Acasă · Lecții · clasa a XII-a · Înmulțirea claselor de resturi modulo n; distributivitatea

Înmulțirea claselor de resturi modulo n; distributivitatea

Q: Ce este înmulțirea claselor de resturi modulo n?

Înmulțirea claselor de resturi modulo n este operația definită pe ℤₙ prin a · b = ab: se înmulțesc doi reprezentanți și se ia clasa produsului. Rezultatul nu depinde de reprezentanții aleși, ceea ce se demonstrează folosind faptul că ab - a'b' = b(a-a') + a'(b-b') este divizibil cu n atunci când și a - a', și b - b' sunt.

Q: Cum se calculează un produs de clase de resturi?

Se înlocuiește fiecare clasă cu reprezentantul ei cel mai mic, se înmulțesc cele două numere întregi și se ia restul la împărțirea cu n. De exemplu, în ℤ₉: 14 · 17 = 5 · 8 = 40 = 4. Când sunt mai mulți factori, se reduce după fiecare înmulțire, ca numerele să rămână mici.

Q: Ce înseamnă că înmulțirea este distributivă față de adunare în Z_n?

Înseamnă că a · (b + c) = a · b + a · c pentru orice clase din ℤₙ, adică paranteza se poate desface exact ca la numere. Proprietatea se demonstrează coborând la reprezentanți și folosind distributivitatea de pe ℤ; ea este cea care permite darea factorului comun în ecuațiile cu clase de resturi.

Q: De ce în Z_6 avem 2 ori 3 egal cu 0?

Pentru că 2 · 3 = 6, iar 6 dă restul 0 la împărțirea cu 6. Fenomenul apare ori de câte ori n este compus: factorii primi ai lui n se pot împărți între doi factori nenuli. În ℤ_p cu p prim lucrul acesta nu se poate întâmpla, deoarece un număr prim care divide un produs divide unul dintre factori.

Q: Care este elementul neutru la înmulțirea claselor de resturi?

Elementul neutru este clasa 1, pentru că 1 · a = 1 · a = a pentru orice clasă. Pe tablă se recunoaște imediat: linia lui 1 reproduce prima linie, iar coloana lui 1 reproduce prima coloană. Elementul neutru al unei legi de compoziție, când există, este unic.

Q: Cum aflu ultima cifră a unei puteri mari, cum ar fi 7 la 2026?

Se lucrează în ℤ₁₀, unde ultima cifră este chiar clasa numărului. Calculezi puterile bazei până când reapare 1 sau o clasă deja întâlnită — pentru 7 perioada este 4 — apoi împarți exponentul la lungimea perioadei și folosești restul: din 2026 = 4 · 506 + 2 obții 7²⁰²⁶ = 9.

Q: Se poate simplifica o egalitate în Z_n?

Nu, în general. Din a · x = a · y nu rezultă x = y, cum arată exemplul 2 · 2 = 2 · 5 din ℤ₆. Simplificarea devine legitimă doar când clasa a este inversabilă, iar condiția exactă în care se întâmplă acest lucru se studiază în lecția despre elementele inversabile.

Q: La ce folosesc clasele de resturi la Bacalaureat M1?

Ele apar în Subiectul al II-lea, în probleme de structuri algebrice: table de operații, ecuații cu clase, sume de puteri, verificarea unor proprietăți pe ℤₙ. Sunt și unealta standard pentru probleme de divizibilitate în ℤ, unde întrebarea „ce rest dă acest număr" se traduce imediat într-un calcul cu clase.

Ce cifră are la sfârșit numărul $7^{2026}$ ? Nimeni nu îl calculează: are peste o mie șapte sute de cifre și niciun calculator de buzunar nu îl scrie. Și totuși răspunsul se obține în trei rânduri, dacă lucrezi cu resturile la împărțirea cu $10$ în loc de numerele întregi. Unealta care face asta se numește înmulțirea claselor de resturi modulo $n$ și este a doua operație pe care o studiezi pe mulțimea $Z_{n}$ în clasa a 12-a, după adunarea claselor. Înmulțirea claselor de resturi modulo $n$ este operația care lucrează pe reprezentanți: $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = ab$ , adică înmulțești două numere întregi luate din cele două clase și iei restul produsului la împărțirea cu $n$ .

Ideea e simplă și o folosești deja fără să-i spui pe nume: când vrei ultima cifră a unui produs, înmulțești doar ultimele cifre ale factorilor. $123 \cdot 47$ se termină în $1$ pentru că $3 \cdot 7 = 21$ se termină în $1$ . Ce facem în lecția aceasta este să ridicăm observația la rangul de operație: definim înmulțirea pe mulțimea claselor, verificăm că definiția e corectă (adică nu depinde de reprezentanții aleși), demonstrăm proprietățile ei și, la final, distributivitatea înmulțirii față de adunare — proprietatea care leagă între ele cele două operații de pe $Z_{n}$ și pe care se sprijină toate ecuațiile cu clase de resturi din subiectele de Bacalaureat M1.

Ce vei învăța

Vei ști să definești înmulțirea claselor de resturi modulo $n$ prin regula $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = ab$ și să calculezi rapid orice produs de clase.
Vei ști să demonstrezi buna definire a înmulțirii, adică faptul că rezultatul nu depinde de reprezentanții aleși.
Vei ști să scrii tabla înmulțirii în $Z_{n}$ pentru $n \leq 8$ și să citești din ea comutativitatea și elementul neutru.
Vei ști să demonstrezi că $(Z_{n}, \cdot)$ este monoid comutativ, deducând fiecare proprietate din cea corespunzătoare de pe $Z$ .
Vei ști să demonstrezi distributivitatea înmulțirii față de adunare pe $Z_{n}$ și să o folosești în calcule.
Vei ști să recunoști ce proprietăți ale înmulțirii numerelor întregi se pierd în $Z_{n}$ și să calculezi resturi ale unor puteri foarte mari.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este înmulțirea claselor de resturi modulo n?

