Integrabilitate și primitive: exemple și contraexemple

Dintre toate confuziile pe care le face un elev de clasa a XII-a la analiză, cea mai scumpă este să creadă că „integrabilă" și „admite primitive" înseamnă același lucru. Confuzia are o scuză: cele două noțiuni poartă același cuvânt-rădăcină, se studiază una după alta, iar formula care leagă integrala definită de primitive pare să spună că merg mână în mână. Nu merg. Sunt proprietăți independente, definite prin mecanisme complet diferite, iar fiecare dintre cele patru combinații posibile chiar se întâmplă.

Lecția aceasta le desparte, o dată pentru totdeauna, pe exemple și contraexemple concrete — exact așa cum cere programa, care listează la competența privind criteriile de integrabilitate activitatea „evidențierea prin exemple și contraexemple a relației dintre integrabilitatea unei funcții și proprietatea acesteia de a avea primitive". La final vei avea un tabel cu patru căsuțe, fiecare cu locatarul ei, și o procedură scurtă de decis, la examen, care dintre cele două întrebări ți se pune.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți separat cele două proprietăți și să spui prin ce mecanism se verifică fiecare.
• Vei ști să folosești cele două unelte de excludere: consecințele teoremei lui Darboux pentru primitive și criteriul mărginirii pentru integrabilitate.
• Vei ști să arăți că funcția semn este integrabilă, dar nu admite primitive.
• Vei ști să arăți că funcția lui Dirichlet nu este nici integrabilă, nici cu primitive, deși este mărginită.
• Vei ști că o funcție discontinuă poate admite primitive, pe exemplul derivatei funcției $x^2\sin \frac{1}{x}$.
• Vei ști că modificarea unei funcții într-un număr finit de puncte nu schimbă integrala, dar poate distruge primitivele.

Hai să descoperim împreună

1. Ce leagă integrabilitatea de existența primitivelor?

Integrabilitatea și existența primitivelor sunt două proprietăți logic independente ale unei funcții $f$ definite pe un interval: prima cere ca sumele Riemann ale lui $f$ să se apropie de un singur număr atunci când norma diviziunii tinde la zero, a doua cere existența unei funcții derivabile $F$ cu $F^{\prime }(x)=f(x)$ peste tot pe interval. Niciuna nu o implică pe cealaltă.

Merită pus alături, pe două coloane, ce cere fiecare, ca deosebirea să fie vizibilă:

Prima întrebare privește o operație de măsurare: cât de mult „adună" funcția pe interval. A doua privește o operație de inversare: este $f$ derivata cuiva? Nimic din definiții nu leagă cele două lucruri. Singura punte adevărată o dă continuitatea: o funcție continuă pe un interval este și integrabilă, și admite primitive — de aceea, la exercițiile obișnuite, cele două merg împreună și confuzia trece neobservată. Contraexemplele de mai jos apar exact acolo unde continuitatea cade.

2. Care sunt cele două unelte de excludere?

Ca să arăți că o funcție are una dintre proprietăți, folosești criteriile deja știute. Ca să arăți că nu o are, ai nevoie de unelte de excludere, și avem exact două.

Pentru primitive — consecințele teoremei lui Darboux, fixate la lecția despre funcțiile care admit primitive și teorema lui Darboux:

• Consecința 1 (discontinuitățile de speța I): o funcție care admite primitive pe un interval nu are acolo niciun punct de discontinuitate de speța I. Contrapoziția — cea folosită în practică: dacă găsești un punct cu limite laterale finite și diferite, funcția nu admite primitive;
• Consecința 2 (imaginea): dacă $f$ admite primitive pe intervalul $I$, atunci $f(I)$ este interval. Contrapoziția: dacă imaginea nu este interval, funcția nu admite primitive.

Numele Consecința 1 și Consecința 2 sunt cele fixate la lecția 88 și se citează identic. Clasificarea folosită este cea de la punctele de discontinuitate: speța I înseamnă limite laterale care există și sunt finite. Ambele consecințe vin din același fapt: derivata unei funcții derivabile are proprietatea valorilor intermediare, deci nu poate „sări" peste valori. O funcție care sare nu poate fi derivata nimănui.

Pentru integrabilitate — criteriul negativ al mărginirii, demonstrat la lecția despre clasele de funcții integrabile: o funcție nemărginită pe $[a,b]$ nu este integrabilă pe $[a,b]$. A doua cale, mai rară, este întoarcerea la definiție: două sisteme de puncte intermediare pe aceeași diviziune care dau sume mult diferite.

⚠️ Cele două unelte nu sunt interschimbabile. Mărginirea nu spune nimic despre primitive, iar speța discontinuității nu spune nimic despre integrabilitate. Folosirea uneia în locul celeilalte este greșeala numărul unu la acest capitol.

3. Funcția semn: integrabilă, dar fără primitive

Fie $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$ funcția semn, $$f(x)=\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& x\in [-1,0),\\ 0,& x=0,\\ 1,& x\in (0,1].\end{array}$$

Este integrabilă. Funcția este mărginită, $|f(x)|\le 1$, și are un singur punct de discontinuitate, $x=0$. Prin criteriul discontinuităților izolate, este integrabilă pe $[-1,1]$.

