Integrala funcțiilor pe ramuri și a funcțiilor cu modul

Multe mărimi din realitate nu se lasă descrise de o singură formulă. Un automobil merge cu viteză constantă zece secunde, apoi frânează uniform; o taxă are un tarif până la un prag și altul după; o funcție cu modul are o expresie acolo unde argumentul e pozitiv și alta acolo unde e negativ. În toate aceste cazuri, funcția este definită pe ramuri, iar formula Leibniz–Newton, așa cum a fost învățată la clasa a 12-a, nu se poate aplica direct: nu există o singură primitivă valabilă pe tot intervalul.

Soluția nu e o formulă nouă, ci o proprietate deja demonstrată — aditivitatea în raport cu intervalul. Ea permite tăierea intervalului exact în punctele în care funcția își schimbă formula, iar pe fiecare bucată se lucrează cu formula ei, ca de obicei. Iar funcțiile cu modul intră în aceeași schemă, printr-un singur pas suplimentar: tabelul de semn al expresiei de sub modul.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o funcție definită pe ramuri și să justifici că este integrabilă.
• Vei ști să aplici cei patru pași ai integralei pe ramuri, tăind intervalul cu aditivitatea la interval.
• Vei ști de ce valoarea funcției în punctul de racord nu influențează rezultatul.
• Vei ști să transformi o funcție cu modul într-o funcție pe ramuri, folosind tabelul de semn.
• Vei ști să calculezi integrale de tipul ${\int }_a^b|f(x)|dx$ pentru trinoame și pentru funcții trigonometrice.
• Vei ști să nu confunzi niciodată ${\int }_a^b|f|$ cu $\left|{\int }_a^{b}f\right|$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o funcție definită pe ramuri și cum se integrează?

O funcție definită pe ramuri este o funcție $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ dată prin formule diferite pe subintervale diferite ale lui $[a,b]$: există punctele $a=c_0<c_1<\cdots <c_k=b$ astfel încât pe fiecare bucată dintre două puncte consecutive funcția coincide cu o expresie proprie acelei bucăți. Integrala ei se obține adunând integralele bucăților.

Un exemplu concret, care va fi firul roșu al lecției: $$f:[0,3]\to \mathbb{R},f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x\in [0,1],\\ x^2,& x\in (1,3].\end{array}$$ În punctul $1$ ramura din stânga dă valoarea $2$, iar ramura din dreapta se apropie de $1$: funcția are un salt, deci nu este continuă acolo. Cu toate acestea, ea este integrabilă, iar integrala ei se calculează fără nicio dificultate.

De ce este integrabilă? Pentru că este mărginită pe $[0,3]$ (valorile ei stau între $1$ și $9$) și are un singur punct de discontinuitate. Criteriul discontinuităților izolate, de la lecția despre clasele de funcții integrabile — o funcție mărginită cu un număr finit de puncte de discontinuitate este integrabilă — se aplică imediat. Aceeași propoziție se scrie în orice rezolvare de acest tip și are punctaj la Bacalaureat M1.

⚠️ Nu confunda această lecție cu cea despre primitivele funcțiilor definite pe ramuri. Acolo se căuta o primitivă unică pe tot intervalul, iar condiția era ca funcția să fie continuă (o funcție cu salt nu admite primitive, prin teorema lui Darboux). Aici se caută un număr, integrala, iar saltul nu deranjează deloc. Sunt două probleme diferite, iar deosebirea e chiar miezul lecției.

2. De ce nu se aplică formula Leibniz–Newton pe tot intervalul?

Tentația e mare: să se caute o primitivă a funcției $f$ de mai sus pe tot $[0,3]$ și să se scrie $F(3)-F(0)$. Nu se poate, și motivul e de principiu.

Funcția $f$ are în punctul $1$ o discontinuitate de speța I (limitele laterale există, sunt finite și diferite). O funcție cu o astfel de discontinuitate nu admite primitive pe niciun interval care conține acel punct — rezultat obținut la lecția despre funcțiile care admit primitive, din teorema lui Darboux: derivata unei funcții are proprietatea valorilor intermediare, deci nu poate sări.

Prin urmare, a doua ipoteză a formulei Leibniz–Newton — existența unei primitive pe $[0,3]$ — nu este îndeplinită. Formula nu se aplică pe tot intervalul. Ea se aplică însă perfect pe fiecare bucată separat, unde funcția coincide cu o expresie continuă, iar bucățile se lipesc la loc cu aditivitatea.

