Înmulțirea unei matrice cu un număr complex

Un atelier își notează producția săptămânală într-un tablou: pe linii tipurile de produs, pe coloane zilele de lucru. Vine o comandă de trei ori mai mare, cu aceeași structură — aceleași produse, aceleași zile, doar cantități triplate. Cum arată noul tablou? Fiecare număr se triplează, pe loc, fără să se amestece cu vecinii lui: tabloul nou are aceeași formă ca cel vechi, dar toate intrările sunt de trei ori mai mari.

Aceasta este a doua operație cu matrice, după adunarea și scăderea matricelor: înmulțirea unei matrice cu un număr. Ea apare peste tot unde o structură de date se scalează uniform — la indexarea unui grafic de prețuri, la mărirea unei imagini pe ecran, la schimbarea unității de măsură. Numărul cu care înmulțim se numește scalar, iar programa cere explicit ca el să poată fi și complex.

Ce vei învăța

• Vei ști să înmulțești o matrice cu un scalar, real sau complex, aplicând regula pe fiecare element.
• Vei ști cele cinci proprietăți ale acestei operații și le vei putea demonstra prin calcul pe elemente.
• Vei ști să scrii matricea opusă și să vezi scăderea ca o adunare cu opusa.
• Vei ști să calculezi combinații liniare de tipul $\alpha A+\beta B$ și să scoți factor comun dintr-o matrice.
• Vei ști să rezolvi ecuații cu o matrice necunoscută de forma $\alpha X+A=B$ și sisteme cu două matrice necunoscute.
• Vei ști cum se comportă scalarul față de transpusă și față de matricea nulă.

Hai să descoperim împreună

1. De ce operația aceasta trebuie să existe

Ia matricea

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 3& 5& -4\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$$

și adun-o cu ea însăși de trei ori. Adunarea matricelor se face element cu element, deci

$$A+A+A=\left(\begin{array}{ccc}2+2+2& -1-1-1& 0+0+0\\ 3+3+3& 5+5+5& -4-4-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}6& -3& 0\\ 9& 15& -12\end{array}\right).$$

Fiecare element a fost triplat. Dacă am fi adunat matricea cu ea însăși de $37$ de ori, fiecare element ar fi fost înmulțit cu $37$ — regula se vede singură, deci definim direct operația care produce rezultatul.

Observă un lucru important: rezultatul are aceleași dimensiuni ca $A$. Spre deosebire de adunare, care cere două matrice de același tip, aici avem un număr și o matrice, deci nu există nicio condiție de compatibilitate: operația se poate face întotdeauna.

2. Definiția

Definiție. Fie $A=(a_{ij}{)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$ și fie $\alpha \in \mathbb{C}$ un număr, numit scalar. Matricea $\alpha A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$ are elementele $$(\alpha A{)}_{ij}=\alpha a_{ij},1\le i\le m,1\le j\le n.$$

În cuvinte: înmulțești fiecare element al matricei cu numărul dat și nu faci nimic altceva. Nu se schimbă poziția niciunui element, nu se schimbă numărul de linii sau de coloane, nu se adună nimic între elemente. Scriem $\alpha A$, fără punct între ele.

Un al doilea exemplu, cu scalar negativ. Pentru $B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -3& 0\end{array}\right)$ avem

$$-2B=\left(\begin{array}{cc}-2\cdot 1& -2\cdot 4\\ -2\cdot (-3)& -2\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& -8\\ 6& 0\end{array}\right).$$

Atenție la elementul $-3$: înmulțit cu $-2$ dă $+6$. Semnele se calculează element cu element, nu „la ochi".

3. Scalarul poate fi complex

Programa cere, cuvânt cu cuvânt, „înmulțirea unei matrice cu un număr complex". Motivul e simplu: nimic din definiție nu folosește faptul că $\alpha$ ar fi real. Regula spune „înmulțește fiecare element cu $\alpha$", iar înmulțirea numerelor complexe o știi deja din clasa a X-a, de la forma algebrică a unui număr complex și de la înmulțirea numerelor complexe.