Integrala ei este $0$. Fiind integrabilă, aplicăm principiul șirului convenabil. Luăm diviziunea echidistantă a lui $[-1,1]$ în $2m$ subintervale de lungime $h=\frac{1}{m}$; punctul $0$ este atunci nod. Pe primele $m$ subintervale, cuprinse în $[-1,0]$, avem $f({\xi }_i)=-1$, cu o singură excepție posibilă (${\xi }_m=0$, unde valoarea e $0$); pe ultimele $m$, $f({\xi }_i)=1$, cu aceeași excepție posibilă. Prin urmare $$|{\sigma }_{\Delta }(f,\xi )|=|(-1)\cdot 1+1\cdot 1+\text{corecții}|\le 2h=\frac{2}{m}\underset{m\to \infty }{\to }0,$$ deci ${\int }_{-1}^1\mathrm{sgn}(x)dx=0$. Rezultatul se citește geometric: aria de deasupra axei, de pe $[0,1]$, și cea de dedesubt, de pe $[-1,0]$, sunt egale și intră cu semne opuse.

Nu admite primitive. Două argumente, amândouă valabile și amândouă date deja la lecția 88 pe această funcție. Primul, prin Consecința 1: în $x=0$, punct interior, limitele laterale sunt $-1$ și $1$, amândouă finite și diferite, deci discontinuitatea este de speța I. Al doilea, prin Consecința 2: imaginea funcției este $\{-1,0,1\}$, care nu este interval.

Merită văzut și direct de ce nu poate exista o primitivă. Dacă $F$ ar fi derivabilă pe $[-1,1]$ cu $F^{\prime }=f$, atunci pe $[-1,0)$ ar avea $F^{\prime }(x)=-1$, deci $F(x)=-x+c_1$, iar pe $(0,1]$ ar avea $F(x)=x+c_2$ (două primitive ale aceleiași funcții pe un interval diferă printr-o constantă). Continuitatea lui $F$ în $0$ — obligatorie, fiindcă $F$ e derivabilă — forțează $c_1=c_2=F(0)$, deci $F(x)=|x|+F(0)$ în jurul lui $0$. Dar funcția modul nu este derivabilă în $0$: derivatele laterale sunt $-1$ și $1$. Contradicție.

4. Funcția lui Dirichlet: nici integrabilă, nici cu primitive

Fie $d:[0,1]\to \mathbb{R}$, $d(x)=1$ pentru $x$ rațional și $d(x)=0$ pentru $x$ irațional. Am întâlnit-o la definiția integrabilității; acum o privim din ambele unghiuri.

Este mărginită, fiindcă $0\le d(x)\le 1$. Prin urmare criteriul negativ al mărginirii nu o poate exclude — trebuie mers la definiție.

Nu este integrabilă. Fie $\Delta =(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ o diviziune oarecare a lui $[0,1]$. Orice subinterval $[x_{i-1},x_i]$ este nedegenerat, deci conține și numere raționale, și numere iraționale. Alegând toate punctele intermediare raționale obținem $${\sigma }_{\Delta }(d,\xi )=\sum _{i=1}^{n}1\cdot (x_i-x_{i-1})=1,$$ iar alegându-le toate iraționale obținem ${\sigma }_{\Delta }(d,{\xi }^{\prime })=0$. Dacă ar exista un număr $I$ care satisface definiția, atunci luând $\epsilon =\frac{1}{3}$ am avea simultan $|1-I|<\frac{1}{3}$ și $|0-I|<\frac{1}{3}$, de unde $1=|1-0|\le |1-I|+|I-0|<\frac{2}{3}$ — absurd.

Nu admite primitive. Imaginea funcției este mulțimea $\{0,1\}$, care nu este interval; prin Consecința 2, $d$ nu admite primitive pe $[0,1]$.

Reține deosebirea de tratament: aici mărginirea nu a ajutat cu nimic, iar excluderea integrabilității a cerut întoarcerea la definiție. Este singura funcție din programă pentru care acest lucru se face.

5. Poate o funcție discontinuă să admită primitive?

Da. Exemplul îl cunoști deja de la lecția 88, care l-a folosit ca să arate că reciproca teoremei de existență este falsă: funcția $$F:[-1,1]\to \mathbb{R},F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0,\end{array}$$ este derivabilă pe tot intervalul, cu $F^{\prime }(0)=0$ (rapoartele incrementale sunt cuprinse între $-|x|$ și $|x|$) și $F^{\prime }(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$. Notăm $f=F^{\prime }$.

$f$ admite primitive, prin însăși construcția ei: $F$ este o primitivă a lui $f$. Nu e nevoie de niciun criteriu — avem primitiva în mână.

$f$ nu este continuă în $0$. Pe șirul $x_k=\frac{1}{k\pi }\to 0$ avem $\sin \frac{1}{x_k}=\sin (k\pi )=0$ și $\cos \frac{1}{x_k}=\cos (k\pi )=(-1{)}^k$, deci $f(x_k)=(-1{)}^{k+1}$: valorile alternează între $1$ și $-1$, deci $f$ nu are limită în $0$. Discontinuitatea este de speța a II-a — singura compatibilă cu existența primitivelor, așa cum observase și lecția 88.