Iată, așadar, împărțirea rolurilor, care merită reținută ca atare:

3. Cei patru pași ai integralei pe ramuri

Rețeta, valabilă pentru orice funcție dată pe ramuri, are patru pași. O vom numi, în tot restul capitolului, „cei patru pași ai integralei pe ramuri".

1. Justifici integrabilitatea: funcția e mărginită pe $[a,b]$ și are cel mult un număr finit de puncte de discontinuitate, deci este integrabilă prin criteriul discontinuităților izolate; când funcția e continuă pe tot intervalul, e de ajuns Teorema 1 de la clasele de funcții integrabile.
2. Tai intervalul în punctele de racord $c_1<c_2<\dots$ care se află în $[a,b]$, folosind aditivitatea în raport cu intervalul: $${\int }_a^{b}f={\int }_{c_0}^{c_1}f+{\int }_{c_1}^{c_2}f+\cdots +{\int }_{c_{k-1}}^{c_k}f.$$
3. Înlocuiești, pe fiecare bucată, funcția cu formula ramurii ei și aplici formula Leibniz–Newton, cu primitiva potrivită.
4. Aduni rezultatele.

Model complet, pe firul roșu. Calculăm ${\int }_0^{3}f(x)dx$ pentru funcția de mai sus.

Pasul 1: pe $[0,1]$ și pe $(1,3]$ funcția coincide cu funcții continue, iar valorile ei rămân între $1$ și $9$; are un singur punct de discontinuitate, în $1$. Prin criteriul discontinuităților izolate, $f$ este integrabilă pe $[0,3]$.

Pasul 2: ${\int }_0^{3}f={\int }_0^{1}f+{\int }_1^{3}f$.

Pasul 3: $${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1(x+1)dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right){|}_0^1=\frac{3}{2},{\int }_1^{3}f(x)dx={\int }_1^3{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_1^3=9-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}.$$

Pasul 4: ${\int }_0^{3}f(x)dx=\frac{3}{2}+\frac{26}{3}=\frac{9}{6}+\frac{52}{6}=\frac{61}{6}$. (Verificat numeric, prin metoda lui Simpson aplicată pe fiecare ramură: $10,166666666667=\frac{61}{6}$.)

4. Ce se întâmplă în punctul de racord?

O întrebare firească: în modelul de mai sus, punctul $1$ a fost atribuit primei ramuri. Dacă enunțul l-ar fi dat celei de-a doua, sau dacă funcția ar avea acolo o valoare cu totul diferită, de pildă $f(1)=100$, s-ar schimba rezultatul?

Nu. Motivul e proprietatea de stabilitate, demonstrată la lecția despre proprietățile integralei definite: modificarea valorilor unei funcții într-un număr finit de puncte nu schimbă nici integrabilitatea, nici valoarea integralei. Punctele de racord sunt un număr finit, deci valorile de acolo sunt, pentru integrală, invizibile.

Consecința practică e comodă și se folosește fără să se mai spună de fiecare dată: la pasul 3, pe bucata $[c_{i-1},c_i]$ se integrează formula ramurii, pe intervalul închis, chiar dacă în enunț ramura era dată pe un interval deschis la un capăt. Formula ramurii și funcția $f$ diferă cel mult în capete, deci au aceeași integrală.

Tot de aici vine și o simplificare des întâlnită: nu contează dacă tai intervalul în punctul de racord sau puțin altfel — dar tăierea în punctele de racord este singura care lasă pe fiecare bucată o singură formulă, deci e cea corectă din punct de vedere practic.

5. Modulul, citit ca funcție pe ramuri

Prin definiție, $|t|=t$ dacă $t\ge 0$ și $|t|=-t$ dacă $t<0$. Compus cu o funcție, modulul produce exact o funcție pe ramuri: $$|f(x)|=\{\begin{array}{ll}f(x),& \text{acolo unde }f(x)\ge 0,\\ -f(x),& \text{acolo unde }f(x)<0.\end{array}$$ Prin urmare, tot ce trebuie ca să integrezi o funcție cu modul este să afli unde își schimbă semnul expresia de sub modul. Instrumentul e cunoscut: tabelul de semn, în formatul fixat la lecția de clasa a XI-a despre semnul unei funcții continue — antetul e rândul lui $x$, sub el un singur rând cu expresia, $0$ în zerouri și semnele pe intervalele dintre ele.

Exemplu. Pentru $|x-1|$ pe $[0,2]$, expresia $x-1$ se anulează în $1$:

Se citește: pe $[0,1]$ expresia e negativă, deci $|x-1|=1-x$; pe $[1,2]$ e pozitivă, deci $|x-1|=x-1$.