Fie $C=\left(\begin{array}{cc}1& i\\ 2& 1+i\end{array}\right)$ și $\alpha =2-3i$. Calculăm cele patru produse: $(2-3i)\cdot 1=2-3i$; $(2-3i)\cdot i=2i-3i^2=3+2i$; $(2-3i)\cdot 2=4-6i$; $(2-3i)(1+i)=2+2i-3i-3i^2=5-i$. Prin urmare

$$(2-3i)C=\left(\begin{array}{cc}2-3i& 3+2i\\ 4-6i& 5-i\end{array}\right).$$

Cazul cel mai des întâlnit la clasă este $\alpha =i$. Pentru $D=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -3\end{array}\right)$ obținem $iD=\left(\begin{array}{cc}i& 2i\\ 0& -3i\end{array}\right)$.

Convenția pe care o folosim tot anul: implicit lucrăm în ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$; când toate numerele care apar sunt reale, scriem ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$. Nicio regulă nu se schimbă între cele două situații.

4. Cele cinci proprietăți

Toate se demonstrează la fel: se scrie elementul generic din stânga, se scrie elementul generic din dreapta și se constată că sunt egale, pentru că numerele complexe respectă aceleași reguli. Fie $A,B\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$ și $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$.

(P1) Distributivitatea față de adunarea matricelor: $\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B$.

Demonstrație. Elementul de pe linia $i$, coloana $j$ din stânga este $\alpha (a_{ij}+b_{ij})$. Din distributivitatea înmulțirii numerelor față de adunare, el este egal cu $\alpha a_{ij}+\alpha b_{ij}$, adică exact elementul corespunzător din dreapta. Cum matricele au aceleași dimensiuni și toate elementele coincid, matricele sunt egale. $■$

(P2) Distributivitatea față de adunarea scalarilor: $(\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A$.

Demonstrație. Element cu element: $(\alpha +\beta )a_{ij}=\alpha a_{ij}+\beta a_{ij}$. $■$

(P3) Asociativitatea mixtă: $\alpha (\beta A)=(\alpha \beta )A$.

Demonstrație. În stânga, elementul este $\alpha \cdot (\beta a_{ij})$; în dreapta, $(\alpha \beta )a_{ij}$. Egalitatea vine din asociativitatea înmulțirii numerelor. $■$

(P4) Scalarul $1$ este neutru: $1\cdot A=A$.

(P5) Legătura cu matricea nulă: $0\cdot A=O_{m,n}$ și $\alpha O_{m,n}=O_{m,n}$.

Din (P5) se obține un rezultat pe care îl vei folosi în multe exerciții:

Consecință. $\alpha A=O_{m,n}$ dacă și numai dacă $\alpha =0$ sau $A=O_{m,n}$.

Justificare. Dacă $\alpha \ne 0$ și $\alpha A=O_{m,n}$, atunci fiecare element satisface $\alpha a_{ij}=0$; cum $\alpha \ne 0$, rezultă $a_{ij}=0$ pentru toți indicii, deci $A=O_{m,n}$. Reciproca e imediată din (P5).

Proprietatea (P1) se verifică pe numere în exercițiul 13 — fă-l acum, înainte de a merge mai departe.

5. Matricea opusă și scăderea

Pentru $\alpha =-1$ obținem o matrice cu un nume propriu:

$$(-1)A=-A.$$

Matricea $-A$ se numește opusa matricei $A$: are toate elementele lui $A$ cu semn schimbat și satisface $A+(-A)=O_{m,n}$. De aici scăderea capătă o a doua scriere, $A-B=A+(-1)B$ — exact aceeași operație, exprimată cu ajutorul scalarului $-1$. În lanțuri lungi de calcul, scrierea cu scalari e mai sigură, pentru că toate semnele se citesc dintr-un singur loc.

6. Combinații liniare de matrice

Cele două operații pe care le ai — adunarea și înmulțirea cu un scalar — se folosesc aproape întotdeauna împreună. O expresie de forma $\alpha A+\beta B$, cu $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$, se numește combinație liniară a matricelor $A$ și $B$ (cu coeficienții $\alpha$ și $\beta$). Se fac întâi înmulțirile cu scalari, apoi adunarea.

Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& 4\end{array}\right)$ calculăm $2A-3B$:

$$2A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& -2\end{array}\right),3B=\left(\begin{array}{cc}0& -3\\ 6& 12\end{array}\right),2A-3B=\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ 0& -14\end{array}\right).$$

Operația inversă — scoaterea factorului comun. Dacă toate elementele unei matrice se împart la același număr, îl poți scoate în față:

$$\left(\begin{array}{cc}4& -8\\ 12& 20\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 5\end{array}\right).$$

Este citirea de la dreapta la stânga a definiției. Reține o precizare care va conta mai târziu: factorul se scoate din toată matricea deodată, nu dintr-o singură linie — la matrice nu există „scoaterea factorului comun dintr-o linie".

7. Ecuații și sisteme cu matrice necunoscute

Cu proprietățile (P1)–(P5) poți rezolva ecuații în care necunoscuta este o matrice, iar operațiile sunt doar adunare și înmulțire cu scalari. Metoda e cea de la ecuațiile de gradul întâi cu numere: izolezi necunoscuta. Rezolvăm $3X+A=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}8& 5\\ -2& 9\end{array}\right)$.

Adunăm $-A$ în ambii membri: $3X=B-A=\left(\begin{array}{cc}6& 6\\ -6& 9\end{array}\right)$. Înmulțim apoi cu scalarul $\frac{1}{3}$, folosind (P3):

$$X=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}6& 6\\ -6& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -2& 3\end{array}\right).$$

Verificare, obligatorie: $3X+A=\left(\begin{array}{cc}6& 6\\ -6& 9\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& 0\end{array}\right)=B$. ✓

Atenție la limbaj. Aici avem o ecuație cu o matrice necunoscută, în care necunoscuta apare înmulțită doar cu numere. Ecuațiile în care necunoscuta e înmulțită cu o matrice, de tipul $A\cdot X=B$, se numesc ecuații matriceale, se rezolvă cu totul altfel și au propria lecție, Ecuații matriceale.

Sisteme cu două matrice necunoscute. Exercițiu frecvent în subiectele de Bacalaureat M1: se dau două relații între matricele necunoscute $X$ și $Y$ și se cer amândouă. Se rezolvă ca un sistem obișnuit, prin reducere sau substituție.

$$\{\begin{array}{l}2X+3Y=A\\ X-Y=B\end{array},A=\left(\begin{array}{cc}7& 10\\ 19& -2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\right).$$

Din a doua relație, $X=B+Y$. Înlocuim în prima: $2(B+Y)+3Y=A$, adică $2B+5Y=A$ (am folosit (P1) și (P2)). Deci

$$5Y=A-2B=\left(\begin{array}{cc}7& 10\\ 19& -2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 4& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 10\\ 15& 0\end{array}\right)⟹Y=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right),$$

iar $X=B+Y=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 5& -1\end{array}\right)$. Verificăm ambele relații: $2X+3Y=A$ ✓ și $X-Y=B$ ✓.

8. Scalarul și transpusa

Transpusa ${}^{t}A$ se obține scriind liniile pe coloane. Cum înmulțirea cu un scalar nu mută niciun element din locul lui, cele două operații se pot face în orice ordine:

$${}^t(\alpha A)=\alpha {}^{t}A.$$

Demonstrație. Elementul de pe linia $i$, coloana $j$ al lui ${}^t(\alpha A)$ este elementul de pe linia $j$, coloana $i$ al lui $\alpha A$, adică $\alpha a_{ji}$. Elementul corespunzător din $\alpha {}^{t}A$ este tot $\alpha a_{ji}$. $■$

Pe exemplu, cu $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ 0& 4& 5\end{array}\right)$ și $\alpha =-2$ obținem, pe ambele drumuri, $\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ -6& -8\\ 4& -10\end{array}\right)$ (exercițiul 14).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aplicarea directă a definiției

Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}3& -5& 1\\ 0& 2& -6\end{array}\right)$. Calculați $4A$ și $-\frac{1}{2}A$.

Rezolvare. Fiecare element se înmulțește cu scalarul dat:

$$4A=\left(\begin{array}{ccc}12& -20& 4\\ 0& 8& -24\end{array}\right),-\frac{1}{2}A=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{3}{2}& \frac{5}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& -1& 3\end{array}\right).$$

A doua matrice are elemente fracționare — nimic în definiție nu cere rezultat cu elemente întregi.

Exemplul 2 — Combinație liniară

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ -3& 1\end{array}\right)$. Calculați $3A-2B$.