Ce este nou aici: $f$ este și integrabilă. Într-adevăr, $|f(x)|\le 2|x|+1\le 3$ pe $[-1,1]$, deci $f$ este mărginită, iar singurul ei punct de discontinuitate este $x=0$; criteriul discontinuităților izolate încheie.

Așadar $f$ locuiește în căsuța „integrabilă și cu primitive" fără să fie continuă — dovadă că cele două proprietăți nu au nevoie de continuitate ca să apară împreună. Lecția 88 preciza, pe bună dreptate, că exemplul nu se cere la Bacalaureat M1; îl folosim aici exclusiv ca locatar al unei căsuțe din tabel, nu ca tehnică de rezolvare.

6. Ce se întâmplă cu o funcție nemărginită pe $[0,1]$?

Fie $u:[0,1]\to \mathbb{R}$, $u(x)=\frac{1}{x}$ pentru $x\in (0,1]$ și $u(0)=0$.

Nu este integrabilă, prin criteriul negativ al mărginirii: pentru orice plafon $M$, punctul $x=\frac{1}{M+1}$ dă $u(x)=M+1>M$.

Nu admite primitive, și aici cea mai scurtă cale este Consecința 2: imaginea lui $u$ este $\{0\}\cup [1,+\infty )$, care nu este interval (îi lipsesc, de pildă, toate valorile din $\left(0,1\right)$). Atât.

⚠️ Consecința 1 nu ar fi ajutat: în $0$ limita laterală este $+\infty$, deci discontinuitatea este de speța a II-a, iar Consecința 1 nu se aplică acolo. Și, dacă am fi ales $u(0)=1$ în loc de $0$, imaginea ar fi devenit $[1,+\infty )$ — interval — și nici Consecința 2 nu ar mai fi decis. În acel caz ar fi rămas argumentul direct, cel făcut la lecția 88 pentru $\frac{1}{x}$ pe $\mathbb{R}$: dacă $G$ ar fi o primitivă, pe $(0,1]$ am avea $G(x)=\ln x+c$ (două primitive ale aceleiași funcții pe un interval diferă printr-o constantă), iar $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }(\ln x+c)=-\infty$ ar contrazice continuitatea lui $G$ în $0$. Argumentul direct funcționează pentru orice valoare aleasă în $0$; consecințele, doar uneori. Reține ordinea: întâi cele două teste rapide, apoi, dacă niciunul nu decide, argumentul direct.

Rămâne o singură căsuță de umplut: o funcție care admite primitive și nu este integrabilă. Ea nu poate fi mărginită — o funcție integrabilă este mărginită, deci exemplul trebuie căutat printre cele nemărginite. Exemplul clasic este derivata funcției $H(x)=x^2\sin \frac{1}{x^2}$, prelungită cu $H(0)=0$: aceeași construcție ca la subsecțiunea 5, dar cu $\frac{1}{x^2}$ în loc de $\frac{1}{x}$, ceea ce face derivata nemărginită în jurul originii. Calculul depășește programa clasei a XII-a și nu se cere la examen; reține doar că și această căsuță este locuită, deci cele două proprietăți sunt cu adevărat independente.

7. Cum arată tabelul celor patru combinații?

Tabelul se citește pe orizontală și pe verticală: nicio linie și nicio coloană nu e goală, deci nicio implicație între cele două proprietăți nu are loc, în niciun sens.

Procedura de lucru la examen, când ți se cere una dintre cele două, are trei etape:

• Etapa 1 — identifică întrebarea. „Arătați că $f$ este integrabilă" cere un criteriu de integrabilitate; „arătați că $f$ admite primitive" cere o primitivă efectivă sau continuitatea; „arătați că $f$ nu admite primitive" cere o unealtă de excludere. Cuvintele nu se amestecă.
• Etapa 2 — verifică întâi continuitatea. Dacă $f$ e continuă pe interval, ambele răspunsuri sunt „da" și te-ai oprit. Dacă nu, treci mai departe.
• Etapa 3 — aplică unealta potrivită întrebării. Pentru integrabilitate: mărginire, monotonie, discontinuități izolate. Pentru primitive: speța discontinuității sau imaginea funcției.

8. Ce se schimbă dacă modificăm funcția într-un număr finit de puncte?

Răspunsul separă definitiv cele două noțiuni, așa că merită reținut ca atare: integralei nu-i pasă, primitivelor le pasă enorm.

Fie $f$ integrabilă pe $[a,b]$ și $g$ obținută din $f$ prin schimbarea valorilor într-un număr finit de puncte, $p$ la număr. Pe o diviziune cu norma $\Vert \Delta \Vert$, cel mult $2p$ subintervale conțin un punct modificat, iar în fiecare contribuția se schimbă cu cel mult $M\Vert \Delta \Vert$, unde $M$ este cea mai mare modificare de valoare. Diferența totală dintre sumele Riemann ale lui $f$ și ale lui $g$ este deci cel mult $2pM\Vert \Delta \Vert$, cantitate care tinde la zero. Rezultă că $g$ este și ea integrabilă, cu aceeași integrală. Enunțul general poartă numele de proprietate de stabilitate și se dă la proprietățile integralei definite.