Mulțimea $Z_{n} = {\hat{0}, \hat{1}, \dots, n - 1}$ și adunarea ei le-ai construit la Mulțimea claselor de resturi modulo n; adunarea claselor: clasa $\overset{a}{^} = {a + k n ∣ k \in Z}$ adună laolaltă toate numerele întregi care dau același rest la împărțirea cu $n$ , iar $\overset{a}{^} = \hat{b}$ exact atunci când $n ∣ (a - b)$ . Acum adăugăm a doua operație.

Înmulțirea claselor de resturi modulo $n$ este legea de compoziție definită pe mulțimea $Z_{n}$ prin regula $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = ab$ : pentru a înmulți două clase alegi câte un reprezentant din fiecare, înmulțești cei doi întregi și iei clasa produsului obținut, adică restul acestui produs la împărțirea cu $n$ . Rezultatul este tot o clasă din $Z_{n}$ .

Iată-o la lucru în $Z_{9}$ :

$\hat{5} \cdot \hat{8} = 40 = \hat{4}, pentru c \overset{a}{˘} 40 = 9 \cdot 4 + 4.$

Regula de calcul este, așadar, în doi pași: înmulțești ca la numere întregi, apoi iei restul. Ordinea celor doi pași poate fi și inversată — poți lua întâi resturile factorilor și abia apoi să înmulțești — și tocmai independența aceasta de ordine este lucrul care trebuie demonstrat.

2. De ce definiția nu depinde de reprezentanți?

Definiția de mai sus ascunde o problemă reală, aceeași care a apărut și la adunare. Clasa $\hat{5}$ din $Z_{9}$ se mai scrie $14$ , $23$ sau $- 4$ ; clasa $\hat{8}$ se mai scrie $17$ . Dacă înmulțirea claselor s-ar face „prin reprezentanți", atunci $14 \cdot 17 = 238$ ar trebui să fie aceeași clasă cu $\hat{5} \cdot \hat{8} = 40$ . Este? $238 - 40 = 198 = 9 \cdot 22$ , deci da. Dar un exemplu nu ajunge: trebuie ca lucrul acesta să se întâmple întotdeauna, altfel operația nici măcar nu e o funcție și nu are sens să vorbim despre ea.

Propoziție (buna definire a înmulțirii). Fie $n \in N$ , $n \geq 2$ . Dacă $\overset{a}{^} = a^{'}$ și $\hat{b} = b^{'}$ , atunci $ab = a^{'} b^{'}$ .

Demonstrație. Ipotezele înseamnă $n ∣ (a - a^{'})$ și $n ∣ (b - b^{'})$ , adică există $k, l \in Z$ cu $a - a^{'} = k n$ și $b - b^{'} = l n$ . Scădem produsele și adunăm-scădem același termen, ca să putem da factor comun:

$ab - a^{'} b^{'} = ab - a^{'} b + a^{'} b - a^{'} b^{'} = b (a - a^{'}) + a^{'} (b - b^{'}) = b \cdot k n + a^{'} \cdot l n = n (bk + a^{'} l) .$

Cum $bk + a^{'} l \in Z$ , rezultă $n ∣ (ab - a^{'} b^{'})$ , adică $ab = a^{'} b^{'}$ . $■$

Trucul „adun și scad același termen" este singura idee a demonstrației și merită reținut: el transformă diferența a două produse într-o combinație de diferențe pe care le controlăm din ipoteză. Din propoziție rezultă că înmulțirea claselor este o funcție $Z_{n} \times Z_{n} \to Z_{n}$ , deci o lege de compoziție în sensul definiției din prima lecție a unității, și că poți alege liber reprezentanții: în practică îi alegi pe cei mai mici, adică resturile.

3. Cum arată tabla înmulțirii în $Z_{5}$ și în $Z_{6}$ ?

Pentru $n$ mic, cel mai bun mod de a vedea operația în întregime este tabla ei. Regula de scriere e cea fixată la Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită: în colț simbolul operației, pe prima linie și pe prima coloană elementele mulțimii în aceeași ordine, iar în căsuța de la intersecția liniei $\overset{a}{^}$ cu coloana $\hat{b}$ stă $\overset{a}{^} \cdot \hat{b}$ .

$\cdot$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$
$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$
$\hat{1}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$
$\hat{2}$	$\hat{0}$	$\hat{2}$	$\hat{4}$	$\hat{1}$	$\hat{3}$
$\hat{3}$	$\hat{0}$	$\hat{3}$	$\hat{1}$	$\hat{4}$	$\hat{2}$
$\hat{4}$	$\hat{0}$	$\hat{4}$	$\hat{3}$	$\hat{2}$	$\hat{1}$

Trei lucruri se citesc dintr-o privire. Tabla este simetrică față de diagonala principală, deci operația este comutativă. Linia lui $\hat{1}$ și coloana lui $\hat{1}$ reproduc prima linie, respectiv prima coloană a tablei, deci $\hat{1}$ este element neutru. Iar în afara liniei și coloanei lui $\hat{0}$ nu mai apare niciun $\hat{0}$ : în $Z_{5}$ , produsul a două clase nenule este mereu nenul.

Ultima observație nu se păstrează. Iată tabla înmulțirii în $Z_{6}$ :

$\cdot$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$
$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$
$\hat{1}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$
$\hat{2}$	$\hat{0}$	$\hat{2}$	$\hat{4}$	$\hat{0}$	$\hat{2}$	$\hat{4}$
$\hat{3}$	$\hat{0}$	$\hat{3}$	$\hat{0}$	$\hat{3}$	$\hat{0}$	$\hat{3}$
$\hat{4}$	$\hat{0}$	$\hat{4}$	$\hat{2}$	$\hat{0}$	$\hat{4}$	$\hat{2}$
$\hat{5}$	$\hat{0}$	$\hat{5}$	$\hat{4}$	$\hat{3}$	$\hat{2}$	$\hat{1}$

Simetria și elementul neutru sunt la locul lor, dar tabla e presărată cu $\hat{0}$ : $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ , $\hat{3} \cdot \hat{4} = \hat{0}$ . Vom reveni la asta în subsecțiunea a șasea; deocamdată reține că tabla se scrie doar pentru $n \leq 8$ , pentru că mai departe are prea multe căsuțe ca să fie utilă, iar calculele se fac cu formula.

