Integrale cu ramuri și cu modul: pe scurt

O funcție definită pe ramuri, mărginită și cu un număr finit de discontinuități, este integrabilă, chiar dacă are salturi și chiar dacă nu admite primitive pe tot intervalul. Formula Leibniz–Newton nu se poate aplica dintr-o dată, pentru că nu există o primitivă unică pe $[a,b]$; se aplică pe fiecare bucată.

Cei patru pași ai integralei pe ramuri: justifici integrabilitatea; tai intervalul în punctele de racord cu aditivitatea în raport cu intervalul; aplici formula Leibniz–Newton pe fiecare bucată, cu formula ramurii ei; aduni rezultatele. Valorile din punctele de racord nu influențează rezultatul, prin proprietatea de stabilitate, deci fiecare ramură se integrează pe intervalul închis corespunzător.

La o funcție cu modul se adaugă un pas preliminar: tabelul de semn al expresiei de sub modul, pe intervalul de integrare, reținând numai rădăcinile din interval. Acolo unde expresia este negativă se integrează opusul ei, iar fiecare bucată trebuie să dea un rezultat pozitiv — un control rapid al calculului.

Greșeala capitală rămâne confuzia dintre ${\int }_a^b|f|$ și $\left|{\int }_a^{b}f\right|$: prima nu admite compensări între bucata negativă și cea pozitivă. Egalitatea are loc doar când $f$ nu schimbă semnul pe interval.

Exerciții din această mini-lecție

1. ${\int }_0^5|2x-6|dx$ este egală cu:

   • a) $9$
   • b) $5$
   • c) $13$
   • d) $4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $13$

   Expresia se anulează în $3\in [0,5]$: pe $[0,3]$ este negativă, deci se integrează $6-2x$, cu rezultatul $9$; pe $[3,5]$ este pozitivă, deci se integrează $2x-6$, cu rezultatul $4$. Total: $13$. Varianta $5$ este $\left|{\int }_0^5(2x-6)dx\right|$ — exact greșeala capitală.

2. Fie $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, cu $f(x)=x+1$ pentru $x\in [0,2)$ și $f(x)=5$ pentru $x\in [2,3]$. Atunci ${\int }_0^{3}f(x)dx$ este:

   • a) $\frac{15}{2}$
   • b) $4$
   • c) $5$
   • d) $9$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $9$

   Funcția este mărginită, cu o singură discontinuitate, deci integrabilă. Tăiem în $2$: ${\int }_0^2(x+1)dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right){|}_0^2=4$ și ${\int }_2^{3}5dx=5$, deci totalul este $9$. Varianta $\frac{15}{2}$ folosește prima formulă pe tot intervalul, ignorând a doua ramură.

3. Punctele în care se rupe intervalul la calculul integralei ${\int }_1^4|x^2-4x+3|dx$ sunt:

   • a) $1$ și $3$
   • b) doar $3$
   • c) doar $2$
   • d) niciunul
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) doar $3$

   Rădăcinile trinomului sunt $1$ și $3$, dar $1$ este chiar capătul intervalului, deci nu produce o rupere: se taie doar în $3$. Punctul $2$ este vârful parabolei, nu un zero. Se rețin întotdeauna numai zerourile din interiorul intervalului de integrare.