cu ecuații sau cu sisteme.