Rezolvare. Calculăm separat cei doi termeni, apoi îi scădem:

$$3A=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 0& 12\end{array}\right),2B=\left(\begin{array}{cc}4& 10\\ -6& 2\end{array}\right),3A-2B=\left(\begin{array}{cc}-1& -16\\ 6& 10\end{array}\right).$$

Control pe un element: pe linia $2$, coloana $1$ avem $3\cdot 0-2\cdot (-3)=6$ ✓.

Exemplul 3 — Scalar complex

Calculați $iA$ și $(1+i)A$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}2& -i\\ 0& 3\end{array}\right)$.

Rezolvare. Pentru $\alpha =i$: $i\cdot 2=2i$, $i\cdot (-i)=-i^2=1$, $i\cdot 0=0$, $i\cdot 3=3i$. Pentru $\alpha =1+i$: $(1+i)\cdot 2=2+2i$; $(1+i)(-i)=-i-i^2=1-i$; $(1+i)\cdot 3=3+3i$. Deci

$$iA=\left(\begin{array}{cc}2i& 1\\ 0& 3i\end{array}\right),(1+i)A=\left(\begin{array}{cc}2+2i& 1-i\\ 0& 3+3i\end{array}\right).$$

Exemplul 4 — Determinarea unor parametri

Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $2\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ 3& y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ 6& 1\end{array}\right)$.

Rezolvare. Membrul stâng este $\left(\begin{array}{cc}2x+1& 0\\ 6& 2y+5\end{array}\right)$. Două matrice sunt egale exact când au aceleași dimensiuni și toate elementele corespunzătoare egale, deci obținem patru condiții:

$$2x+1=7;0=0;6=6;2y+5=1.$$

Din prima, $x=3$; din ultima, $y=-2$. Celelalte două sunt identități, deci nu aduc nicio restricție. Verificarea prin înlocuire dă chiar $\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ 6& 1\end{array}\right)$ ✓.

Exemplul 5 — Ecuație cu o matrice necunoscută

Rezolvați ecuația $2X+A=3B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 0& 2\end{array}\right)$.

Rezolvare. Izolăm termenul cu $X$:

$$2X=3B-A=\left(\begin{array}{cc}9& 6\\ 0& 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 6\\ -2& 10\end{array}\right),$$

apoi înmulțim cu $\frac{1}{2}$:

$$X=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ -1& 5\end{array}\right).$$

Verificare: $2X+A=\left(\begin{array}{cc}9& 6\\ 0& 6\end{array}\right)=3B$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 4\end{array}\right)$. a) Calculați $2A-B$. b) Determinați numărul real $m$ pentru care matricea $mA+B$ are suma elementelor de pe diagonala principală egală cu $10$.

Rezolvare. a) $2A=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 6& 0\end{array}\right)$, deci

$$2A-B=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 6& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -5\\ 7& -4\end{array}\right).$$

b) Calculăm mai întâi matricea cerută, cu $m$ ca literă:

$$mA+B=\left(\begin{array}{cc}m& -2m\\ 3m& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}m+2& -2m+1\\ 3m-1& 4\end{array}\right).$$

Diagonala principală conține elementele $m+2$ și $4$, deci condiția este $m+2+4=10$, de unde $m=4$. Verificare: pentru $m=4$ matricea este $\left(\begin{array}{cc}6& -7\\ 11& 4\end{array}\right)$, cu $6+4=10$ ✓.

Să exersăm

La fiecare exercițiu de calcul, verifică rezultatul pe cel puțin un element ales la întâmplare — e cea mai ieftină plasă de siguranță.

1. Calculează $3A$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 4\end{array}\right)$.

2. Calculează $-2B$, unde $B=\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 5\\ -2& 0& 4\end{array}\right)$.

3. Calculează $\frac{1}{2}C$, unde $C=\left(\begin{array}{cc}6& -4\\ 2& 10\end{array}\right)$.

4. Calculează $2A-3B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& 4\end{array}\right)$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\alpha A=O_2$, atunci în mod obligatoriu $\alpha =0$."

6. Calculează $iA$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -3\end{array}\right)$.

7. Calculează $(2-3i)A$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}1& i\\ 2& 1+i\end{array}\right)$.

8. Determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care $2\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ 3& y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ 6& 1\end{array}\right)$.