Cu primitivele, povestea e alta. Ia $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x$ — continuă, deci admite primitive. Modific-o într-un singur punct interior: $g(x)=2x$ pentru $x\ne 1$ și $g(1)=5$. Integrala nu se clintește, dar imaginea lui $g$ devine $([0,6]\setminus \{2\})\cup \{5\}=[0,6]\setminus \{2\}$, care nu este interval, deci $g$ nu mai admite primitive, prin Consecința 2. O singură valoare schimbată a distrus proprietatea.

O ultimă observație, care leagă acest capitol de prima unitate a anului: suma a două funcții integrabile pe $[a,b]$ este integrabilă (rezultat care se demonstrează la lecția despre proprietățile integralei), deci mulțimea funcțiilor integrabile pe $[a,b]$, împreună cu adunarea, este un monoid, cu elementul neutru funcția nulă. La fel se întâmplă cu mulțimea funcțiilor care admit primitive, fiindcă $(F+G{)}^{\prime }=f+g$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O funcție-treaptă

Fie $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=1$ pentru $x\in [0,1)$ și $f(x)=3$ pentru $x\in [1,2]$. Stabilește dacă $f$ este integrabilă și dacă admite primitive.

Integrabilă: da. Funcția este crescătoare pe $[0,2]$, deci integrabilă prin teorema de integrabilitate a funcțiilor monotone. (Se putea invoca și criteriul discontinuităților izolate: $1\le f\le 3$, cu un singur punct de discontinuitate.)

Primitive: nu. În $x=1$, punct interior, limita la stânga este $1$, iar limita la dreapta este $3$: ambele finite și diferite, deci discontinuitate de speța I. O funcție cu discontinuitate de speța I nu admite primitive. Alternativ: imaginea este $\{1,3\}$, care nu este interval.

Exemplul 2 — O funcție continuă

Fie $f:[-2,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$. Stabilește dacă $f$ este integrabilă și dacă admite primitive.

Funcția modul este continuă pe $\mathbb{R}$, deci continuă pe intervalul compact $[-2,2]$. Prin urmare este integrabilă (teorema de integrabilitate a funcțiilor continue) și admite primitive (orice funcție continuă pe un interval admite primitive).

Atenție la o capcană des întâlnită: $f$ nu este derivabilă în $0$, dar asta nu are nicio legătură cu întrebările puse. Derivabilitatea lui $f$ nu apare în niciuna dintre cele două definiții — ce contează pentru primitive este derivabilitatea lui $F$, nu a lui $f$.

Exemplul 3 — O funcție nemărginită

Fie $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ pentru $x\in (0,1]$ și $f(0)=1$. Stabilește dacă $f$ este integrabilă și dacă admite primitive.

Este funcția de la lecția precedentă, cu valoarea din $0$ schimbată intenționat — vei vedea de ce.

Integrabilă: nu. Pentru orice $M>0$, punctul $x=\frac{1}{(M+1{)}^2}$ dă $f(x)=M+1>M$, deci $f$ este nemărginită; criteriul negativ al mărginirii încheie.

Primitive: nu — dar aici niciunul dintre cele două teste rapide nu decide. Imaginea este $[1,+\infty )$, care este interval, deci Consecința 2 tace; în $0$ limita la dreapta este $+\infty$, deci discontinuitatea e de speța a II-a și Consecința 1 tace și ea. (Valoarea $f(0)=1$ a fost aleasă tocmai pentru asta: cu $f(0)=0$, imaginea ar fi fost $\{0\}\cup [1,+\infty )$, iar Consecința 2 ar fi rezolvat totul într-un rând.) Rămâne argumentul direct. Pe $(0,1]$, orice primitivă ar fi $F(x)=2\sqrt{x}+c$. Continuitatea în $0$ ar impune $F(0)=c$, dar atunci $$\underset{\begin{array}{c}h\to 0\\ h>0\end{array}}{\lim }\frac{F(h)-F(0)}{h}=\underset{\begin{array}{c}h\to 0\\ h>0\end{array}}{\lim }\frac{2\sqrt{h}}{h}=\underset{\begin{array}{c}h\to 0\\ h>0\end{array}}{\lim }\frac{2}{\sqrt{h}}=+\infty ,$$ deci $F$ nu ar fi derivabilă în $0$. Contradicție: $f$ nu admite primitive pe $[0,1]$.

Observație. Spre deosebire de funcția $u$ de la subsecțiunea 6, aici candidatul la primitivă se prelungește continuu în $0$; ce cade este derivabilitatea (derivata ar fi $+\infty$, nu $1$). Este cazul în care ambele teste rapide tac și trebuie coborât la definiție.

Exemplul 4 — O funcție cu primitive, discontinuă

Fie $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=0$. Arată că $f$ admite primitive, că este integrabilă și că nu este continuă în $0$.

Primitive: funcția $F(x)=x^2\sin \frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$, $F(0)=0$, este derivabilă pe $[-1,1]$ (pentru $x\ne 0$ prin regulile de derivare, iar în $0$ pentru că $\left|\frac{F(h)}{h}\right|=\left|h\sin \frac{1}{h}\right|\le |h|\to 0$) și $F^{\prime }=f$. Deci $F$ este o primitivă a lui $f$.