Un al doilea exemplu, cu un trinom. Pentru $|x^2-4|$ pe $[-1,3]$, rădăcinile lui $x^2-4$ sunt $-2$ și $2$, dar numai $2$ se află în intervalul de integrare — și numai rădăcinile din interval contează:

Deci $|x^2-4|=4-x^2$ pe $[-1,2]$ și $|x^2-4|=x^2-4$ pe $[2,3]$.

6. Cum se calculează integrala unei funcții cu modul?

Se adaugă un pas preliminar la cei patru pași de la punctul 3:

Pasul preliminar. Se alcătuiește tabelul de semn al expresiei de sub modul, pe intervalul de integrare, se rețin doar rădăcinile din interval, apoi se scrie funcția pe ramuri, eliminând modulul cu semnul potrivit pe fiecare bucată.

După acest pas, funcția este pe ramuri și se aplică rețeta cunoscută. Un detaliu de care merită să ții cont: funcția $|f|$ obținută astfel este continuă ori de câte ori $f$ este continuă — modulul nu creează salturi, ci cel mult colțuri. Deci integrabilitatea de la pasul 1 se justifică într-o propoziție, prin continuitate.

Model complet. Calculăm ${\int }_{-1}^3|x^2-4|dx$.

Pasul preliminar: din tabelul de mai sus, $|x^2-4|=4-x^2$ pe $[-1,2]$ și $x^2-4$ pe $[2,3]$.

Pasul 1: funcția $|x^2-4|$ este continuă pe $[-1,3]$, deci integrabilă.

Pasul 2: ${\int }_{-1}^3|x^2-4|dx={\int }_{-1}^2(4-x^2)dx+{\int }_2^3(x^2-4)dx$.

Pasul 3: $${\int }_{-1}^2(4-x^2)dx=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-1}^2=\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-4+\frac{1}{3}\right)=\frac{16}{3}+\frac{11}{3}=9,$$ $${\int }_2^3(x^2-4)dx=\left(\frac{x^3}{3}-4x\right){|}_2^3=(9-12)-\left(\frac{8}{3}-8\right)=-3+\frac{16}{3}=\frac{7}{3}.$$

Pasul 4: ${\int }_{-1}^3|x^2-4|dx=9+\frac{7}{3}=\frac{34}{3}$. (Verificat numeric: $11,333333333333=\frac{34}{3}$.)

Observă că ambele integrale de la pasul 3 au ieșit pozitive — și așa trebuie să fie mereu, pentru că integrandul $|f|$ este pozitiv. Un rezultat negativ pe vreo bucată înseamnă că semnul a fost citit greșit din tabel. E controlul cel mai rapid al acestui tip de exercițiu.

7. Greșeala capitală: integrala modulului nu este modulul integralei

Cele două scrieri arată aproape la fel și înseamnă lucruri diferite: $$\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\text{și}{\int }_a^b|f(x)|dx.$$ Prima calculează întâi integrala, care poate avea compensări între bucata negativă și cea pozitivă, și abia apoi ia modulul. A doua răstoarnă întâi bucata negativă deasupra axei și abia apoi însumează, deci nu mai există nicio compensare.

Exemplul minimal: pe $[0,2]$, cu $f(x)=x-1$, avem $${\int }_0^2(x-1)dx=\left(\frac{x^2}{2}-x\right){|}_0^2=0,{\int }_0^2|x-1|dx={\int }_0^1(1-x)dx+{\int }_1^2(x-1)dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$$ Prima e $0$, a doua e $1$. Inegalitatea consecinței de modul, $\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b|f|$, se verifică: $0\le 1$, și este strictă. (Ambele valori verificate numeric.)

Egalitatea are loc când $f$ nu schimbă semnul pe interval — atunci nu e nimic de compensat. De aceea, când un enunț cere aria unei suprafețe mărginite de un grafic care traversează axa, răspunsul corect este ${\int }_a^b|f|$, nu ${\int }_a^{b}f$; legătura completă dintre integrale și arii se face la lecția despre aria subgraficului.

8. Ce nu se face aici

Două precizări de traseu, ca să nu apară confuzii.

Prima. Când intervalul este simetric față de origine și funcția e pară sau impară, calculul se poate scurta considerabil — de pildă, integrala unei funcții impare pe $[-a,a]$ este nulă, ceea ce se vede și în exemplul ${\int }_{-1}^{1}xdx=0$. Aceste scurtături nu se folosesc încă: ele sunt subiectul lecției despre integralele funcțiilor pare, impare și periodice. Până acolo, se taie intervalul și se calculează bucată cu bucată, chiar dacă rezultatul se ghicește.

