Înmulțirea unei matrice cu un scalar: pe scurt

Pentru $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$ și un număr $\alpha \in \mathbb{C}$, numit scalar, matricea $\alpha A$ are elementele $(\alpha A{)}_{ij}=\alpha a_{ij}$: fiecare element se înmulțește cu $\alpha$, inclusiv zerourile, și nimic altceva nu se schimbă. Spre deosebire de adunare, operația nu are nicio condiție de compatibilitate — se poate face întotdeauna — iar rezultatul păstrează formatul lui $A$. Scalarul poate fi și complex, așa cum cere programa: pentru $\alpha =i$ și $D=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -3\end{array}\right)$ obținem $iD=\left(\begin{array}{cc}i& 2i\\ 0& -3i\end{array}\right)$.

Cele cinci proprietăți sunt $\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B$, $(\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A$, $\alpha (\beta A)=(\alpha \beta )A$, $1\cdot A=A$ și $0\cdot A=O_{m,n}$. Din ultima decurge o consecință des folosită: $\alpha A=O_{m,n}$ înseamnă $\alpha =0$ sau $A=O_{m,n}$ — niciodată doar una dintre variante. Pentru $\alpha =-1$ se obține opusa, $(-1)A=-A$.

O expresie $\alpha A+\beta B$ se numește combinație liniară: se fac întâi înmulțirile cu scalari, apoi adunarea. Citită invers, definiția permite scoaterea factorului comun, dar din tot tabloul deodată, niciodată dintr-o singură linie. Ecuațiile $\alpha X+A=B$ se rezolvă izolând $X$ și înmulțind cu $\frac{1}{\alpha }$, cu verificare obligatorie prin înlocuire. În fine, ${}^t(\alpha A)=\alpha {}^{t}A$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 4& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& 5\end{array}\right)$. Matricea $2A-3B$ este:

   • a) $\left(\begin{array}{cc}5& -13\\ 2& 15\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cc}-1& 5\\ 14& 15\end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{cc}5& -13\\ 14& -15\end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cc}5& -13\\ 2& -15\end{array}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\left(\begin{array}{cc}5& -13\\ 2& -15\end{array}\right)$

   Calculăm separat $2A=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 8& 0\end{array}\right)$ și $3B=\left(\begin{array}{cc}-3& 9\\ 6& 15\end{array}\right)$, apoi scădem: $2-(-3)=5$, $-4-9=-13$, $8-6=2$, $0-15=-15$. Varianta b) este $2A+3B$, iar celelalte două conțin câte o greșeală de semn.

2. Fie $A\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{C})$ și $\alpha \in \mathbb{C}$ cu $\alpha A=O_{2,3}$. Atunci:

   • a) $\alpha =0$ sau $A=O_{2,3}$
   • b) în mod obligatoriu $\alpha =0$
   • c) în mod obligatoriu $A=O_{2,3}$
   • d) $\alpha =0$ și $A=O_{2,3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\alpha =0$ sau $A=O_{2,3}$

   Dacă $\alpha \ne 0$, din $\alpha a_{ij}=0$ pentru toți indicii rezultă $a_{ij}=0$, deci $A=O_{2,3}$. Concluzia corectă este deci o disjuncție: măcar una dintre cele două posibilități are loc. Contraexemplu pentru b): $\alpha =5$ și $A=O_{2,3}$.

3. Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 3\end{array}\right)$. Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $mA+\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -2& 5\end{array}\right)$ are suma elementelor de pe diagonala principală egală cu $16$.

   • a) $m=\frac{16}{5}$
   • b) $m=2$
   • c) $m=\frac{22}{5}$
   • d) $m=\frac{15}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $m=2$

   Avem $mA+B=\left(\begin{array}{cc}2m+1& -m+4\\ -2& 3m+5\end{array}\right)$, deci suma cerută este $(2m+1)+(3m+5)=5m+6$. Din $5m+6=16$ obținem $m=2$. Varianta a) apare când se uită elementele diagonale ale celei de-a doua matrice, iar d) când se folosește un singur element.