Integrabilă: $|f(x)|\le 2|x|+1\le 3$, deci $f$ este mărginită, iar singurul punct de discontinuitate este $0$; criteriul discontinuităților izolate încheie.

Discontinuă în $0$: pe șirul $x_k=\frac{1}{k\pi }$ avem $f(x_k)=(-1{)}^{k+1}$, șir fără limită, deci $f$ nu are limită în $0$. Discontinuitatea este de speța a II-a — singura compatibilă cu existența primitivelor.

Exemplul 5 — Funcția lui Dirichlet, pe scurt

Arată că funcția $d:[0,1]\to \mathbb{R}$, $d(x)=1$ pentru $x\in \mathbb{Q}$ și $d(x)=0$ pentru $x\notin \mathbb{Q}$, este mărginită, dar nu este integrabilă și nu admite primitive.

Mărginită: $0\le d(x)\le 1$, imediat din definiție.

Neintegrabilă: fie $\Delta$ o diviziune oarecare. Alegând punctele intermediare raționale, ${\sigma }_{\Delta }(d,\xi )=1$; alegându-le iraționale, ${\sigma }_{\Delta }(d,{\xi }^{\prime })=0$. Cele două sume sunt pe aceeași diviziune, deci nu pot fi amândouă la distanță mai mică de $\frac{1}{3}$ față de un același număr $I$.

Fără primitive: imaginea este $\{0,1\}$, care nu este interval.

Concluzie. Dirichlet ocupă căsuța „nici–nici" din tabel și arată, în același timp, că mărginirea nu garantează integrabilitatea.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$ pentru $x\in [0,1)$ și $f(x)=x+1$ pentru $x\in [1,2]$. a) Arată că $f$ este integrabilă pe $[0,2]$. b) Arată că $f$ nu admite primitive pe $[0,2]$. c) Fie $g:[0,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$ pentru $x\ne 1$ și $g(1)=7$. Arată că $g$ este integrabilă, cu aceeași integrală ca $f$, și că nici $g$ nu admite primitive.

a) Pe $[0,1)$ funcția crește de la $0$ către $1$, în $1$ ia valoarea $2$ și crește apoi până la $3$; deci $f$ este crescătoare pe $[0,2]$ și, prin teorema de integrabilitate a funcțiilor monotone, este integrabilă. (Alternativ: $0\le f\le 3$, cu un singur punct de discontinuitate.)

b) În $x=1$, punct interior al intervalului, limita la stânga este $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }x=1$, iar limita la dreapta este $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }(x+1)=2$. Ambele sunt finite și diferite, deci $f$ are în $1$ o discontinuitate de speța I; prin Consecința 1, $f$ nu admite primitive pe $[0,2]$. (Alternativ: imaginea este $[0,1)\cup [2,3]$, care nu este interval.)

c) Funcțiile $f$ și $g$ diferă într-un singur punct, deci sumele lor Riemann pe aceeași diviziune diferă cu cel mult $|7-2|\cdot \Vert \Delta \Vert =5\Vert \Delta \Vert$, cantitate care tinde la zero. Prin urmare $g$ este integrabilă și ${\int }_0^{2}g(x)dx={\int }_0^{2}f(x)dx$. Nici $g$ nu admite primitive: în $1$ limitele laterale rămân $1$ și $2$, finite și diferite, deci discontinuitatea de speța I persistă indiferent de valoarea din punct.

Notă de barem: la subpunctul b) se punctează separat calculul celor două limite laterale și invocarea Consecinței 1. Afirmația „$f$ nu admite primitive pentru că nu e continuă" nu primește punctaj: continuitatea nu este necesară pentru existența primitivelor, cum arată Exemplul 4.

Să exersăm

1. Scrie, în două propoziții, ce cere fiecare dintre cele două proprietăți și ce obiect se construiește în fiecare caz.

2. Pentru $f:[1,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-2x$, spune dacă este integrabilă și dacă admite primitive, justificând într-un singur rând.

3. Fie $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=0$ pentru $x\in [0,1)$ și $f(x)=1$ pentru $x\in [1,2]$. Stabilește ambele proprietăți.

4. Fie $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=0$. Stabilește ambele proprietăți.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Orice funcție integrabilă pe $[a,b]$ admite primitive pe $[a,b]$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Orice funcție care admite primitive pe $[a,b]$ este integrabilă pe $[a,b]$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Orice funcție continuă pe $[a,b]$ este integrabilă și admite primitive.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) O funcție care are, într-un punct interior, o discontinuitate de speța a II-a nu admite primitive.

9. Explică, în trei rânduri, de ce funcția lui Dirichlet nu admite primitive, deși este mărginită.

10. Fie $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x$ pentru $x\ne 1$ și $f(1)=5$. Arată că $f$ este integrabilă și că ${\int }_0^{3}f(x)dx={\int }_0^{3}2xdx$, dar că $f$ nu admite primitive.

11. Calculează ${\int }_{-2}^2\mathrm{sgn}(x)dx$, justificând întâi integrabilitatea.

12. Găsește o funcție definită pe $[0,1]$ care să fie integrabilă, discontinuă și să admită totuși primitive. (Indicație: subsecțiunea 5.)

