Integrabilitate și primitive: pe scurt

Integrabilitatea și existența primitivelor sunt proprietăți independente: fiecare dintre cele patru combinații posibile se realizează efectiv, deci nicio implicație între ele nu are loc. Uneltele de decizie sunt și ele diferite — mărginirea decide integrabilitatea, speța discontinuității și imaginea decid primitivele.

Cazurile-model. O funcție continuă pe un interval este simultan integrabilă și admite primitive. Funcția semn este mărginită, cu o singură discontinuitate, deci integrabilă; dar are în $0$ o discontinuitate de speța I, deci nu admite primitive. Funcția lui Dirichlet este mărginită, dar nu este integrabilă (două sisteme de puncte intermediare pe aceeași diviziune dau sume diferite) și nici nu admite primitive, fiindcă imaginea ei, $\{0,1\}$, nu este interval.

A patra căsuță arată că o funcție discontinuă poate admite primitive: derivata funcției $x^2\sin \frac{1}{x}$ (prelungită cu $0$) este discontinuă în origine, dar este derivata cuiva. Speța a II-a este singura compatibilă cu existența primitivelor.

Modificarea valorilor într-un număr finit de puncte nu schimbă nici integrabilitatea, nici valoarea integralei — proprietatea de stabilitate —, dar poate distruge existența primitivelor: dintr-o funcție continuă se poate obține astfel una cu discontinuitate de speța I.

Exerciții din această mini-lecție

1. Funcția semn, $\mathrm{sgn}:[-1,1]\to \mathbb{R}$, este:

   • a) integrabilă și admite primitive
   • b) neintegrabilă, dar admite primitive
   • c) integrabilă, dar nu admite primitive
   • d) nici integrabilă, nici cu primitive
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) integrabilă, dar nu admite primitive

   Este mărginită și are o singură discontinuitate, deci este integrabilă. În $0$ are însă limite laterale finite și diferite, adică o discontinuitate de speța I, iar o astfel de funcție nu admite primitive — prin consecința teoremei lui Darboux. Integrala ei se calculează din definiție.

2. Care afirmație este adevărată?

   • a) cele două proprietăți sunt independente: toate cele patru combinații se realizează
   • b) orice funcție care admite primitive este integrabilă
   • c) orice funcție integrabilă admite primitive
   • d) o funcție discontinuă nu poate admite primitive
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) cele două proprietăți sunt independente: toate cele patru combinații se realizează

   Funcția semn este integrabilă fără primitive, derivata funcției $x^2\sin \frac{1}{x}$ admite primitive fiind discontinuă, orice funcție continuă le are pe amândouă, iar funcția lui Dirichlet nu are niciuna. Deci nicio implicație nu este validă, în niciun sens.

3. Funcția lui Dirichlet, pe $[0,1]$:

   • a) este integrabilă, cu integrala $0$
   • b) este mărginită, dar nu este integrabilă și nu admite primitive
   • c) admite primitive, dar nu este integrabilă
   • d) nu este mărginită
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) este mărginită, dar nu este integrabilă și nu admite primitive

   Valorile ei sunt $0$ și $1$, deci este mărginită. Pe aceeași diviziune, punctele intermediare raționale dau suma $1$, iar cele iraționale suma $0$: nu există numărul $I$ din definiție. Imaginea $\{0,1\}$ nu este interval, deci nici primitive nu are.