4. Ce proprietăți moștenește înmulțirea claselor de la înmulțirea numerelor întregi?

Toate demonstrațiile din această subsecțiune au același schelet: coborâm la reprezentanți, folosim proprietatea corespunzătoare din $Z$ , urcăm înapoi la clase. Nu inventăm nimic; transportăm.

Asociativitatea. Pentru orice $\overset{a}{^}, \hat{b}, \overset{c}{^} \in Z_{n}$ :

$(\overset{a}{^} \cdot \hat{b}) \cdot \overset{c}{^} = ab \cdot \overset{c}{^} = (ab) c = a (b c) = \overset{a}{^} \cdot b c = \overset{a}{^} \cdot (\hat{b} \cdot \overset{c}{^}) .$

Pasul din mijloc, $(ab) c = a (b c)$ , este chiar asociativitatea înmulțirii pe $Z$ — de acolo vine totul.

Comutativitatea. $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = ab = ba = \hat{b} \cdot \overset{a}{^}$ , din comutativitatea înmulțirii numerelor întregi.

Elementul neutru. $\hat{1} \cdot \overset{a}{^} = 1 \cdot a = \overset{a}{^}$ și, prin comutativitate, $\overset{a}{^} \cdot \hat{1} = \overset{a}{^}$ . Deci $e = \hat{1}$ este element neutru, iar el este unic, ca la orice lege de compoziție.

Punând cele trei laolaltă și folosind limbajul fixat la Semigrupuri și monoizi; reguli de calcul și puteri: $(Z_{n}, \cdot)$ este monoid comutativ. Împreună cu adunarea, pe aceeași mulțime $Z_{n}$ trăiesc acum două legi de compoziție diferite — situație pe care programa o cere explicit și pe care o vei întâlni des la Bacalaureat M1.

Un avertisment de vocabular: „monoid" nu înseamnă că toate elementele au simetric. La adunare, orice clasă are opusul ei ( $- \overset{a}{^} = - a = n - a$ ); la înmulțire, dimpotrivă, doar unele clase au invers — care anume, afli la Elementele inversabile din mulțimea claselor de resturi; ecuații cu clase de resturi.

5. Cum se demonstrează distributivitatea înmulțirii față de adunare în $Z_{n}$ ?

Aceasta este proprietatea cerută explicit de programă, cu precizarea că se deduce din distributivitatea de pe $Z$ , nu se verifică pe cazuri.

Propoziție. Pentru orice $\overset{a}{^}, \hat{b}, \overset{c}{^} \in Z_{n}$ au loc egalitățile

$\overset{a}{^} \cdot (\hat{b} + \overset{c}{^}) = \overset{a}{^} \cdot \hat{b} + \overset{a}{^} \cdot \overset{c}{^} ș i (\hat{b} + \overset{c}{^}) \cdot \overset{a}{^} = \hat{b} \cdot \overset{a}{^} + \overset{c}{^} \cdot \overset{a}{^} .$

Demonstrație. Pentru prima egalitate coborâm la reprezentanți, folosind definițiile celor două operații:

$\overset{a}{^} \cdot (\hat{b} + \overset{c}{^}) = \overset{a}{^} \cdot b + c = a (b + c) = ab + a c = ab + a c = \overset{a}{^} \cdot \hat{b} + \overset{a}{^} \cdot \overset{c}{^} .$

Egalitatea $a (b + c) = ab + a c$ este distributivitatea înmulțirii față de adunare pe $Z$ , transportată în clase; toate celelalte semne de egal sunt doar definițiile operațiilor. A doua egalitate rezultă din prima și din comutativitatea înmulțirii claselor. $■$

La ce folosește? La exact ce faci cu distributivitatea peste tot: dai factor comun și desfaci parantezele. În $Z_{7}$ , de pildă,

$\hat{3} \cdot (\hat{4} + \hat{5}) = \hat{3} \cdot 9 = \hat{3} \cdot \hat{2} = \hat{6}, \hat{3} \cdot \hat{4} + \hat{3} \cdot \hat{5} = 12 + 15 = \hat{5} + \hat{1} = \hat{6} .$

Aceleași reguli de calcul cu paranteze pe care le folosești de la gimnaziu rămân valabile, cu o singură deosebire: la fiecare pas ai voie să înlocuiești orice număr cu restul lui, ceea ce ține cifrele mici.

6. Ce nu se moștenește: produse nule cu factori nenuli

Până acum totul s-a transportat cuminte din $Z$ în $Z_{n}$ . Două lucruri nu se transportă, și amândouă sunt surse clasice de greșeli în lucrări.

Primul: un produs poate fi nul fără ca vreun factor să fie nul. În $Z_{6}$ ,

$\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{6} = \hat{0}, de ș i \hat{2} \neq = \hat{0} ș i \hat{3} \neq = \hat{0} .$

Explicația e transparentă dacă privești la nivelul numerelor întregi: $6 ∣ 2 \cdot 3$ fără ca $6$ să dividă vreunul dintre factori, pentru că factorii primi ai lui $6$ se împart între cei doi. De aceea fenomenul apare exact la $n$ compus; în $Z_{5}$ , ca și în orice $Z_{p}$ cu $p$ prim, tabla nu are niciun $\hat{0}$ în afara liniei și coloanei lui $\hat{0}$ .

Al doilea: simplificarea cade. În $Z$ , din $a x = a y$ cu $a \neq = 0$ rezultă $x = y$ . În $Z_{6}$ :

$\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{4} ș i \hat{2} \cdot \hat{5} = 10 = \hat{4},$

deci $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{2} \cdot \hat{5}$ deși $\hat{2} \neq = \hat{5}$ . Cu alte cuvinte, nu ai voie să „împarți prin $\hat{2}$ ". Cele două fenomene sunt fețele aceleiași monede: dacă simplificarea ar fi permisă, din $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{2} \cdot \hat{0}$ am obține $\hat{3} = \hat{0}$ , fals.