13. Completează, cu exemple proprii, trei dintre cele patru căsuțe ale tabelului din lecție.

14. (Problemă aplicată.) Puterea consumată de un aparat sare brusc de la $0$ la $100$ de wați în momentul pornirii. Poate fi această funcție-putere derivata unei funcții netede de energie? Ce spune răspunsul despre modelul matematic folosit?

15. Arată că funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=0$, nu este integrabilă.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f:[-1,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2$ pentru $x\in [-1,0)$ și $f(x)=2$ pentru $x\in [0,1]$. a) Arată că $f$ este integrabilă; b) calculează ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$ pe un șir convenabil de diviziuni; c) arată că $f$ nu admite primitive.

17. Explică de ce modificarea valorii unei funcții într-un punct nu schimbă integrala, dar poate face funcția să nu mai admită primitive.

18. (Provocare.) Arată că suma a două funcții care nu admit primitive poate admite primitive, dar că suma a două funcții care admit primitive admite întotdeauna primitive. Ce spune al doilea fapt despre structura algebrică a mulțimii acestor funcții?

Răspunsuri și explicații

1. Integrabilitatea cere să existe un număr $I$ de care se apropie toate sumele Riemann când norma diviziunii tinde la zero. Existența primitivelor cere să existe o funcție derivabilă $F$ cu $F^{\prime }=f$ pe tot intervalul. Prima privește o măsurare, a doua o inversare a derivării.

2. Funcția polinomială este continuă pe $[1,3]$, deci este și integrabilă (teorema funcțiilor continue), și admite primitive (orice funcție continuă pe un interval admite primitive).

3. Integrabilă (crescătoare pe $[0,2]$, sau mărginită cu un singur punct de discontinuitate). Nu admite primitive: în $1$ limitele laterale sunt $0$ și $1$, finite și diferite — discontinuitate de speța I, deci Consecința 1; sau: imaginea $\{0,1\}$ nu e interval, deci Consecința 2.

4. Nemărginită (pentru $x=\frac{1}{\sqrt{M}}$ valoarea este $M$), deci nu este integrabilă, prin criteriul negativ al mărginirii. Nu admite nici primitive: imaginea este $\{0\}\cup [1,+\infty )$, care nu este interval — Consecința 2 încheie într-un rând. (Argumentul direct dă aceeași concluzie: pe $(0,1]$ orice primitivă ar fi $-\frac{1}{x}+c$, care tinde la $-\infty$ în $0$.)

5. Fals. Funcția semn pe $[-1,1]$ este integrabilă și nu admite primitive.

6. Fals. Derivata funcției $x^2\sin \frac{1}{x^2}$ admite primitive (chiar funcția însăși) și nu este integrabilă, fiind nemărginită.

7. Adevărat. Continuitatea pe un interval compact dă integrabilitatea prin teorema de clasă, iar existența primitivelor prin teorema de la lecția despre teorema lui Darboux. Este singurul caz în care ambele răspunsuri sunt „da" automat.

8. Fals. Discontinuitatea de speța a II-a este singura compatibilă cu existența primitivelor; exemplul din subsecțiunea 5 o are exact pe aceasta. Interzisă este speța I.

9. Imaginea funcției lui Dirichlet este $\{0,1\}$. Dacă ar exista $F$ derivabilă cu $F^{\prime }=d$, atunci $d$ ar avea proprietatea valorilor intermediare (teorema lui Darboux), deci imaginea ei pe un interval ar trebui să fie interval. Or $\{0,1\}$ nu este interval; contradicție — exact Consecința 2. Mărginirea nu are niciun rol în acest raționament.

10. Integrabilă: mărginită ($0\le 2x\le 6$ și $f(1)=5$, deci $|f|\le 6$), cu un singur punct de discontinuitate. Aceeași integrală: sumele Riemann ale lui $f$ și ale lui $2x$ pe aceeași diviziune diferă cu cel mult $|5-2|\Vert \Delta \Vert =3\Vert \Delta \Vert \to 0$. Fără primitive: imaginea este $[0,6]\setminus \{2\}$, care nu e interval — Consecința 2.

11. Funcția semn este mărginită cu un singur punct de discontinuitate, deci integrabilă. Pe diviziunea echidistantă a lui $[-2,2]$ în $2m$ părți (cu $0$ nod), sumele sunt $(-2)\cdot 1+2\cdot 1$ plus corecții de cel mult $2\Vert \Delta \Vert$, deci ${\int }_{-2}^2\mathrm{sgn}(x)dx=0$.

12. De exemplu $f(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$, $f(0)=0$, restrânsă la $[0,1]$: admite primitiva $F(x)=x^2\sin \frac{1}{x}$ (prelungită cu $0$), este mărginită cu un singur punct de discontinuitate, deci integrabilă, dar nu este continuă în $0$.

13. Integrabilă și cu primitive: orice funcție continuă, de pildă $f(x)=\sin x$ pe $[0,\pi ]$. Integrabilă, fără primitive: orice funcție-treaptă, de pildă $f(x)=0$ pe $[0,1)$ și $f(x)=2$ pe $[1,2]$. Neintegrabilă, fără primitive: $f(x)=\frac{1}{x^2}$ prelungită cu $0$ în origine, pe $[0,1]$ — nemărginită, iar imaginea $\{0\}\cup [1,+\infty )$ nu e interval.