A doua. La funcțiile trigonometrice cu modul, punctele de rupere sunt zerourile funcției din interval, și numai ele. Pentru $|\sin x|$ pe $[0,2\pi ]$, zerourile din interval sunt $0$, $\pi$ și $2\pi$, dar numai $\pi$ este interior, deci se taie o singură dată: $${\int }_0^{2\pi }|\sin x|dx={\int }_0^{\pi }\sin xdx+{\int }_{\pi }^{2\pi }(-\sin x)dx=2+2=4,$$ pentru că $-\cos x{|}_0^{\pi }=2$ și $\cos x{|}_{\pi }^{2\pi }=1-(-1)=2$. (Verificat numeric: $4,000000000000$.)

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două ramuri care se lipesc continuu

Calculați ${\int }_0^{2}f(x)dx$, unde $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ pentru $x\in [0,1]$ și $f(x)=2-x$ pentru $x\in (1,2]$.

Rezolvare. Pasul 1: pe fiecare bucată funcția coincide cu o funcție continuă; în plus, $\underset{x\to 1}{\lim }{x}^2=1$ și $2-1=1$, deci funcția este chiar continuă pe $[0,2]$. Fiind continuă, este integrabilă.

Pașii 2 și 3: $${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^1=\frac{1}{3},{\int }_1^2(2-x)dx=\left(2x-\frac{x^2}{2}\right){|}_1^2=(4-2)-\left(2-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}.$$

Pasul 4: ${\int }_0^{2}f(x)dx=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$. (Verificat numeric: $0,833333333333$.) ✓

Exemplul 2 — Două ramuri cu salt

Calculați ${\int }_0^{3}f(x)dx$, unde $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$ pentru $x\in [0,1]$ și $f(x)=x^2$ pentru $x\in (1,3]$.

Rezolvare. Este firul roșu al lecției; îl reluăm compact. Funcția este mărginită și are un singur punct de discontinuitate, în $1$, deci este integrabilă. Aditivitatea dă $${\int }_0^{3}f={\int }_0^1(x+1)dx+{\int }_1^3{x}^{2}dx=\frac{3}{2}+\frac{26}{3}=\frac{61}{6}.$$ Merită subliniat că funcția nu admite primitive pe $[0,3]$, pentru că are o discontinuitate de speța I; și totuși integrala există și se calculează. Cele două noțiuni nu se implică una pe alta. ✓

Exemplul 3 — Modul de gradul întâi

Calculați ${\int }_{-2}^3|x-1|dx$.

Rezolvare. Pasul preliminar: expresia $x-1$ se anulează în $1\in [-2,3]$; e negativă pe $[-2,1]$ și pozitivă pe $[1,3]$. Deci $|x-1|=1-x$ pe prima bucată și $x-1$ pe a doua.

Pasul 1: funcția este continuă pe $[-2,3]$, deci integrabilă.

Pașii 2–4: $${\int }_{-2}^1(1-x)dx=\left(x-\frac{x^2}{2}\right){|}_{-2}^1=\left(1-\frac{1}{2}\right)-\left(-2-2\right)=\frac{9}{2},{\int }_1^3(x-1)dx=\left(\frac{x^2}{2}-x\right){|}_1^3=\left(\frac{9}{2}-3\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)=2,$$ deci ${\int }_{-2}^3|x-1|dx=\frac{9}{2}+2=\frac{13}{2}$. Ambele bucăți au ieșit pozitive, cum trebuie. (Verificat numeric: $6,500000000000$.) ✓

Exemplul 4 — Modul de trinom, cu o singură rădăcină în interval

Calculați ${\int }_{-1}^3|x^2-4|dx$.

Rezolvare. Este modelul de la punctul 6, reluat compact. Rădăcinile lui $x^2-4$ sunt $\pm 2$, dar numai $2$ se află în $[-1,3]$. Tabelul de semn dă $|x^2-4|=4-x^2$ pe $[-1,2]$ și $x^2-4$ pe $[2,3]$. Prin urmare $${\int }_{-1}^3|x^2-4|dx={\int }_{-1}^2(4-x^2)dx+{\int }_2^3(x^2-4)dx=9+\frac{7}{3}=\frac{34}{3}.$$ Greșeala tipică aici este să se taie intervalul și în $-2$, care nu aparține domeniului de integrare: punctele de rupere sunt numai rădăcinile din interval. ✓

Exemplul 5 — Modul de funcție trigonometrică

Calculați ${\int }_0^{2\pi }|\sin x|dx$.