Consecința practică, pe care o vei folosi mereu: o ecuație de forma $\overset{a}{^} \cdot \overset{x}{^} = \hat{b}$ nu se rezolvă „împărțind prin $\overset{a}{^}$ ". Ce se poate face în locul acestui gest interzis vezi în lecția următoare.

7. Puterile unei clase: cum afli ultima cifră a lui $7^{2026}$ ?

Într-un monoid, puterile unui element se definesc prin $x^{1} = x$ și $x^{k + 1} = x^{k} \cdot x$ . Aplicat claselor și demonstrat imediat prin metoda inducției matematice, rezultatul este regula care face toată treaba:

$(\overset{a}{^})^{k} = a^{k} pentru orice k \in N^{*} .$

Într-adevăr, pentru $k = 1$ e chiar definiția, iar din $(\overset{a}{^})^{k} = a^{k}$ obținem $(\overset{a}{^})^{k + 1} = a^{k} \cdot \overset{a}{^} = a^{k} \cdot a = a^{k + 1}$ .

Problema din deschidere. Ultima cifră a lui $7^{2026}$ este restul lui $7^{2026}$ la împărțirea cu $10$ , adică acel $r$ pentru care $7^{2026} = \overset{r}{^}$ în $Z_{10}$ . Calculăm primele puteri ale clasei $\hat{7}$ în $Z_{10}$ :

$\hat{7}^{1} = \hat{7}, \hat{7}^{2} = 49 = \hat{9}, \hat{7}^{3} = \hat{9} \cdot \hat{7} = 63 = \hat{3}, \hat{7}^{4} = \hat{3} \cdot \hat{7} = 21 = \hat{1} .$

Din $\hat{7}^{4} = \hat{1}$ rezultă că puterile se repetă din patru în patru. Scriem $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ și folosim regulile de calcul cu puteri, valabile în orice monoid:

$\hat{7}^{2026} = (\hat{7}^{4})^{506} \cdot \hat{7}^{2} = \hat{1}^{506} \cdot \hat{9} = \hat{9} .$

Deci $7^{2026}$ se termină în cifra $9$ . Aceeași rețetă în trei pași — calculezi puteri până se repetă, împarți exponentul la lungimea perioadei, folosești restul — rezolvă orice problemă de tipul „ce rest dă $a^{k}$ la împărțirea cu $n$ ". De exemplu, în $Z_{7}$ avem $\hat{2}^{3} = \hat{8} = \hat{1}$ , iar din $100 = 3 \cdot 33 + 1$ obținem $\hat{2}^{100} = \hat{2}$ : numărul $2^{100}$ dă restul $2$ la împărțirea cu $7$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcule directe cu clase

Calculați în $Z_{9}$ : $\hat{5} \cdot \hat{8}$ , $\hat{7} \cdot \hat{7}$ și $\hat{4} \cdot \hat{6} \cdot \hat{2}$ .

Rezolvare. $\hat{5} \cdot \hat{8} = 40 = \hat{4}$ , pentru că $40 = 9 \cdot 4 + 4$ .

$\hat{7} \cdot \hat{7} = 49 = \hat{4}$ , pentru că $49 = 9 \cdot 5 + 4$ .

Pentru al treilea produs folosim asociativitatea și reducem la fiecare pas: $\hat{4} \cdot \hat{6} = 24 = \hat{6}$ , apoi $\hat{6} \cdot \hat{2} = 12 = \hat{3}$ . Deci $\hat{4} \cdot \hat{6} \cdot \hat{2} = \hat{3}$ .

Observă economia: dacă am fi înmulțit întâi tot, am fi avut de împărțit $48$ la $9$ ; reducând la fiecare pas, numerele rămân sub $n^{2}$ .

Exemplul 2 — Buna definire, verificată pe un caz

Calculați $17 \cdot 23$ în $Z_{5}$ în două moduri: cu reprezentanții dați și cu reprezentanții cei mai mici.

Rezolvare. Cu reprezentanții dați: $17 \cdot 23 = 391$ și $391 = 5 \cdot 78 + 1$ , deci $391 = \hat{1}$ .

Cu reprezentanții mici: $17 = 5 \cdot 3 + 2$ , deci $17 = \hat{2}$ ; $23 = 5 \cdot 4 + 3$ , deci $23 = \hat{3}$ . Atunci $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{6} = \hat{1}$ .

Aceeași clasă, cum garantează propoziția de bună definire. A doua cale cere înmulțirea $2 \cdot 3$ în loc de $17 \cdot 23$ — de aceea, în practică, primul gest este întotdeauna înlocuirea fiecărei clase cu reprezentantul ei cel mai mic.

Exemplul 3 — Tabla înmulțirii în $Z_{4}$ și citirea ei

Scrieți tabla înmulțirii în $Z_{4}$ și precizați: este operația comutativă? Care este elementul neutru? Există clase nenule cu produsul nul?

Rezolvare.

$\cdot$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$
$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$
$\hat{1}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$
$\hat{2}$	$\hat{0}$	$\hat{2}$	$\hat{0}$	$\hat{2}$
$\hat{3}$	$\hat{0}$	$\hat{3}$	$\hat{2}$	$\hat{1}$

Tabla e simetrică față de diagonala principală, deci operația este comutativă. Linia și coloana lui $\hat{1}$ reproduc capetele tablei, deci elementul neutru este $\hat{1}$ . În sfârșit, $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{4} = \hat{0}$ , deci da: există o clasă nenulă al cărei pătrat este nul. Se întâmplă pentru că $4$ este compus.

Exemplul 4 — Distributivitatea în calcul

Calculați $\hat{4} \cdot (\hat{5} + \hat{6})$ în $Z_{8}$ pe cele două căi pe care le oferă distributivitatea.

Rezolvare. Prima cale, cu paranteza calculată întâi: $\hat{5} + \hat{6} = 11 = \hat{3}$ , apoi $\hat{4} \cdot \hat{3} = 12 = \hat{4}$ .

A doua cale, desfăcând paranteza: $\hat{4} \cdot \hat{5} + \hat{4} \cdot \hat{6} = 20 + 24 = \hat{4} + \hat{0} = \hat{4}$ .