9. Rezolvă ecuația $3X+A=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}8& 5\\ -2& 9\end{array}\right)$.

10. Rezolvă ecuația $2X+A=3B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 0& 2\end{array}\right)$.

11. Scoate factorul comun din matricea $\left(\begin{array}{cc}4& -8\\ 12& 20\end{array}\right)$ și scrie rezultatul sub forma $\alpha M$, cu $M$ având elemente întregi cât mai mici.

12. (Problemă aplicată.) Un magazin are prețurile, în lei, organizate pe două categorii și două depozite, în matricea $P=\left(\begin{array}{cc}20& 35\\ 50& 15\end{array}\right)$. Toate prețurile cresc cu $20\%$. Scrie matricea noilor prețuri ca produs dintre un scalar și $P$ și calculeaz-o.

13. Verifică egalitatea $\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B$ pentru $\alpha =3$, $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ -3& 1\end{array}\right)$.

14. Verifică egalitatea ${}^t(\alpha A)=\alpha {}^{t}A$ pentru $\alpha =-2$ și $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ 0& 4& 5\end{array}\right)$.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Înmulțind o matrice cu $-1$ obținem opusa ei."

16. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}2X+3Y=A\\ X-Y=B\end{array}$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}7& 10\\ 19& -2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\right)$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 4\end{array}\right)$. a) Calculați $3A+2B$. b) Determinați numărul real $m$ pentru care toate elementele matricei $mA-B$ situate pe linia a doua sunt egale.

18. (Provocare.) Fie $E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $F=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$. a) Determină $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ cu $\alpha E+\beta F=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 5& 3\end{array}\right)$. b) Arată că nu există $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ cu $\alpha E+\beta F=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$.

Răspunsuri și explicații

1. $3A=\left(\begin{array}{cc}6& -3\\ 0& 12\end{array}\right)$. Fiecare element s-a triplat; dimensiunile au rămas $2\times 2$.

2. $-2B=\left(\begin{array}{ccc}-2& 6& -10\\ 4& 0& -8\end{array}\right)$. Atenție la $-3$ și la $-2$, care devin $+6$, respectiv $+4$.

3. $\frac{1}{2}C=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 5\end{array}\right)$. Înmulțirea cu $\frac{1}{2}$ este același lucru cu împărțirea fiecărui element la $2$.

4. $2A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& -2\end{array}\right)$, $3B=\left(\begin{array}{cc}0& -3\\ 6& 12\end{array}\right)$, deci $2A-3B=\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ 0& -14\end{array}\right)$.

5. Fals. Egalitatea $\alpha A=O_2$ înseamnă $\alpha =0$ sau $A=O_2$. Contraexemplu: $\alpha =5$ și $A=O_2$.

6. $iA=\left(\begin{array}{cc}i& 2i\\ 0& -3i\end{array}\right)$. Elementul $0$ rămâne $0$, pentru că $i\cdot 0=0$.

7. $(2-3i)\cdot 1=2-3i$; $(2-3i)\cdot i=3+2i$; $(2-3i)\cdot 2=4-6i$; $(2-3i)(1+i)=5-i$. Deci $(2-3i)A=\left(\begin{array}{cc}2-3i& 3+2i\\ 4-6i& 5-i\end{array}\right)$.

8. Membrul stâng este $\left(\begin{array}{cc}2x+1& 0\\ 6& 2y+5\end{array}\right)$. Din $2x+1=7$ obținem $x=3$, iar din $2y+5=1$ obținem $y=-2$. Celelalte două egalități sunt automat adevărate.

9. $B-A=\left(\begin{array}{cc}6& 6\\ -6& 9\end{array}\right)$, deci $X=\frac{1}{3}(B-A)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -2& 3\end{array}\right)$. Verificare: $3X+A=B$ ✓.

10. $3B-A=\left(\begin{array}{cc}8& 6\\ -2& 10\end{array}\right)$, deci $X=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ -1& 5\end{array}\right)$. Verificare: $2X+A=\left(\begin{array}{cc}9& 6\\ 0& 6\end{array}\right)=3B$ ✓.

11. Toate elementele se împart la $4$, deci matricea este $4\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 5\end{array}\right)$. Factorul $4$ e cel mai mare posibil: $1$ și $-2$ nu mai au divizor comun.