14. Nu. O funcție-putere care sare brusc are, în momentul pornirii, o discontinuitate de speța I, deci nu admite primitive: nu există o funcție-energie derivabilă a cărei derivată să fie ea. Concluzia fizică e că modelul „salt instantaneu" e o idealizare; în realitate creșterea are loc într-un interval scurt, dar continuu. Integrala, în schimb, există și dă energia consumată — o altă dovadă că cele două întrebări sunt diferite.

15. Pentru $x=\frac{1}{M^3}$ avem $f(x)=M$, oricât de mare ar fi $M$, deci $f$ este nemărginită pe $[0,1]$; prin criteriul negativ al mărginirii, nu este integrabilă. Nici primitive nu admite: imaginea este $\{0\}\cup [1,+\infty )$, care nu este interval — Consecința 2.

16. a) Mărginită, $|f|\le 2$, cu un singur punct de discontinuitate, $x=0$ — integrabilă. (Sau: crescătoare pe $[-1,1]$.) b) Pe diviziunea echidistantă în $2m$ părți, cu $0$ nod, suma este $(-2)\cdot 1+2\cdot 1$ plus corecții de cel mult $4\Vert \Delta \Vert$, deci integrala este $0$. c) În $0$ limitele laterale sunt $-2$ și $2$, finite și diferite: discontinuitate de speța I, deci $f$ nu admite primitive, prin Consecința 1. (Sau: imaginea $\{-2,2\}$ nu este interval — Consecința 2.)

17. Integrala se obține ca limită a unor sume în care fiecare valoare a funcției este înmulțită cu lungimea unui subinterval; punctele modificate ating cel mult două subintervale fiecare, iar contribuția lor tinde la zero odată cu norma. Primitivele, în schimb, cer ca $f$ să fie derivata unei funcții, deci să aibă proprietatea valorilor intermediare în fiecare punct — iar o singură valoare scoasă din interval strică imediat această proprietate.

18. Prima parte: pe $[-1,1]$, funcțiile $f=\mathrm{sgn}$ și $g=-\mathrm{sgn}$ nu admit primitive (fiecare are discontinuitate de speța I în $0$), dar $f+g$ este funcția nulă, care admite primitive (orice constantă). A doua parte: dacă $F^{\prime }=f$ și $G^{\prime }=g$ pe interval, atunci $(F+G{)}^{\prime }=f+g$, deci $F+G$ este o primitivă a sumei. Prin urmare mulțimea funcțiilor care admit primitive pe un interval este stabilă față de adunare și formează, cu această operație, un monoid (elementul neutru este funcția nulă) — o structură din prima unitate a anului, întâlnită aici într-un context de analiză.

De reținut

• Integrabilitatea și existența primitivelor sunt proprietăți independente: fiecare dintre cele patru combinații posibile se realizează efectiv, deci nicio implicație între ele nu are loc.
• Orice funcție continuă pe un interval este simultan integrabilă și admite primitive — singurul caz în care ambele răspunsuri sunt „da" fără verificări suplimentare.
• Funcția semn și, în general, orice funcție cu o discontinuitate de speța I într-un punct interior este integrabilă (dacă e mărginită), dar nu admite primitive.
• Funcția lui Dirichlet este mărginită, dar nu este integrabilă (două sisteme de puncte intermediare pe aceeași diviziune dau sumele $b-a$ și $0$) și nu admite primitive (imaginea $\{0,1\}$ nu este interval).
• Modificarea valorilor într-un număr finit de puncte nu schimbă nici integrabilitatea, nici valoarea integralei, dar poate distruge existența primitivelor.

Greșeli frecvente

• Greșeala: a scrie „$f$ nu admite primitive pentru că nu este continuă". Corect: continuitatea este suficientă, nu necesară; derivata funcției $x^2\sin \frac{1}{x}$ este discontinuă și admite primitive. Argumentul corect invocă speța I sau imaginea care nu e interval.
• Greșeala: a folosi mărginirea ca argument pentru primitive, sau speța discontinuității ca argument pentru integrabilitate. Corect: mărginirea decide integrabilitatea, speța decide primitivele; uneltele nu se schimbă între ele.
• Greșeala: a crede că „integrabilă" înseamnă „i se poate calcula integrala cu o primitivă". Corect: funcția semn este integrabilă și nu are nicio primitivă; integrala ei se calculează din definiție.
• Greșeala: a spune că orice funcție mărginită este integrabilă. Corect: funcția lui Dirichlet este mărginită și nu e integrabilă; mărginirea este necesară, nu suficientă.
• Greșeala: a crede că o discontinuitate de speța a II-a exclude primitivele. Corect: speța a II-a este singura compatibilă cu existența primitivelor; speța I este cea care le exclude.