Aceeași clasă, $\hat{4}$ — exact ce garantează propoziția demonstrată mai sus. Observă în trecere că $\hat{4} \cdot \hat{6} = \hat{0}$ în $Z_{8}$ , cu ambii factori nenuli.

Exemplul 5 — O ecuație rezolvată prin verificarea claselor

Rezolvați în $Z_{12}$ ecuația $\hat{4} \cdot \overset{x}{^} = \hat{0}$ .

Rezolvare. Gestul interzis ar fi „împărțim prin $\hat{4}$ "; am văzut că simplificarea nu funcționează. Mulțimea $Z_{12}$ are însă doar douăsprezece elemente, deci le putem încerca pe toate. Calculăm $\hat{4} \cdot \overset{x}{^}$ pentru $x = 0, 1, \dots, 11$ :

$\hat{0}, \hat{4}, \hat{8}, \hat{0}, \hat{4}, \hat{8}, \hat{0}, \hat{4}, \hat{8}, \hat{0}, \hat{4}, \hat{8} .$

Clasa $\hat{0}$ apare pentru $x \in {0, 3, 6, 9}$ , deci soluțiile sunt $\hat{0}, \hat{3}, \hat{6}, \hat{9}$ — patru la număr, deși ecuația pare „de gradul întâi".

Verificare: $\hat{4} \cdot \hat{3} = 12 = \hat{0}$ ✓, $\hat{4} \cdot \hat{9} = 36 = \hat{0}$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră mulțimea $Z_{6}$ cu înmulțirea claselor de resturi. a) Scrieți tabla înmulțirii și determinați toate perechile $(\overset{a}{^}, \hat{b})$ de clase nenule cu $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = \hat{0}$ . b) Arătați că $\overset{x}{^}^{3} = \overset{x}{^}$ pentru orice $\overset{x}{^} \in Z_{6}$ . c) Calculați $S = \hat{1}^{3} + \hat{2}^{3} + \hat{3}^{3} + \hat{4}^{3} + \hat{5}^{3}$ .

Rezolvare. a) Tabla este cea scrisă în subsecțiunea a treia. Citind din ea căsuțele cu $\hat{0}$ în afara liniei și coloanei lui $\hat{0}$ , obținem perechile

$(\hat{2}, \hat{3}), (\hat{3}, \hat{2}), (\hat{3}, \hat{4}), (\hat{4}, \hat{3}) .$

b) Calculăm cuburile pe rând, folosind tabla: $\hat{0}^{3} = \hat{0}$ ; $\hat{1}^{3} = \hat{1}$ ; $\hat{2}^{3} = \hat{8} = \hat{2}$ ; $\hat{3}^{3} = 27 = \hat{3}$ , pentru că $27 = 6 \cdot 4 + 3$ ; $\hat{4}^{3} = 64 = \hat{4}$ , pentru că $64 = 6 \cdot 10 + 4$ ; $\hat{5}^{3} = 125 = \hat{5}$ , pentru că $125 = 6 \cdot 20 + 5$ . În toate cele șase cazuri am obținut chiar clasa de plecare, deci $\overset{x}{^}^{3} = \overset{x}{^}$ pentru orice $\overset{x}{^} \in Z_{6}$ .

c) Din punctul b), fiecare cub este egal cu baza lui, deci

$S = \hat{1} + \hat{2} + \hat{3} + \hat{4} + \hat{5} = 15 = \hat{3},$

pentru că $15 = 6 \cdot 2 + 3$ . Un asemenea subiect apare la Bacalaureat M1 în Subiectul al II-lea, unde primul punct cere de obicei un calcul direct, iar ultimul folosește rezultatul demonstrat la punctul anterior — semn că punctele nu se rezolvă independent, ci în lanț.

Să exersăm

La fiecare calcul, primul gest este înlocuirea claselor cu reprezentanții lor cei mai mici, iar ultimul, verificarea că rezultatul e o clasă din $Z_{n}$ , adică unul dintre $\hat{0}, \hat{1}, \dots, n - 1$ .

1. Calculează în $Z_{7}$ : $\hat{3} \cdot \hat{5}$ , $\hat{4} \cdot \hat{6}$ și $\hat{2} \cdot \hat{2} \cdot \hat{2}$ .

2. Scrie tabla înmulțirii în $Z_{4}$ fără să te uiți la Exemplul 3, apoi compar-o cu cea de acolo.

3. Calculează $23 \cdot 34$ în $Z_{6}$ în două moduri: direct și după reducerea reprezentanților.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În $Z_{n}$ , dacă $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = \hat{0}$ , atunci $\overset{a}{^} = \hat{0}$ sau $\hat{b} = \hat{0}$ ."

5. Rezolvă în $Z_{9}$ ecuația $\hat{3} \cdot \overset{x}{^} = \hat{0}$ .

6. Verifică distributivitatea calculând $\hat{4} \cdot (\hat{5} + \hat{6})$ în $Z_{8}$ pe ambele căi.

7. Care este ultima cifră a numărului $3^{2027}$ ?

8. Ce rest dă $5^{100}$ la împărțirea cu $6$ ?

9. Determină toate clasele $\overset{x}{^} \in Z_{10}$ pentru care $\overset{x}{^}^{2} = \overset{x}{^}$ .

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În $Z_{n}$ , din $\overset{a}{^} \cdot \overset{x}{^} = \overset{a}{^} \cdot \overset{y}{^}$ și $\overset{a}{^} \neq = \hat{0}$ rezultă $\overset{x}{^} = \overset{y}{^}$ ."

11. Calculează $(\hat{2} + \hat{3}) \cdot (\hat{4} + \hat{5})$ în $Z_{7}$ , o dată calculând parantezele și o dată desfăcându-le complet.

12. (Problemă aplicată.) Un lacăt cu cifru are $12$ poziții, numerotate de la $0$ la $11$ , așezate în cerc. Rotorul avansează cu $5$ poziții la fiecare apăsare. Pe ce poziție se află după $8$ apăsări, dacă pornește de la $0$ ?

