Înmulțirea claselor de resturi: pe scurt

Înmulțirea claselor de resturi se definește prin $\hat{a}\cdot \hat{b}=\widehat{ab}$: înmulțești reprezentanții, apoi iei restul la împărțirea cu $n$. Și aici buna definire se demonstrează, cu trucul „adun și scad același termen”: $ab-a_1{b}_1=b(a-a_1)+a_1(b-b_1)$, deci $n$ divide diferența ori de câte ori divide diferențele reprezentanților.

Proprietățile coboară de la $\mathbb{Z}$ prin același tipar — reprezentanți, proprietatea din $\mathbb{Z}$, înapoi la clase: înmulțirea claselor este asociativă și comutativă, cu elementul neutru $\hat{1}$, deci $({\mathbb{Z}}_n,\cdot )$ este monoid comutativ. Tot așa se deduce și distributivitatea față de adunare, $\hat{a}(\hat{b}+\hat{c})=\hat{a}\hat{b}+\hat{a}\hat{c}$ — nu se verifică pe cazuri.

Două lucruri nu se transportă din $\mathbb{Z}$, iar amândouă apar la $n$ compus. Un produs de clase nenule poate fi nul: în ${\mathbb{Z}}_6$, $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{0}$. Și simplificarea cade: $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{2}\cdot \hat{5}$ deși $\hat{2}\ne \hat{5}$, deci nu ai voie să „împarți prin $\hat{2}$”.

Puterile respectă ${\left(\hat{a}\right)}^k=\widehat{a^k}$, ceea ce rezolvă orice întrebare de tipul „ce rest dă $a^k$ la împărțirea cu $n$”: calculezi puteri până se repetă, împarți exponentul la lungimea perioadei și folosești restul.

Exerciții din această mini-lecție

1. În ${\mathbb{Z}}_6$, o pereche de clase nenule al căror produs este $\hat{0}$ este:

   • a) $\hat{2}$ și $\hat{5}$
   • b) $\hat{3}$ și $\hat{5}$
   • c) nu există o astfel de pereche
   • d) $\hat{2}$ și $\hat{3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\hat{2}$ și $\hat{3}$

   Avem $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{0}$, deși niciun factor nu este nul. Celelalte produse sunt $\hat{2}\cdot \hat{5}=\widehat{10}=\hat{4}$ și $\hat{3}\cdot \hat{5}=\widehat{15}=\hat{3}$. Fenomenul apare exact când $n$ este compus: factorii primi ai lui $6$ se împart între cei doi factori. În ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim el nu apare niciodată.

2. În ${\mathbb{Z}}_6$ are loc egalitatea $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{2}\cdot \hat{5}$. De aici rezultă că:

   • a) $\hat{2}=\hat{5}$
   • b) $\hat{2}=\hat{0}$
   • c) nu rezultă nimic: simplificarea prin $\hat{2}$ nu este permisă
   • d) egalitatea din enunț este falsă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) nu rezultă nimic: simplificarea prin $\hat{2}$ nu este permisă

   Ambii membri sunt $\hat{4}$, deci egalitatea este adevărată; dar $\hat{2}\ne \hat{5}$, așa că simplificarea prin factor comun cade în ${\mathbb{Z}}_6$. Motivul este același cu cel de la produsele nule: dacă simplificarea ar fi permisă, din $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{2}\cdot \hat{0}$ am obține $\hat{3}=\hat{0}$, fals. Simbolul de împărțire a claselor nici nu există.

3. Ultima cifră a numărului $2^{2027}$ este:

   • a) $8$
   • b) $2$
   • c) $4$
   • d) $6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $8$

   Lucrăm în ${\mathbb{Z}}_{10}$, unde ultima cifră este chiar reprezentantul clasei. Puterile lui $\hat{2}$ sunt $\hat{2},\hat{4},\hat{8},\hat{6}$, apoi ${\hat{2}}^5=\widehat{32}=\hat{2}$: perioada este $4$. Cum $2027=4\cdot 506+3$, avem ${\hat{2}}^{2027}={\hat{2}}^3=\hat{8}$. Greșeala tipică este folosirea restului $0$ în loc de $3$, sau numărarea perioadei de la $\hat{1}$.