12. O creștere de $20\%$ înseamnă înmulțirea fiecărui preț cu $1,2$. Matricea nouă este $1,2\cdot P=\left(\begin{array}{cc}24& 42\\ 60& 18\end{array}\right)$ (lei). Structura tabloului nu se schimbă — doar valorile.

13. $A+B=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ -3& 5\end{array}\right)$, deci $3(A+B)=\left(\begin{array}{cc}9& 9\\ -9& 15\end{array}\right)$. Pe cealaltă cale, $3A=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 0& 12\end{array}\right)$ și $3B=\left(\begin{array}{cc}6& 15\\ -9& 3\end{array}\right)$, cu suma aceeași ✓.

14. $-2A=\left(\begin{array}{ccc}-2& -6& 4\\ 0& -8& -10\end{array}\right)$, cu transpusa $\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ -6& -8\\ 4& -10\end{array}\right)$. Pe cealaltă cale, ${}^{t}A$ are liniile $(1,0)$, $(3,4)$, $(-2,5)$, iar $-2{}^{t}A$ dă aceeași matrice ✓.

15. Adevărat. Prin definiție, $(-1)A$ are elementele $-a_{ij}$, iar $A+(-1)A=O_{m,n}$, ceea ce înseamnă exact că $(-1)A$ este opusa lui $A$; se notează $-A$.

16. Din a doua relație $X=B+Y$; înlocuind în prima, $2B+5Y=A$, deci $5Y=A-2B=\left(\begin{array}{cc}5& 10\\ 15& 0\end{array}\right)$, de unde $Y=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right)$ și $X=B+Y=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 5& -1\end{array}\right)$. Ambele relații se verifică ✓.

17. a) $3A=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 9& 0\end{array}\right)$ și $2B=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ -2& 8\end{array}\right)$, deci $3A+2B=\left(\begin{array}{cc}7& -4\\ 7& 8\end{array}\right)$. b) $mA-B=\left(\begin{array}{cc}m-2& -2m-1\\ 3m+1& -4\end{array}\right)$. Linia a doua conține $3m+1$ și $-4$; condiția $3m+1=-4$ dă $m=-\frac{5}{3}$.

18. a) $\alpha E+\beta F=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \beta & \alpha \end{array}\right)$, deci $\alpha =3$ și $\beta =5$. b) Aceeași scriere ar cere simultan $\beta =2$ (poziția $(1,2)$) și $\beta =3$ (poziția $(2,1)$), imposibil. Concluzie: combinațiile liniare ale lui $E$ și $F$ dau numai matricele cu cele două elemente de pe diagonala principală egale între ele și cele două de pe diagonala secundară egale între ele.

De reținut

• Regula: $\alpha A$ se obține înmulțind fiecare element al lui $A$ cu $\alpha$; dimensiunile nu se schimbă, iar operația se poate face întotdeauna.
• Scalarul poate fi complex — definiția e aceeași; implicit lucrăm în ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$.
• Cele cinci proprietăți: $\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B$; $(\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A$; $\alpha (\beta A)=(\alpha \beta )A$; $1\cdot A=A$; $0\cdot A=O_{m,n}$.
• $\alpha A=O_{m,n}$ înseamnă $\alpha =0$ SAU $A=O_{m,n}$ — niciodată doar una dintre ele.
• Ecuațiile de forma $\alpha X+A=B$ se rezolvă izolând $X$ și înmulțind cu $\frac{1}{\alpha }$; rezultatul se verifică întotdeauna prin înlocuire.

Greșeli frecvente

• Înmulțirea unei singure linii sau a unui singur element. Scalarul intră în toate elementele, inclusiv în zerouri.
• Semnele la scalar negativ. La $-2\cdot (-3)=6$ se pierd multe puncte. Scrie explicit produsul înainte de a-l calcula.
• Scoaterea factorului comun dintr-o singură linie. La matrice factorul se scoate din tot tabloul deodată: $\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 3\end{array}\right)\ne 2\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$.
• Confuzia dintre $\alpha X$ și un produs de matrice. În $3X+A=B$ necunoscuta e înmulțită cu un număr, deci se împarte la el; în $A\cdot X=B$ e înmulțită cu o matrice și nu se poate „împărți".
• Concluzia pripită „$\alpha A=O$, deci $\alpha =0$". Mai există o posibilitate: $A=O_{m,n}$.