13. Arată că, pentru orice $\overset{x}{^} \in Z_{5}$ , pătratul $\overset{x}{^}^{2}$ este una dintre clasele $\hat{0}$ , $\hat{1}$ , $\hat{4}$ .

14. Rezolvă în $Z_{12}$ ecuația $\overset{x}{^}^{2} = \hat{1}$ și numără soluțiile.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) În $Z_{5}$ : a) scrie tabla înmulțirii; b) arată că $\overset{x}{^}^{4} = \hat{1}$ pentru orice clasă nenulă $\overset{x}{^}$ ; c) calculează produsul $\hat{1} \cdot \hat{2} \cdot \hat{3} \cdot \hat{4}$ .

16. Câte soluții are ecuația $\hat{2} \cdot \overset{x}{^} = \hat{0}$ în $Z_{12}$ ? Compară numărul lor cu cel de la Exemplul 5.

17. Verifică egalitatea $\hat{3} \cdot (\hat{4} + \hat{8}) = \hat{3} \cdot \hat{4} + \hat{3} \cdot \hat{8}$ în $Z_{12}$ și explică de ce ambii membri sunt $\hat{0}$ .

18. (Provocare.) Fie $p$ un număr prim. Arată că în $Z_{p}$ un produs de două clase este $\hat{0}$ numai dacă cel puțin una dintre clase este $\hat{0}$ .

Răspunsuri și explicații

1. $\hat{3} \cdot \hat{5} = 15 = \hat{1}$ ( $15 = 7 \cdot 2 + 1$ ); $\hat{4} \cdot \hat{6} = 24 = \hat{3}$ ( $24 = 7 \cdot 3 + 3$ ); $\hat{2} \cdot \hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{8} = \hat{1}$ .

2. Tabla este cea din Exemplul 3. Dacă ai obținut altceva, greșeala e aproape sigur la $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{4} = \hat{0}$ sau la $\hat{3} \cdot \hat{3} = \hat{9} = \hat{1}$ .

3. Direct: $23 \cdot 34 = 782$ și $782 = 6 \cdot 130 + 2$ , deci clasa este $\hat{2}$ . Redus: $23 = \hat{5}$ și $34 = \hat{4}$ , iar $\hat{5} \cdot \hat{4} = 20 = \hat{2}$ . Același rezultat, cu numere de zece ori mai mici.

4. Fals. Contraexemplul din lecție: în $Z_{6}$ avem $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ , deși niciunul dintre factori nu este $\hat{0}$ . Afirmația devine adevărată doar când $n$ este prim (exercițiul 18).

5. Încercăm toate clasele: $\hat{3} \cdot \overset{x}{^}$ ia valorile $\hat{0}, \hat{3}, \hat{6}, \hat{0}, \hat{3}, \hat{6}, \hat{0}, \hat{3}, \hat{6}$ pentru $x = 0, \dots, 8$ . Soluțiile sunt $\hat{0}, \hat{3}, \hat{6}$ .

6. Prima cale: $\hat{5} + \hat{6} = 11 = \hat{3}$ și $\hat{4} \cdot \hat{3} = 12 = \hat{4}$ . A doua: $\hat{4} \cdot \hat{5} + \hat{4} \cdot \hat{6} = \hat{4} + \hat{0} = \hat{4}$ . Egale.

7. Lucrăm în $Z_{10}$ : $\hat{3}^{1} = \hat{3}$ , $\hat{3}^{2} = \hat{9}$ , $\hat{3}^{3} = 27 = \hat{7}$ , $\hat{3}^{4} = 21 = \hat{1}$ . Perioada este $4$ , iar $2027 = 4 \cdot 506 + 3$ , deci $\hat{3}^{2027} = \hat{3}^{3} = \hat{7}$ . Ultima cifră este $7$ .

8. În $Z_{6}$ avem $\hat{5} = - 1$ , deci $\hat{5}^{100} = (- 1)^{100} = \hat{1}$ . Restul este $1$ . (Alegerea unui reprezentant negativ scurtează mult calculul.)

9. Verificăm cele zece clase: $\hat{0}^{2} = \hat{0}$ , $\hat{1}^{2} = \hat{1}$ , $\hat{5}^{2} = 25 = \hat{5}$ , $\hat{6}^{2} = 36 = \hat{6}$ , iar celelalte nu se reproduc. Soluțiile sunt $\hat{0}$ , $\hat{1}$ , $\hat{5}$ , $\hat{6}$ .

10. Fals. În $Z_{6}$ : $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{4}$ și $\hat{2} \cdot \hat{5} = 10 = \hat{4}$ , deci $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{2} \cdot \hat{5}$ , dar $\hat{2} \neq = \hat{5}$ . Simplificarea prin $\hat{2}$ este nepermisă.

11. Cu paranteze: $(\hat{2} + \hat{3}) (\hat{4} + \hat{5}) = \hat{5} \cdot 9 = \hat{5} \cdot \hat{2} = 10 = \hat{3}$ . Desfăcut: $\hat{2} \hat{4} + \hat{2} \hat{5} + \hat{3} \hat{4} + \hat{3} \hat{5} = \hat{1} + \hat{3} + \hat{5} + \hat{1} = 10 = \hat{3}$ . Egale, prin distributivitate.

12. Poziția finală este clasa lui $5 \cdot 8 = 40$ în $Z_{12}$ , adică $40 = \hat{4}$ , pentru că $40 = 12 \cdot 3 + 4$ . Lacătul se oprește pe poziția $4$ .

13. Calculăm pătratele: $\hat{0}^{2} = \hat{0}$ , $\hat{1}^{2} = \hat{1}$ , $\hat{2}^{2} = \hat{4}$ , $\hat{3}^{2} = 9 = \hat{4}$ , $\hat{4}^{2} = 16 = \hat{1}$ . Mulțimea pătratelor este ${\hat{0}, \hat{1}, \hat{4}}$ , cum trebuia arătat. (De aici rezultă, de pildă, că niciun număr întreg de forma $n^{2} + 2$ nu se divide cu $5$ .)