Aplică acasă

1. Construiește-ți propriul tabel cu patru căsuțe, pe o foaie A4, și completează fiecare căsuță cu două exemple: unul din lecție și unul găsit de tine în culegere. Pentru fiecare, notează pe scurt argumentul folosit la fiecare dintre cele două întrebări.
2. Într-o foaie de calcul, tabelează funcția $f(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$ în punctele $x=\frac{1}{k\pi }$ pentru $k=1,2,\dots ,20$ și verifică alternanța valorilor $1$ și $-1$. Tabelează apoi $x^2\sin \frac{1}{x}$ în aceleași puncte și observă cât de repede se apropie de $0$.
3. Caută în culegerea ta cinci enunțuri care conțin sintagma „admite primitive" și cinci care conțin „este integrabilă". Pentru fiecare, notează ce unealtă se cere și verifică pe barem dacă intuiția ta a fost corectă. Scrie o listă cu formulările-capcană pe care le-ai găsit.

Pentru părinți și profesori

Lecția desparte două noțiuni pe care manualele le prezintă una după alta și pe care elevii le contopesc aproape întotdeauna. Programa cere explicit acest lucru, prin activitatea de învățare „evidențierea prin exemple și contraexemple a relației dintre integrabilitatea unei funcții și proprietatea acesteia de a avea primitive". Miezul lecției este tabelul celor patru combinații: dacă elevul poate popula trei dintre cele patru căsuțe cu exemple, a înțeles.

Întrebări de control: Ce se construiește când spunem că o funcție e integrabilă și ce se construiește când spunem că admite primitive? Dă un exemplu de funcție integrabilă fără primitive. De ce funcția lui Dirichlet nu e integrabilă, deși e mărginită? Poate o funcție discontinuă să admită primitive? Ce se întâmplă cu integrala, și ce cu primitivele, dacă schimbăm valoarea funcției într-un punct?

Semne că a înțeles: nu folosește continuitatea ca argument obligatoriu pentru primitive; distinge speța I de speța a II-a și știe care dintre ele exclude primitivele; calculează integrala funcției semn fără să caute o primitivă; explică de ce o singură valoare schimbată nu mută integrala.

La BAC, cerințele de tipul „arătați că $f$ nu admite primitive" apar constant la Subiectul al III-lea, aproape întotdeauna pe funcții definite pe ramuri cu un salt, iar baremul cere calculul limitelor laterale și invocarea consecinței teoremei lui Darboux. Cerințele de integrabilitate apar în aceleași probleme, ca subpunct separat — motiv în plus ca elevul să nu le amestece.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre o funcție integrabilă și una care admite primitive?

O funcție este integrabilă pe $[a,b]$ dacă sumele ei Riemann se apropie de un singur număr când norma diviziunii tinde la zero; rezultatul este un număr. O funcție admite primitive pe un interval dacă există o funcție derivabilă $F$ cu $F^{\prime }=f$; rezultatul este o funcție. Cele două proprietăți sunt independente și nu se implică una pe alta în niciun sens.

Poate o funcție să fie integrabilă fără să admită primitive?

Da, și este cazul cel mai frecvent la Bacalaureat M1. Funcția semn pe $[-1,1]$, ca orice funcție-treaptă mărginită, este integrabilă prin criteriul discontinuităților izolate sau prin monotonie, dar are în origine o discontinuitate de speța I, care exclude primitivele prin consecința teoremei lui Darboux. Integrala ei se calculează atunci din definiție.

De ce funcția lui Dirichlet nu este integrabilă?

Pentru că pe orice diviziune, oricât de fină, se pot alege puncte intermediare toate raționale — și atunci suma Riemann este $b-a$ — sau toate iraționale, și atunci suma este $0$. Cele două sume, fiind pe aceeași diviziune, nu pot fi amândouă apropiate de un același număr, deci niciun $I$ nu satisface definiția. Mărginirea funcției nu ajută cu nimic aici.

Cum arăt că o funcție nu admite primitive?

Ai două unelte, ambele consecințe ale teoremei lui Darboux. Prima: arăți că funcția are, într-un punct interior, o discontinuitate de speța I, adică limite laterale finite și diferite. A doua: arăți că imaginea funcției nu este interval. Prima se folosește la funcțiile pe ramuri cu salt, a doua la funcțiile care iau doar câteva valori.

O funcție discontinuă poate admite primitive?

Da, dar numai dacă discontinuitatea este de speța a II-a. Exemplul canonic este $f(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$, $f(0)=0$: ea este derivata funcției $x^2\sin \frac{1}{x}$ prelungite cu $0$, deci admite primitive, dar nu are limită în origine. O discontinuitate de speța I exclude însă întotdeauna primitivele.

Ce se întâmplă dacă schimb valoarea unei funcții într-un punct?

Integrabilitatea și valoarea integralei nu se schimbă: punctele modificate ating cel mult două subintervale fiecare, iar contribuția lor la sumele Riemann tinde la zero odată cu norma diviziunii. Existența primitivelor, dimpotrivă, poate dispărea: o singură valoare scoasă din interval face ca imaginea să nu mai fie interval, iar funcția să nu mai poată fi derivata nimănui.

Ce trebuie verificat mai întâi, la un exercițiu de acest tip?

Continuitatea. Dacă funcția este continuă pe intervalul dat, ambele răspunsuri sunt „da" și te oprești acolo, cu justificarea scrisă în două rânduri. Dacă nu este continuă, treci la unealta potrivită întrebării: mărginire, monotonie sau discontinuități izolate pentru integrabilitate, respectiv speța discontinuității sau imaginea funcției pentru primitive.