Rezolvare. Pasul preliminar: pe $[0,2\pi ]$, funcția $\sin$ se anulează în $0$, $\pi$ și $2\pi$; singurul punct interior este $\pi$. Sinusul este pozitiv pe $[0,\pi ]$ și negativ pe $[\pi ,2\pi ]$, deci $|\sin x|=\sin x$ pe prima bucată și $-\sin x$ pe a doua.

Restul pașilor: $${\int }_0^{\pi }\sin xdx=-\cos x{|}_0^{\pi }=1+1=2,{\int }_{\pi }^{2\pi }(-\sin x)dx=\cos x{|}_{\pi }^{2\pi }=1-(-1)=2.$$ Deci ${\int }_0^{2\pi }|\sin x|dx=2+2=4$. (Verificat numeric: $4,000000000000$.)

Rezultatul are o interpretare frumoasă: fiecare „boltă" a sinusului are aria $2$, iar pe o perioadă completă sunt exact două bolți. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x^2-3x+2|$. a) Alcătuiți tabelul de semn al expresiei $x^2-3x+2$ pe intervalul $[0,3]$. b) Calculați ${\int }_0^{1}f(x)dx$. c) Calculați ${\int }_0^{3}f(x)dx$.

Rezolvare.

a) Ecuația $x^2-3x+2=0$ are rădăcinile $1$ și $2$, amândouă în $[0,3]$. Coeficientul dominant fiind pozitiv, semnul este plus în afara rădăcinilor și minus între ele:

b) Pe $[0,1]$ expresia este pozitivă, deci $f(x)=x^2-3x+2$. Cu primitiva $F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x$, $${\int }_0^{1}f(x)dx=F(1)-F(0)=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2=\frac{5}{6}.$$

c) Funcția $f$ este continuă pe $[0,3]$, deci integrabilă. Tăiem în $1$ și în $2$: $${\int }_0^{3}f={\int }_0^1(x^2-3x+2)dx+{\int }_1^2(-(x^2-3x+2))dx+{\int }_2^3(x^2-3x+2)dx.$$ Cu aceeași primitivă $F$, avem $F(0)=0$, $F(1)=\frac{5}{6}$, $F(2)=\frac{8}{3}-6+4=\frac{2}{3}$ și $F(3)=9-\frac{27}{2}+6=\frac{3}{2}$. Prin urmare: $${\int }_0^1=\frac{5}{6},{\int }_1^2(-(x^2-3x+2))dx=-\left(\frac{2}{3}-\frac{5}{6}\right)=\frac{1}{6},{\int }_2^3=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}.$$ Adunând: ${\int }_0^{3}f(x)dx=\frac{5}{6}+\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=\frac{11}{6}$.

Control: toate cele trei bucăți sunt pozitive, cum trebuie la un integrand cu modul. (Verificat numeric: $1,833333333333=\frac{11}{6}$.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu cu modul, scrie întâi tabelul de semn și abia apoi integralele pe bucăți.

1. Calculează ${\int }_0^{2}f(x)dx$, unde $f(x)=1$ pentru $x\in [0,1]$ și $f(x)=3$ pentru $x\in (1,2]$.

2. Calculează ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$, unde $f(x)=-x$ pentru $x\in [-1,0)$ și $f(x)=x^2$ pentru $x\in [0,1]$.

3. Calculează ${\int }_0^4|x-2|dx$.

4. Calculează ${\int }_{-3}^3|x|dx$.

5. Calculează ${\int }_0^3|x^2-1|dx$.

6. Calculează ${\int }_0^{\pi }|\cos x|dx$.

7. Calculează ${\int }_1^{3}f(x)dx$, unde $f(x)=\frac{1}{x}$ pentru $x\in [1,2]$ și $f(x)=x$ pentru $x\in (2,3]$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice funcție integrabilă are loc egalitatea ${\int }_a^b|f(x)|dx=\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|$."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O funcție cu un punct de discontinuitate de speța I pe $[a,b]$ nu este integrabilă pe $[a,b]$."

10. Calculează ${\int }_{-2}^2|x+1|dx$.

11. Fie $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$ pentru $x\ne 1$ și $f(1)=7$. Calculează ${\int }_0^{2}f(x)dx$ și spune ce proprietate ai folosit.

12. Calculează ${\int }_0^{3}f(x)dx$, unde $f(x)=x$ pe $[0,1]$, $f(x)=1$ pe $(1,2]$ și $f(x)=3-x$ pe $(2,3]$.

13. (Problemă aplicată.) Un automobil se deplasează $10$ secunde cu viteza constantă de $20$ metri pe secundă, apoi frânează uniform până la oprire, viteza lui fiind $v(t)=40-2t$ metri pe secundă pentru $t\in [10,20]$. Ce distanță parcurge în cele $20$ de secunde, știind că distanța este integrala vitezei?