14. Verificăm toate clasele: $\hat{1}^{2} = \hat{1}$ , $\hat{5}^{2} = 25 = \hat{1}$ , $\hat{7}^{2} = 49 = \hat{1}$ , $11^{2} = 121 = \hat{1}$ , iar celelalte pătrate sunt diferite de $\hat{1}$ . Sunt patru soluții: $\hat{1}, \hat{5}, \hat{7}, 11$ — o ecuație „de gradul al doilea" cu patru soluții, ceva imposibil peste $R$ .

15. a) Tabla este cea din subsecțiunea a treia. b) $\hat{1}^{4} = \hat{1}$ ; $\hat{2}^{4} = 16 = \hat{1}$ ; $\hat{3}^{4} = 81 = \hat{1}$ , pentru că $81 = 5 \cdot 16 + 1$ ; $\hat{4}^{4} = 256 = \hat{1}$ , pentru că $256 = 5 \cdot 51 + 1$ . c) $\hat{1} \cdot \hat{2} \cdot \hat{3} \cdot \hat{4} = 24 = \hat{4}$ .

16. Doar două: $\hat{2} \cdot \overset{x}{^} = \hat{0}$ în $Z_{12}$ înseamnă $12 ∣ 2 x$ , adică $6 ∣ x$ , deci $\overset{x}{^} \in {\hat{0}, \hat{6}}$ . Ecuația cu $\hat{4}$ avea patru soluții — numărul lor depinde de „cât din $n$ " se regăsește în coeficient, idee pe care o vei folosi sistematic în lecția următoare.

17. $\hat{4} + \hat{8} = 12 = \hat{0}$ , deci membrul stâng este $\hat{3} \cdot \hat{0} = \hat{0}$ . În dreapta, $\hat{3} \cdot \hat{4} = 12 = \hat{0}$ și $\hat{3} \cdot \hat{8} = 24 = \hat{0}$ , deci suma lor este tot $\hat{0}$ . Ambii membri sunt $\hat{0}$ pentru că $12$ divide și $12$ , și $24$ .

18. Fie $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = \hat{0}$ , adică $p ∣ ab$ . Descompunem $ab$ în factori primi: $p$ , fiind prim, apare în această descompunere, iar factorii primi ai lui $ab$ sunt tocmai factorii primi ai lui $a$ împreună cu cei ai lui $b$ . Prin urmare $p$ divide pe $a$ sau pe $b$ , adică $\overset{a}{^} = \hat{0}$ sau $\hat{b} = \hat{0}$ . Reciproc, produsul cu $\hat{0}$ este mereu $\hat{0}$ .

De reținut

Înmulțirea claselor de resturi modulo $n$ se definește prin $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = ab$ , adică se înmulțesc reprezentanții și se ia clasa produsului.
Definiția este corectă pentru că nu depinde de reprezentanți: din $n ∣ (a - a^{'})$ și $n ∣ (b - b^{'})$ rezultă $n ∣ (ab - a^{'} b^{'})$ , prin descompunerea $ab - a^{'} b^{'} = b (a - a^{'}) + a^{'} (b - b^{'})$ .
Perechea $(Z_{n}, \cdot)$ este monoid comutativ, cu elementul neutru $\hat{1}$ , iar toate proprietățile ei se moștenesc din proprietățile înmulțirii numerelor întregi.
Înmulțirea este distributivă față de adunare pe $Z_{n}$ , iar egalitatea $\overset{a}{^} (\hat{b} + \overset{c}{^}) = \overset{a}{^} \hat{b} + \overset{a}{^} \overset{c}{^}$ se deduce din distributivitatea de pe $Z$ , nu se verifică pe cazuri.
În $Z_{n}$ cu $n$ compus, un produs de clase nenule poate fi $\hat{0}$ și simplificarea prin factor comun nu este permisă, spre deosebire de situația din $Z$ .

Greșeli frecvente

Simplificarea prin factor comun. Din $\hat{2} \cdot \overset{x}{^} = \hat{2} \cdot \overset{y}{^}$ nu rezultă $\overset{x}{^} = \overset{y}{^}$ : în $Z_{6}$ , $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{2} \cdot \hat{5}$ , dar $\hat{2} \neq = \hat{5}$ . Corect este să încerci toate clasele sau să folosești metodele din lecția următoare.
„Împărțirea" claselor. Simbolul $\frac{a ^}{b ^}$ nu are sens în $Z_{n}$ ; nu există o operație de împărțire a claselor. Ceea ce există uneori este înmulțirea cu inversul unei clase, și numai atunci când acest invers există.
Calculul cu numere uriașe. A calcula $17 \cdot 23$ ca $391$ și abia apoi a împărți la $5$ este corect, dar risipitor. Redu întâi fiecare clasă la reprezentantul cel mai mic; corectorul urmărește raționamentul, nu efortul de calcul.
Confuzia dintre $\hat{0}$ și „factor nul". Din $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = \hat{0}$ nu poți concluziona nimic despre factori, cât timp $n$ este compus. Concluzia „unul dintre factori e nul" cere ipoteza suplimentară că $n$ este prim.
Uitarea reducerii finale. Un răspuns scris ca $15$ în $Z_{7}$ nu este greșit matematic, dar nu este forma cerută: elementele lui $Z_{7}$ se scriu cu reprezentanți între $0$ și $6$ , deci răspunsul corect este $\hat{1}$ .

Aplică acasă

Tabla de $8$ pe $8$ . Scrie tabla înmulțirii în $Z_{8}$ și colorează toate căsuțele care conțin $\hat{0}$ . Notează ce clase apar în ele și compară cu descompunerea lui $8$ în factori primi. Repetă pentru $Z_{7}$ și observă diferența.
Ultima cifră, pe telefon. Alege trei numere de o cifră și, pentru fiecare, calculează puterile succesive în $Z_{10}$ până când se repetă. Notează lungimea perioadei pentru fiecare bază, apoi folosește-le ca să afli ultima cifră a lui $2^{2026}$ , $3^{2026}$ și $8^{2026}$ .
Proba cu nouă. Verifică pe trei înmulțiri de numere mari, luate din caiet, „proba cu nouă": suma cifrelor fiecărui factor, apoi produsul sumelor, toate în $Z_{9}$ . Explică, în două fraze, de ce metoda funcționează și de ce ea poate detecta o greșeală, dar nu poate garanta corectitudinea rezultatului.