Aplică acasă

1. Bugetul indexat. Notează într-un tablou cu două linii (venituri, cheltuieli) și patru coloane (săptămânile lunii) sumele tale dintr-o lună. Înmulțește tot tabloul cu $1,05$ și cu $0,9$: o creștere de $5\%$, respectiv o reducere de $10\%$, aplicată uniform.

2. Scalarea unei figuri. Scrie coordonatele vârfurilor unui pătrat pe două linii (abscisele pe prima, ordonatele pe a doua). Înmulțește matricea cu $2$, apoi cu $\frac{1}{2}$, apoi cu $-1$, și desenează de fiecare dată figura obținută. Ce transformare produce fiecare scalar?

3. Foaia de calcul. Pune o matrice $3\times 3$ într-o foaie de calcul și, alături, formula care înmulțește fiecare celulă cu o valoare dintr-o celulă separată. Schimbând acea valoare, urmărește cum se modifică simultan toate cele nouă rezultate.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce a doua operație cu matrice și, împreună cu adunarea, închide „partea ușoară" a calculului matriceal: ambele se fac element cu element și ambele păstrează dimensiunile. Dificultatea reală vine la lecția următoare, Înmulțirea a două matrice, unde regula nu mai este element cu element. Aici accentul cade deci pe precizia execuției, nu pe idei noi.

De verificat în caiet: (1) toate elementele au fost înmulțite, inclusiv zerourile; (2) dimensiunile rezultatului sunt cele ale matricei inițiale; (3) la scalari complecși, produsele au fost aduse la forma $a+bi$; (4) la ecuații, rezultatul a fost verificat prin înlocuire. Întrebări de control: „Ce dimensiuni are $\alpha A$?"; „Ce înseamnă $\alpha A=O$?"; „Cum scoți factorul comun dintr-o matrice?".

La BAC M1, operația apare aproape întotdeauna ca pas intermediar: în combinații de tipul $2A-3B$, în cerințe cu parametru („determinați $m$ pentru care matricea $mA+B$ are proprietatea…") și în ecuațiile cu o matrice necunoscută. Semn că elevul a înțeles: nu confundă niciodată înmulțirea cu un scalar cu înmulțirea a două matrice.

Întrebări frecvente

Cum se înmulțește o matrice cu un număr? Se înmulțește fiecare element al matricei cu acel număr, fără să se schimbe poziția niciunui element. Rezultatul are exact aceleași dimensiuni ca matricea inițială, iar operația se poate face pentru orice matrice și orice număr.

Poate fi scalarul un număr complex? Da, iar programa cere explicit acest caz. Regula rămâne neschimbată: fiecare element se înmulțește cu numărul complex dat, folosind înmulțirea numerelor complexe, iar rezultatul se aduce la forma algebrică.

Ce înseamnă combinație liniară de matrice? Este o expresie de forma $\alpha A+\beta B$, cu $\alpha$ și $\beta$ numere. Se calculează făcând întâi cele două înmulțiri cu scalari, apoi adunarea, element cu element.

Cum scot factor comun dintr-o matrice? Găsești un număr la care se împart toate elementele și îl scrii în fața matricei, împărțind fiecare element la el. De exemplu $\left(\begin{array}{cc}4& -8\\ 12& 20\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 5\end{array}\right)$. Factorul se scoate din toată matricea, niciodată dintr-o singură linie.

Dacă $\alpha A$ este matricea nulă, înseamnă că $\alpha$ este zero? Nu neapărat. Egalitatea $\alpha A=O_{m,n}$ înseamnă $\alpha =0$ sau $A=O_{m,n}$. Amândouă variantele trebuie luate în calcul într-o discuție completă.

Cum rezolv o ecuație de forma $3X+A=B$? Aduni $-A$ în ambii membri, obții $3X=B-A$ și înmulțești apoi cu $\frac{1}{3}$. Rezultatul se verifică întotdeauna, înlocuindu-l în ecuația inițială.

Unde apare această operație în subiectele de Bacalaureat M1? Cel mai des ca pas intermediar: în calcularea unor expresii de tipul $2A-3B$, în probleme cu parametru în care se cere valoarea lui $m$ dintr-o condiție asupra matricei $mA+B$ și în ecuații cu o matrice necunoscută.