14. Calculează ${\int }_0^2|2x-3|dx$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-3|$. a) Alcătuiește tabelul de semn al expresiei $x-3$ pe $[0,4]$. b) Calculează ${\int }_0^{3}f(x)dx$. c) Calculează ${\int }_0^{4}f(x)dx$.

16. Calculează ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$, unde $f(x)=e^x$ pentru $x\in [-1,0]$ și $f(x)=1$ pentru $x\in (0,1]$.

17. Calculează ${\int }_0^{3\pi /2}|\sin x|dx$.

18. (Provocare.) Determină numărul real $a\in (0,4)$ pentru care ${\int }_0^4|x-a|dx=4$.

Răspunsuri și explicații

1. Funcție mărginită, cu o singură discontinuitate, deci integrabilă prin criteriul discontinuităților izolate. ${\int }_0^{1}1dx+{\int }_1^{2}3dx=1+3=4$.

2. Continuă pe fiecare bucată și mărginită. ${\int }_{-1}^0(-x)dx+{\int }_0^1{x}^{2}dx=\left(-\frac{x^2}{2}\right){|}_{-1}^0+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$.

3. Zeroul lui $x-2$ este $2$. ${\int }_0^2(2-x)dx+{\int }_2^4(x-2)dx=2+2=4$.

4. Zeroul este $0$. ${\int }_{-3}^0(-x)dx+{\int }_0^{3}xdx=\frac{9}{2}+\frac{9}{2}=9$.

5. Rădăcinile lui $x^2-1$ sunt $\pm 1$, dar numai $1$ e în $[0,3]$; expresia e negativă pe $[0,1]$ și pozitivă pe $[1,3]$. ${\int }_0^1(1-x^2)dx+{\int }_1^3(x^2-1)dx=\frac{2}{3}+\frac{20}{3}=\frac{22}{3}$.

6. Pe $[0,\pi ]$, cosinusul se anulează în $\frac{\pi }{2}$, e pozitiv înainte și negativ după. ${\int }_0^{\pi /2}\cos xdx+{\int }_{\pi /2}^{\pi }(-\cos x)dx=1+1=2$.

7. ${\int }_1^2\frac{1}{x}dx+{\int }_2^{3}xdx=\ln 2+\left(\frac{9}{2}-2\right)=\ln 2+\frac{5}{2}\approx 3,193$.

8. Fals. Contraexemplu: $f(x)=x$ pe $[-2,2]$ dă ${\int }_{-2}^{2}xdx=0$, în timp ce ${\int }_{-2}^2|x|dx=2+2=4$. Egalitatea are loc când funcția nu schimbă semnul pe interval.

9. Fals. O funcție mărginită cu un număr finit de puncte de discontinuitate este integrabilă. Ceea ce nu are o astfel de funcție sunt primitivele — acolo teorema lui Darboux o oprește. Cele două proprietăți nu se confundă.

10. Zeroul lui $x+1$ este $-1\in [-2,2]$. ${\int }_{-2}^{-1}(-x-1)dx+{\int }_{-1}^2(x+1)dx=\frac{1}{2}+\frac{9}{2}=5$.

11. Funcția coincide cu $x^3$ în afara mulțimii finite $\{1\}$, deci, prin stabilitate, are aceeași integrală: $\frac{x^4}{4}{|}_0^2=4$.

12. ${\int }_0^{1}xdx+{\int }_1^{2}1dx+{\int }_2^3(3-x)dx=\frac{1}{2}+1+\left(\left(9-\frac{9}{2}\right)-(6-2)\right)=\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}=2$.

13. Distanța este ${\int }_0^{20}v(t)dt={\int }_0^{10}20dt+{\int }_{10}^{20}(40-2t)dt=200+(40t-t^2){|}_{10}^{20}=200+(800-400)-(400-100)=200+100=300$ metri. (Verificat numeric.)

14. Zeroul lui $2x-3$ este $\frac{3}{2}\in [0,2]$. ${\int }_0^{3/2}(3-2x)dx+{\int }_{3/2}^2(2x-3)dx=\frac{9}{4}+\frac{1}{4}=\frac{5}{2}$.

15. a) Expresia $x-3$ este negativă pe $[0,3)$, nulă în $3$ și pozitivă pe $(3,4]$:

b) Pe $[0,3]$ avem $f(x)=3-x$, deci ${\int }_0^3(3-x)dx=\left(3x-\frac{x^2}{2}\right){|}_0^3=9-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}$. c) ${\int }_3^4(x-3)dx=\left(\frac{x^2}{2}-3x\right){|}_3^4=(8-12)-\left(\frac{9}{2}-9\right)=\frac{1}{2}$, deci ${\int }_0^{4}f=\frac{9}{2}+\frac{1}{2}=5$.