Pentru părinți și profesori

Lecția construiește a doua operație de pe mulțimea claselor de resturi și încheie tabloul cerut de programa de matematică-informatică pentru $Z_{n}$ : adunare, înmulțire, proprietățile lor și distributivitatea. Nota din programă este explicită — distributivitatea se deduce din cea de pe $Z$ , nu se postulează și nu se verifică pe exemple; la fel, buna definire a înmulțirii este o demonstrație obligatorie, nu o observație. Vocabularul de structuri se oprește aici la „monoid comutativ": numele care cuprind ambele operații deodată vin mai târziu în anul de BAC M1.

De verificat în caiet: (1) la fiecare produs, clasele au fost întâi reduse la reprezentanții cei mai mici; (2) demonstrația bunei definiri conține pasul $ab - a^{'} b^{'} = b (a - a^{'}) + a^{'} (b - b^{'})$ ; (3) nicăieri nu apare o simplificare prin factor comun; (4) rezultatele sunt scrise ca $\overset{r}{^}$ cu $0 \leq r < n$ . Întrebări de control: „De ce înmulțirea claselor este bine definită?"; „Cum se citește elementul neutru dintr-o tablă?"; „Dă un exemplu de clase nenule cu produsul nul"; „Ce rest dă $2^{100}$ la împărțirea cu $7$ ?".

La BAC M1, clasele de resturi apar cel mai des în Subiectul al II-lea, ca punct de plecare al unei probleme de structuri algebrice: se cere o tablă, o ecuație sau o sumă de puteri, iar restul problemei se construiește pe rezultatul obținut. Semn că elevul a înțeles: calculează $\hat{7} \cdot \hat{8}$ în $Z_{9}$ fără să scrie $56$ pe hârtie și explică de unde vine faptul că $\hat{2} \cdot \hat{3} = \hat{0}$ în $Z_{6}$ .

Întrebări frecvente

Ce este înmulțirea claselor de resturi modulo n?

Înmulțirea claselor de resturi modulo $n$ este operația definită pe $Z_{n}$ prin $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = ab$ : se înmulțesc doi reprezentanți și se ia clasa produsului. Rezultatul nu depinde de reprezentanții aleși, ceea ce se demonstrează folosind faptul că $ab - a^{'} b^{'} = b (a - a^{'}) + a^{'} (b - b^{'})$ este divizibil cu $n$ atunci când și $a - a^{'}$ , și $b - b^{'}$ sunt.

Cum se calculează un produs de clase de resturi?

Se înlocuiește fiecare clasă cu reprezentantul ei cel mai mic, se înmulțesc cele două numere întregi și se ia restul la împărțirea cu $n$ . De exemplu, în $Z_{9}$ : $14 \cdot 17 = \hat{5} \cdot \hat{8} = 40 = \hat{4}$ . Când sunt mai mulți factori, se reduce după fiecare înmulțire, ca numerele să rămână mici.

Ce înseamnă că înmulțirea este distributivă față de adunare în Z_n?

Înseamnă că $\overset{a}{^} \cdot (\hat{b} + \overset{c}{^}) = \overset{a}{^} \cdot \hat{b} + \overset{a}{^} \cdot \overset{c}{^}$ pentru orice clase din $Z_{n}$ , adică paranteza se poate desface exact ca la numere. Proprietatea se demonstrează coborând la reprezentanți și folosind distributivitatea de pe $Z$ ; ea este cea care permite darea factorului comun în ecuațiile cu clase de resturi.

De ce în Z_6 avem 2 ori 3 egal cu 0?

Pentru că $2 \cdot 3 = 6$ , iar $6$ dă restul $0$ la împărțirea cu $6$ . Fenomenul apare ori de câte ori $n$ este compus: factorii primi ai lui $n$ se pot împărți între doi factori nenuli. În $Z_{p}$ cu $p$ prim lucrul acesta nu se poate întâmpla, deoarece un număr prim care divide un produs divide unul dintre factori.

Care este elementul neutru la înmulțirea claselor de resturi?

Elementul neutru este clasa $\hat{1}$ , pentru că $\hat{1} \cdot \overset{a}{^} = 1 \cdot a = \overset{a}{^}$ pentru orice clasă. Pe tablă se recunoaște imediat: linia lui $\hat{1}$ reproduce prima linie, iar coloana lui $\hat{1}$ reproduce prima coloană. Elementul neutru al unei legi de compoziție, când există, este unic.

Cum aflu ultima cifră a unei puteri mari, cum ar fi 7 la 2026?

Se lucrează în $Z_{10}$ , unde ultima cifră este chiar clasa numărului. Calculezi puterile bazei până când reapare $\hat{1}$ sau o clasă deja întâlnită — pentru $\hat{7}$ perioada este $4$ — apoi împarți exponentul la lungimea perioadei și folosești restul: din $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ obții $\hat{7}^{2026} = \hat{9}$ .

Se poate simplifica o egalitate în Z_n?

Nu, în general. Din $\overset{a}{^} \cdot \overset{x}{^} = \overset{a}{^} \cdot \overset{y}{^}$ nu rezultă $\overset{x}{^} = \overset{y}{^}$ , cum arată exemplul $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{2} \cdot \hat{5}$ din $Z_{6}$ . Simplificarea devine legitimă doar când clasa $\overset{a}{^}$ este inversabilă, iar condiția exactă în care se întâmplă acest lucru se studiază în lecția despre elementele inversabile.

La ce folosesc clasele de resturi la Bacalaureat M1?

Ele apar în Subiectul al II-lea, în probleme de structuri algebrice: table de operații, ecuații cu clase, sume de puteri, verificarea unor proprietăți pe $Z_{n}$ . Sunt și unealta standard pentru probleme de divizibilitate în $Z$ , unde întrebarea „ce rest dă acest număr" se traduce imediat într-un calcul cu clase.