16. ${\int }_{-1}^0{e}^{x}dx+{\int }_0^{1}1dx=\left(1-\frac{1}{e}\right)+1=2-\frac{1}{e}\approx 1,632$.

17. Zerourile interioare ale sinusului în $\left[0,\frac{3\pi }{2}\right]$: doar $\pi$. ${\int }_0^{\pi }\sin xdx+{\int }_{\pi }^{3\pi /2}(-\sin x)dx=2+\cos x{|}_{\pi }^{3\pi /2}=2+(0-(-1))=3$.

18. Cum $a\in (0,4)$, punctul de rupere este chiar $a$, iar $${\int }_0^4|x-a|dx={\int }_0^a(a-x)dx+{\int }_a^4(x-a)dx=\frac{a^2}{2}+\frac{(4-a{)}^2}{2}.$$ Ecuația $\frac{a^2}{2}+\frac{(4-a{)}^2}{2}=4$ devine $a^2+(4-a{)}^2=8$, adică $2a^2-8a+8=0$, deci $a^2-4a+4=0$ și $(a-2{)}^2=0$. Singura soluție este $a=2$, mijlocul intervalului — ceea ce e firesc, pentru că suma celor două arii triunghiulare e minimă tocmai acolo. (Verificat numeric.)

De reținut

• O funcție definită pe ramuri, mărginită și cu un număr finit de discontinuități, este integrabilă, chiar dacă are salturi și chiar dacă nu admite primitive pe tot intervalul.
• Cei patru pași ai integralei pe ramuri: justifici integrabilitatea, tai intervalul în punctele de racord cu aditivitatea, aplici formula Leibniz–Newton pe fiecare bucată cu formula ramurii ei, aduni rezultatele.
• Valorile din punctele de racord nu contează, prin proprietatea de stabilitate; de aceea fiecare ramură se poate integra pe intervalul închis corespunzător.
• La o funcție cu modul se adaugă un pas preliminar: tabelul de semn al expresiei de sub modul, pe intervalul de integrare, cu reținerea doar a rădăcinilor din interval.
• Integrala modulului nu este modulul integralei: prima nu admite compensări între bucata negativă și cea pozitivă, iar rezultatul ei este întotdeauna pozitiv.

Greșeli frecvente

• Cauți o primitivă unică pentru o funcție cu salt. O funcție cu discontinuitate de speța I nu admite primitive; integrala ei există totuși și se obține tăind intervalul. Nu confunda existența integralei cu existența primitivei.
• Tai intervalul în rădăcini care nu-i aparțin. La ${\int }_{-1}^3|x^2-4|dx$, rădăcina $-2$ este în afara intervalului de integrare și nu produce niciun punct de rupere. Se rețin doar zerourile din interval.
• Uiți să schimbi semnul acolo unde expresia e negativă. Pe bucata unde $f<0$ se integrează $-f$, nu $f$; controlul rapid este că fiecare bucată trebuie să dea un rezultat pozitiv.
• Scrii ${\int }_a^b|f|=\left|{\int }_a^{b}f\right|$. Egalitatea are loc când funcția nu schimbă semnul pe interval; în general are loc doar inegalitatea, adesea strictă.
• Te agiți pentru valoarea din punctul de racord. Fie că ramura din stânga sau cea din dreapta primește punctul, integrala e aceeași — proprietatea de stabilitate garantează asta.

Aplică acasă

1. Atlasul modulelor. Desenează, pe același caiet, graficele funcțiilor $|x-1|$, $|x^2-4|$ și $|\sin x|$, punând mai întâi graficul expresiei fără modul cu linie punctată și apoi răsturnând deasupra axei bucata negativă. Sub fiecare desen, scrie funcția pe ramuri și punctele de rupere.

2. Aceeași integrală, două drumuri. Pentru ${\int }_0^4|x-2|dx$, calculează rezultatul o dată prin cei patru pași și o dată geometric, ca sumă a ariilor a două triunghiuri dreptunghice. Compară valorile și explică de ce trebuie să coincidă.

3. Colecția de racorduri. Scrie trei funcții pe ramuri: una continuă, una cu un salt și una obținută dintr-un modul. Pentru fiecare, decide dacă admite primitive pe tot intervalul, apoi calculează integrala. Notează, într-o coloană separată, ce proprietate din lecție ai folosit la fiecare pas.

Pentru părinți și profesori

Programa clasei a XII-a cere explicit, la competența privind criteriile de integrabilitate, „calcularea integralei definite a unor funcții integrabile care au ramuri, prin aplicarea proprietății de aditivitate la interval". Lecția răspunde exact acestei cerințe și, în plus, tratează cazul particular cel mai frecvent la BAC M1: funcțiile cu modul, care apar aproape în fiecare sesiune, fie ca integrală directă, fie ca arie a unei suprafețe mărginite de un grafic care traversează axa.

Ce verifică lecția: (1) justificarea integrabilității unei funcții pe ramuri, prin criteriul funcțiilor mărginite cu un număr finit de discontinuități; (2) aplicarea corectă a aditivității la interval, cu tăiere exact în punctele de racord; (3) folosirea stabilității pentru a ignora valorile din punctele de racord; (4) alcătuirea tabelului de semn al expresiei de sub modul, pe intervalul de integrare; (5) deosebirea clară dintre integrala modulului și modulul integralei.

Întrebări bune de control: „De ce nu poți folosi o singură primitivă aici?", „Care sunt punctele în care tai intervalul și de ce tocmai ele?", „Poate ieși negativă o bucată la o integrală cu modul?". Semn că elevul a înțeles: începe orice exercițiu cu modul prin tabelul de semn și verifică la final că toate bucățile au ieșit pozitive.

Întrebări frecvente

Cum se calculează integrala unei funcții definite pe ramuri? În patru pași. Întâi justifici integrabilitatea, cel mai des prin criteriul funcțiilor mărginite cu un număr finit de discontinuități. Apoi tai intervalul de integrare exact în punctele de racord, folosind aditivitatea în raport cu intervalul. Pe fiecare bucată înlocuiești funcția cu formula ramurii ei și aplici formula Leibniz–Newton. La final aduni rezultatele parțiale.

De ce nu se poate folosi o singură primitivă pe tot intervalul? Pentru că o funcție cu salt nu admite primitive pe un interval care conține punctul de salt: prin teorema lui Darboux, derivata unei funcții are proprietatea valorilor intermediare, deci nu poate sări. A doua ipoteză a formulei Leibniz–Newton cade, iar formula nu se aplică global. Ea rămâne însă valabilă pe fiecare bucată, unde funcția coincide cu o expresie continuă.

Contează ce valoare are funcția în punctul de racord? Nu contează deloc. Proprietatea de stabilitate spune că modificarea valorilor într-un număr finit de puncte nu schimbă nici integrabilitatea, nici valoarea integralei, iar punctele de racord sunt un număr finit. De aceea fiecare ramură se poate integra pe intervalul închis corespunzător, indiferent cum a fost împărțit capătul în enunț.

Cum se scoate modulul dintr-o integrală? Prin tabelul de semn al expresiei de sub modul, alcătuit pe intervalul de integrare. Acolo unde expresia este pozitivă, modulul dispare fără schimbări; acolo unde este negativă, se înlocuiește cu opusul expresiei. Funcția devine astfel una definită pe ramuri, iar calculul continuă cu cei patru pași obișnuiți.

Care rădăcini produc puncte de rupere? Numai cele care se află în intervalul de integrare. La ${\int }_{-1}^3|x^2-4|dx$, expresia are rădăcinile $-2$ și $2$, dar $-2$ este în afara intervalului $[-1,3]$, deci se taie o singură dată, în $2$. Tăierea într-un punct din afara intervalului este una dintre cele mai frecvente greșeli la acest tip de exercițiu.

Este integrala modulului egală cu modulul integralei? Nu, în general. Prima răstoarnă bucata negativă deasupra axei înainte de a însuma, deci nu permite nicio compensare; a doua lasă compensarea să se producă și abia apoi ia modulul. Are loc doar inegalitatea, iar egalitatea apare când funcția nu schimbă semnul pe intervalul de integrare.

Cum verific rapid dacă am greșit semnele? Uită-te la bucăți. Integrandul unei integrale cu modul este pozitiv, deci fiecare integrală parțială trebuie să iasă pozitivă. O bucată negativă înseamnă că semnul a fost citit greșit din tabel sau că a fost uitată schimbarea expresiei acolo unde funcția era sub axă.

Se poate scurta calculul când intervalul este simetric? Da, dar nu încă. Pentru funcțiile pare și impare, integralele pe intervale simetrice față de origine au formule de scurtătură, care se studiază într-o lecție ulterioară a acestei unități. Până acolo, calculul se face tăind intervalul și lucrând bucată cu bucată, chiar dacă rezultatul se poate ghici din simetria graficului.